IL PENDOLO E LA MISURA DI g

IL PENDOLO E LA MISURA DI g 16 maggio 2016 1 Il pendolo semplice Il pendolo semplice consiste in una massa puntiforme m in un campo di gravità g vincolata a percorrere una traiettoria circolare di un determinato raggio l. Il vincolo tradizionalmente è realizzato mediante un filo inestensibile come indicato in figura 1. Moto di un pendolo semplice in assenza di forze dissipative. Per trovare l equazione del moto del pendolo semplice quando le forze dissipative possono essere trascurate, possiamo utilizzare la conservazione dell energia meccanica del sistema. Riferendoci alla figura 1, supponiamo che all istante iniziale la massa m si trovi nella posizione angolare θ = θ o e che abbia velocità nulla. La conservazione dell energia meccanica della massa m si scrive: 1 2 mv2 + mgh = mgh 0 (1) dove v è la velocità della massa m e h la sua quota come indicato nella figura 1. Usando l θ o h o m g Figura 1: Pendolo semplice la coordinata angolare θ per individuare la posizione della massa m e osservando che h è legata a θ dalla relazione h = l(1 cos θ) e che 1 cos θ = 2 sin 2 θ/2 la (1) si scrive: 1 2 l θ 2 = 2g(sin 2 θ o 2 sin2 θ 2 ) 1

Isolando θ 2 θ2 = 4 g l (sin2 θ o 2 sin2 θ 2 ) (2) Piccole oscillazioni. Se θ o è sufficientemente piccolo da potere confondere il seno dell angolo con l angolo 1, poiché è θ < θ o, la (2) si riduce a: θ 2 = g l (θ2 o θ 2 ) (3) Si osservi che differenziando la (3) rispetto al tempo si ottiene la nota equazione che descrive il moto armonico: θ = (g/l)θ, la cui soluzione è θ(t) = θ o sin( g/lt). La (3) permette di calcolare in modo relativamente semplice il periodo del moto armonico. Esprimendo la derivata dell angolo rispetto al tempo come rapporto di differenziali si ha: dt = l g dθ θ 2 o θ 2 (4) Integrando nel tempo la relazione precedente da t = 0 a t = T o /4, avendo indicato con T o il periodo delle piccole oscillazioni, potremo scrivere: To/4 dt = T o 4 = l θo dθ g 0 θ 2 o θ = l π 2 g 2 0 Da cui infine: l T o = 2π g (5) Grandi oscillazioni. Calcoliamo ora il periodo T delle oscillazioni quando l approssimazione delle piccole oscillazione non è valida. Prendiamo in considerazione la (2) e ripetiamo il procedimento che ha portato alla (4). Utilizzando la posizione (5), potremo scrivere: 2 θo dθ T = T o π 0 sin 2 θ o 2 θ (6) sin2 2 L integrale in questa relazione non è esprimibile in termini di funzioni elementari ed è classificato come un integrale ellittico di prima specie. Introducendo la variabile ψ definita come sin ψ = sin 2 θ/2 sin 2 θ o /2, l integrale (6) prende la sua forma canonica e ammette lo sviluppo in serie di sin 2 θ o /2: 2 π/2 T = T o π 0 dψ 1 sin 2 θ o 2 sin2 ψ 1 Lo sviluppo in serie di Laurent di sin 2 θ/2 è dato da θ 2 /4 + O(θ 4 ) ( = T o 1 + 1 θ 4 sin2 o 2 + 9 θ 64 sin4 o 2 + θ ) O(sin6 o 2 ) (7) 2

l ultima espressione è lo sviluppo in serie dell integrale arrestato al sesto ordine in sin θ o /2. La (7) mostra che le oscillazioni del pendolo non sono isocrone se non nel limite θ o 0 e in questo limite il periodo vale T o come definito nella (5). Nella tabella 1 sono riportati i fattori correttivi da applicare a T o in funzione dell ampiezza massima delle oscillazioni del pendolo. Tabella 1: Tabella dei fattori correttivi per oscillazioni non isocrone del pendolo θ o 4 6 8 10 12 T T o T o 3.0 10 4 6.9 10 4 1.2 10 3 1.9 10 3 2.7 10 3 θ o 14 16 18 20 22 T T o T o 3.7 10 3 4.9 10 3 6.2 10 3 7.7 10 3 7.7 10 3 Nella figura 1 è mostrato l andamento del rapporto tra periodo delle oscillazioni di ampiezza θ con il periodo delle oscillazioni isocrone. 3

2 Pendolo fisico o composto Il pendolo fisico o composto è un corpo esteso di massa m che può essere considerato come un corpo rigido vincolato a ruotare attorno ad un asse fisso. Il pendolo è un dispositivo che permette una misura molto accurata dell accelerazione locale di gravità. Per raggiungere questo scopo è necessario descrivere nel dettaglio la fisica del pendolo composto. La figura 2 mostra in modo schematico un pendolo composto dove G indica la posizione del centro di massa, O il punto in cui passa l asse di rotazione, l la distanza tra O e G e l angolo θ è quello tra il segmento OG e la verticale. Equazione del moto. La conservazione dell energia meccanica applicata al sistema costituito dal pendolo composto, si scrive: 1 2 I θ 2 = 2mgl(sin 2 θ o 2 sin2 θ 2 ) (8) dove I è il momento di inerzia del corpo calcolato rispetto all asse di rotazione 0. Si O l θ λ G m g Figura 2: Pendolo composto noti che il termine di energia potenziale ha la stessa espressione di quello per il pendolo semplice. Lunghezza ridotta o equivalente. Confrontando l equazione (8) con la (2), precedentemente trovata per il pendolo semplice, si osserva che definendo la quantità L eq = I ml (9) detta lunghezza ridotta o equivalente del pendolo e inserendola nella (8), le due equazioni sono formalmente identiche: θ 2 = 4 g L eq (sin 2 θ o 2 sin2 θ 2 ) (10) 4

È Ö Ó Ó ÐÐ Ô ÓÐ Ó Ð Þ ÓÒ Ùº ºµ Ne segue che tutti i risultati ottenuti dal modello matematico del pendolo semplice si applicano al pendolo composto. In particolare un pendolo composto di lunghezza ridotta L eq avrà un periodo di oscillazione pari a quello di un pendolo semplice di lunghezza reale L eq. Si noti inoltre il moto di un pendolo composto è identico per tutti gli assi di rotazione paralleli tra loro che hanno la stessa distanza dal centro di massa del pendolo 2. Questi assi di rotazione individuano una superficie cilindrica di raggio l e di centro G (si veda la figura 2). Esaminando la definizione di lunghezza ridotta (9) si vede che esiste un ulteriore superficie cilindrica, parallela e concentrica alla prima, ai cui assi compete lo stesso periodo di oscillazione di quella di raggio l. A questo scopo utilizziamo il teorema di Steiner per scrivere la (9) come L eq = I G + ml 2 ml (11) dove I G è il momento di inerzia del pendolo composto attorno al suo centro di massa. Che debbano esistere due valori della distanza dal centro di massa a cui compete lo stesso periodo di oscillazione è evidente anche dallo studio della dipendenza di T da l che con l uso della (11) si esprime come: T = 2π I G + ml 2 mgl Nella figura 3 è riportato l andamento qualitativo di questa funzione. Dalla figura 3 (12) 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Ø ÒÞ Ð ÒØÖÓ Ñ Ðг ÖÓØ Þ ÓÒ Ùº µ Figura 3: Andamento del periodo di oscillazione del pendolo composto in funzione della distanza del punto di sospensione dal centro di massa. 2 Il momento di inerzia del corpo attorno a questi assi è lo stesso per i teorema di Steiner. 5

si osserva che per ogni fissato l, a cui compete un periodo T, esiste un valore λ della distanza dal centro di massa con lo stesso periodo. Si può quindi scrivere: ovvero I G + mλ 2 mλ = I G + ml 2 ml I G (λ l) = mλl(λ l) (13) Questa equazione oltre alla soluzione banale λ = l, ammette la soluzione λ = I G ml che individua la superficie cilindrica cercata coniugata con quella di raggio l. La relazione (14) permette di ottenere la relazione seguente λ = I G ml = I G ml + l l = I G + ml 2 l = L eq l ovvero: λ + l = L eq (15) ml La relazione (15) è molto importante in quanto permette di esprimere come somma di due lunghezze λ e l la grandezza L eq nella cui definizione (9) compare il momento di inerzia, grandezza difficile da valutare. La valutazione di g si baserà quindi sulla ricerca di due assi di rotazione nel pendolo composto, con distanze differenti dal centro di massa (λ l), cui competa lo stesso periodo di piccole oscillazioni. Se i tre punti definiti dagli assi di rotazione e il centro di massa sono allineati, come succede se il pendolo composto è simmetrico, basterà misurare la distanza tra gli assi di rotazione e si otterrà L eq = λ+l; la misura del periodo T permetterà di ricavare g dalla relazione 3 Misura di g T = 2π L eq g = 2π λ + l g Il pendolo composto disponibile in laboratorio consiste in una sbarra metallica lungo la quale possono scorrere due coltelli attorno ai quali il pendolo può essere messo in oscillazione. La posizione dei coltelli può essere misurata da una scala graduata in millimetri (se presente, altrimenti con una fettuccia metrica per una prima valutazione e con un calibro di grande dimensione per una misura più accurata). La variazione della posizione dei coltelli provoca una variazione di momento di inerzia e quindi di periodo di oscillazione dell ordine di 10 4 e inizialmente potrà essere trascurata 3. la procedura da seguire per la misura di g è la seguente: 3 Il conto è stato fatto supponendo che la massa dei coltelli fosse di 0.1kg e che la massa del pendolo fosse di 7kg. (14) 6

1. si fissa un coltello (C 1 vedi la figura) in una posizione quanto più possibile lontana dal c.m. (dare una giustificazione). La posizione di questo coltello non varierà più. C 1 2. si misura il periodo di oscillazione T C1 (per questo primo risultato non è necessaria una grande accuratezza) 3. si gira il pendolo e si misura il periodo di oscillazione in funzione della posizione del coltello C 2. ottenendo un grafico come quello di figura 5 C 2 4. si misura con maggiore accuratezza la relazione tra il periodo e la posizione del coltello C 2 in modo da ottenere valori prossimi a T C1 che permettano una interpolazione lineare della posizione cercata (si cerchino posizioni in cui T C1 sia approssimato per eccesso e per difetto). 5. si posiziona il coltello C 2 nel punto che corrisponde al periodo T C1 6. si gira nuovamente il pendolo e si misura con maggiore accuratezza il periodo T C1 7. si calcola infine il valore della distanza tra i due coltelli da inserire nella relazione da cui si ottiene g. La simmetria costruttiva di questo pendolo composto implica che il suo centro di massa giaccia, con ottima approssimazione, sulla congiungente i due coltelli. 4 Sistematiche nella misura di g Gli effetti sistematici che sono presenti nelle misurazioni di dell accelerazione di gravità sono sia legati all osservazione, spesso trascurata, che g è una grandezza la cui definizione è data in modo ambiguo sia a sistematiche intrinseche del metodo di misurazione. Le principali cause che influenzano il valore di g sono (valutazione qualitativa) l accelerazione di gravità dipende dalla latitudine a causa della forza centrifuga provocata dalla rotazione terrestre la forma della terra, un geode irregolare e non una sfera, influenza localmente il valore di g la densità locale del suolo nei pressi della misurazione influenza il valore di g 7

a causa dell andamento 1/r 2 della forza gravitazionale, g dipende la quota in cui si effettua la misura Gli effetti elencati indicano che il valore di g dipende dalla località in cui si effettua la misura e quindi possono essere trascurati se si affina la definizione di g specificando che si intende il suo valore locale. Esistono tuttavia delle variabili di influenza responsabili di fluttuazioni locali del valore di g come l effetto dell attrazione gravitazionale dovuta ai corpi celesti in prossimità della terra (essenzialmente il Sole e la Luna entrambi responsabili delle maree terrestri). Si calcola che la variazione dovuta al Sole e alla Luna sia dell ordine di 3 10 7 ms 2 ed è spesso trascurabile. Agli effetti che influenzano il valore di g vanno aggiunti gli effetti sistematici dovuti al misurazione del moto del pendolo; tra questi le oscillazioni del pendolo sono isocrone solo nel limite di angolo di oscillazione nullo. Quindi, se è il caso, si deve utilizzare la (7) per la correzione. l asse di rotazione del pendolo non è perfettamente orizzontale. Si calcoli, come esercizio, la variazione di g generata da un asse di rotazione che formi un angolo φ non nullo con il piano orizzontale. effetto della spinta di archimede sul pendolo la rotazione del pendolo non avviene attorno ad un punto ma è un rotolamento della superficie cilindrica che approssima la lama di appoggio. 5 Misurazione del momento di inerzia del pendolo fisico Una misura del momento di inerzia di un pendolo fisico può essere ottenuta dallo studio dell andamento del periodo di oscillazione del pendolo in funzione della coordinata dell asse di oscillazione. E utile, per semplificare la notazione, fare uso del raggio di girazione del pendolo: r g = I/m. Il raggio di girazione, come si deduce dalla sua definizione, è il raggio di una superficie cilindrica in cui è concentrata tutta la massa del pendolo e quindi con lo stesso momento di inerzia del pendolo. Sia x un asse con origine arbitraria lungo il pendolo e sia x G la coordinata del centro di massa del pendolo. Con queste posizioni la (12) si scrive: T (x) = 2π I G + m(x g x G ) 2 gm(x x G ) (x g x G ) = 2π 2 + (x x G ) 2 g(x x G ) Sviluppando T (x) in serie di x attorno a x = x g e troncando al secondo ordine, si ha: 2(x g x G ) T (x) 2π (1 + (x x g) 2 ) g 4(x g x G ) 2 = T min (1 + (x x g) 2 ) 4(x g x G ) 2 (17) T min è il periodo minimo del pendolo che si ottiene quando il pendolo ha lunghezza equivalente pari al raggio di girazione. Le relazioni ottenute permettonono di ottenere (16) 8

C 1 C 2 0 x Scala millimetrata Figura 4: Coordinata del coltello C 1 T (s) 5.0 4.0 3.0 2.0 Zona del minimo 1.0 0.0 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 x (m) Figura 5: Misurazione di T vs x una procedura per stimare i parametri che compaiono nelle (16) e (17). Tralasciando la valutazione di g, che sarà stimata con la procedura del pendolo reversibile, vediamo come si possano stimare x g coordinata del raggio di girazione e x G coordinata del centro di massa del pendolo. Un primo studio da eseguire riguarda l andamento del periodo in funzione della posizione del coltello C 1 come mostrato nella figura 5, con lo scopo di individuare la zona dei valori di x in cui T ha il minimo. In questa zona si devono infittire le misurazioni per ottenere un grafico del tipo mostrato nella figura 6. In questo intervallo di x è valida l approssimazione del periodo T data dalla (17), e dai dati attraverso un fit quadratico T = a + bx + cx 2 si ottengono il valori di a, b e c. E facile verificare che: x g = b 2c Indicando con T min il periodo minimo misurato, che vale 2π 2(x g x g )/g, si ottiene: x G = x g + Tmin 4c 9

1.2764 1.2762 1.2760 T (s) 1.2758 1.2756 1.2754 1.2752 1.2750 1.2748 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160 x (m) Figura 6: Misurazione di T vs x Si deduce quindi che il raggio di girazione r g cercato è dato da: r g = x G x g = Tmin 4c Dalla misurazione della massa m del pendolo si ricava il momento di inerzia del pendolo come I = mr 2 g 10

6 Minimi quadrati per una curva del secondo ordine Si vuole adattare ai dati sperimentali x i, y i ± u i, i = 1,..., n una funzione del secondo ordine: y = a + bx + cx 2 con il metodo dei minimi quadrati. L espressione da minimizzare è: R = n w i (a + bx i + cx 2 i y i ) 2 i=1 dove w i = 1/u 2 i. Il sistema a cui si arriva facilmente è: a w i + b w i x i + c w i x 2 i = w i y i a w i x i + b w i x 2 i + c w i x 3 i = w i x i y i a w i x 2 i + b w i x 3 i + c w i x 4 i = w i x 2 i y i I valori dei coefficienti a, b e c si ottengono risolvendo questo sistema. Si dimostra inoltre che la matrice inversa dei coefficienti a, b e c: wi wi x i wi x 2 i wi x i wi x 2 i wi x 3 i wi x 2 i wi x 3 i wi x 4 i è la matrice di covarianza dei parametri stimati. Formalmente si può scrivere: wi wi x i wi x i wi x 2 i wi x 2 i wi x 3 i wi x 2 i wi x 3 i wi x 4 i 1 = Cov[a, a] Cov[a, b] Cov[a, c] Cov[b, a] Cov[b, b] Cov[b, c] Cov[c, a] Cov[c, b] Cov[c, c] Quindi gli elementi diagonali della matrice di covarianza sono la varianza dei parametri, tuttavia i termini non diagonali molto spesso non sono trascurabili; in altre parole i valori dei parametri sono fortemente correlati. L espressione esplicita di questa matrice è piuttosto involuta a causa dei molti termini che la compongono. 11