CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e sistemi di grado non superiore al secondo. Determinante e rango di matrici di dimensioni massime. Una conica reale è l insieme dei punti x, y) R in cui si annulla un polinomio di secondo grado in x e y. Poniamo F x, y) = a 11 x + a 1 xy + a y + a 1 x + a y + a. Quindi l equazione cartesiana di una generica conica in R si può scrivere nella forma 1) a 11 x + a 1 xy + a y + a 1 x + a y + a = 0 dove i vari a ij sono numeri reali assegnati. Alla conica 1) si associa in modo naturale la matrice simmetrica A = a 11 a 1 a 1 a 1 a a matrice completa associata alla conica di equazione 1) a 1 a a con le due sotto-matrici a11 a A = 1 a 1 a e A 1 = a1 a matrice dei coefficienti dei termini di secondo grado matrice dei coefficienti dei termini di primo grado e, per non cadere in casi banali, supporremo sempre che la matrice A abbia almeno un coefficiente diverso da zero, cioè ranka ) 1. In base al fatto che A abbia rango massimo cioè ) o meno le coniche si distinguono in non degeneri e degeneri: coniche DEGENERI deta) = 0 ranka) < coniche NON DEGENERI deta) 0 ranka) = Nel caso in cui A sia invertibile il punto C = A 1 A 1 sarà il centro di simmetria della conica. Tale punto si può determinare sia calcolando direttamente il prodotto A 1 A 1, sia risolvendo il sistema lineare A C = A 1, ovvero ) a11 c 1 + a 1 c + a 1 = 0 a 1 c 1 + a c + a = 0 Esempio 1 Le matrici associate alla conica x y + 4xy x + y + 1 = 0 sono A = 1 1/ 1 1 1/ 1 1 A = 1 1 A = 1/ 1 Illustreremo in modo sintetico come classificare la conica 1) in base alle proprietà delle matrici A, A e A 1. CASO 1: ranka) = 1. L equazione 1) rappresenta un unica retta contata due volte, cioè il polinomio F x, y) è a meno di un segno) il quadrato di un polinomio reale di primo grado che si annulla 1

proprio lungo la retta in questione. In particolare, i coefficienti a 11, a e a hanno lo stesso segno e si può sempre supporre che siano positivi altrimenti, basta moltiplicare l equazione 1) per 1); è quindi facile determinare α, β e γ in modo che a 11 x + a 1 xy + a y + a 1 x + a y + a = αx + βy + γ). Risulta allora che i punti che soddisfano 1) sono quelli della retta αx + βy + γ = 0. Alternativamente, si può determinare l equazione della retta doppia cercando di risolvere l equazione 1) rispetto a x o y. Esempio La conica 4x 1xy + 9y + 4x 6y + 1 = 0 ha la matrice completa tale che ranka) = rank 6 9 = 1 4 6 1 quindi rappresenta una retta doppia. Se ne riscriviamo l equazione vedendola come equazione nell incognita y e trattando x come un parametro, si ottiene 9y 6x + 1)y + 4x + 4x + 1 = 0 = 9y 6x + 1)y + x + 1) = 0. Provando a risolvere quest ultima equazione rispetto a y, si osserva che /4 = 9x+1) 9x+1) = 0 e, quindi, l equazioni ha un unica soluzione doppia y = x + 1) 9 = x y + 1 = 0 che è l equazione della retta doppia rappresentata dalla conica di partenza. CASO : ranka) = e deta ) < 0. La 1) rappresenta l unione di due rette che si intersecano nel punto C, cioè il polinomio F x, y) è il prodotto di due polinomi reali di primo grado che rappresentano le due rette incidenti della conica. Un modo di procedere in questo caso può essere quello di risolvere l equazione 1) della conica rispetto a x o y, come illustrato nel caso precedente, in quanto il di tale equazione dovrà necessariamente venire pari al quadrato di un binomio di primo grado nell altra variabile. Altrimenti, si può determinare C tramite ) e poi scrivere le equazioni delle due rette usando le seguenti formule a 1 + ) deta ) x c 1 ) + a y c ) = 0 a 1 ) deta ) x c 1 ) + a y c ) = 0 dove c 1, c ) sono le coordinate di C. Esempio La conica x + 14xy 5y 10x + 14y 8 = 0 ha matrici tali che ranka) = rank 7 5 7 5 7 7 = e deta ) = det = 64 < 0, 7 5 5 7 8 per cui rappresenta l unione di due rette incidenti nel centro di simmetria C. Scrivendo l equazione della conica come equazione nell incognita x, si ottiene x +7y 5)x 5y +14y 8 = 0 il cui discriminante è /4 = 7y 5) + 5y 14y + 8) = 64y 11y + 49 = 8y 7). Pertanto le soluzioni rispetto a x sono 7y 5) 8y 7) 7y 5) + 8y 7) x = = 5y + 4 e x = = 1 y ), ovvero la conica è l unione delle due rette x + 5y 4 = 0 e x y + = 0. Intersecando queste due rette, ovvero risolvendo il sistema x + 5y 4 = 0 x y + = 0 Si ottengono le coordinate del centro di simmetria C = 8, 7 ). 8

CASO : ranka) = e deta ) > 0. La 1) è soddisfatta dall unico punto C di R che si ottiene risolvendo il sistema ). In questo caso il polinomio F x, y) si può scrivere solo come prodotto di due polinomi di primo grado a coefficienti complessi. Esempio 4 La conica x 4xy + 4y + x + 1 = 0 ha matrici tali che ranka) = rank 1 4 0 = e deta ) = det 4 1 0 1 = 4 > 0, quindi è l unione di due rette complesse coniugate il cui punto di intersezione è l unico punto reale della conica e si ottiene risolvendo x y + 1 = 0 = C = 1, 1 ). x + 4y = 0 Con un procedimento analogo a quello visto negli esempi precedenti su potrebbe anche trovare le equazioni delle due rette che avranno però coefficienti complessi. CASO 4: ranka) = e deta ) = 0. La conica rappresenta due rette parallele che, però, potrebbero anche essere complesse coniugate ed in tal caso la conica non avrebbe punti reali. Si può comunque procedere, come illustrato nei casi precedenti, cercando di risolvere l equazione 1) rispetto a x o a y : in questo caso il discriminante viene necessariamente una costante che sarà positiva, se la conica rappresenta due rette parallele reali, oppure negativa, se la conica rappresenta due rette parallele complesse. Esempio 5 La conica 4x 4xy + y + 6x y + = 0 ha matrici tali che ranka) = rank 4 1 / 4 = e deta ) = det 1 / = 0, quindi è l unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l equazione della conica come un equazione in y, si ottiene y 4x + )y + 4x + 6x + = 0 che ha discriminante = 4x + ) 44x + 6x + ) = 1 > 0 e, quindi, ha soluzioni reali y = 4x + ± 1, ovvero la conica è l unione delle due rette reali e parallele y = x + e y = x + 1. Esempio 6 La conica x + 6xy + 9y + 4x + 1y + 5 = 0 ha matrici tali che ranka) = rank 1 9 6 1 = e deta ) = det = 0, 9 6 5 quindi è l unione di due rette parallele reali o complesse. Guardando l equazione della conica come un equazione in x, si ottiene x + y + )x + 9y + 1y + 5 = 0 che ha discriminante /4 = y + ) 9y + 1y + 5) = 1 < 0 e, quindi, non ha soluzioni reali, per cui la conica non ha punti reali ma è l unione di due rette parallele complesse coniugate. CASO 5: ranka) = e deta ) < 0. La 1) rappresenta un iperbole il cui centro di simmetria C = c 1, c ) si ottiene risolvendo ). Gli assi di simmetria dell iperbole sono le due rette passanti per C e parallele agli autovettori di A ed hanno equazione αx c 1 ) βy c ) = 0 e βx c 1 ) + αy c ) = 0, dove si può scegliere ) α = a 1 e β = a 11 a + a 11 a ) + 4a 1.

Gli asintoti dell iperbole hanno le seguenti equazioni a 1 + ) deta ) x c 1 ) + a y c ) = 0 a 1 ) deta ) x c 1 ) + a y c ) = 0. In particolare, nel caso in cui a 11 = a l iperbole è equilatera, cioè i suoi due asintoti sono perpendicolari. Una volta tracciati gli asintoti, generalmente basta trovare le intersezioni della conica con gli assi cartesiani per capire in quali spicchi opposti giacciono i due rami dell iperbole. In questo modo si capisce anche quale dei due assi di simmetria interseca i due rami dell iperbole e, intersecandolo effettivamente con la conica, se ne determinano i due vertici. Esempio 7 La conica 11x 4xy + 4y + 94x 48y + 99 = 0 ha matrici tali che 11 1 47 ranka) = rank 1 4 4 11 1 = e deta ) = det = 100 < 0, 1 4 47 4 99 quindi è un iperbole non equilatera perché a 11 = 11 4 = a ). Il centro di simmetria si determina tramite il sistema ) 11x 1y + 47 = 0 = C = 1, ). 1x + 4y 4 = 0 Usando le formule ) si ottengono α = 4 e β = per cui gli assi di simmetria dell iperbole hanno equazioni 4x + 1) y ) = 0 e x + 1) 4y ) = 0, cioè sono le rette x + 4y 9 = 0 e 4x y + 1 = 0. Gli asintoti invece hanno equazioni 1 ± 10) x + 1) + 4y ) = 0 ovvero sono le rette x y + 7 = 0 e 11x y + 17 = 0. Intersecando l iperbole con gli assi cartesiani si ottengono i seguenti punti 11x + 94x + 99 = 0 y = 0 4y 48y + 99 = 0 x = 0 = P 1 = = P = 47 4 ) 70, 0, P = 11 0, 4 ) 5, P 4 = 47 + 4 ) 70, 0 11 0, 4 + ) 5. Disegnando questi punti ed i due asintoti si vede subito che i due rami dell iperbole devono essere contenuti nei due spicchi più larghi formati dagli asintoti e se ne deduce che, tra i due assi di simmetria, quello che interseca l iperbole è quello con coefficiente angolare negativo, cioè x+4y 9 = 0. Calcolando quest ultima intersezione, 11x 4xy + 4y + 94x 48y + 99 = 0 4x + y 5 = 0 = V 1 = 9 5, 18 ), V = 1 5 5, 1 ). 5 si ottengono le coordinate dei vertici dell iperbole. CASO 6: ranka) = e deta ) > 0. Bisogna distinguere due sotto-casi. Calcolato il centro C = c 1, c ) tramite ), se tra ) F c 1, c ) > 0, la conica descritta da 1) non ha punti reali, ma solo punti complessi, cioè la 1) non è soddisfatta da alcun punto di R e non c è altro da fare. Consideriamo invece il caso in cui tra ) F c 1, c ) < 0. Allora la 1) descrive un ellisse con centro di simmetria in C. Se a 1 = 0 e a 11 = a, in realtà l equazione può essere scritta nel modo seguente x + y + ax + by + c = 0 4

e quindi rappresenta una circonferenza di centro C e raggio r = a/) + b/) c. Se invece a 1 0 oppure a 11 a, si tratta di un ellisse vera e propria i cui assi di simmetria sono le rette passanti per C e ortogonali ai due autovettori di A. In particolare tali assi si determinano nello stesso modo che nel caso dell iperbole, cioè sono le rette di equazioni αx c 1 ) βy c ) = 0 e βx c 1 ) + αy c ) = 0, dove si può scegliere 4) α = a 1 e β = a 11 a + a 11 a ) + 4a 1. Intersecando gli assi di simmetria con l ellisse si determinano le coordinate dei vertici. Esempio 8 La conica x + y + 1x 8y + 66 = 0 rappresenta una circonferenza, il che si vede ancora meglio dopo aver diviso l equazione per ottenendo x + y + 6x 14y + = 0. Quindi il centro ha coordinate C = 6/, 14/) =, 7) e raggio r = 9 + 49 = 5. Esempio 9 La conica F x, y) = 17x 1xy + 8y 44x 8y + 15 = 0 ha matrici tali che 17 6 ranka) = rank 6 8 4 17 6 = e deta ) = det = 100 > 0, 6 8 4 15 quindi o non ha punti reali o è un ellisse non può comunque essere una circonferenza). Si determina il centro di simmetria tramite ): 17x 6y = 0 = C =, ). 6x + 8y 4 = 0 Poiché tra ) = 17 + 8 = 5 > 0 e F, ) = 100 > 0, la conica non ha punti reali. Esempio 10 Modificando solo il termine noto della conica dell esempio precedente, si ottiene la conica F x, y) = 17x 1xy + 8y 44x 8y 48 = 0 con le seguenti matrici 17 6 ranka) = rank 6 8 4 17 6 = e deta ) = det = 100 > 0, 6 8 4 48 quindi, di nuovo, la conica o non ha punti reali o è un ellisse. Il centro di simmetria è lo stesso dell esempio precedente C =, ) il sistema che lo determina non cambia), ma stavolta tra ) = 5 > 0 e F, ) = 100 < 0 per cui si tratta effettivamente di un ellisse con centro in C =, ). Usando le formule 4) si ottengono α = 1 e β = 4 per cui gli assi di simmetria dell ellisse hanno equazioni 1x ) 4y ) = 0 e 4x ) 1y ) = 0, cioè sono le rette x + y 6 = 0 e x y = 0. Intersecando queste rette con la conica si ottengono le coordinate dei quattro vertici dell ellisse: 17x 1xy + 8y 44x 8y + 15 = 0 = V 1 = 0, ), V = 4, 1); x + y 6 = 0 17x 1xy + 8y 44x 8y + 15 = 0 = V = 0, ), V 4 = 4, 6). x y = 0 Calcolando le semi-distanze tra vertici opposti, si determinano le lunghezze dei semi-assi dell ellisse, cioè il semi-asse staccato su x y = 0 è lungo V V 4 / = 5 mentre quello staccato su x + y 6 = 0 è lungo V 1 V / = 5. 5

CASO 7: ranka) = e deta ) = 0. La 1) rappresenta una parabola. In questo caso è possibile determinare a, b R tali che a 11 x + a 1 xy + a y = ax + by) di fatto si può scegliere a = a 11 e b = a, con b avente lo stesso segno di a 1 ). Allora l asse di simmetria della parabola ha equazione 5) aa 11 x + a 1 y + a 1 ) + ba 1 x + a y + a ) = 0 e le coordinate del vertice si trovano facendo l intersezione fra questo asse e la parabola. Per stabilire poi da che parte guarda la concavità della parabola, conviene semplicemente trovare le intersezioni della parabola con gli assi cartesiani. Esempio 11 La conica 9x + 6xy + y 4x 8y 1 = 0 ha matrici tali che ranka) = rank 9 1 4 9 = e deta ) = det 1 4 1 = 0, quindi si tratta di una parabola. Si osserva che, come previsto, la parte di secondo grado forma un quadrato perfetto 9x + 6xy + y = x + y), per cui nella formula 5) si può scegliere a = e b = 1 ottenendo che l equazione dell asse della parabola è 9x + y ) + x + y 4) = 0 = x + y 1 = 0. Intersecando l asse con la parabola si trova il vertice 9x + 6xy + y 4x 8y 1 = 0 x + y 1 = 0 = V = 1, ), mentre intersecando la parabola con gli assi cartesiani si trovano i seguenti punti 9x 4x 1 = 0 y = 0 y 8y 1 = 0 x = 0 = P 1 = 1, 0), P = ) 1 9, 0, = P = 0, 4 9 ), P 4 = 0, 4 + 9 ), per cui, facendo un disegno, se ne deduce che la concavità della parabola è rivolta verso il semiasse superiore. 6