RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 1999-2000 MATEMATICA 76. A cosa è uguale: a-b? A) a-b = (- b-a) B) a-b = (- a-b) C) a-b = (a/b) D) a-b = -( b- a) E) a-b = 1/(ab) L espressione a-b costituisce un polinomio, in cui il coefficiente del termine a vale +1, mentre quello del termine b vale 1. Quando scriviamo lo stesso polinomio racchiudendolo fra parentesi, eseguiamo un operazione che è detta di raccoglimento a fattor comune. Nell esercizio proposto, l unica espressione che correttamente descrive l operazione di raccoglimento a fattor comune è la D). Infatti essa esprime il raccoglimento a fattor comune del termine 1. Le soluzioni A) e B) sono identiche, poiché l ordine dei membri non modifica il polinomio, ed errate, poiché il termine a comparirebbe con il proprio coefficiente pari a 1 e non più +1. Le risposte C) ed E) non hanno senso, poiché non esiste nessuna relazione generale tra la somma di due termini ed il loro prodotto o quoziente. 77. Il rapporto tra valore dell area del cerchio e lunghezza della circonferenza è: A) costante B) uguale a π C) direttamente proporzionale al raggio D) inversamente proporzionale al raggio E) uguale al quadrato del raggio Per rispondere alla domanda in oggetto è sufficiente calcolare il rapporto richiesto. Siano: A = area del cerchio = πr 2 C = lunghezza della circonferenza = 2πR, con R = raggio della circonferenza. Il rapporto tra il valore dell area e la lunghezza della circonferenza vale: A πr 2 R = =. C 2πR 2 Pertanto il rapporto è direttamente proporzionale al raggio R e la risposta corretta risulta essere la C). La risposta A) è sbagliata perché, se è vero che una volta fissato R esso è costante e dunque risulta costante anche R/2, in essa non viene specificato che il rapporto è costante per quella specifica circonferenza considerata. Le altre risposte sono evidentemente contraddette dalla verifica diretta descritta innanzi.
78. In una progressione geometrica il primo elemento è 2 e il sesto è 0,0625. Il quinto valore della progressione è: A) 0,125 B) 0,0125 C) 0,5 D) 0,05 E) nessuno dei valori proposti nelle altre risposte è corretto Ricordiamo che una progressione si dice geometrica quando è costante il RAPPORTO tra ciascun termine (escluso il primo) ed il precedente: a n+1 /a n = q, con q = ragione (costante) della progressione geometrica. Ricordiamo anche che l ennesimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine a 1 per la ragione q elevata al numero di termini che precedono a n : a n = a 1 q n-1. (*) Nell esercizio proposto risulta è incognita la ragione che può essere però calcolata dalla (*): q = (a n /a 1 ) 1/(n-1) = (a 6 /a 1 ) 1/(6-1) = (0,0625/2) 1/5 = 0,5. Il quinto termine della progressione vale allora : a 5 = a 1 q n-1 = 2 0,5 5-1 = 0,125. La risposta esatta è pertanto la A). Le altre risposte sono evidentemente sbagliate, poiché non soddisfano la definizione di progressione geometrica indicata nella domanda e descritta innanzi. 79. La potenza ((X 2 ) 4 ) 5 è uguale a: A) X 10 B) X 30 C) X 6 D) X 40 E) X 11 Il problema propone un calcolo di potenza di potenza e per cui vale la regola: (a n ) m = a n m. Applicando la regola al problema proposto, otteniamo: ((X 2 ) 4 ) 5 = X 2 4 5 =X 40. La risposta corretta è pertanto la D). Le risposte A), B), C), sono assolutamente prive di fondamento. La risposta E) potrebbe ingannare poiché l esponente 11 è pari alla somma degli esponenti 2+4+5. Ricordiamo che va eseguita la somma degli esponenti solo nel caso in cui abbiamo un prodotto di potenze con la stessa base. 80. Un triangolo rettangolo ruotando attorno a un cateto genera una figura solida. Quale?
A) Un tronco di cono B) Un cono C) Un tronco di piramide D) Un cilindro E) Due coni uniti alla base La risposta esatta è la B) poiché il cono è il solido di rotazione ottenuto dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un cateto. Il tronco di cono (risposta A) è ottenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo rispetto all altezza; il tronco di piramide (risposta C) non è un solido di rotazione; il cilindro (risposta D) è ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei lati, mentre la risposta E) è palesemente sbagliata. 81. Quale è il risultato corretto della seguente operazione aritmetica? X = 23,45 * 0,0123 A) X = 0,288439 B) X = 0,288438 C) X = 0,288437 D) X = 0,288436 E) X = 0,288435 Oltre che dal calcolo diretto, la risposta corretta può essere ottenuta osservando che l ultima cifra decimale del risultato è ottenuta dal prodotto delle rispettive ultime cifre dei fattori. Nel caso specifico, 5*3 = 15. Pertanto il risultato dell intero prodotto deve avere il 5 come ultima cifra. La risposta corretta è dunque la E). 82. In un triangolo gli angoli alfa, beta e gamma valgono: alfa = X beta = alfa + 30 gamma = beta + 60. Quanto vale l angolo alfa (cioè X)? A) X = 20 B) X = 45 C) X = 60 D) X = 80 E) X = 90 Per rispondere al quesito bisogna ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari ad un angolo piatto, ovvero 180 : alfa + beta + gamma = 180. Da cui, sostituendo le relazioni in domanda: X + (X +30) + (X + 30 + 60) = 180. Con semplici calcoli: X = 60 /3= 20, cioè alfa = 20. La risposta esatta è dunque la A). Alcune semplici considerazioni consentono comunque di escludere a priori le restanti possibili risposte, poiché essendo beta e gamma pari ad alfa più 30 o 60, tre volte alfa non può comunque essere maggiore di 90, ovvero alfa non può essere maggiore di 30.
83. La rappresentazione grafica (Fig. R) della funzione: Y = ( - 2X + 10 ) 2 è: A) è una parabola con la concavità rivolta verso il basso e che è tangente all asse delle X B) è una parabola con la concavità rivolta verso l alto e che è tangente all asse delle X C) è una parabola che non taglia nè è tangente l asse delle X D) è una circonferenza di centro: X = 5 ; Y = 0 E) è una retta con pendenza negativa Per interpretare meglio di quale curva si tratta, conviene esprimerla in forma esplicita: Y = (-2X +10) 2 = 4X 2-40X + 100. E immediato riconoscere l equazione esplicita di una parabola y = ax 2 +bx + c. Le risposte D) ed E) sono pertanto sbagliate. Ricordiamo che la concavità di una parabola è definita dal segno del coefficiente del termine x 2. Nel problema proposto a=4 >0. La concavità è rivolta verso l alto. La risposta A) è dunque errata. Per risolvere il dubbio tra la risposta B) e la C), osserviamo che perché la parabola sia tangente all asse x, il suo vertice V deve giacere sull asse x ed avere dunque coordinate (x V, 0). Le coordinate del vertice V di una parabola sono date da: x V = -b/(2a ) y V = -(b 2-4ac)/ (4a). Perchè y V = -(b 2-4ac)/ (4a) = 0, occorre che (b 2-4ac)= 0. Nel nostro problema: (b 2-4ac)= 40 2-4 4 100 = 0. Effettivamente, la parabola è tangente all asse x. La risposta esatta è dunque la B). 84. Se sul prezzo di un oggetto si pratica uno sconto del 30%, e quindi sul nuovo prezzo così ottenuto si applica un nuovo sconto del 20%, quanto vale in % lo sconto (cioè la riduzione percentuale) totale sul prezzo iniziale? A) 36% B) 44% C) 50% D) 66% E) 72% Sia P il prezzo dell oggetto. Se ad esso si applica uno sconto S (percentuale) il nuovo prezzo sarà P = P (1-S) (*). Se a P applichiamo un nuovo sconto S, il nuovo prezzo P sarà: P = P (1-S ) e sostituendo la (*), si ottiene: P = P(1-S)(1-S ).
Lo sconto totale S T vale allora S T = 1- (1-S)(1-S ). Nel problema proposto, lo sconto totale vale: S T =1- (1-0,30)(1-0,20) = 0,70 0,80 =1-0,56 = 0,44 = 44%. La risposta esatta è pertanto la B). 85. In un triangolo isoscele, che abbia due lati uguali a 2 cm e l'area uguale a 2 cm 2 : A) è iscritto in un cerchio di raggio uguale a 2 B) è anche equilatero C) ha il terzo lato uguale ad un cm D) non può esistere E) è un rettangolo Sia b =2 cm la misura di ciascuno dei due lati obliqui. Se il triangolo in questione fosse rettangolo, potrebbe esserlo solo nel vertice. I due lati obliqui sarebbero allora i due cateti e l area del triangolo varrebbe: A = ½ b 2 = ½ 2 2 = ½ 4 = 2 cm 2. Pertanto la risposta esatta è la E). Il triangolo non può essere equilatero, poiché la sua area sarebbe pari a ( 3 /4 )b 2 = 3 2, diversamente dall ipotesi. Allora la risposta C) è sbagliata e, conseguentemente, anche la risposta A), poiché il triangolo isoscele non equilatero non è un poligono regolare, dunque non è iscrivibile né circoscrivibile ad una circonferenza. La risposta D) è negata, come visto, dalla E). 86- Due variabili X e Y sono tra loro inversamente proporzionali se è costante: A) la loro somma B) la loro differenza C) il loro quoziente D) il loro prodotto E) il logaritmo in base 10 della loro somma Si dice che due variabili x e y sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto è costante (risposta C errata): x = cost y Ciò significa che x e y sono legate da una relazione tale che, se la variabile x raddoppia, anche la variabile y raddoppia, se la variabile x triplica, anche y triplica e così via Si dice che due variabili x e y sono inversamente proporzionali quando il loro prodotto è costante: x * y = cost Ciò significa che x e y sono legate da una relazione tale che, se la variabile x raddoppia, la variabile y dimezza, se la variabile x triplica, y risulta divisa per tre e così via (risposta D esatta).
87- Tra i primi 100 numeri naturali, sono contemporaneamente divisibili per: 2, 3, 4, 5: A) 0 numeri B) 1 numero C) 2 numeri D) non è possibile stabilirlo E) 3 numeri I numeri 2, 3 e 5 sono numeri primi, mentre 4 è pari a 2 2. Ciò significa che se un numero è divisibile per 4, lo è anche per 2. Quindi per ottenere il più piccolo numero contemporaneamente divisibile per 2, 3, 4 e 5 basterà fare il prodotto tra 3, 4 e 5 cioè 3*4*5 = 60. ( Risposte A e D errate) Infatti dire che un numero naturale x risulta divisibile per un numero naturale y significa dire che y fa parte della scomposizione del numero x. Il successivo numero che verifica la condizione della domanda si ottiene aumentando la potenza del fattore più piccolo che nel nostro caso è 3. Quindi sarà 3 2 *4*5 = 60 *3 =180. Poichè 180 è maggiore di 100, avremo trovato il solo numero 60 che soddisfa le condizioni della domanda (risposta B corretta). 88- Nel Sistema Internazionale delle Unità di Misura SI è permesso far uso di multipli e sottomultipli delle unità di misura. Vengono elencati 5 gruppi di 6 multipli e sottomultipli (in base ai loro simboli ufficiali). Accanto a ciascun simbolo è indicata la scrittura per esteso (o prefisso) che dovrebbe essere assegnato al simbolo. Tuttavia SOLO UNO dei gruppi seguenti fornisce tutti i prefissi scritti in modo corretto. Quale? A) p(pico); n(nano); µ(micron); k(kilo); M(mega); G(Giga); B) p(pico); n(nano); µ(micron); k(kilo); M(mega); G(giga); C) p(pico); n(nano); µ(micron); k(kilo); M(mega); G(giga); D) p(pico); n(nano); µ(micron); k(kilo); M(Mega); G(giga); E) p(pico); n(nano); µ(micro); k(kilo); M(mega); G(giga); I prefissi per i multipli e sottomultipli più usati del SI sono: p(pico) = 10-12 ; n(nano) = 10 9 ; µ(micro) = 10-6 ; k(kilo) = 10 3 ; M(mega) = 10 6 ; G(Giga) = 10 9 ; La risposta corretta è quindi la E. Questi prefissi possono essere applicati ad ogni unità SI. Ad esempio 0.001 s è 1 ms (millisecondo). Le risposte A, B, e D contengono tutte lo stesso errore: micron non è il prefisso che in dica 10-6, ma è il prefisso micro applicato all unità metro: 1 micron = 10-6 metri 89- In base alla definizione generale di logaritmo di un numero in una certa base, quanto vale il logaritmo del numero 0,0001 in base 100 (cento)? A) 0,01 B) + 2 C) - 2 D) + 4 E) - 4
Il numero 0,0001 può essere scritto nella forma 1 *10-4 o anche 100-2. Cercare il logaritmo in base 100 del numero 0,0001 (log 100 100-2 ) significa cercare l esponente di quella potenza di 100 che vale 0,0001. E chiaro quindi che log 100 100-2 = -2 (risposta C corretta). Il numero 0,01 è il log 100 100 0,01 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 100 0,01 (risposta B errata). Il numero +2 è il log 100 100 2 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 10.000 (risposta B errata). Il numero +4 è il log 100 100 4 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 100.000.000 (risposta D errata). Il numero -4 è il log 100 100-4 cioè è il logaritmo in base 100 del numero 0,000000001 (risposta E errata). 90- Quale dei valori sotto riportati costituisce la migliore approssimazione della radice quadrata di 814.420? A) 90 B) 900 C) 9000 D) 81442 E) 407270 Il modo più semplice per rispondere alla domanda non è calcolare la radice quadrata di 814.420, ma è ragionare per approssimazioni. In particolare sceglieremo un numero prossimo a quello dato di cui facilmente possiamo determinare la radice quadrata. Ad esempio il numero 810.000 è una buona approssimazione di 814.420 e, se lo scriviamo come 81 * 10 4, facilmente troveremo la risposta alla domanda: 4 2 81*10 = 9 *10 = 900 La risposta esatta è quindi la B.