Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010
Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo stesso punto avrà coordinate P (x, y, z ) in R. Vogliamo trovare la relazione tra (x, y, z) e (x, y, z ). I caso R e R differiscono solo per l origine: stessa direzione e stesso verso degli assi, U = U. Siano (a, b, c) le coordinate dell origine O (del sistema di riferimento R ) rispetto al sistema di riferimento R O = (a, b, c) in R P (x, y, z), x = OX, y = OY, z = OZ P (x, y, z ), x = O X, y = O Y, z = O Z Indichiamo con Q il punto dell asse x proiezione di O parallelamente al piano degli assi y e z. Si ha OQ = a. Per le identità segmentarie fondamentali si ha allora x = OX = OQ + QX = a + x (si ha infatti QX = O X, perché si tratta di segmenti tagliati dagli stessi due piani paralleli su rette parallele) e analogamente y = = b + y, z = = c + z x = x a; y = y b z = z c
II caso R e R differiscono solo per il verso di uno o più assi: stessa direzione e stessa origine, U = U. In questo caso è immediato verificare che, se ad esempio si cambia solo il verso dell asse x, risulta x = x; y = y; z = z. Si noti che in realtà, perché sia R che R verifichino la convenzione adottata sulla scelta dell ordinamento degli assi, un cambiamento nel verso deve avvenire necessariamente su un numero pari (zero o due) di assi. III caso R e R differiscono solo per le unità di misura: stessa direzione, stesso verso e stessa origine. Supponiamo che sia U = ku, con k > 0. In tal caso è x = OX (misurata rispetto a U ) pertanto il segmento OX di estremi O e X è tale che OX = x U. Inoltre x = OX (misurata rispetto a U) pertanto il segmento OX di estremi O e X è tale che OX = x U.
Ma nel nostro caso (stessa origine e stessi assi, quindi stessi punti proiezione) è X = X e anche OX = OX. Ne segue che x U = OX = OX = x U = x ku e quindi x = k x. Siccome però i versi dei due riferimenti sono uguali, x e x sono concordi, da cui x = kx. IV caso R e R differiscono solo per la direzione degli assi: stessa origine, U = U. Indichiamo con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R e con i, j e k i versori dei tre assi del riferimento R. Si ha e anche ( ) OP = xi + yj + zk, OP = x i + y j + z k,
Si avrà anche i = a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, j = a 1,2 i + a 2,2 j + a 3,2 k, k = a 1,3 i + a 2,3 j + a 3,3 k, per opportuni a p,q R, con 1 p, q 3. Allora OP = xi + yj + zk = x(a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k ) + y(a 1,2 i + a 2,2 j + a 3,2 k ) + z(a 1,3 i + a 2,3 j + a 3,3 k ) = (a 1,1 x+a 1,2 y+a 1,3 z)i +(a 2,1 x+a 2,2 y+a 2,3 z)j +(a 3,1 x+a 3,2 y+a 3,3 z)k dal confronto con la ( ) si ricava allora x = a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z y = a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z z = a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z.
ovvero, ( in notazioni matriciali x ) ( ) ( a1,1 a 1,2 a 1,3 xy y = a 2,1 a 2,2 a 2,3 z a 3,1 a 3,2 a 3,3 z PROPRIETÀ DELLA MATRICE A = ). ( a1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 Poiché (i, j, k) (e (i, j, k )) è una terna di versori mutuamente ortogonali, si ha 1 =< i, i >=< a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k >= = a 2 1,1 + a2 2,1 + a2 3,1 e analogamente 1 =< j, j >= a 2 1,2 + a2 2,2 + a2 3,2 1 =< k, k >= a 2 1,3 + a2 2,3 + a2 3,3 0 =< i, j >=< a 1,1 i + a 2,1 j + a 3,1 k, a 1,2 i + a 2,2 j + a 3,2 k >= = a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 + a 3,1 a 3,2 e analogamente 0 =< i, k >= a 1,1 a 1,3 + a 2,1 a 2,3 + a 3,1 a 3,3 0 =< j, k >= a 1,2 a 1,3 + a 2,2 a 2,3 + a 3,2 a 3,3. ).
( a1,1 a 2,1 a 3,1 ) In altri termini, indicata con A T = a 1,2 a 2,2 a 3,2 la matrice ( ) a 1,3 a 2,3 a 3,3 1 0 0 trasposta di A, e con I = 0 0 1 0 0 1 la matrice identità, si ha AA T = I. Si dice allora che A è una matrice ortogonale. Più avanti vedremo che ad ogni matrice quadrata M si può associare un numero reale det(m) detto determinante di M e che tutte le matrici ortogonali hanno determinante ±1. Inoltre si potrebbe dimostrare che, poichè tanto R quanto R devono soddisfare la convenzione sulla scelta di ordinamento tra gli assi, per la matrice A del cambiamento di sistema di riferimento si ha in realtà det(a) = 1 (matrice ortogonale speciale).
caso generale Il cambiamento di sistema di riferimento più generale in E 3 si ottiene componendo i quattro casi sopra descritti (si noti peraltro che il caso II risulta un caso particolare del IV), pertanto risulterà descritto da un legame del tipo x = ρ(a 1,1 x + a 1,2 y + a 1,3 z) + α y = ρ(a 2,1 x + a 2,2 y + a 2,3 z) + β z = ρ(a 3,1 x + a 3,2 y + a 3,3 z) + γ, ( ) a1,1 a 1,2 a 1,3 con ρ, α, β, γ R, ρ > 0 e A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 matrice a 3,1 a 3,2 a 3,3 ortogonale speciale (cioè con AA T = I e det(a) = 1). Con ( notazioni ) matriciali, ( posto xy x ) ( ) αβ x =, x = y, v =, si scrive z z γ ( ) x = ρax + v.
Cambiamento del sistema di riferimento in A 3 Consideriamo ora due sistemi di riferimento affini R ed R e vediamo in questo caso come siano legate le coordinate (x, y, z) e (x, y, z ) che uno stesso punto P ha nei due riferimenti. Consideriamo tre vettori non nulli a, b, c rispettivamente sugli assi x, y e z ed altri tre vettori non nulli a, b, c sugli assi x, y e z. Ripetiamo nel caso affine le considerazioni fatte sopra nel caso euclideo sostituendo (a, b, c) al posto di (i, j, k) e (a, b, c ) al posto di (i, j, k ). Tutti gli argomenti esposti continuano a valere salvo che quando si utilizza il fatto che (i, j, k) e (i, j, k ) sono terne di versori mutuamente ortogonali. Ne ricaviamo che il più generale cambiamento di sistema di riferimento affine è della forma ( ) x = Mx + v,
dove M è una matrice 3 3, v è un vettore a 3 componenti e inoltre si potrebbe dimostrare che det(m) 0 (vedremo più avanti che quest ultima condizione è equivale a dire che le colonne di M sono linearmente dipendenti e questo a sua volta, per come M è costruita, equivale al fatto che i vettori (a, b, c) sono linearmente indipendenti). In realtà se si vuole che i due sistemi di riferimento verifichino la convenzione sull ordinamento degli assi risulta det(m) > 0. ESERCIZIO - Si consideri una matrice in cui le colonne sono liearmente dipendenti, ad esempio, ( 1 1 ) 0 2 3 2 3 1 1 e l applicazione f di E 3 in sè definita da x = Mx. Si stabilisca se f è biunivoca.
Trasformazioni geometriche in A 3 Consideriamo ora A 3 con un sistema di riferimento fissato. L equazione matriciale ( ) x = Mx + v, con det(m) 0, può essere interpretata come una trasformazione (corrispondenza biunivoca) α : A 3 A 3 ; vediamo come. Dato P (x, y, z) si può considerare P (x, y, z ), e definire α(p) = P. Vedremo più avanti che la condizione det(m) 0 garantisce l invertibilità della α. Le trasformazioni α : A 3 A 3 definite come sopra verranno dette affinità.
Denotiamo con Aff (3) l insieme delle affinità di A 3 in sè. OSSERVAZIONE - Aff (3) è un gruppo rispetto alla composizione. Cenno di dimostrazione - La composizione della trasformazione α di espressione x = Ax + a con la trasformazione β di espressione x = Bx + b, è la trasformazione γ = β α data da x = BAx + Ba + b, dove BA è il prodotto riga per colonna di B per A (A Ax + a B(Ax + a) + b = BAx + Ba + b, per le proprietà del prodotto tra matrici). L applicazione identica è un affinità (di espressione x = Ix + 0.) L inversa dell affinità α espressa da x = Ax + a è l affinità α 1 data da x = A 1 x A 1 a, dove A 1 denota la matrice inversa della matrice A.
Geometria affine OSSERVAZIONE - Abbiamo definito le affinità come trasformazioni che corrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento affine. Pertanto è naturale considerare equivalenti in A 3 due sottoinsiemi dello spazio (figure) che si ottengano l uno dall altro con un affinità (sono solo diversi modi in cui la stessa figura viene vista da sistemi di riferimento diversi). PROPRIETÀ DELLE AFFINITÀ α Aff (3), si ha 1 α è continua; 2 α trasforma piani in piani (e conseguentemente rette in rette); 3 α trasforma piani paralleli in piani paralleli (e conseguentemente rette parallele in rette parallele); 4 α conserva i rapporti tra le misure con segno di segmenti allineati.
Cenno di dimostrazione 1 La continuità segue dal fatto che le coordinate x, y ed y sono espresse come polinomi (di primo grado) nelle coordinate x, y e z. 2 Sia α l affinità espressa da x = Ax + a, e π il piano di equazione cartesiana Hx + Ky + Lz + M = 0 ((H, K, L) (0, 0, 0)). Notiamo che tale equazione può anche essere scritta come h T x + M = 0, dove si è posto h T = (H, K, L). Un punto P appartiene al piano α(π) se e solo se P = α 1 (P ) appartiene a π. Indicata con x = Bx + b, l espressione di α 1, si ha quindi che P α(π) se e solo se h T (Bx + b) + M = 0, e questa è un equazione lineare in x, y ed z. L unica cosa che resta da verificare è che tale equazione rappresenti effettivamente un piano, ovvero che sia effettivamente di primo grado in almeno una delle variabili. Questo segue dal fatto che il vettore h T B (le cui componenti sono i coefficienti delle variabili nell equazione del piano) non può essere il vettore nullo perchè h 0 e B è invertibile.
3 Siano π e σ due piani paralleli, e consideriamo i piani α(π) e α(σ). Se α(π) e α(σ) non fossero paralleli esisterebbe un punto P α(π) α(σ), ma allora si avrebbe P = α 1 (P ) π σ. 4 Consideriamo la retta r rappresentata in forma parametrica da P = P 0 + λv. λ esprime la misura con segno del segmento P 0 P, sulla retta affine r in cui v individua tanto l unità di misura quanto il verso. Consideriamo poi l affinità α di espressione x = Ax + a. Il punto P 0 è trasformato da α in P 0 = AP 0 + a, e il generico punto P di r è trasformato in P = A(P 0 + λv) + a = AP 0 + Aλv + a = Aλv + AP 0 + a = P 0 + λav. La retta α(r) risulta così individuata come la retta passante per P 0 e parallela al vettore Av. λ esprime quindi anche la misura con segno del segmento P 0P, sulla retta affine α(r) in cui Av individua tanto l unità di misura quanto il verso. Allora se AB e CD sono segmenti orientati su r, il rapporto tra le misure con segno di AB e CD su r è uguale al rapporto tra le misure con segno di α(a)α(b) e α(c)α(d) su α(r).
Siano dati tre punti A, B e C in A 3 appartenti ad una stessa retta r e si consideri un sistema di riferimento affine su r. Si dice rapporto semplice della terna (A, B, C) (in quest ordine) il numero reale (ABC) = AC BC, ottenuto come rapporto tra le misure con segno dei segmenti orientati AC e BC. Ad esempio, se C è il punto medio tra A e B, risulta (ABC) = AC BC = AC AC = 1. La proprietà 4 delle affinità può essere riscritta nel seguente modo 4 α conserva i rapporti semplici di terne di punti allineati.
OSSERVAZIONE - Le proprietà 1, 2, 3 e 4 (o 4 ) caratterizzano le affinità, ovvero si potrebbe dimostrare che una trasformazione di A 3 che verifichi 1, 2, 3 e 4 (o 4 ) è necessariamente un affinità. ESERCIZIO - Dare un esempio di affinità che NON conserva le misure degli angoli.
Trasformazioni geometriche in E 3 Analogamente a quanto fatto in A 3, possiamo considerare in E 3 un sistema di riferimento (ortonormale) fissato ed interpretare le equazioni di un cambiamento di sistema di riferimento come rappresentative di una trasformazione di E 3 in sè. Le trasformazioni ε : E 3 E 3 definite da ( )x = ρax + v, con A matrice ortogonale speciale, ρ > 0, e v vettore colonna a 3 componenti, vengono dette similitudini dirette, e congruenze dirette o isometrie dirette se ρ = 1. Il numero reale ρ viene detto rapporto di similitudine. OSSERVAZIONE - L insieme delle similitudini dirette Sim + (3) (e anche l insieme delle congruenze dirette Iso + (3)) è un gruppo rispetto alla composizione. Più precisamente si ha un inclusione di sottogruppi Iso + (3) Sim + (3) Aff (3).
Geometria euclidea simile e geometria euclidea metrica Le similitudini dirette sono le trasformazioni che corrispondono ad un cambiamento di sistema di riferimento da R ortonormale a R ortonormale, per cui è naturale identificare due figure di E 3 che si ottengano l una dall altra con una similitudine diretta (geometria euclidea simile). Nel caso delle congruenze dirette inoltre queste corrispondono a cambiamenti di sistema di riferimento in cui non viene alterata l unità di misura, pertanto, quando si vogliano fare considerazioni di natura metrica, risulta naturale identificare due figure di E 3 che si ottengano l una dall altra con una congruenza diretta (geometria euclidea metrica). Se nella definizione di similitudine (risp. di congruenza) diretta si sostituisce la condizione ρ > 0 con la condizione ρ 0 si ottiene la nozione di similitudine (risp. di congruenza). In questo caso il rapporto di similitudine è il numero reale ρ.
Anche l insieme Sim(3) delle similitudini (e l insieme Iso(3) delle congruenze) è un gruppo. Le similitudini (e analogamente le congruenze) corrispondono a cambiamenti nel sistema di riferimento euclideo quando non si tenga conto della convenzione sulla scelta dell ordinamento degli assi. Le similitudini (e anche le congruenze) che non sono dirette vengono dette inverse. OSSERVAZIONE - Quanto detto finora a proposito di geometria affine ed euclidea, di cambiamenti di sistema di riferimento, di trasformazioni, ecc., continua a valere con ovvi cambiamenti (semplificazioni) nel caso del piano. Si parlerà quindi anche di affinità in A 2 come trasformazioni che corrispondono ai cambiamenti di sistema di riferimento, di similitudini e congruenze in E 2 (nel caso cioè di sistemi di riferimento ortonormali), ecc., di congruenze e similitudini dirette e inverse. Hanno ovvio significato i simboli Aff (2), Sim(2), ecc.
PROPRIETÀ DELLE SIMILITUDINI I Tutte quelle delle affinità II Conservano i rapporti tra le misure assolute di segmenti (anche non allineati) III Conservano le misure degli angoli. PROPRIETÀ DELLE CONGRUENZE i Tutte quelle delle similitudini. ii Conservano le misure (in valore assoluto) dei segmenti. OSSERVAZIONE - Si potrebbe dimostrare che la proprietà II caratterizza le similitudini, nel senso che una trasformazione di E 3 che conserva i rapporti tra le misure (in valore assoluto) dei segmenti è necessariamente una similitudine. Si anche potrebbe dimostrare che la proprietà ii caratterizza le congruenze, nel senso che una trasformazione di E 3 che conserva le misure assolute dei segmenti è necessariamente una congruenza.
Esempi di similitudini e congruenze in E 2 e E 3 TRASLAZIONE Dato un vettore v, la traslazione τ v è la trasformazione che associa ad un punto P quell unico punto P = τ v (P) tale che [ PP ] = v. OSSERVAZIONI 1 L espressione della traslazione τ v in coordinate è data da τ v è x = x + v. 2 La stessa definizione "funziona" sia in E 2 che in E 3 3 La traslazione è un isometria diretta
RIFLESSIONE Nel piano, fissata una retta r, la riflessione rispetto a r è la trasformazione σ r che associa al punto P quell unico punto P = σ r (P) tale che P = P, se P r, r è l asse del segmento PP, se P / r. Quindi la retta s per P e P è ortogonale a r e H = r s è il punto medio di PP. Nello spazio, fissato un piano α, la riflessione rispetto a α è la trasformazione σ α che associa al punto P quell unico punto P = σ α (P) tale che P = P, se P α, α è il piano assiale del segmento PP, se P / α. Quindi la retta s per P e P è ortogonale a α e H = α s è il punto medio di PP.
OSSERVAZIONE - La riflessione è una congruenza inversa. ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da ( ) ( ) x ( ) cos(θ) sen(θ) xy y =, sen(θ) cos(θ) è la riflessione rispetto alla retta per l origine che forma un angolo di θ/2 con l asse x. ROTAZIONE Nel piano, fissato un punto C e un amgolo θ, con 0 θ < 2π, si dice rotazione ρ (C,θ) di centro C e angolo θ la trasformazione che associa al punto P( C) quell unico punto P = ρ (C,θ) (P) tale che la misura del segmento CP sia uguale alla misura del segmento CP, e l angolo PCP sia di ampiezza θ. Il trasformato di C è C stesso.
Nello spazio, fissata una retta orientata r ed un numero reale θ, con 0 θ < 2π, si dice rotazione di asse r e ampiezza θ la trasformazione ρ (r,θ) che associa al punto P quell unico punto P = ρ (r,θ) (P) tale che: P appartiene al piano α passante per P e ortogonale a r P è il punto trasformato di P rispetto alla rotazione, nel piano α, di centro il punto C = α r e angolo θ (in senso antiorario se osservato dalla semiretta positiva dell asse r). OSSERVAZIONE - Se P r, allora ρ (r,θ) (P) = P. OSSERVAZIONE - La rotazione è una congruenza diretta. ESERCIZIO - Verificare che nel piano la trasformazione data da ( ) ( ) x ( ) cos(θ) sen(θ) xy y =, sen(θ) cos(θ) è la rotazione di angolo θ intorno all origine.
OMOTETIE Fissato un punto C ed un numero reale λ 0, l omotetia di centro C e rapporto λ è la trasformazione ω (C,λ) che associa al punto P( P 0 ) il punto P = ω (C,λ) (P) che giace sulla retta per C e P e tale che sia CP = λ CP. Se P = C, si pone P = P. OSSERVAZIONE - 1 Un omotetia di rapporto λ è una similitudine di rapporto λ 2 L espressione in coordinate di una omotetia di centro l origine è x = λx. 3 Quanto detto "funziona" sia nel piano che nello spazio. 4 Nel piano le omotetie sono sempre dirette, nello spazio sono dirette se e solo se λ > 0. ESERCIZIO - Come si può descrivere in altro modo un omotetia di rapporto 1?
Classificazione delle isometrie in E 2 e in E 3 PROBLEMA - Ci sono altre isometrie o similitudini (oltre a quelle prima descritte)? Risposta: poche altre. TEOREMA 1- Nel piano una qualunque isometria rientra in una delle seguenti quattro tipologie: a rotazione b riflessione c traslazione d glissoriflessione dove la glissoriflessione γ (r,v) di asse r e vettore v è la trasformazione che si ottiene componendo la riflessione di asse r con la traslazione di vettore v, con v r.
TEOREMA 2- Nello spazio una qualunque isometria rientra in una delle seguenti sei tipologie: a rotazione b riflessione c traslazione d glissoriflessione (composizione di una riflessione rispetto a un piano α e di una traslazione rispetto a un vettore v, con v α) e rotoriflessione (composizione di una rotazione di asse r e di una riflessione rispetto a un piano α r) f vite (composizione di una rotazione di asse r e di una traslazione rispetto a un vettore v, con v r).
TEOREMA 3 - (Sia nel piano che nello spazio) Una qualunque similitudine è la composizione di una isometria e di una omotetia. Il teorema 3 si dimostra facilmente (ESERCIZIO - Suggerimento: componendo una similitudine di rapporto k con una omotetia di rapporto 1/k si ottiene una similitudine di rapporto 1, cioè... ) I teoremi 1 e 2 sono conseguenza del seguente risultato. TEOREMA - Ogni isometria del piano (rispett. dello spazio) è composizione di al più 3 (rispett. 4) riflessioni.