Variabili aleatorie Parte I

Variabili aleatorie Parte I Variabili aleatorie Scalari - Definizione Funzioni di distribuzione di una VA Funzioni densità di probabilità di una VA Indici di posizione di una distribuzione Indici di dispersione di una distribuzione Definizione Momenti di una distribuzione Teoria della Probabilità Variabile aleatoria - Definizione Una variabile aleatoria è una funzione che associa ad ogni esito di un processo aleatorio (nell esempio, una certa faccia del dado) un distinto numero reale (nel nostro caso un numero intero compreso tra 1 e 6). Associare ad un processo aleatorio (scalare) un numero reale è un procedimento che facciamo spesso in modo intuitivo Variabili Aleatorie - Parte 1 1

Variabili aleatorie Definizione Una variabile aleatoria è una funzione che associa ad ogni esito di un processo aleatorio, un distinto numero reale Ω Variabile aleatoria Ψ Insieme dei possibili risultati nello spazio campione Ω Insieme valori numerici che assume la funzione In termini rigorosi : ω œ Ω Ø y=(ω) œ Ψ Si definisce pertanto una nuova funzione probabilità il cui spazio campione è il codominio Ψ della funzione Variabili aleatorie - Definizione La variabile aleatoria è una funzione che assume valori tali che dipendono dal caso Proprietà: è definita nello spazio Ω degli esperimenti ed assume valori nello spazio campione Ψ (codominio) sottoinsieme dei numeri reali. Qualunque sottoinsieme del codominio Ψ (evento) ha una probabilità ben definita di accadere Tale concetto di probabilità deve essere coerente con gli assiomi di Kolmogoroff Nel seguito, si indicherà con la variabile aleatoria y l esito della singola esperienza della variabile aleatoria Variabili Aleatorie - Parte 1

Variabili aleatorie Definizione Da notare che è una funzione (variabile aleatoria) mentre i valori assunti da tale funzione y=(ω), valori calcolabili quando l esito dell esperimento sia noto, sono numeri reali Nel seguito: variabile aleatoria y singolo esito osservato della VA Variabili aleatorie - Definizione L opportunità di associare ad ogni esito di un processo stocastico un numero reale semplifica la rappresentazione degli eventi aleatori e la loro manipolazione matematica. È possibile, per esempio, introdurre una relazione d ordine nel codominio dello spazio degli eventi. In particolare data una variabile aleatoria (ω) è possibile, per ogni y 0, definire un evento (in genere non elementare) così fatto: { ω ( ) y } S A y = ω 0 0 Questo implica che è possibile definire la probabilità per ogni insieme del tipo: I ( y ) = { y } 0 y 0 Variabili Aleatorie - Parte 1 3

Funzioni di distribuzione di una VA scalare Si può facilmente dimostrare che per ogni variabile aleatoria la funzione (reale di una variabile reale) distribuzione di probabilità (CDF: Cumulative Distribution Function) F (y 0 )= P{ y 0 } è sufficiente per definire la probabilità di un qualunque evento pertinente alla variabile aleatorio. Funzioni distribuzione di una VA scalare Proprietà della distribuzione di probabilità 1. F (+ ) = 1, F (- ) = 0. F è una funzione non decrescente 3. Se F (y 0 )=0 allora F (y)=0 se y <y 0 4. P { >y 1 } = 1- F (y 1 ) 5. F è una funzione continua da destra: F (y + ) = F (y) 6. P {y 1 < y } = F (y )-F (y 1 ) Da notare che molte proprietà sono una diretta conseguenza degli assiomi di Kolmogoroff e derivati Variabili Aleatorie - Parte 1 4

Funzioni distribuzione di una VA scalare Esempio - Proprietà 1: F (+ ) = P{(ω) + } = P{ œ Ψ} = P{ωœ Ω}=11 Analogamente: F (- ) = P{ - } = P( œ Ø)= 0 Esempio - Proprietà 6: P {y 1 < y } = F (y )-F (y 1 ) { y 1 } e {y 1 < y } sono disgiunti. i D altra parte, { y }= { y 1 } { y 1 < y } da cui si deduce la proprietà. Nota la F (y) siamo in grado di ricavare la probabilità di qualunque evento Funzioni distribuzione di una VA scalare Esempio di calcolo di probabilità di un evento dalla funzione di distribuzione. Calcolo probabilità evento A F (d) F (c) A = A 1» A F (b) A 1 A = Ø F (a) P{y œ A} =P{y œ A 1 }+P{y œ A } =F (b)-f (a)+ F (d)-f (c) a A 1 b c A d y Variabili Aleatorie - Parte 1 5

Funzioni distribuzione di una VA scalare (Caso Discreto) Esempio: Lancio dei dadi 1,0 0,8 F è una funzione a gradini nel caso discreto F(x) 0,6 0,4 0, 0,0 0 1 3 4 5 6 7 x È comunque una funzione continua a destra F crescente Proprietà: 0 F( y) 1 F(y) = 0 per ogni y minore del più piccolo valore nello spazio di X Funzioni di densità di probabilità di una VA scalare In molte circostanze, per la caratterizzazione delle variabili aleatorie è molto più utile ricorrere alla derivata della funzione di distribuzione y d f ( y) = F ( y) ovvero F ( y) f ( u) du dy = La funzione f (y) prende il nome di funzione densità di probabilità (pdf) Proprietà della funzione densità di probabilità 1. f (y) 0 sempre. 3. + f ( ξ) dξ = 1 y ( ) ( ) ( ξ ) F y F y f dξ = 1 y1 Variabili Aleatorie - Parte 1 6

Funzioni densità di probabilità di una VA scalare Esempio di calcolo di probabilità di un evento dalla funzione densità di probabilità f (y) P P ( y A) = ( y A ) + P( y A ) 1 f ( y) dy + f ( y) dy = = A1 b f a A ( ) + d ( ) y dy f y c dy a b c d A 1 A y Funzioni densità di probabilità di una VA scalare Nei casi di maggiore interesse la variabile aleatoria è di tipo continuo, ovvero può assumere un qualunque valore lungo l intervallo in cui è definito In tal caso la funzione di distribuzione è una funzione di tipo continua e la probabilità che si verifichi un evento elementare è pari a zero: ω δ P( = ω ) = lim 0 ( F ( ω ) F ( ω δ ) ) = f ( y ) dy = 0 δ ω Variabili Aleatorie - Parte 1 7

Funzioni densità di probabilità di una VA scalare Nel caso di Variabile Aleatoria discreta, la definizione cambia: ( = y ) per y = y P i i f ( y) = P = = 0 per y yi ( y) f P 1 P Ovviamente: P 1 P 3 P n y 1 y y 3 y n n P i i= 1 = 1 Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione Media (o valore atteso) Il valore medio di una variabile aleatoria è dato da: μ = y f + μ = y f ( y ) ( y) dy discreta continua Tale valore prende anche il nome di VALORE ATTESO della variabile aleatoria ed è indicato con il simbolo μ =E() Variabili Aleatorie - Parte 1 8

Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione La media esiste solo se esiste finito la seguente quantità: y f + y f ( y ) ( y) dy discreta continua Se una distribuzione è simmetrica rispetto a y=c, (f(c+y)=f(c-y)) si vede che μ=c Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione Altre misure del trend centrale: 0.5 Mediana di una variabile aleatoria 0.4 Il valore m per cui: 0.3 Area = 0.5 1 0. F ( m) = 0.1 Moda di una variabile aleatoria Il valore c per cui la funzione densità di probabilità assume valore massimo: c : f max f (y) 0.0 0.5 Mediana Area = 0.5 05 0 4 6 8 y 0.4 f (y) max 0.3 Se la distribuzione è simmetrica, media e mediana coincidono. f (y) 0. 0.1 0.0 0 4 y 6 8 Moda Variabili Aleatorie - Parte 1 9

Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione Nel caso generale di distribuzioni non simmetriche media, mediana e moda non coincidono 0.5 Moda 0.4 Mediana Media 0.3 f (y) f 0. 0.1 0.0 0 4 y 6 8 Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione Una generalizzazione del concetto di mediana è il percentile ovvero il valore q α tale che: F ( q α ) = α Esempio: il 5mo percentile è il valore q 0.5 tale che: F ( ) = 0. 5 q α f (y) 0.5 5mo percentile 0.4 0.3 0. 0.1 0.0-4 - 0 4 y Variabili Aleatorie - Parte 1 10

Variabili aleatorie: Indici di posizione e dispersione Varianza È una misura della dispersione della distribuzione intorno al suo valore atteso. Per definizione: σ = σ = + ( y μ ) f ( y ) ( y μ ) f ( y) dy discreta continua se esiste. La varianza è sempre non negativa Altra grandezza usata per valutare la dispersione della distribuzione è la deviazione standard (ha la stessa unità di misura della media) σ = σ f(x) 0.4 0.3 0. Variabili aleatorie: Indici di dispersione - Varianza Qualitativamente: al diminuire della varianza, la pdf si restringe intorno al suo valore medio Diminuisce l incertezza nel processo aleatorio Area = 0.95 (1) 1. () f(x) 0.8 0.1 σ > σ 1 0.4 0.0 0.0-4 -3. - 0 x 1.5 4-4 - -1.1 x 0 0.4 4 L intervallo di valori in cui gli esiti del processo aleatorio ricadono più frequentemente è molto più ampio nel primo caso che nel secondo Variabili Aleatorie - Parte 1 11

Variabili aleatorie: Indici di dispersione Varianza Data la variabile aleatoria si può facilmente verificare che: σ = E = E = E = E [ ( ) ] μ ( μ + μ ) [ ] [ ] E[ μ ] [ ] + E μ [ ] μ E[ ] + μ = E[ ] μ Variabili aleatorie: Indici di dispersione Varianza Teorema di Chebichev: Data una Variabile Aleatoria di media μ e varianza σ x si ha: δ > 0 P ( μ δ ) Tale espressione permette qualche ulteriore manipolazione. Sfruttando infatti gli assiomi di Kolmogoroff: P P σ δ ( μ < δ ) = 1 P ( μ δ ) 1 ( μ < δ ) 1 δ σ σ δ P μ < λσ 1 1 λ ponendo δ=λσ ( ) Variabili Aleatorie - Parte 1 1

Variabili aleatorie: Indici di dispersione Varianza Il teorema di Chebichev permette di stabilire in maniera rigorosa che la probabilità che una VA aleatoria cada fuori dall intervallo [μ λσ ; μ λσ ] (essendo λ una costante arbitraria) è limitato dall inverso del quadrato di λ. Questo teorema vale qualunque sia la distribuzioni di Variabili aleatorie: Definizione momenti di una distribuzione Possiamo generalizzare media e varianza con i momenti: n mn = y f ( y) dy n n ( μ ) ( ) M = y f y dy momento n-esimo momento centrale n-esimo La media è quindi il momento primo della distribuzione, mentre la varianza è il momento centrale di ordine. Si può dimostrare che, nel caso di funzioni i densità di probabilità bili simmetriche, tutti i momenti centrali di ordine dispari sono nulli. N.B. E possibile valutare i momenti di una distribuzione solo se essi sono definiti. Variabili Aleatorie - Parte 1 13

Variabili aleatorie: Indici di asimmetria Indice di asimmetria (o skewness ) β = M 3 (da notare che β è un 3 numero puro ) σ Se β 0, la funzione di densità presenta una forma asimmetrica β > 0 Coda significativa a destra β < 0 Coda significativa a sinistra Variabili aleatorie: Indici di curtosi Indice di Curtosi γ = M 4 (ancora: γ è un numero 4 puro ) σ Mira a stabilire se le code della pdf sono significative (leptocurtiche: γ>3) oppure no (platicurtiche γ<3) Nel primo caso, la probabilità di osservare eventi anche lontani dal trend centrale non è trascurabile VA leptocurtica VA platicurtica Variabili Aleatorie - Parte 1 14