Esercizi di Probabilità

Esercizi di Probabilità Annalisa Cerquetti - Sandra Fortini Vai all indice Istituto di Metodi Quantitativi, Viale Isonzo, 25, 2033 Milano, Italy. E-mail: annalisa.cerquetti@unibocconi.it,sandra.fortini@unibocconi.it

Questa raccolta contiene alcuni esercizi sugli argomenti generalmente trattati in un corso introduttivo di calcolo delle probabilità. L intento è quello di fornire uno strumento utile a migliorare o verificare la comprensione delle definizioni e dei risultati più importanti, mediante esempi schematici, riferiti per lo più ad esperimenti connessi a giochi di sorte. Gli esercizi che si riferiscono ad argomenti che esulano, generalmente, dai programmi dei corsi introduttivi, sono contrassegnati con un asterisco.

Indice Esercizi 3. Eventi...................................... 3.2 Probabilità................................... 3.3 Probabilità condizionale ed indipendenza.................... Variabili aleatorie................................ 5.5 Vettori aleatori................................. 6.6 Distribuzioni condizionali ed indipendenza................... 6.7 Valore atteso.................................. 7.8 Momenti..................................... 8.9 Distribuzione Normale............................. 9.0 Covarianza.................................... 9. Distribuzione Normale multivariata..................... 0 2 Soluzioni 2. Eventi...................................... 2.2 Probabilità................................... 2 2.3 Probabilità condizionale ed indipendenza................... 2 2. Variabili aleatorie................................ 3 2.5 Vettori aleatori................................. 5 2.6 Distribuzioni condizionali ed indipendenza.................. 6 2.7 Valore atteso.................................. 8 2.8 Momenti..................................... 9 2.9 Distribuzione Normale............................. 2 2.0 Covarianza................................... 22 2. Distribuzione Normale multivariata..................... 23 2

Capitolo Esercizi. Eventi. Definire lo spazio degli eventi elementari relativo all esperimento che consiste nel lanciare una moneta finchè non compare testa. Descrivere l evento sono necessari meno di tre lanci. 2. Costruire lo spazio degli eventi elementari relativo all esperimento che consiste nel lanciare una moneta tre volte. Descrivere l evento testa al terzo lancio. 3. Un gioco consiste nel lanciare una moneta tre volte. Ad ogni lancio si vince un euro se il risultato è testa. Sia X t la vincita al tempo t. a Descrivere le variabili aleatorie X, X 2, X 3 come funzioni di Ω. b Descrivere l evento(x X 2.. Descrivere l evento nessuno degli eventi A, B o C si verifica. 5. Descrivere l evento: si verifica esattamente uno degli eventi A, B o C..2 Probabilità. Un dado viene lanciato due volte. Calcolare la probabilità di ottenere lo stesso risultato nei due lanci. 3

2. Si lancia una moneta fino a quando non compare testa. Calcolare la probabilità che siano necessari n tentativi. 3. Si lancia un dado cinque volte. Calcolare la probabilita di osservare esattamente un sei.. Si lancia una moneta tre volte. Calcolare la probabilità di osservare almeno una testa..3 Probabilità condizionale ed indipendenza. Si lancia una moneta tre volte. Calcolare la probabilità di osservare testa al primo lancio, sapendo che il risultato testa è stato osservato almeno una volta. 2. Si lancia una moneta cinque volte. Calcolare la probabilità di osservare testa al terzo lancio, sapendo che è stato osservato uno e un solo risultato testa. 3. Vengono selezionate tre carte da un mazzo di quaranta carte. Calcolare la probabilità di osservare tre carte di spade.. Si seleziona una carta da un mazzo di quaranta carte. Dimostrare che gli eventi esce una carta di spade e esce un asso sono indipendenti. 5. Una scatola contiene: - due palline bianche numerate 0 ; - otto palline bianche numerate ; - quattro palline rosse numerate 0 ; - sei palline rosse numerate ; Si estrae una pallina casualmente dalla scatola. Verificare che gli eventi esce una pallina bianca e esce una pallina numerata con 0 non sono indipendenti e spiegare perchè.. 6. Si lancia un dado due volte. Verificare che gli eventi: A risultato pari al primo lancio

B risultato pari al secondo lancio C la somma dei risultati è pari non sono indipendenti e spiegare perchè... Variabili aleatorie. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri 5 and 0.25. Calcolare P (X 2. 2. Si lancia una moneta quattro volte. Determinare la distribuzione di probabilità della v.a. X numero di teste. 3. Si lancia un dado n volte. Scrivere la funzione di probabilità della v.a. X numero di 6.. Si lancia una moneta finchè non compare testa. Determinare la distribuzione di probabilità della v.a. X numero di lanci necessari. 5. * Si lancia una moneta tre volte. Sia X la v.a. numero di teste osservate nei primi due lanci. Costruire σ(x. 6. * Calcolare P (X per una v.a. X con funzione di densità { e x x 0 f(x 0 altrimenti 7. Un gioco consiste nel generare un numero casuale Z nell intervallo [0, ]. Il premio del gioco X è uguale a 2Z se Z > 0.8 e se Z 0.8. Calcolare P (Z e P (Z >.8. 8. Un gioco consiste nel lanciare una moneta e nel generare un numero aleatorio X nell intervallo [0, ] indipendentemente dall esito della moneta. La vincita W è X se esce testa e X se esce croce. Calcolare P (0.5 < W < 0.7 e P ( W < 0.. 5

.5 Vettori aleatori. Una moneta viene lanciata tre volte. Sia X il numero di teste nei primi due lanci e sia Y il numero di teste sui tre lanci. Calcolare la distribuzione congiunta di X e Y. 2. Sia (X, Y un vettore aleatorio discreto con distribuzione di probabilità { x, 0,, y, 0,, (x, y (0, 0 p(x, y 8 0 altrimenti. Calcolare P (X Y. 3. Un dado viene lanciato due volte. Sia X la v.a. punteggio minimo e Y la v.a. punteggio massimo. Calcolare la distribuzione congiunta di X e Y.. * Si lancia una moneta tre volte. Sia N k (k, 2, 3 il numero di teste nei primi k lanci. Descrivere gli eventi che appartengono a σ(n, N 2. 5. * Si lancia un dado due volte. Siano X e Y rispettivamente i risultati al primo e al secondo lancio. Sia S X + Y. Mostrare che σ(y σ(s e che σ(x, Y σ(x, S..6 Distribuzioni condizionali ed indipendenza.. Siano X e Y v.a. indipendenti con P (X k P (Y k /2 k, per k, 2,.... Calcolare P (X Y. 2. Si lancia una moneta tre volte. Sia N k (k, 2, 3 il numero di teste nei primi k lanci. Trovare la distribuzione condizionale di N 3 dato N. 3. Si lancia un dado due volte. Siano X e Y rispettivamente il risultato del primo e del secondo lancio. Sia S X + Y. Determinare la distribuzione condizionale di X dato che S. 6

. La distribuzione condizionale di Y dato X x, con x > 0, ha densità: { xe xy y 0 f Y X (y x 0 altrimenti Calcolare la probabilità che Y sia maggiore di 2, dato che X 3. 5. * La distribuzione condizionale della variabile aleatoria X i dato che X x,..., X i x i ha densità { e x i x x x f i (x i 0 altrimenti per i 2,..., n. La densità di X è f (x Calcolare la densità congiunta di X,..., X n. { e x x 0 0 altrimenti 6. * Si lancia una moneta quattro volte. Siano X e Y rispettivamente il numero di teste nei lanci pari e nei lanci dispari. Mostrare che X e Y sono variabili aleatorie indipendenti..7 Valore atteso. Un gioco consiste nel lanciare una moneta due volte. La vincita è 2$ se esce testa, testa e -$ altrimenti. Il gioco è favorevole? 2. Il tempo atteso di vita di un certo componente elettronico, misurata in ore, è 20. Quando il componente si danneggia, viene immediatamente sostituito. Calcolare il tempo medio di attesa per la terza sostituzione. 3. Una variabile aleatoria ha funzione di probabilità x 0, 2 p(x x 2 0 altrimenti. Calcolare il valore atteso di Y e X+. 7

. La funzione di probabilità congiunta delle variabili aleatorie X, X 2 e X 3 è uguale a (x 8, x 2, x 3 (0, 0,, (0,, 0, (0,,, p(x, x 2, x 3 (2, 2,, (2, 2, 3, (3, 3,, (3, 3, 2, (3, 3, 3 0 altrimenti Calcolare E(X 3 X 2. 5. Sia X il numero di lanci di una moneta fino al comparire della quinta testa. Calcolare il valore atteso di X. 6. Un gioco consiste nel lanciare una moneta e nel generare un numero casuale X tra zero e uno. La vincita è 2X se compare testa e se compare croce. Calcolare la vincita attesa..8 Momenti. Un gioco consiste nel lanciare un dado due volte. La vincita è - 5$ se compare (6,6 - $ se compaiono due risultati uguali, escluso (6,6-0 altrimenti. Calcolare la media e la deviazione standard della vincita. 2. Si genera un numero casuale tra 0 e. Calcolare la media e la deviazione standard. 3. Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità { 2x 0 x f(x 0 altrimenti Calcolare la media e la varianza di X.. Sia X una variabile aleatoria con funzione di probabilità { x 2,,, 2 p(x 0 altrimenti Calcolare il momento terzo di X. 8

5. Si lancia una moneta tre volte. Sia X 2 il numero di teste nei primi due lanci, e X 3 il numero di teste in tre lanci. Calcolare la funzione di regressione di X 3 su X 2 e la funzione di regressione di X 2 su X 3. 6. Un numero casuale X è scelto nell intervallo [0, ]; dopo aver osservato X, un numero aleatorio X 2 viene scelto nell intervallo [0, X ]. Calcolare la funzione di regressione di X 2 su X..9 Distribuzione Normale. Sia X una v.a. con distribuzione N(2.8, 0.25. Calcolare la probabilità che X cada nell intervallo [2.75, 2.76. 2. Si dice che X ha una distribuzione lognormale (µ, σ 2 se logx N(µ, σ. Sia X una v.a. con distribuzione lognormale di parametri 3.3 e 9.8. Determinare la probabilità che X assuma valori più piccoli di 0.05. 3. Siano X e Y v.a. indipendenti. Supponiamo inoltre che X N( 2.87, 35.28 e Y N(.26, 5.22. Determinare la probabilità che X Y assuma valori più piccoli di 3.. Si lancia una moneta 6 volte. Calcolare la probabilità di osservare meno di 30 teste. 5. Le durate in vita in ore X, X 2,..., X 00 di cento componenti elettronici sono v.a. independenti ed identicamente distribuite con valore atteso µ 0 e deviazione standard σ 0 3. Calcolare la probabilità che la durata media dei componenti X (X +... + X 00 /00 sia inferiore a 000 ore..0 Covarianza. Una moneta viene lanciata tre volte. Siano N, N 2, N 3 il numero di teste dopo il primo, il secondo e il terzo lancio, rispettivamente. Calcolare V (N, V (N 2, V (N 3, Cov(N, N 2, Cov(N, N 3, Cov(N 2, N 3. 9

2. Siano X e Y due v.a. con V (X 2, V (Y 5 e Cov(X, Y. Trovare la varianza della v.a. 3X Y. 3. Siano X e Y due v.a. con V (X, V (Y e Cov(X, Y.88. Commentare la correlazione lineare tra X e Y.. Siano X, X 2 e X 3 v.a. con Cov(X, X 2 e Cov(X, X 3 2. Calcolare la covarianza tra X e X 2 X 3. 5. Sia (X, X 2, X 3 un vettore aleatorio tale che V (X 2, V (X 2, V (X 3 6, Cov(X, X 2 0, Cov(X, X 3, Cov(X 2, X 3 2. Calcolare V (X + X 2, V (X 2 + X 3 e Cov(X + X 2, X 2 + X 3.. Distribuzione Normale multivariata. Siano X e X 2 v.a. independenti con distribuzione N(2.65, 9.2 e N( 3.99, 9.32 rispettivamente. Determinare la distribuzione del vettore aleatorio (Y, Y 2 dove Y X + X 2 e Y 2 X X 2. 2. Sia (X, X 2 un vettore aleatorio con distribuzione normale di parametri µ (6.25, 3.58, σ 2 9.8, σ 2 2.65 e σ,2.95. Determinare la distribuzione di probabilità della v.a. W X X 2. 3. Siano (X, X 2 e (Y, Y 2 vettori aleatori indipendenti entrambi con distribuzione normale multivariata di parametri µ X (5.25, 8.8 µ Y (.3, 6.29, σx 2 9.87, σx 2 2 2.8, σy 2.26, σy 2 2 8.66, σ X,X 2 0.99, σ Y,Y 2.22. Determinare la distribuzione del vettore aleatorio (W, W 2, con W X + X 2 (Y + Y 2 e W 2 (X X 2 + (Y Y 2.. Sia (X, X 2, X 3, X un vettore con distribuzione normale con parametri µ (0.22,.35, 0.0, 2.25, σ 2 2.33, σ2 2 2.8, σ3 2.0, σ 2 8.67, σ,2 0., σ,3 0.32, σ, 0.0, σ 2,3 0.20, σ 2, 0.5, σ 3, 0.025. Determinare la distribuzione del vettore aleatorio (W, W 2 con W (X + X 2 + X 3 + X / e W 2 X X 3. 0

Capitolo 2 Soluzioni 2. Eventi. Ω {T, CT, CCT, CCCT, CCCCT,...}, A Sono necessari meno di tre lanci {T, CT}. 2. Ω {TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC,CCT,CCC}, A Testa al terzo lancio {TTT, TCT, CTT, CCT}. 3. Ω {TTT,TTC,TCT,CTT,TCC, CTC, CCT, CCC} a { ω T T T, T T C, T CT, T CC X (ω 0 ω CT T, CCT, CT C, CCC 2 ω T T C, T T T X 2 (ω ω T CT, T CC, CT T, CT C 0 ω CCT, CCC X 3 (ω 3 ω T T T 2 ω T T C, T CT, CT T ω T CC, CT C, CCT 0 ω CCC b (X X 2 {ω Ω : X (ω X 2 (ω} croce al secondo lancio {CCC, CCT, TCT, TCC}.. A c B c C c, (o equivalentemente (A B C c.

5. (A B c C c (A c B C c (A c B c C. 2.2 Probabilità. Ω {(,, (, 2, (2,,..., (5, 6, (6, 5, (6, 6}. A stesso risultato {(,, (2, 2, (3, 3,..., (6, 6}. A contiene sei dei 36 diversi risultati elementari. Ogni evento elementare ha probabilità quindi P (A 6 36 36. 6 2. Ω {T, CT, CCT, CCCT,...}. A sono necessari n tentativi CCCC...CT } {{ }. Dunque P (A n 3. A esattamente un sei. Significa: 6 in un lancio, o 2 o 3 o o 5 negli altri lanci. La probabilità che esca 6 in un lancio prefissato e un risultato diverso da 6 negli altri lanci è uguale al numero dei casi favorevoli a tale evento diviso per il numero dei casi possibili, cioè 5. D altra parte il 6 può risultare in uno qualsiasi 6 5 dei cinque lanci, quindi P (A 5( 5 ( 5 6 5 6 5.. Ω {T T T, T CC, CT C, CCT, CT T, T CT, T T C, CCC} A almeno una testa, significa: una o due o tre teste. D altra parte A c {T T T }, P (A c 8. Quindi P (A P (A c 8 7 8. 2 n. 2.3 Probabilità condizionale ed indipendenza. Al solito definiamo prima Ω. Ω {TTT, TTC, CTT, TCT, TCC, CTC, CCT, CCC}. A testa al primo lancio {T T T, T T C, T CT, T CC}. B testa almeno una volta {CCC} c {TTT, TTC, CTT, TCT, TCC, CTC, CCT}. Per definizione di probabilità condizionale, P (A B P (A B, per P (B > 0. In P (B questo caso A B A, perchè A B, quindi P (A B P (A. Poiché P (A /8 P (B e P (B 7/8, si ottiene P (A B. 7 2

2. A Si osserva testa al terzo lancio. B Si osserva testa esattamente una volta. A B Si osserva testa soltanto al terzo lancio {CCTCC}. Ω {ω ω,..., ω 5 : ω i C oppure T } contiene 2 5 32 eventi elementari. Quindi P (B 5 32 P (A B 32 infatti B {TCCCC, CTCCC, CCTCC, CCCTC, CCCCT}., P (A B P (A B P (B 32 32 5 5. 3. Il mazzo è composto dalle carte seguenti: 0 spade, 0 bastoni, 0 denari e 0 coppe. Indichiamo con S la prima carta è di spade. S 2 la seconda carta è di spade. S 3 la terza carta è di spade. Allora P (S S 2 S 3 P (S P (S 2 S P (S 3 S S 2. Ora P (S 0, P (S 0 2 S 9, P (S 39 3 S S 2 8, quindi P (S 38 S 2 S 3 0 9 8. 0 39 38. Per dimostrare che A e B sono independenti è sufficiente dimostrare che P (A B P (AP (B. Ora P (A B 0, P (A, P (B, quindi P (AP (B 0 0 0 0 P (A B. 0 5. Numero di palline 20. Definiamo gli eventi seguenti: A esce una pallina bianca B esce una pallina numerata con 0. Siccome ci sono dieci palline bianche e sei palline numerate con 0, P (A /2 e P (B 6. Ora A B esce una pallina 20 bianca numerata con 0 ha probabilità 2. Siccome P (A B P (AP (B, segue 20 che A e B non sono indipendenti. A e B non sono indipendenti in quanto la proporzione di palline numerate con 0 è diversa tra le palline bianche e le palline nere. 6. A {numero pari al primo lancio}. P (A 2. B {numero pari al secondo lancio}. P (B 2. C {la somma dei due lanci è pari}. L evento C si verifica soltanto se i risultati dei due lanci sono entrambi pari o entrambi dispari. Quindi P (C 2. Mentre P (C A B. A, B e C non sono indipendenti in quanto A e B congiuntamente implicano C. 2. Variabili aleatorie. X Bi(5, 0.25 P (X 2 P (X 0 P (X. 3

P (X 0 ( 5 0 0.25 0 ( 0.25 5 P (X ( 5 0.25(0.75 P (X 2 0.75 5 5(0.25(0.75 0.367. 2. Chiamiamo successo l evento esce testa. Poichè X conta il numero di successi su prove, X ha distribuzione binomiale con probabilità di successo p. Dunque 2 X Bi(,, ovvero X assume i valori, 2, 3, e 2 P (X 0 ( 0 ( 2 0 ( 2 ( 2 P (X ( ( 2 ( 2 3 ( 2 P (X 2 ( 2 ( 2 2 ( 2 2 ( 2 ( 2 P (X 3 ( 3 ( 2 3 ( 2 ( 2 P (X ( ( 2 ( 2 0 ( 2 3. Chiamiamo successo l evento esce 6. Poichè X conta il numero di successi su n prove, X ha distribuzione binomiale. La probabilità di successo è p. Dunque 6 R X {0,, 2,..., n} e { ( n P (X x x ( 6 x ( 5 6 n x x0,, 2,..., n 0 altrove. Lo spazio degli eventi elementari è Ω {T, CT, CCT,..., CCC...}. P (X x P (CCC } {{... C} T ( 2 x ( 2 2 x, per x, 2,.... x 5. * R X {0,, 2}. Siano: A {X 0} {CCC, CCT } A 2 {X } {T CC, CT C, T CT, CT T } A 3 {X 2} {T T C, T T T } Quindi σ(x {, A, A 2, A 3, A 2 A 3, A A 3, A A 2, Ω}. 6. P (X e x dx [ e ] e. 7. Ω [0, ]. R X { } (.6, 2]. P (X P (Z 0.8 0.8, P (X >.8 P (Z > 0.9 0.. 8. Sia A testa. Allora P (0.5 < W < 0.7 P (A {0.5 < X < 0.7} P (AP (0.5 < X < 0.7 0.2 0.. 2 Poichè W X, P ( W < 0. P (X < 0. 0..

2.5 Vettori aleatori. Le variabili aleatorie X e Y possono essere descritte dalla seguente tabella Ω X Y T T T 2 3 T T C 2 2 T CT 2 T CC CT T 2 CT C CCT 0 CCC 0 0 Quindi il vettore aleatorio (X, Y ha la seguente distribuzione di probabilità Y 0 2 3 X 0 /8 /8 0 0 0 2/8 2/8 0 2 0 0 /8 /8 2. P (X Y P (X, Y + P (X 0, Y 0 + P (X, Y ; P (X, Y 8 P (X 0, Y 0 0 P (X, Y 8. Quindi P (X Y. 3. Indichiamo con ω e ω 2 i risultati del primo e del secondo lancio rispettivamente. Il vettore aleatorio (X, Y può essere descritto mediante la seguente tabella. ω 2 2 3 5 6 ω (, (, 2 (, 3 (, (, 5 (, 6 2 (, 2 (2, 2 (2, 3 (2, (2, 5 (2, 6 3 (, 3 (2, 3 (3, 3 (3, (3, 5 (3, 6 (, (2, (3, (, (, 5 (, 6 5 (, 5 (2, 5 (3, 5 (, 5 (5, 5 (5, 6 6 (, 6 (2, 6 (3, 6 (, 6 (5, 6 (6, 6 5

Dunque la distribuzione di probabilità congiunta di X e Y è Y 2 3 5 6 X /36 2/36 2/36 2/36 2/36 2/36 2 0 /36 2/36 2/36 2/36 2/36 3 0 0 /36 2/36 2/36 2/36 0 0 0 /36 2/36 2/36 5 0 0 0 0 /36 2/36 6 0 0 0 0 0 /36. * Gli eventi in σ(n, N 2 sono gli eventi che non dipendono dal risultato al terzo lancio. 5. * Sia A {Y } {(,, (2,,..., (6, }. Allora A σ(y ma A σ(s, poichè A non può essere scritta come {S B}. Sia A 2 {S 3} {(, 2, (2, }. Allora A 2 σ(s ma A 2 σ(y dato che A 2 non può essere scritta come {Y B}. Quindi σ(y σ(s e nessuna relazione di inclusione vale. D altra parte, poichè (X, S è una funzione di (X, Y, σ(x, S σ(x, Y ; inoltre, poichè (X, Y è una funzione di (X, S, σ(x, Y σ(x, S. Quindi σ(x, Y σ(x, S. 2.6 Distribuzioni condizionali ed indipendenza. P (X Y P (X Y P (X k, Y k P (X k(y k k k ( 2 k 2 k 3 0.667. ( k k0 6

2. Sia Y N 3 N il numero di teste osservate ai lanci due e tre. Notiamo che N e Y sono variabili aleatorie indipendenti. Quindi P (N 3 N P (Y 0 N P (Y 0 / P (N 3 2 N P (Y N P (Y /2 P (N 3 3 N P (Y 2 N P (Y 2 /. La distribuzione condizionale di N 3 dato che N è quindi 3. Osserviamo che x P (N 3 x N / 2 /2 3 / P (X S P (X, S P (S P (X, Y 3 P (S /36 3/36 3 Quindi P (X 2 S P (X 3 S P (X 2, S P (S P (X 3, S P (S P (X 2, Y P (S P (X 3, Y P (S { x, 2, 3 P (X x S 3 0 altrove /36 3/36 3 /36 3/36 3. P (Y 2 X 3 2 3e 3y dy [ e 3y ] 2 e 6 5. * In base alla definizione di funzione di densità di probabilità condizionale f X,...X n (x,... x n f X (x f X2 X (x 2 x f X3 X,X 2 (x 3 x, x 2 f Xn X,...X n (x n x,..., x n 7

Quindi f X,...,X n (x,... x n { e x (e x x 2 e x 2 x 3 e x 3 x e x n x n e xn x n x n x n 2... x 0 0 altrove. 6. * Sia A i l evento testa al lancio i-esimo. Allora A,..., A sono eventi indipendenti. Quindi A,..., A sono v.a. indipendenti. Inoltre X A + A3 e Y A2 + A. Quindi, come funzioni di vettori aleatori indipendenti, X e Y sono v.a. independenti. 2.7 Valore atteso. Ω {T T, CT, T C, CC} W (ω { +2$ ω {T T } $ ω {T C, CT, CC} { w 2 P (W w 3 w E(W 2( 3. Il valore atteso è negativo quindi il gioco è sfavorevole. 2. Sia X la durata in vita di un componente elettronico messo in uso al tempo zero. Sia X 2 la durata in vita di un componente elettronico messo in uso dopo la prima sostituzione. Sia X 3 la durata in vita di un componente elettronico messo in uso dopo la seconda sostituzione. Il tempo di attesa per la terza sostituzione X è uguale a X +X 2 +X 3. Poichè E(X E(X 2 E(X 3 20, E(X E(X +X 2 +X 3 E(X + E(X 2 + E(X 3 360 3. X è una v.a. discreta. Quindi E(e X+ x0,,2 e x+ P (X x e + e2 2 + e3 e + 2e2 + e 3 9.. 8

. (X, X 2, X 3 è un vettore aleatorio discreto. Quindi E(X 3 X 2 (x 3 x 2 P (X x, X 2 x 2, X 3 x 3 x,x 2,x 3 ( 0 2 8 +(0 02 8 +( 02 8 +( 22 8 +(3 22 8 +( 32 8 +(2 32 8 +(3 32 8 9 8. 5. X X + X 2 +... + X 5, dove X i numero di lanci dopo la (i -esima testa e fino alla i-esima testa. Poichè P (X i x ( 2 x, E(X i x x( 2 x 2. Quindi E(X E(X + E(X 2 +... + E(X 5 5 2 0. 6. Sia A l evento: compare testa e sia W la vincita. Sia A la v.a. che vale se esce testa, e 0 se esce croce. Sia inoltre Ā la v.a che vale se esce croce e 0 se esce testa. Allora W 2X A A. Poichè X e A sono v.a. indipendenti, E(W E(2X A Ā E(2X A E( Ā 2E(X 2 2 0 2.8 Momenti. Denotiamo con W la vincita del gioco. Allora 30 w 0 36 5 P (W w w 36 w 5 36 EW 0( 30 + ( 5 + 5( 25 0.69. 36 36 36 36 EW 2 6( 5 + 25( 05. 36 36 36 σw 2 EW 2 (EW 2 05 ( 25 36 36 2 355 σ 355.56 36 296. 2. Sia X il numero casuale in [0, ]. La funzione di densità di X è { 0 < x < f(x 0 altrove 9

Quindi EX x2 xdx [ 0 2 ] 0 0.5 2 EX 2 0 x2 dx [ x3 3 ] 0. 3 V ar(x EX 2 (EX 2 3 ( 2 2 2 σ X /2 0.289 3. EX x(2xdx 0 0 2x2 dx 2[ x3 3 ] 0 2( 2 0.667. 3 3 EX 2 0 x2 2xdx 0 2x3 dx 2[ x ] 0 2(. 2 V ar(x 0.0556. 2 9 8. X è una v.a. discreta quindi EX 3 x x3 p(x. { x 2,,, 2 p(x 0 altrove. Quindi EX 3 8( ( + ( + 8( 0.. Quindi la deviazione standard di X è 5. Il numero di teste in tre lanci è X 2 con probabilità /2 e X 2 + con probabilità /2. Quindi P (X 3 x X 2 x P (X 3 x + X 2 x /2. Segue che la funzione di regressione di X 3 su X 2 è E(X 3 X 2 x /2 x + /2 (x + x + /2. Determiniamo ora la funzione di regressione di X 2 su X 3. Osserviamo che se X 3 0, allora X 2 0, mentre se X 3 3, allora X 2 2. Inoltre P (X 2 2 X 3 2 P (X 2 2, X 3 2 P (X 3 2 P (X 2 X 3 2 P (X 2, X 3 2 P (X 3 2 P (X 2 X 3 P (X 2, X 3 P (X 3 P (X 2 0 X 3 P (X 2 0, X 3 P (X 3 /3 2/3 2/3 /3. Quindi E(X 2 X 3 0 0, E(X 2 X 3 2/3, E(X 2 X 3 2 /3, E(X 2 X 3 3 2. La funzione di regressione di X 2 su X 3 è dunque E(X 2 X 3 x 2/3 x. Tale risultato indica che in media 2/3 del numero totale di teste sono osservate nei primi due lanci. 6. Subordinatamente a X x, X 2 è un numero aleatorio tra zero e x. Quindi E(X 2 X x x/2. 20

2.9 Distribuzione Normale. X è una v.a. con distribuzione normale, µ 2.8 e σ 2 0.25. Quindi P (2.75 < X < 2.76 P ( 2.75 2.8 < Z < 2.76 2.8 P ( 0. < Z < 0.08, 0.5 0.5 dove Z (X µ/σ (X 2.8/0.5 è una v.a. con distribuzione normale standardizzata. Poichè la distribuzione normale standardizzata è simmetrica P ( 0. < Z < 0.08 P (0.08 < Z < 0. φ(0. φ(0.08, dove φ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standardizzata. I valori di φ(0. e φ(0.08 possono essere ricavati dalle tavole statistiche. Essi sono 0.5398 e 0.539. Quindi P (2.75 < X < 2.76 0.5398 0.539 0.0079 2. Poichè X log N( 3.3, 9.8, log X N( 3.3, 9.8. Quindi, se Φ indica la funzione di ripartizione normale standardizzata P (X < 0.05 P (log X < log 0.05 P (log X < 2.995 log X + 3.3 P ( < 9.8 2.995 + 3.3 log X + 3.3 P ( < 0.35 9.8 9.8 3.3 log X + 3.3 P ( < 0. Φ(0. 0.538 9.8 3. Poichè X e Y sono v.a. indipendenti, con distribuzione normale, X Y ha distribuzione normale con parametri µ 2.87.26.3 e σ 2 35.28 + 5.22 50.5. Quindi, se Φ denota la funzione di ripartizione della normale standardizzata, P (X Y < 3 P ( X Y µ σ < 3 µ σ Φ( 3+.3 7.06 Φ(0.59 0.5636.. Sia X i l indicatore dell evento testa al primo lancio i (i,..., 6. Allora il numero di teste è X 6 i X i. Si noti che X,..., X 6 sono v.a. indipendenti ed identicamente distribuite di media µ /2 e deviazione standard σ /2. Quindi, per il teorema centrale del limite, 56 6 i P ( X i < 30 P ( X i 6 /2 < 6 /2 i 30 6 /2 6 /2 30 6 /2 Φ( Φ( 0.5 Φ(0.5 0.695 0.3085. 6 /2 2

5. Poichè X,..., X 00 sono v.a. indipendenti ed identicamente distribuite, per il teorema centrale del limite, 00 i P ( X i 00 00 < 000 P ( i X i < 000 00 00 i P ( X i 0 00 00 0 3 < 000 00 0000 00 00 0 3 Φ( 000 00 0000 00 Φ( 000 Φ(0. 0.5398. 00 0 3 0000 2.0 Covarianza. Sia X i il numero di teste al lancio i (i, 2, 3. Allora X, X 2, X 3 sono v.a. indipendenti ed identicamente distribuite con distribuzione di probabilità x probab. 0 /2 /2 Inoltre N X, N 2 X + X 2 N + X 2 e N 3 X + X 2 + X 3 N + X 2 + X 3 N 2 + X 3. Quindi E(N E(X /2, E(N 2 E(X + E(X 2 /2 + /2 e E(N 3 E(X + E(X 2 + E(X 3 /2 + /2 + /2 3/2. Inoltre, poichè V (X i /, V (N V (X /, V (N 2 V (X +V (X 2 /2, V (N 3 V (X + V (X 2 + V (X 3 3/. Per calcolare le covarianze, basta notare che N i e X j sono v.a independenti, quando j > i. Quindi Cov(N, N 2 Cov(N, N + X 2 Cov(N, N V (N / Cov(N, N 3 Cov(N, N + X 2 + X 3 Cov(N, N V (N / Cov(N 2, N 3 Cov(N 2, N 2 + X 3 Cov(N 2, N 2 V (N 2 /2. 2. Ricordiamo che V ar(ax + by a 2 V ar(x + b 2 V ar(y + 2abCov(X, Y. Quindi V ar(3x Y 9V ar(x+v ar(y 6Cov(X, Y 9(2+5 6( 8+5+6 29 22

3. Calcoliamo il coefficiente di correlazione lineare ρ(x, Y Cov(X,Y σ X σ y Cov(X,Y. V ar(xv ar(y In questo caso ρ(x, Y.88.88 2 0.99. Poichè ρ è prossimo a, c è una forte correlazione lineare negativa tra X e Y.. Cov(X, X 2 X 3 Cov(X, X 2 Cov(X, X 3 (2 9. 5. V (X + X 2 V (X + V (X 2 + 2Cov(X, X 2 2 + 6 V (X 2 + V 3 V (X 2 + V (X 3 + 2Cov(X 2, X 3 + 6 + 2(2 Cov(X + X 2, X 2 + X 3 Cov(X, X 2 + Cov(X, X 3 + V (X 2 + Cov(X 2, X 3 + + 2 5 2. Distribuzione Normale multivariata. Il vettore aleatorio (X, X 2 ha distribuzione normale multivariata con vettore delle medie e matrice di varianze e covarianze ( ( 2.65 9.2 0 µ X Σ 3.99 X 0 9.32 Inoltre ( Y Y 2 ( ( X Quindi (Y, Y 2 è un vettore aleatorio con distribuzione normale multivariata e vettore delle medie ( ( ( 2.65.3 µ Y 3.99 6.6 e matrice di varianze e covarianze ( ( 9.2 0 Σ Y 0 9.32 ( X 2 ( 8.56 0.08 0.08 8.56 2. La v.a. W ha distribuzione normale con parametri µ W E(W E(X E(X 2 6.25 + 3.58 9.83 e σ 2 W V (W V (X + V (X 2 2Cov(X, X 2 9.8 +.65 2 (.95 8.39. 23

3. Il vettore aleatorio (X, X 2, Y, Y 2 ha distribuzione normale multivariata con vettore delle medie 5.25 µ 8.8.3 6.29 e matrice di varianze e covarianze Poichè Σ ( W W 2 9.87 0.99 0 0 0.99 2.8 0 0 0 0.26.22 0 0.22 8.66 ( il vettore aleatorio W ha distribuzione normale con vettore delle medie ( 5.25 ( µ W 8.8 2.36.3.72 6.29 e matrice di varianza e covarianza ( Σ W ( 8.88.82 2.8 9.88 0.86 3.8 0.0 7. X X 2 Y Y 2 9.87 0.99 0 0 0.99 2.8 0 0 0 0.26.22 0 0.22 8.66 ( 23.0.6.6.6 22.. Il vettore aleatorio (X, X 2, X 3, X ha distribuzione normale multivariata con vettore delle medie 0.22 µ.35 0.0 2.25 2

e matrice di varianza e covarianza Poichè Σ ( W W 2 2.33 0. 0.32 0.0 0. 2.8 0.2 0.5 0.32 0.2.0 0.25 0.0 0.5 0.25 8.67 ( 0 0 il vettore aleatorio W ha distribuzione normale multivariata con vettore delle medie ( 0.22 ( µ W.35 6.8 0 0 0.0 0.23 2.25 X X 2 Y Y 2 e matrice di varianza e covarianza ( 2.33 0. 0.32 0.0 Σ W 0. 2.8 0.2 0.5 0 0 0.32 0.2.0 0.25 0.0 0.5 0.25 8.67 ( 2. 2.59 3.83 8.76 2.65 0.3.2 0.26 0 0 0 0 ( 27.28 8.27 8.27 7.07 25