Appunti di Geometria Analitica

Appunti di Geometria Analitica

Indice 1 Spazio affine ed euclideo. 1 1.1 Spazio affine................................... 1 1. Spazio euclideo.................................. Geometria nel piano affine ed euclideo 3.1 Equazioni di una retta.............................. 3. Reciproca posizione di due rette........................ 4.3 Fascio di rette.................................. 5.4 Angoli e distanze nel piano euclideo...................... 6.5 Simmetrie..................................... 7.6 Coordinate omogenee nel piano......................... 8.7 La circonferenza................................. 9.8 Esercizi non svolti................................ 11 3 Trasformazioni nel piano euclideo. 1 3.1 Traslazioni.................................... 1 3. Rotazioni..................................... 13 3.3 Rototraslazioni.................................. 14 3.4 Esercizi non svolti................................ 16 4 Curve algebriche piane e punti multipli. 17 4.1 Intersezione di due curve............................. 17 4. Molteplicitá di un punto............................. 17 5 Le coniche. 0 5.1 Definizione.................................... 0 5. Polaritá rispetto ad una conica......................... 1 5.3 Classificazione di una conica........................... 1 5.4 Fascio di coniche................................. 5.5 Diametri e centro di una conica......................... 3 5.6 Classificazione delle coniche proiettive..................... 5 i

INDICE ii 5.7 Classificazione delle coniche euclidee...................... 5 5.8 Esercizi non svolti................................ 39 6 Rette e piani nello spazio affine ed euclideo. 4 6.1 Equazioni di un piano.............................. 4 6. Reciproca posizione di due piani........................ 43 6.3 Fascio di piani.................................. 44 6.4 Stella di piani................................... 44 6.5 Equazioni di una retta.............................. 45 6.6 Rette complanari................................. 46 6.7 Reciproca posizione tra una retta ed un piano................. 47 6.8 Calcolo dei parametri direttori di una retta.................. 48 6.9 Coordinate omogenee nello spazio........................ 53 6.10 Angoli nello spazio euclideo........................... 54 6.11 Distanze nello spazio euclideo.......................... 56 6.1 Elementi complessi nello spazio......................... 64 6.13 Esercizi non svolti................................ 68 7 Le quadriche. 70 7.1 Definizione.................................... 70 7. Quadriche generali................................ 71 7.3 Quadriche specializzate............................. 74 7.4 Quadriche riducibili............................... 77 7.5 Esercizi non svolti................................ 78 8 La sfera. 80 8.1 Definizione.................................... 80 8. Sezioni piane................................... 81 8.3 Fascio di sfere................................... 81 8.4 Esercizi non svolti................................ 84 9 Cenni sulle superfici di rotazione. 85 9.1 Definizione e calcolo............................... 85 9. Esercizi svolti................................... 85 10 Figure e disegni relativi ai capitoli precedenti. 88

Capitolo 1 Spazio affine ed euclideo. 1.1 Spazio affine. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, A un insieme non vuoto e f : A A V una applicazione che gode delle seguenti proprietá: i) per ogni P A e v V esiste Q A tale che f(p, Q) = v; ii) per ogni P 1, P, P 3 A vale la seguente uguaglianza f(p 1, P 3 ) = f(p 1, P ) + f(p, P 3 ). La struttura (A, f) prende il nome di spazio affine associato allo spazio vettoriale V. In uno spazio affine valgono le seguenti proprietá: 1) f(a, A) = 0; ) f(a, B) = 0 se e solo se A = B; 3) f(a, B) = f(b, A). Si definisce dimensione di uno spazio affine A il numero intero n che indica la dimensione dello spazio vettoriale V a cui A é associato. Sia B = e 1, e,.., e n } una base di V e fissiamo un punto O A. Diciamo sistema di riferimento di A, il sistema (O, e 1,.., e n ) in modo tale che le coordinate di un qualsiasi punto P A siano le componenti rispetto alla base B del vettore f(o, P ) cioé se OP = x 1 e 1 +... + x n e n allora le coordinate di P sono (x 1,.., x n ). In particolare se P = (x 1,.., x n ) e Q = (y 1,.., y n ) sono punti di A, allora vale la seguente: P Q = P O + OQ = (y 1 x 1,..., y n x n ). Scegliamo V = R, allora ogni vettore di V é individuato da una coppia di componenti rispetto alla base B = e 1, e }. Lo spazio affine associato a V = R, in cui ogni punto é 1

CAPITOLO 1. SPAZIO AFFINE ED EUCLIDEO. individuato da una coppia di coordinate, P = (x 1, x ) tali che OP = x 1 e 1 + x e, é detto piano affine. Sia ora V = R 3, allora ogni vettore di V é individuato da una terna di componenti rispetto alla base B = e 1, e, e 3 }. Nello spazio affine associato a V = R 3 ogni punto é individuato da una terna di coordinate, P = (x 1, x, x 3 ) tali che OP = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3. 1. Spazio euclideo. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia E uno spazio affine associato a V. Nel caso V sia uno spazio vettoriale euclideo, cioé dotato di un prodotto interno, allora E prende il nome di spazio euclideo associato a V. La struttura di E é identica a quella dello spazio affine A, eccetto che per la presenza del prodotto interno in V, la quale permette di introdurre i concetti di angolo, distanze ed ortogonalitá. Da ció deriva la possibilitá di scegliere in E un riferimento (O, e 1,.., e n ) che sia formato da vettori ortonormali, cioé e 1,.., e n } é una base ortonormale di V. Tale base é quella rispetto alla quale il prodotto interno in V puó essere espresso come prodotto scalare standard. In altre parole, se v = (x 1,.., x n ) e w = (y 1,., y n ) sono vettori in V : Siano ora P, Q E tali che < v, w >= x 1 y 1 + x y +... + x n y n. OP = x 1 e 1 +.. + x n e n OQ = y 1 e 1 +... + y n e n. La distanza tra i punti P e Q é pari al modulo del vettore P Q, quindi δ(p, Q) = (y 1 x 1 ) +... + (y n x n ). Consideriamo infine due vettori v, w V di componenti v = (x 1,..., x n ) w = (y 1,..., y n ). Dalla definizione di prodotto scalare si ha che < v, w >= v w cos(ϕ) = x 1 y 1 +... + x n y n dove ϕ é l angolo compreso tra i due vettori. Quindi ne deriva che x 1 y 1 +... + x n y n cos(ϕ) =. x 1 +... + x n y1 +... + yn Scegliamo V = R, allora ogni vettore di V é individuato da una coppia di componenti rispetto alla base ortonormale B = e 1, e }. Lo spazio euclideo associato a V = R, in cui ogni punto é individuato da una coppia di coordinate, P = (x 1, x ) tali che OP = x 1 e 1 + x e, é detto piano euclideo.

Capitolo Geometria nel piano affine ed euclideo Siano V = R e A lo spazio affine associato a V. Indichiamo con i, j} una base di V e con (O, i, j) un riferimento in A. Ogni punto P A é individuato dalle coordinate (x, y) rispetto al riferimento dato, tali che OP = xi + yj. Diremo assi coordinati quelle rette passanti per O, concordi e parallele ai vettori i, j..1 Equazioni di una retta. Ogni retta del piano puó essere individuata da un suo punto P 0 = (x 0, y 0 ) e da un vettore v = (l, m) ad essa parallelo. Quindi ogni punto P = (x, y) della retta é tale che il vettore OP dipenda da OP 0 e v cioé OP = OP 0 + tv. Al variare del parametro t si ottengono tutti i punti della retta: x = x0 + tl y = y 0 + tm che sono dette equazioni parametriche della retta. Gli elementi della coppia (l, m) sono detti parametri direttori della retta. In particolare se si conoscono due punti della retta P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ), il vettore P 1 P é parallelo alla retta e quindi (l, m) = (x x 1, y y 1 ) e l equazione si puó ottenere nel modo seguente: x = x1 + t(x x 1 ) y = y 1 + t(y y 1 ) da cui t = x x 1 x x 1 = y y 1 y y 1 t = x x 1 l = y y 1 m 3

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 4 che é detta equazione a catena di una retta. Da tali espressioni, eliminando il parametro t, otteniamo che possiamo riscrivere mx mx 0 ly + ly 0 = 0 ax + by + c = 0 che é l equazione lineare (implicita) che rappresenta la retta in coordinate affini. Diremo che due rette sono parallele se esse hanno i parametri direttori proporzionali (in particolare identici). Si noti che quando la retta é espressa in forma implicita, i suoi parametri direttori sono dati dalla coppia (l, m) = (b, a). Dalla forma implicita ax + by + c = 0 di una retta, ricaviamo la forma detta esplicita: y = mx + q, per m = a e q = c. b b Abbiamo visto come l equazione della retta passante per i due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) si scriva x x 1 = y y 1 x x 1 y y 1 che equivale alla (x x 1 )(y y 1 ) (y y 1 )(x x 1 ) = 0 cioé x x 1 y y 1 x x 1 y y 1 = 0. Quest ultima si puó riscrivere anche nel modo seguente: x y 1 x 1 y 1 1 = 0. x y 1 Diremo allora che il punto P 3 = (x 3, y 3 ) é allineato con i punti P 1 e P se x 3 y 3 1 x 1 y 1 1 x y 1 = 0.. Reciproca posizione di due rette. Siano r : ax + by + c = 0 e r : a x + b y + c = 0 due rette. I punti in comune alle due rette sono le soluzioni del sistema lineare ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 5 nelle incognite x, y. Le matrici associate al sistema sono A = [ a b a b ], C = [ a b c a b c Se rango(a) = rango(c) = 1, allora le due rette sono coincidenti poiché ax + by + c = α(a x + b y + c ), per un opportuno α R. Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette una sola soluzione cioé le due rette sono incidenti. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile e le due rette non hanno punti in comune, cioé sono parallele. Ció si verifica quando a a = b b c c. Allora possiamo dire che le due rette sono parallele quando a b = a b. Il rapporto a b é detto coefficiente direttore (o angolare) della retta, quindi due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente direttore. ]..3 Fascio di rette. Siano r : ax + by + c = 0 e r : a x + b y + c = 0 due rette distinte. La totalitá delle rette di equazione λ(ax + by + c) + ϱ(a x + b y + c ) = 0 al variare dei parametri reali λ e ϱ, é detta fascio di rette. Si possono verificare due casi: r e r sono incidenti in un punto, ed allora tutte le rette del fascio hanno in comune quel punto, si parla di fascio proprio. Oppure r e r sono tra loro parallele, ed allora tutte le rette del fascio sono tra loro parallele, si parla di fascio improprio. Supponiamo allora di avere una terza retta r : a x + b y + c = 0 ed analizziamo in quale casi essa appartiene al fascio individuato da r e r. In pratica si deve studiare il sistema ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 nelle incognite x, y. Le matrici associate al sistema sono A = a b a b a b, C = a b c a b c a b c.

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 6 Se rango(a) = rango(c) =, allora il sistema ammette una sola soluzione, cioé le tre rette hanno un punto in comune: esse appartengono ad un fascio proprio. Se rango(a) = 1 e rango(c) =, allora il sistema é incompatibile ed le tre rette sono parallele: esse appartengono ad un fascio improprio. Possiamo concludere allora che la condizione necessaria e sufficiente affinché le tre rette appartengano allo stesso fascio (proprio o improprio che sia) é che la matrice abbia rango. a b c a b c a b c.4 Angoli e distanze nel piano euclideo. Fissiamo nello spazio euclideo un riferimento cartesiano ortogonale OXY di centro O e versori i, j, rispettivamente per gli assi X, Y. Chiameremo coseni direttori di una retta r, i coseni degli angoli che la retta forma con gli assi coordinati. Se la retta é individuata dai parametri direttori (l, m), i suoi coseni direttori saranno: l α = cos(r, X) + l + m, l l + m } m β = cos(r, Y ) + l + m, m l + m } Consideriamo ora due rette ed individuiamole tramite i rispettivi parametri direttori: r = (l, m) e r = (l, m ). Indichiamo con v e v due vettori paralleli rispettivamente a r e r, uno di componenti (l, m) e l altro (l, m ). L angolo tra le due rette é lo stesso formato dai due vettori: cos(r, r ) = cos(v, v ll + mm ) + l + m l + m, ll + mm l + m l }. + m Quindi le due rette sono ortogonali se ll + mm = 0. Siano P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) due punti del piano. La distanza tra i punti P 1 e P é il modulo del vettore P 1 P : δ(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ). Consideriamo ora il punto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e la retta r : ax+by +c = 0. La distanza di P 1 da r é pari alla lunghezza del segmento P 1 Q 1, dove Q 1 é il punto proiezione ortogonale di P 1 su r: δ(p 1, r) = ax 1 + by 1 + c a + b

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 7.5 Simmetrie. Due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) sono simmetrici rispetto al punto Q = (a, b), se Q é il punto medio del segmento P 1 P, cioé se a = x 1 + x, b = y 1 + y. Quindi, dato un punto P 1 = (x 1, x ), per determinare le coordinate (x, y ) del suo simmetrico P rispetto al punto Q = (a, b), é sufficiente calcolare x = a x 1, y = b y 1. Consideriamo ora il punto P 1 = (x 1, y 1 ) e la retta r : y = mx + q. Consideriamo una qualsiasi retta del fascio di centro P 1 : y y 1 = k(x x 1 ) al variare del parametro reale k otteniamo tutte le rette passanti per P 1. Fissiamo una retta r di tale fascio e sia Q = r r. Il punto P, simmetrico di P 1 rispetto a Q, é detto il simmetrico di P 1 rispetto alla retta r, lungo la direzione individuata dalla retta r. Quindi uno stesso punto puó avere infiniti simmetrici rispetto ed una retta che non lo contenga. Esempio.5.1 Siano P = (1, 1) e r : x y = 4. Determiniamo il simmetrico di P rispetto a r lungo la direzione di coefficiente k = 3. Svolg. La retta r del fascio di centro P e coefficiente angolare 3 é r : y 1 = 3(x 1) y 3x + = 0. Il punto Q = r r é dato dalle soluzioni del sistema y 3x + = 0 x y 4 = 0 dal quale otteniamo Q = ( 1, 5). Il simmetrico di P rispetto a Q é P = (x, y) x = 1 = 3 y = 10 1 = 11 P = ( 3, 11). Concludiamo con la definizione di asse di un segmento AB: esso é la retta perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio:

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 8 Esempio.5. Siano A = (1, 1) e B = (, 3). Calcoliamo l asse del segmento AB. Svolg. Il vettore AB ha componenti ( 1, 4), quindi una retta ad esso ortogonale ha come parametri direttori, la coppia (b, a) = ( 4, 1). Il punto medio di AB é Q = ( 3, 1). Quindi l asse del segmento AB ha equazione: y 1 = 1 4 (x 3 ) cioé x + 8y + 11 = 0..6 Coordinate omogenee nel piano. Sia P = (x, y) un punto del piano. Diremo che (x 1, x, x 3 ) sono le coordinate omogenee di P se x 1 x 3 = x e x x 3 = y. Nel caso x 3 0 le precedenti scritture hanno evidentemente un senso, e diremo che il putno é proprio. Ogni punto proprio (x, y) puó banalmente essere individuato da una terna di coordinate omogenee (x, y, 1). Inoltre due terne tra loro proporzionali individuano lo stesso punto nel piano. Nel caso il punto P sia individuato dalla terna (x, y, 0) esso verrá detto improprio. L insieme dei punti impropri del piano forma una retta detta retta impropria, la cui equazione é x 3 = 0. Consideriamo ora la retta r : ax + by + c = 0, nel passaggio alle coordinate omogenee, la sua equazione diventa a x 1 + b x + c = 0 x 3 x 3 cioé ax 1 + bx + cx 3 = 0. Tale retta avrá uno ed un solo punto di intersezione con la retta impropria, e sará detto il punto improprio di r. É noto che tutti e soli i punti di r sono quelli le cui coordinate soddisfino l equazione ax 1 +bx +cx 3 = 0. Tra questi punti c é anche il punto improprio di coordinate omogenee (b, a, 0). Ma similmente ogni punto improprio del tipo (αb, αa, 0) soddisfa la precedente equazione, quindi un punto improprio é unico a meno di un fattore di proporzionalitá. In altre parole, due qualsiasi terne (x, y, 0) e (z, t, 0) tra loro proporzionali, individuano il medesimo punto improprio. In particolare il punto improprio (b, a, 0) della retta r si puó riscrivere come (1, a b, 0) (dividendo la terna per b). La seconda coordinata non é altro che il coefficiente angolare

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 9 delle retta. Concludiamo allora che rette parallele hanno lo stesso punto improprio (poiché hanno lo stesso coefficiente angolare)..7 La circonferenza. Sia C = (α, β) un punto del piano e sia r un numero reale positivo. Diciamo circonferenza di centro C e raggio r, il luogo dei punti del piano la cui distanza da C é pari a r. Sia P = (x, y) un punto qualsiasi della circonferenza: δ(p, C) = (x α) + (y β) = r da cui otteniamo (quadrando e riordinando): (x α) + (y β) = r x + y + ax + by + c = 0. In questúltima equazione compaiono i coefficienti legati alle coordinate del centro e alla lunghezza del raggio r: α = a, β = b, r = 1 a + b 4c Esempio.7.1 Determinare la circonferenza di centro C = (1, 1) e raggio r = 3. Svolg. Applicando la definizione, l equazione é (x 1) + (y 1) = 9 x + y x y 7 = 0 Esempio.7. Determinare centro e raggio della circonferenza x +y 4x y + = 0. Svolg. Il centro C ha coordinate α = 4, β = 3, da cui C = (, 1). Il raggio é r = 1 16 + 4 8 = 1 1 = 3. Osservazione. La circonferenza é l unica curva di secondo grado nel piano che contenga i due seguenti punti impropri: (1, i, 0) e (1, i, 0) detti punti ciclici. Circonferenza per tre punti. Consideriamo tre punti P 1 = (x 1, y 1 ), P = (x, y ) e P 3 = (x 3, y 3 ) non allineati cioé x 1 y 1 1 x y 1 0. x 3 y 3 1

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 10 Per ottenere la circonferenza passante per i tre punti dobbiamo sostituire le coordinate dei punti alla generica equazione di una circonferenza. In tale caso la circonferenza contenente i tre punti é unica. Infatti il sistema lineare che dobbiamo risolvere nelle incognite (a, b, c) ha rango 3. x 1 + y 1 + ax 1 + by 1 + c = 0 x + y + ax + by + c = 0 x 3 + y 3 + ax 3 + by 3 + c = 0 Esempio.7.3 Determinare la circonferenza contenente i punti (1, ), (1, 8), (5, 0). Svolg. Il sistema lineare da risolvere é 1 + 4 + a + b + c = 0 1 + 64 + a + 8b + c = 0 5 + 5a + c = 0 a + b + c = 5 a + 8b + c = 65 5a + c = 5 le cui soluzioni sono a = 10, b = 10, c = 5 e l equazione della circonferenza é x + y 10x 10y + 5 = 0. Esiste un altro metodo per determinare l unica circonferenza passante per i tre punti e si basa sul fatto che l asse di un segmento che ha per estremi due punti di un circonferenza, certamente contiene il centro della circonferenza. Lo esponiamo riproponendo l esempio precedente: Esempio.7.4 Determinare la circonferenza contenente i punti A = (1, ), B = (1, 8), C = (5, 0). Svolg. Consideriamo l asse del segmento AB, che ha equazione y 5 = 0 e passa per il centro della circonferenza. Calcoliamo ora l asse del segmento AC, esso é y x + 5 = 0. Quindi il centro della circonferenza é il punto comune a tali due rette: y 5 = 0 y x + 5 = 0 la cui soluzione é O = (5, 5).

CAPITOLO. GEOMETRIA NEL PIANO AFFINE ED EUCLIDEO 11 Il raggio della circonferenza é pari alla distanza del centro da uno qualsiasi dei tre punti noti, per esempio: r = δ(oc) = 5 = 5 per cui l equazione della circonferenza é (x 5) + (y 5) = 5 x + y 10x 10y + 5 = 0..8 Esercizi non svolti. Esercizio.8.1 Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (4, 3) rispetto al punto Q(1, 1). Esercizio.8. Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (1, 1) rispetto alla retta r : x y + 4 = 0 lungo la direzione ortogonale a r. Esercizio.8.3 Nel piano euclideo determinare il punto simmetrico di P (1, 3) rispetto alla retta r : x y + 1 = 0 lungo la direzione (, 1, 0) (cioé lungo la retta di parametri direttori (, 1) e passante per P ). Esercizio.8.4 Siano A(, 1) e B(3, ) punti del piano euclideo. Determinare l asse del segmento AB. Esercizio.8.5 Determinare la circonferenza passante per i punti (0, ), (1, 1), (, 1). Esercizio.8.6 Determinare il centro ed il raggio della circonferenza x + y 3x + y 1 = 0. Esercizio.8.7 Siano r : x y + 3 = 0 e s : x = t, y = t + due rette nel piano. Determinare i coseni direttori di entrambe le rette ed inoltre il coseno dell angolo tra di esse compreso. Esercizio.8.8 Siano r : x = 3t 1, y = t + 5 l equazione in forma parametrica di una retta nel piano e P (1, 1) un punto esterno ad essa. Determinare: a) L equazione in forma implicita (equazione affine) della retta. b) La distanza tra il punto P e la retta r. c) La retta passante per P ed ortogonale a r. d) La retta passante per P e parallela a r.

Capitolo 3 Trasformazioni nel piano euclideo. 3.1 Traslazioni. In un riferimento cartesiano OXY del piano euclideo, siano (x, y) le coordinate del punto P. Supponiamo di considerare un secondo riferimento O X Y in cui gli assi X, Y siano paralleli rispettivamente a X e Y ed il punto O abbia coordinate (a, b) rispetto a OXY. Denotiamo (x, y ) le coordinate di P rispetto al riferimento O X Y. La relazione che intercorre tra le due coppie di coordinate di P é la seguente: x = x a y = y b e le formule inverse sono x = x + a y = y + b. Esercizio 3.1.1 Sia P ( 1, 3) nel sistema di riferimento cartesiano OXY, O (1, ) e X, Y assi paralleli rispettivamente a X e Y e passanti per O. Sia inoltre r : 3x + y 1 = 0 rispetto a OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto al riferimento O X Y. Svolg. Le equazioni di traslazione sono x = x a y = y b dove (a, b) sono le coordinate del nuovo centro del riferimento, ed applicandole nel nostro caso otteniamo le coordinate di P x = 1 1 = y = 3 = 1. 1

CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 13 Le formule inverse sono da cui otteniamo l equazione della retta x = x + a y = y + b r : 3(x + 1) + (y + ) 1 = 0 3x + y + 4 = 0. 3. Rotazioni. Siano (x, y) le coordinate del punto P nel riferimento OXY. Consideriamo ora una secondo riferimento OX Y in cui gli assi X e Y siano ruotati in senso antiorario di un angolo φ rispetto agli assi X e Y. Per determinare le coordinate (x, y ) di P nel secondo riferimento, ricordiamo che esse sono le componenti del vettore OP. Esprimiamo tali componenti rispetto alle due coppie di versori, i, j in OXY, i, j in OX Y : OP = x i + y j OP = xi + yj. Quindi possiamo richiamare quanto detto in relazione al cambiamento di base in uno spazio vettoriale: [ ] [ ] x x = A y y dove A é la matrice di cambiamento di base. Nel nostro caso abbiamo che [ ] cos(φ) sen(φ) A = sen(φ) cos(φ) cioé e le formule inverse sono [ ] [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) x = y sen(φ) cos(φ) y [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) [ x y ] da cui x = xcos(φ) + ysen(φ) y = xsen(φ) + ycos(φ). Si noti che le due matrici usate per il cambiamento di base sono l una la trasposta dell altra, ma anche l una l inversa dell altra, infatti sono entrambe matrici ortogonali.

CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 14 Esercizio 3..1 Siano P (1, 1) in OXY e X, Y assi passanti per O e ruotati di π in 4 senso antiorario rispetto a X, Y. Sia inoltre r : x + 3y = 0 rispetto al riferimento OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto a OX Y. Svolg. Le equazioni di rotazione sono [ ] [ x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) ] [ x y ] da cui x = xcos(φ) + ysen(φ) y = xsen(φ) + ycos(φ). Le formule inverse sono [ x y ] [ ] [ cos(φ) sen(φ) x = sen(φ) cos(φ) y ] da cui x = x cos(φ) y sen(φ) y = x sen(φ) + y cos(φ). Nel nostro caso le coordinate di P sono x = (x + y) = (1 1) = 0 y = ( x + y) = ( 1 1) = e l equazione della retta é r : (x y ) + 3 (x + y ) = 0 r : 5 x + y 4 = 0. 3.3 Rototraslazioni. Siano (x, y) le coordinate di P in OXY e consideriamo un riferimento O X Y in cui O abbia coordinate (a, b) rispetto a OXY e tale che gli assi X e Y siano ruotati in senso antiorario di un angolo φ rispetto a X e Y. Determiniamo le coordinate (x, y ) di P nel secondo riferimento. Effettuiamo prima una traslazione OXY O X Y

CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 15 x = x a y = y b. Successivamente operiamo con una rotazione O X Y O X Y [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) [ x a y b ed inversamente abbiamo che: [ ] [ ] [ ] x a cos(φ) sen(φ) x = y b sen(φ) cos(φ) y ] cioé [ x y ] [ cos(φ) sen(φ) = sen(φ) cos(φ) ] [ x y ] + [ a b ]. Esercizio 3.3.1 Siano P (3, 1) e O (1, ) in OXY e X, Y assi passanti per O e ruotati di π in senso antiorario rispetto a X, Y. Sia inoltre r : x + y 3 = 0 rispetto al 4 riferimento OXY. Determiniamo le coordinate di P e l equazione di r rispetto a O X Y. Svolg. Le equazioni di rototraslazione sono [ ] [ x cos(φ) sen(φ) y = sen(φ) cos(φ) ] [ x a y b ] da cui x = (x a)cos(φ) + (y b)sen(φ) y = (x a)sen(φ) + (y b)cos(φ). Le formule inverse sono [ ] [ ] [ ] x cos(φ) sen(φ) x = y sen(φ) cos(φ) y + da cui Nel nostro caso le coordinate di P sono x = x cos(φ) y sen(φ) + a y = x sen(φ) + y cos(φ) + b. [ a b x = (x a + y b) = ( 3) = y = ( x + a + y b) = ( 3) = 5 ]

CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONI NEL PIANO EUCLIDEO. 16 e l equazione della retta é r : ( (x y ) + 1) + ( (x + y ) + ) 3 = 0 r : 3 x y + = 0. 3.4 Esercizi non svolti. Esercizio 3.4.1 Siano OXY un sistema di riferimento ortogonale nel piano euclideo, P un punto di coordinate ( 1, 3) rispetto a OXY e r una retta di equazione x 3y + 1 = 0 in OXY. Determinare le coordinate di P e l equazione di r in un secondo sistema di riferimento O X Y nei seguenti casi: a) O ha coordinate (1, ) rispetto a OXY e gli assi X, Y sono paralleli agli assi X, Y (traslazione). b) O = O e gli assi X, Y sono ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto 3 a X, Y (rotazione). c) O ha coordinate (1, 1) rispetto a OXY e gli assi X, Y sono ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto a X, Y (rototraslazione). 6 Esercizio 3.4. Siano OXY un sistema di riferimento ortogonale nel piano euclideo e γ : x + y 3x + y 1 = 0 una circonferenza la cui equazione é espressa rispetto a OXY. Determinare l equazione di γ in un secondo sistema di riferimento O X Y nel caso i cui O abbia coordinate (, 1) rispetto a OXY e gli assi X, Y siano ruotati di un angolo α = π in senso antiorario rispetto a X, Y. 4

Capitolo 4 Curve algebriche piane e punti multipli. 4.1 Intersezione di due curve. Due polinomi f(x, y) e g(x, y) nelle variabili x, y a coefficienti reali, sono detti proporzionali se esiste a R tale che f(x, y) = ag(x, y). Tale proporzionalitá é una relazione di equivalenza. Una curva algebrica γ é una classe di equivalenza di polinomi cioé se f(x, y) é un polinomio rapresentante della classe, allora l equazione f(x, y) = 0 é rappresentativa della curva γ. Il grado di una curva é il grado del polinomio che la rappresenta. Teorema 4.1.1 Siano γ : f(x, y) = 0 e δ : g(x, y) = 0 due curve algebriche rispettivamente di gradi n e m. Allora esse hanno n m punti in comune eccetto il caso in cui hanno infiniti punti in comune. Come caso particolare consideriamo quello in cui γ : f(x, y) = 0 sia una curva di grado n e δ : g(x, y) = 0 sia una curva di grado 1, cioé una retta. Allora γ e δ hanno n punti in comune eccetto quando δ sia una componente di γ cioé f(x, y) = g(x, y) h(x, y), dove h(x, y) é un polinomio di grado n 1. Per esempio γ : x 3 3xy = 0 e δ : y 1 = 0 hanno in comune i seguenti 3 punti : (0, 1), ( 3, 1), ( 3, 1). Al contrario γ : x 3 + x y xy + x y + y = 0 e δ : x + y = 0 hanno in comune infiniti punti, cioé tutti quelli di δ, quindi la retta δ é una componente di γ, infatti x 3 + x y xy + x y + y = (x + y) (x y + 1). 4. Molteplicitá di un punto. Sia γ : f(x, y) = 0 una curva algebrica di grado n e sia P 0 (x 0, y 0 ) un punto di γ. 17

CAPITOLO 4. CURVE ALGEBRICHE PIANE E PUNTI MULTIPLI. 18 Consideriamo una generica retta r : y y 0 = m(x x 0 ) passante per P 0. La retta r e la curva γ hanno in comune n punti, non necessariamente tutti distinti, almeno uno dei quali é proprio P 0. Diciamo che r e γ hanno molteplicitá di intersezione M nel punto P 0 se (x 0, y 0 ) é una soluzione di molteplicitá M per il sistema f(x, y) = 0 y y 0 = m(x x 0 ). Esempio 4..1 Sia γ : x 3 y = 0 e siano P 0 = (0, 0) e r : x y = 0. Determiniamo la molteplicitá di intersezione tra γ e r nel punto P 0. Il sistema x 3 y = 0 x y = 0 ha le tre soluzioni (1, 1) con molteplicitá 1, (0, 0) con molteplicitá. Quindi nel punto P 0 le due curve hanno molteplicitá di intersezione M = (e nel punto (1, 1) hanno molteplicitá di intersezione 1). Consideriamo ora una generica retta r i del fascio di centro P 0. Ciascuna delle rette r i ha una molteplicitá di intersezione M i con γ in P 0. Diremo molteplicitá di P 0 per la curva γ, il minimo di tali M i. Il punto P 0 é detto semplice se minm i } = 1, é detto punto multiplo se minm i }, in particolare é detto doppio se minm i } =, triplo se minm i } = 3, quadruplo se minm i } = 4, etc. etc. Esercizio 4..1 Sia γ : x 3 x + y = 0 una cubica in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx. Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. x 3 x + y = 0 y = mx x 3 x + m x = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é doppia, quindi P é un punto doppio per γ. Esercizio 4.. Sia γ : (x +y ) +3x y y 3 = 0 una quartica in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx.

CAPITOLO 4. CURVE ALGEBRICHE PIANE E PUNTI MULTIPLI. 19 Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. (x + y ) + 3x y y 3 = 0 y = mx (x + m x ) + 3mx 3 m 3 x 3 = 0 y = mx x 3 (x + m 4 x + m x + 3m m 3 ) = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é tripla, quindi P é un punto triplo per γ. Esercizio 4..3 Sia la curva di sesto grado γ : (x + y ) 3 4x y = 0 in OXY. Determiniamo la molteplicitá di P (0, 0) γ. Svolg. Sia r la generica retta passante per P : y = mx. Per ottenere la molteplicitá di P dobbiamo intersecare r con γ. (x + y ) 3 4x y = 0 y = mx (x + m x ) 3 4m x 4 = 0 y = mx x 4 (x + m 6 x + 3m x + 3m 4 x 4m ) = 0 y = mx in cui la soluzione (0, 0) é quadrupla, quindi P é un punto quadruplo per γ.

Capitolo 5 Le coniche. 5.1 Definizione. Una curva algebrica γ : f(x, y) = 0 di secondo grado é detta conica, quindi si puó rappresentare tramite l equazione: f(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 dove a, b, c, d, e, f R. In coordinate omogenee la curva é rappresentata da un polinomio omogeneo e l equazione diventa: f(x 1, x, x 3 ) = a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 33 x 3 = 0 dove a ij R, per ogni i e j. Si noti che anche il prodotto di due polinomi di primo grado determina un polinomio rappresentante di una conica. In tale caso la conica é l unione delle due rette rappresentate dai due polinomi di primo grado. Consideriamo ora la matrice simmetrica di ordine 3, formata con i coefficienti dell equazione della conica in coordinate omogenee: ed indichiamo X = x 1 x x 3 A = conica puó essere riscritta in forma compatta: a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 il vettore delle coordinate omogenee, allora l equazione della f(x 1, x, x 3 ) = X T A X = 0 ed il polinomio f(x 1, x, x 3 ) é una forma quadratica in R 3, di matrice associata A. 0

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 1 Esempio 5.1.1 L equazione x + y xy + x 1 = 0 rappresenta una conica nel piano La matrice associata alla conica é A = 1 1 1 1 0 1 0 1. Diremo che una conica γ : f(x, y) = 0 é riducibile se essa é composta da due rette cioé se esistono due polinomi di primo grado g(x, y) e h(x, y) tali che f(x, y) = g(x, y) h(x, y). Teorema 5.1.1 Sia γ una conica con matrice associata A. Le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) La conica γ é riducibile. ii) La conica γ ha almeno un punto doppio. iii) det(a) = 0. 5. Polaritá rispetto ad una conica. Sia γ : X T A X = 0 una conica non riducibile. Definiamo polaritá rispetto a γ la corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto X = (x 1, x, x 3) del piano, una retta r la cui equazione é data da X T A X = 0. La retta r é detta rella polare di X rispetto a γ, il punto X é detto polo della retta r rispetto a γ. Un caso particolare é quello in cui il punto X appartiene alla conica. Quando si verifica ció allora la retta polare di X é esattamente la tangente alla conica in X. Consideriamo r la retta polare del punto X rispetto alla conica γ. Sia X un qualsiasi punto di r. Anche di tale punto é possibile costruire la retta polare rispetto alla conica γ. Diciamo r tale retta polare. Una proprietá, detta recipprocitá, garantisce che X r. Riassumendo potremmo dire che se un punto X appartiene alla polare di un altro punto X, allora X appartiene alla polare di X. Diremo che i punti X e X sono tra loro coniugati, ed analogamente che le rette r e r sono tra loro coniugate. Un punto é detto autoconiugato se appartiene alla propria polare. Tutti e soli i punti autoconiugati rispetto ad una conica sono quelli della conica stessa. Una retta é detta autoconiugata se contiene il proprio polo. Tutte e sole le rette autoconiugate rispetto ad una conica, sono le tangenti alla conica stessa. 5.3 Classificazione di una conica. Sia γ : X T A X = 0 una conica nel piano. Se intersechiamo γ con la retta impropria x 3 = 0 otteniamo ovviamente soluzioni, cioé i due punti impropri della conica.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. Una conica con due punti impropri reali e distinti é detta Iperbole. Una conica con due punti impropri reali e coincidenti é detta Parabola. Una conica con due punti impropri complessi coniugati é detta ellisse. In altre parole la retta impropria é secante all iperbole, tangente alla parabola, esterna all ellisse. Consideriamo il sistema XT A X = 0 x 3 = 0 a11 x 1 + a 1 x 1 x + a x = 0 x 3 = 0. Il discriminante del sistema é = a 1 a 11 a, da cui > 0 Iperbole = 0 Parabola < 0 Ellisse In particolare se indichiamo con A 33 il complemento algebrico dell elemento a 33 della matrice A, notiamo che A 33 =, quindi A 33 > 0 Ellisse A 33 = 0 Parabola A 33 < 0 Iperbole.. Osservazione. Tutte e sole le coniche che contengono i punti ciclici (1, i, 0) e (1, i, 0) sono le circonferenze (che sono particolari ellissi). 5.4 Fascio di coniche. Siano γ 1 : f 1 (x 1, x, x 3 ) = 0 e γ : f (x 1, x, x 3 ) = 0 due coniche distinte. Poiché sono curve di secondo grado, escludendo il caso in cui siano entrambe riducibili con una retta in comune, esse hanno 4 punti A, B, C, D in comune (distinti o no, reali o no). Il caso generale é quello in cui A, B, C, D sono tutti tra loro distinti. Nel caso in cui si abbia A = B e C, D distinti, allora le due coniche hanno una tangente comune ad entrambe (γ 1 e γ sono chiamate coniche tangenti), ed é la retta tangente nel punto A = B. Nel caso si abbia A = B e C = D allora le due coniche hanno due rette tangenti in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche bitangenti), e sono le tangenti nel punto A = B ed in C = D. Nel caso si abbia A = B = C allora le due coniche hanno una retta tangente in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche osculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C. Nel caso si abbia A = B = C = D allora le due coniche hanno una retta tangente in comune (γ 1 e γ sono chiamate coniche iperosculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C = D.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 3 Diciamo fascio di coniche la totalitá delle coniche che si ottengono da a 1 f 1 (x 1, x, x 3 ) + a f (x 1, x, x 3 ) = 0 al variare di a 1, a R. Tutte le coniche del fascio hanno in comune gli stessi 4 punti A, B, C, D, i quali sono chiamati punti base del fascio. Inoltre per individuare un fascio di coniche é sufficiente conoscere due qualsiasi coniche di esso (ad esempio anche due coniche riducibili che appartengono al fascio). Il caso generale é quello in cui A, B, C, D sono tutti tra loro distinti, si parla quindi di fascio generale. Nel caso in cui si abbia A = B e C, D distinti, allora le coniche del fascio hanno una tangente comune (si parla di fascio di coniche tangenti), ed é la retta tangente nel punto A = B. Nel caso si abbia A = B e C = D allora le coniche del fascio hanno due rette tangenti in comune (si parla di fascio di coniche bitangenti), e sono le tangenti nel punto A = B ed in C = D. Nel caso si abbia A = B = C allora le coniche del fascio hanno una retta tangente in comune (si parla di fascio di coniche osculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C. Nel caso si abbia A = B = C = D allora le coniche del fascio hanno una retta tangente in comune (si parla di fascio di coniche iperosculatrici), ed é la tangente nel punto A = B = C = D. Ogni fascio di coniche contiene 3 coniche riducibili (distinte o no a seconda del tipo di fascio). Nel seguente prospetto indichiamo con t A e t C rispettivamente le tangenti comuni a tutte le coniche di un fascio nei punti A e C: Tipo di fascio generale tangenti A = B bitangenti A = B, C = D osculatrici A = B = C iperosculatrici A = B = C = D Coniche riducibili AB CD AD BC AC BD t A CD AD AC contata due volte t A t C Ac AC contata due volte t A AD contata tre volte t A t A contata tre volte 5.5 Diametri e centro di una conica. Definiamo diametro di una conica γ non riducibile, la retta polare, rispetto alla conica, di un qualsiasi punto improprio (h, k, 0). Sia A la matrice associata alla conica, allora un

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 4 diametro é dato da [ h k 0 ] a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 x 1 x x 3 = 0 o meglio (a 11 h + a 1 k)x 1 + (a 1 h + a k)x + (a 13 h + a 3 k)x 3 = 0 h(a 11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 ) + k(a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 ) = 0. Al variare del punto (h, k, 0) si ottiene un diverso diametro, e quindi al variare dei parametri h, k si ottengono tutte le rette di un fascio. Il centro di tale fascio é detto centro della conica (il quale per la reciprocitá é il polo della retta improrpia). Le coordinate del centro sono allora la soluzione del sistema a11 x 1 + a 1 x + a 13 x 3 = 0 a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 = 0 le cui soluzioni sono date dai complementi algebrici A 13, A 3, A 33 della matrice A associata alla conica. Il caso in cui A 33 = 0 é quallo della parabola, la quale é detta conica a centro improprio (o conica senza centro). Il fascio dei diametri é un fascio improprio, cioé tutti i diametri sono tra loro paralleli ed hanno la direzione data dal punto improprio della parabola. Iperbole ed ellisse sono dette coniche a centro (proprio). Tutti i diametri sono tra loro a due a due coniugati. In particolare i diametri tra loro coniugati ed ortogonali sono detti assi della conica ( assi per iperbole ed ellisse, 1 asse per la parabola). I diametri che siano autoconiugati (cioé tangenti alla conica) sono detti asintoti della conica ( reali per l iperbole, immaginari per l ellisse, 1 improprio per la parabola). Per determinare assi e asintoti é sufficiente operare come segue: si costruisce il generico diametro della conica [ 1 k 0 ] a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 x 1 x x 3 = 0 (a 11 + a 1 k)x 1 + (a 1 + a k)x + (a 13 + a 3 k)x 3 = 0 che é una retta di coefficiente angolare k = a 11+a 1 k a 1 +a, cioé avente punto improprio k (1, k, 0). Questa é la direzione coniugata a (1, k, 0). Per ottenere gli assi si deve imporre che le due direzioni siano ortogonali cioé k k = 1. Si ottiene quindi una equazione di secondo grado nell incognita k. Le due soluzioni k 1, k forniscono i due poli (1, k 1, 0) e (1, k, 0) dei due assi.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 5 Nel caso della parabola la ricerca dell asse é facilitata. Infatti il polo dell asse della parabola é dato dalla direzione ortogonale a quella individuata dal punto improprio della parabola. Infine per ottenere gli asintoti di una iperbole si deve imporre che le due direzioni siano identiche (autoconiugio) cioé k = k. Si ottiene ancora una equazione di secondo grado nell incognita k. Le due soluzioni k 1, k forniscono i due poli (1, k 1, 0) e (1, k, 0) dei due asintoti. Equivalentemente, le due direzioni (1, k 1, 0) e (1, k, 0) si possono ottenere ricordando che esse non sono altro che i punti impropri dell iperbole. 5.6 Classificazione delle coniche proiettive. Sia γ : X T A X = f(x 1, x, x 3 ) = 0 l equazione di un a conica, f(x 1, x, x 3 ) = a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x + a 13 x 1 x 3 + a 3 x x 3 + a 33 x 3 = 0. Poiché f é una forma quadratica in R 3, allora vale il seguente: Teorema 5.6.1 Esiste un sistema di riferimento ortonormale in R 3 l equazione della conica γ é una delle seguenti: i) x 1 + x + x 3 = 0 (conica generale a punti non reali); ii) x 1 + x x 3 = 0 (conica generale a punti reali); iii) x 1 + x = 0 (conica semplicemente degenere a punti non reali); iv) x 1 x = 0 (conica semplicemente degenere a punti reali); v) x 1 = 0 (conica doppiamente degenere). rispetto al quale Per ottenere la forma ridotta congruente a quella di partenza, si applica esattamente il metodo di diagonalizzazione delle forme quadratiche. 5.7 Classificazione delle coniche euclidee. Consideriamo ora l equazione affine di una conica γ : f(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0 dove a ij R, per ogni i e j. Indichiamo q(x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y la forma quadratica in R, con matrice associata A 33. Poiché q(x, y) é riferita ad un sistema otonormale in R, ogni cambiamento del sistema di riferimento é individuato da una matrice ortogonale C, per cui C T = C 1. In tale caso la diagonalizzazione della forma quadratica q(x, y) puó essere effettuata tramite la semplice diagonalizzazione della matrice simmetrica A 33 ad essa associata.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 6 Sia quindi q(x, y) = [ x y ] [ a11 a 1 a 1 a e siano λ 1 e λ gli autovalori di A 33. Indichiamo con w 1 = (b 11, b 1 ) l autovettore che genera l autospazio relativo a λ 1 e w = (b 1, [ b ) quello] che genera l autospazio relativo a b11 b λ. Allora la matrice che diagonalizza A 33 é 1 con b 1 b C T A 33 C = C 1 A 33 C = ] [ x y [ λ1 0 0 λ Il cambiamento di variabili che permette tale diagonalizazione é [ x y ] = [ b11 b 1 b 1 b ] [ x dopo il quale la conica si presenta nella seguente forma: f(x, y ) = λ 1 x + λ y + a 13x + a 3y + a 33 = 0. In pratica la f(x, y ) é la conica che otteniamo facendo ruotare i suoi assi fino a renderli paralleli agli assi coordinati. Supponiamo che la conica sia un iperbole o una ellisse. Determiniamo ora una traslazione che riporti il centro della conica nel centro degli assi coordinati: x = x c y = y d y ] ] ]. λ 1 (x c) + λ (y d) + a 13(x c) + a 3(y d) + a 33 = 0 λ 1 x +λ y +( λ 1 c+a 13)x +( λ d+a 3)y +(λ 1 c +λ d +a 13c+a 3d+a 33) = 0 Poiché dopo la rototraslazione scompaiono i termini in x e y, allora imponiamo che (B). λ 1 c + a 13 = 0 λ d + a 3 = 0. I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (B) per ottenere la conica in forma ridotta: λ 1 x + λ y + λ 3 = 0 con λ 3 = λ 1 c + λ d + a 13c + a 3d + a 33.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 7 Consideriamo ora il caso in cui la conica sia una parabola. Per prima cosa osserviamo che la prima rotazione viene effettuata utilizzando come riferimento quello formato dall asse della parabola e dalla retta tangente nel suo vertice. Inoltre uno dei due autovalori λ 1, λ di A 33 é nullo, per cui, dopo il primo cambiamento di riferimento (rotazione), l equazione della conica si presenta in una delle due seguenti forme: oppure λ 1 x + a 3y + a 33 = 0 λ y + a 13 x + a 33 = 0 (C) (D). Cominciamo con il caso (C). Determiniamo una traslazione che riporti il vertice della parabola nel centro degli assi coordinati: l equazione diventa x = x c y = y d λ 1 (x c) + a 3(y d) + a 33 = 0 (C ) Poiché dopo la rototraslazione scompaiono il termine noto ed il termine in x, dobbiamo imporre che λ 1 c = 0 λ 1 c a 3d + a 33 = 0. I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (C ) per ottenere la conica in forma ridotta: λ 1 x + a 3y = 0. Passiamo ora al caso (D). Dopo la traslazione, l equazione della parabola é λ (y c) + a 13(x d) + a 33 = 0 (D ) Poiché dopo la rototraslazione scompaiono il termine noto ed il termine in y, dobbiamo imporre che λ d = 0 λ d a 13c + a 33 = 0.

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 8 I valori di c e d che risolvono le precedenti equazioni sono i valori che determinano la traslazione. É sufficiente sostituirli nell equazione (D ) per ottenere la conica in forma ridotta: λ y + a 13x = 0. Quanto detto fin ora si puó riassumere nel seguente: Teorema 5.7.1 Ogni conica del piano euclideo reale é congruente ad una delle seguenti forme, dette forme canoniche: 1) x + y = 1, ellisse; a b ) x + y = 1, ellisse a punti non reali; a b 3) x + y = 0, ellisse degenere; a b 4) x y = 1, iperbole; a b 5) x + y = 0, iperbole degenere; a b 6) y ax = 0, parabola; 7) y a = 0, parabola degenere; 8) y + a = 0, parabola degenere a punti non reali; 9) y = 0, conica doppiamente degenere. Riassumendo, abbiamo visto che una rototraslazione degli assi di una conica (dell asse e della retta tangente al vertice, nel caso della parabola) ci permette di ottenere una ulteriore e piú semplice forma della conica stessa, riferita ad un sistema di riferimento opportuno. Tali forme sono dette ridotte o canoniche. Nel cambiamento del sistema di riferimento ortogonale, vi sono alcune quantitá (reali) che non mutano, cioé si mantengono invarianti nel passaggio da una forma della conica all altra. Tali quantitá vengono dette invarianti ortogonali: Teorema 5.7. Sia γ : X T A X = 0 una conica del piano euclideo e sia X T A X = 0 la sua equazione in forma ridotta, cioé dopo una cambiamento ortonormale del sistema di riferimento. Siano a ij gli elementi della matrice A e a ij quelli della matrice A. Allora valgono le seguenti: i) det(a) = det(a ). ii) A 33 = A 33. iii) a 11 + a = a 11 + a. Possiamo sfruttare il precedente teorema per ottenere la forma ridotta di una conica. Sia A la matrice associata alla conica, operiamo nel modo seguente: Coniche a centro. La forma canonica alla quale si vuole arrivare é la seguente a 11x 1 + a x + a 33x 3 = 0

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 9 la cui matrice associata é a 11 0 0 0 a 0 0 0 a 33 Per ottenere i valori di a 11, a, a 33 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a 11 a a 33 A 33 = a 11 a. a 11 + a = a 11 + a. Parabola. Una forma canonica alla quale si puó arrivare é la seguente la cui matrice associata é a 11x 1 + a 3x x 3 = 0 a 11 0 0 0 0 a 3 0 a 3 0 Per ottenere i valori di a 11, a 3 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a 11 a 3 L altra forma canonica puó essere la cui matrice associata é a 11 + a = a 11.. a x + a 13x 1 x 3 = 0 0 0 a 13 0 a 0 a 13 0 0 Per ottenere i valori di a, a 3 é sufficiente applicare i tre punti del teorema e risolvere le equazioni: det(a) = a a 13 a 11 + a = a. Esercizio 5.7.1 Classificare la conica x +4xy y +x y+1 = 0, determinarne eventuali assi e asintoti, una sua forma canonica ed il polo della retta x y + 1 = 0 rispetto ad essa..

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 30 Svolg. La matrice associata alla conica é A = 1 1 1 1 1 1 1 con det(a) = 4, A 33 = 5, I = a 11 + a = 0, quindi é una iperbole equilatera. Determiniamo il generico diametro: Il generico diametro é [ 1 h 0 ] 1 1 1 1 1 1 1 x 1 x x 3 = 0. (1 h)x 1 + ( h)x + ( 1 h )x 3 = 0 il cui coefficiente angolare é h = 1+h h. Per ottenere gli asintoti imponiamo h = h, da cui h + 5, 5} e quindi gli asintoti sono (10 + 4 5)x 5y + ( 5 1) = 0 e (10 4 5)x + 5y + ( 5 1) = 0. Per ottenere gli assi imponiamo hh = 1, da cui h 1+ 5 sono 4 5x + (10 5)y + (3 5) = 0 e 4 5x + (10 + 5)y + (3 + 5) = 0., 1 5 } e quindi gli assi Una forma canonica é data da a 11 x 1 + a x + a 33 x 3 = 0, con matrice associata A = I suoi invarianti ortogonali sono allora a 11 0 0 0 a 0 0 0 a 33. dai quali otteniamo 6 = det(a ) = a 11 a a 33, 5 = A 33 = a 11 a, 0 = I = a 11 + a a 11 = 5, a = 5, a 33 = 6 5

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 31 oppure a 11 = 5, a = 5, a 33 = 6 5 e le due forme canoniche ottenute sono: 5x 5y + 6 5 = 0 e 5x + 5y + 6 5 = 0. Infine determiniamo il polo della retta x 1 x + x 3 = 0 rispetto alla conica. Esso avrá coordinate (a, b, c) tali che [ a b c ] 1 1 1 1 1 1 1 Quindi dobbiamo risolvere il sistema x 1 x x 3 a + 4b + c = 4α 4a b c = α a b + c = α = α(x 1 x + x 3 ). le cui soluzioni sono (α 1 8, α5 8, α5 4 ) che é una yerna proporzionale a (1, 5, 10) = (a, b, c). Esercizio 5.7. Determinare l asse ed una forma canonica della parabola x + y 4xy + x 1 = 0. Svolg. La matrice associata alla conica é A = 1 0 1 0 1 con det(a) =, A 33 = 0, I = a 11 + a = 4. Determiniamo il punto improprio della parabola: x 1 + x 4x 1 x = 0 x 3 = 0

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 3 da cui x 1 = 1, x = 1, x 3 = 0 sono le coordinate di tale punto. La direzione ad esso ortogonale é Q = (1, 1, 0). Tale punto Q é il polo dell asse: [ 1 1 0 ] 1 0 1 0 1 4x 1 x + x 3 = 0. x 1 x x 3 = 0 Una forma canonica é data da a 11 x 1 + a 3 x x 3 = 0, con matrice associata A = I suoi invarianti ortogonali sono allora a 11 0 0 0 0 a 3 0 a 3 0. = det(a ) = a 11 a 3, 4 = I = a 11 + a dai quali otteniamo oppure a 11 = 4, a 3 = 1 a 11 = 4, a 3 = 1 e le due forme canoniche ottenute sono: 4x 1 + x x 3 = 0 e cioé 4x 1 x x 3 = 0 y = x e y = x. Esercizio 5.7.3 Determinare una forma canonica dell ellisse x xy+y 5x+7y+1 = 0. Svolg. Utilizziamo[ il metodo ] degli autovalori. Quindi determiniamo gli autovalori della matrice A 33 = 1 1 1. Essi sono h 1 1 = 1 e h = 3. L autospazio relativo all autovalore h 1 é generato dall autovettore v = (1, 1) che ha come versore ( 1 1, ).

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 33 L autospazio relativo all autovalore h é generato dall autovettore v = ( 1, 1) che ha come versore ( 1 1, ). Allora il primo cambiamento di variabili, con il quale annulliamo il termine in xy é dato da [ ] [ x 1 1 ] [ ] = x 1 y 1 da cui x = 1 (x y ) y = 1 (x + y ) e l equazione della conica diventa cioé 1 (x y ) 1 (x y )(x + y ) + 1 (x + y ) 5 (x y ) + 7 (x + y ) + 1 = 0 1 x + 3 y + x + 1 y + 1 = 0. Per annullare i termini in x e y operiamo la seguente traslazione: y x = x a y = y b da cui 1 (x a) + 3 (y b) + (x a) + 1 (y b) + 1 = 0 1 (x + a ax ) + 3 (y + b by ) + x a + 1 y 1 b + 1 = 0. I coefficienti di x e y si annullano per a = e b = 4 e l equazione della conica diventa: cioé 1 (x ) + 3 (y 4 ) + (x ) + 1 (y 4 ) + 1 = 0 1 x + 3 y = 1 x 4 + y 8 = 1. Vogliamo ora ripetere l esercizio utilizzando il metodo di rototraslazione degli assi: gli assi dell ellisse sono a 1 : x y 4 = 0 che scegliamo come X

CAPITOLO 5. LE CONICHE. 34 I versori degli assi sono a : x + y + = 0 che scegliamo come Y. a 1 = ( 1, 1 ) a = ( 1, 1 ) ed il centro dell ellisse é C = (1, 3). Allora le formule del cambiamento del riferimento (rototraslazione) sono [ x y ] = [ 1 1 1 1 ] [ x y ] + [ 1 3 ] da cui x = 1 (x y ) + 1 y = 1 (x + y ) 3 e l equazione della conica diventa ( 1 (x y ) + 1) ( 1 (x y ) + 1)( 1 (x + y ) 3) + ( 1 (x + y ) 3) 5( 1 (x y ) + 1) + 7( 1 (x + y ) 3) + 1 = 0 cioé 1 x + 3 y 1 = 0 x 4 + y 8 = 1. Esercizio 5.7.4 Determinare una forma canonica della parabola x 4xy + 4y + x + y 5 = 0. Svolg. Utilizziamo[ il metodo ] degli autovalori. Quindi determiniamo gli autovalori della matrice A 33 =. Essi sono h 1 4 1 = 0 e h = 5. L autospazio relativo all autovalore h 1 é generato dall autovettore v = (, 1) che ha come versore ( 1 5, 5 ). L autospazio relativo all autovalore h é generato dall autovettore v = (1, ) che ha come versore ( 1 5, 5 ). Allora il primo cambiamento di variabili, con il quale annulliamo i termini in xy e y é dato da [ ] [ x 5 1 ] [ ] = 5 x 1 y 5 5 y