RETI DI TELECOMUNICAZIONE Modelli delle Sorgenti di Traffico Generalità Per la realizzazione di un modello analitico di un sistema di telecomunicazione dobbiamo tenere in considerazione 3 distinte sezioni 1. Sorgenti 2. Aggregato delle sorgenti 3. Sottosistema di comunicazione Modelli delle Sorgenti di Traffico 2 1
Modelli delle sorgenti di traffico Modelli senza memoria (renewal models) Sono i modelli matematicamente più semplici Assumono che il tempo che intercorre fra la generazione di due successive unità informative sia indipendente e identicamente distribuito (tempi di interarrivo indipendenti e identicamente distribuiti) La distribuzione può essere di tipo generale La funzione di autocorrelazione risulta non nulla solo in 0 Non si ha correlazione Le sorgenti che emettono segnali in maniera correlata non possono essere modellate correttamente in quanto tali modelli non possono catturare le correlazioni temporali Distribuzione binomiale Nel caso di modelli tempo discreto Distribuzione poissoniana Nel caso di modelli tempo continuo Modelli delle Sorgenti di Traffico 3 Modelli delle sorgenti di traffico Distribuzione binomiale Tempo discreto Probabilità di emissione in uno slot pari a p, 0<p<1 Distribuzione geometrica del numero di slot fra due successive emissioni Distribuzione binomiale negativa del numero di slot necessari per ottenere l emissione di k elementi Distribuzione binomiale della probabilità di avere x emissioni in un numero di slot pari a n Modelli delle Sorgenti di Traffico 4 2
Modelli delle sorgenti di traffico Distribuzione di Poisson Tempo continuo Frequenza delle emissioni pari a λ Distribuzione esponenziale del tempo che intercorre fra due successive emissioni Distribuzione Erlang-k del tempo necessario per ottenere l emissione di k elementi Distribuzione di Poisson della probabilità di avere x emissioni in un intervallo di tempo pari a t Modelli delle Sorgenti di Traffico 5 Modelli delle sorgenti di traffico Teorema di Palm Il risultato della sovrapposizione di molti processi indipendenti genera un processo con distribuzione di probabilità degli eventi di Poisson I processi di Poisson (o binomiali, nel caso tempo discreto) caratterizzano bene solo la sovrapposizione di un grande numero di sorgenti indipendenti ciascuna con una distribuzione generale di probabilità di emissione In realtà è stato recentemente dimostrato che anche l aggregato di diversi stream di traffico non genera processi di Poisson Soluzione: Introdurre il concetto di stato della sorgente per tenere in considerazioni le diverse condizioni nelle quali può trovarsi Utilizzare dei processi ausiliari (come le catene di Markov) che controllino (modulino) lo stato della sorgente Modelli delle Sorgenti di Traffico 6 3
Interrupted Poisson Process IPP Modello tempo continuo Il processo di emissione di Poisson è modulato da una catena di Markov continua a due stati Se la catena di Markov si trova nello stato 1 (ON) si ha emissione con rate λ Se la catena di Markov si trova nello stato 0 (OFF) non si ha emissione In pratica il processo di emissione di Poisson è interrotto quando la catena di Markov del processo modulante ( s(t) ) si trova nello stato OFF Modelli delle Sorgenti di Traffico 7 Interrupted Poisson Process IPP Il processo s(t) può essere caratterizzato dalla matrice di transizione Il rate di emissione, a seconda dello stato, può essere caratterizzato dal vettore Possiamo ricavare le probabilità di stato stazionarie per la catena di Markov Modelli delle Sorgenti di Traffico 8 4
Interrupted Poisson Process IPP Che si ottengono risolvendo il sistema di equazioni Dove è il vettore riga delle probabilità di stato e Si trova Modelli delle Sorgenti di Traffico 9 Interrupted Poisson Process IPP Il valore massimo del rate sarà Il valore medio Si definisce fattore di burstiness Modelli delle Sorgenti di Traffico 10 5
Interrupted Poisson Process IPP La funzione di autocorrelazione assume la forma Notando che la relazione può essere semplificata nella forma dove, nell ultima espressione si è tenuta in considerazione la regola di Bayes Modelli delle Sorgenti di Traffico 11 Interrupted Poisson Process IPP Considerando la matrice di transizione della catena di Markov tempo continua H fra gli istanti t e t+τ il vettore di probabilità di stato stazionario Π sarà dove P 11 è l elemento, della matrice di transizione tempo continua, che indica la probabilità di trovarsi nello stato 1 sia all istante t che all istante t+τ Modelli delle Sorgenti di Traffico 12 6
Interrupted Poisson Process IPP La funzione di autocorrelazione assume quindi la forma ed essendo il sistema stazionario possiamo considerare solo gli intervalli di tempo τ piuttosto che gli istanti assoluti t e t+τ Dalla teoria sulle catene di Markov tempo continue (gruppo slide n. 7) avevamo ricavato che la matrice di transizione H è legata alla matrice delle frequenze di transizione Q dalla relazione essendo la matrice delle frequenze di transizione Q(t)=Q costante Modelli delle Sorgenti di Traffico 13 Interrupted Poisson Process IPP Per ricavare gli elementi della matrice H (calcolare la matrice esponenziale) ricorriamo alla decomposizione spettrale Dove L e T sono rispettivamente la matrice degli autovalori e degli autovettori della matrice Q: Q=T -1 L T Modelli delle Sorgenti di Traffico 14 7
Si ricava Interrupted Poisson Process IPP e quindi Modelli delle Sorgenti di Traffico 15 Interrupted Poisson Process IPP In definitiva la funzione di autocorrelazione assume la forma Costituita da una costante sommata a un esponenziale decrescente il cui andamento è riportato in figura per i valori di α=0.5, β=2, λ=1 Modelli delle Sorgenti di Traffico 16 8
Interrupted Poisson Process IPP Agendo sui valori della matrice Q ( costanti α e β ) e sul vettore Γ=[γ 0, γ 1 ] dei rate di emissione possiamo ottenere i valori desiderati delle statistiche del primo ordine Vettore delle probabilità di stato stazionarie Π e quindi Valore di picco del rate P Λ Valore medio del rate M Λ Fattore di burstiness b Λ e impostare parzialmente la statistica del secondo ordine Agendo sull andamento della funzione di autocorrelazione R ΛΛ (τ) del rate di emissione che assume la forma data nella slide precedente Modelli delle Sorgenti di Traffico 17 Markov Modulated Poisson Process MMPP Per ottenere l andamento desiderato della funzione di autocorrelazione occorre avere più gradi di libertà per la scelta dei parametri Si possono utilizzare delle catene di Markov a N stati per modulare il processo di Poisson associando ad ogni stato un diverso rate di emissione γ i Possiamo generalizzare i modelli IPP considerando: Una matrice delle frequenze di transizione Q NxN Un vettore che caratterizza il rate di emissione per ogni stato Γ 1xN Modelli delle Sorgenti di Traffico 18 9
Markov Modulated Poisson Process MMPP La matrice delle frequenze di transizione Q assumerà la forma Il vettore dei rate di emissione Γ Modelli delle Sorgenti di Traffico 19 Markov Modulated Poisson Process MMPP Si possono ricavare le probabilità di stato a regime E definire il rate di emissione massimo, il rate di emissione medio e il fattore di burstiness Modelli delle Sorgenti di Traffico 20 10
Markov Modulated Poisson Process MMPP La funzione di autocorrelazione assumerà la forma considerando il sistema stazionario sarà Modelli delle Sorgenti di Traffico 21 Markov Modulated Poisson Process MMPP Gli elementi P ij possono essere ricavati determinando la matrice H delle probabilità di transizione calcolabile a partire dalla matrice delle frequenze di transizione Q (dopo la decomposizione spettrale) Modelli delle Sorgenti di Traffico 22 11
Markov Modulated Poisson Process MMPP Analogamente al modello IPP, la funzione di autocorrelazione assumerà la forma dove λ i sono gli autovalori della matrice di transizione Q R i sono funzione degli elementi q ij della matrice Q Sarà possibile in questo modo variare con più gradi di libertà l andamento della funzione di autocorrelazione Modelli delle Sorgenti di Traffico 23 Descrizione tempo-discreta delle sorgenti di traffico Il tempo si considera suddiviso in unità di lunghezza costante detti slot Si assuma la durata di uno slot espressa in secondi L unità temporale può essere assunta pari al numero k di sequenza dello slot All interno di uno slot si può avere l emissione di un certo numero A k di unità informative (che potrebbero degenerare ai singoli bit) Modelli delle Sorgenti di Traffico 24 12
Interrupted Bernoulli Process IBP Modello tempo discreto Il processo di emissione di Bernoulli è modulato da una catena di Markov discreta a due stati (sincronizzata con il processo) Durante la permanenza della catena di Markov nello stato 1 (ON) si ha emissione di pacchetti secondo un proceso di Bernoulli con parametro p Durante la permanenza della catena di Markov nello stato 0 (OFF) non si ha emissione di pacchetti In pratica il processo di emissione di Bernoulli è interrotto quando la catena di Markov discreta del processo modulante ( s(n) ) si trova nello stato OFF Modelli delle Sorgenti di Traffico 25 Interrupted Bernoulli Process IBP Il processo s(n) può essere caratterizzato dalla matrice di transizione ad un passo della catena di Markov discreta Si possono ricavare le probabilità di stato a regime risolvendo il sistema di equazioni dove Modelli delle Sorgenti di Traffico 26 13
Interrupted Bernoulli Process IBP Risolvendo il sistema si trova Il processo di emissione per ogni stato può essere rappresentato dal vettore Dove il generico termine γ i indica la probabilità che venga emesso un pacchetto quando il sistema si trova nello stato i Modelli delle Sorgenti di Traffico 27 Interrupted Bernoulli Process IBP Il valore massimo del rate sarà Il valore medio Il fattore di burstiness Modelli delle Sorgenti di Traffico 28 14
Interrupted Bernoulli Process IBP Possiamo determinare anche la funzione distribuzione di probabilità del processo di emissione dei pacchetti E la funzione di autocorrelazione Modelli delle Sorgenti di Traffico 29 Notando che Interrupted Bernoulli Process IBP sarà Ricordandosi che che si possono ottenere dal vettore di probabilità di stato e dalla matrice di transizione di probabilità a più passi Possiamo scrivere l autocorrelazione come Modelli delle Sorgenti di Traffico 30 15
Interrupted Bernoulli Process IBP Per un sistema stazionario sarà e la matrice di transizione di probabilità a più passi può essere calcolata a partire dalla matrice di transizione di probabilità ad un passo secondo la relazione Che effettuando la decomposizione ai valori singolari può essere calcolata come Modelli delle Sorgenti di Traffico 31 Interrupted Bernoulli Process IBP Dove L è la matrice contenente gli autovalori nella diagonale e T è la matrice degli autovettori Si trova Modelli delle Sorgenti di Traffico 32 16
E risolvendo Interrupted Bernoulli Process IBP Per cui l autocorrelazione assume la forma Costituita da una costante sommata a una potenza con base minore si 1 il cui andamento è riportato in figura per i valori di α=0.002, β=0.075, p=1 Modelli delle Sorgenti di Traffico 33 Interrupted Bernoulli Process IBP Agendo sui valori della matrice Q ( costanti α e β ) e sul vettore Γ=[γ 0, γ 1 ] delle probabilità di emissione dei pacchetti possiamo ottenere i valori desiderati delle statistiche del primo ordine Vettore delle probabilità di stato stazionarie Π e quindi Valore medio del rate M Λ Fattore di burstiness b Λ impostare parzialmente la funzione distribuzione di probabilità f Γ (r) e impostare parzialmente la statistica del secondo ordine Agendo sull andamento della funzione di autocorrelazione R ΛΛ (m) delle probabilità di emissione dei pacchetti che assume la forma data nella slide precedente Modelli delle Sorgenti di Traffico 34 17
Markov Modulated Bernoulli Process MMBP Analogamente a quanto fatto per il passaggio dagli IPP ai MMPP si possono descrivere i MMBP a partire dagli IBP Si avrà una matrice delle probabilità di transizione P NxN Un vettore delle probabilità di emissione 1xN Modelli delle Sorgenti di Traffico 35 Markov Modulated Bernoulli Process MMBP Dalle quali si possono ricavare le probabilità di stato a regime e quindi il rate di emissione medio, il fattore di burtstiness e la funzione distribuzione di probabilità Modelli delle Sorgenti di Traffico 36 18
Markov Modulated Bernoulli Process MMBP La funzione di autocorrelazione assumerà la forma se il sistema è stazionario sarà Modelli delle Sorgenti di Traffico 37 Markov Modulated Bernoulli Process MMBP Dove i termini P ij (m) sono gli elementi in posizione ij della matrice di transizione di probabilità ad m passi Effettuando la decomposizione spettrale con L matrice diagonale degli autovalori e T matrice degli autovettori Modelli delle Sorgenti di Traffico 38 19
Markov Modulated Bernoulli Process MMBP La funzione di autocorrelazione potrà essere scritta come dove i coefficienti λ i sono gli autovalori della matrice P e i termini R i si ottengono a partire dai coefficienti della matrice P Con un certo grado di libertà si può quindi imporre l andamento della funzione di autocorrelazione Modelli più complessi possono essere ottenuti utilizzando delle distribuzioni di probabilità diverse per ogni stato Switched Batch Bernoulli Process (SBBP) In ogni stato si prevede una certa distribuzione di probabilità che prevede l emissione di 0,1,,n i pacchetti Modelli delle Sorgenti di Traffico 39 Sovrapposizione Markoviana In alcuni casi può essere conveniente costruire il modello dell aggregato di un certo numero di sorgenti Consideriamo ad esempio la sovrapposizione di due sorgenti di tipo IBP (che indichiamo rispettivamente con i pedici A e B) Il processo cumulativo sarà costituito da 4 stati, ciascuno dei quali rappresenta una delle possibili combinazioni nelle quali si possono trovare i due processi indipendenti Modelli delle Sorgenti di Traffico 40 20
Sovrapposizione Markoviana Calcolo della matrice P del modello sovrapposto La matrice P è quindi data dal prodotto di Kronecker delle due matrici P A e P B Questo è un risultato generale che vale per la sovrapposizione di qualunque numero di sorgenti MMBP La probabilità di emissione per ogni stato sarà Modelli delle Sorgenti di Traffico 41 Sovrapposizione Markoviana Costruite le matrici A(r) in maniera tale che Modelli delle Sorgenti di Traffico 42 21
Sovrapposizione Markoviana Saranno le matrici che rappresentano le probabilità di transitare da uno stato all altro e contemporaneamente emettere r pacchetti Per sorgenti statisticamente indipendenti sarà Modelli delle Sorgenti di Traffico 43 Sovrapposizione Markoviana Il processo aggregato è quindi un processo SBBP in quanto per ogni stato è definita una distribuzione delle probabilità di emettere 0, 1 o 2 pacchetti Anche considerando la sovrapposizione di due sorgenti di tipo IPP (che indichiamo rispettivamente con i pedici A e B) Il processo cumulativo sarà costituito da 4 stati, ciascuno dei quali rappresenta una delle possibili combinazioni nelle quali si possono trovare i due processi indipendenti In questo caso però non si ammette una transizione contemporanea con doppio cambiamento di stato perché si fa l ipotesi che due differenti eventi non possano avvenire contemporaneamente (per i processi continui questa probabilità è nulla) Modelli delle Sorgenti di Traffico 44 22
Sovrapposizione Markoviana Si ha quindi il modello sovrapposto Modelli delle Sorgenti di Traffico 45 Sovrapposizione Markoviana Calcolo della matrice P del modello sovrapposto La matrice Q è quindi data dalla somma di Kronecker delle due matrici Q A e Q B Questo è un risultato generale che vale per la sovrapposizione di qualunque numero di sorgenti MMPP Il rate di emissione per ogni stato sarà Modelli delle Sorgenti di Traffico 46 23
Sovrapposizione Markoviana Con la sovrapposizione Markoviana nel dominio tempo discreto Lo spazio degli stati si ottiene come prodotto cartesiano dei singoli spazi degli stati che compongono il processo La matrice di transizione di probabilità si ottiene come prodotto di Kronecker delle matrici di transizione di probabilità che compongono il processo Con la sovrapposizione Markoviana nel dominio tempo continuo Lo spazio degli stati si ottiene come prodotto cartesiano dei singoli spazi degli stati che compongono il processo La matrice dei tassi di transizione si ottiene come somma di Kronecker delle matrici di tasso di transizione che compongono il processo Modelli delle Sorgenti di Traffico 47 Sovrapposizione Markoviana I modelli ottenuti con sovrapposizione Markoviana risultano molto accurati L inconveniente maggiore è dovuto alla crescita esponenziale del numero degli stati Sovrapponendo, ad esempio, 10 sorgenti SBBP ciascuna con 4 stati si ottiene un processo aggregato con 4 10 =1.048.576 stati Una possibile soluzione è quella di creare un modello che cerca di catturare direttamente le caratteristiche statistiche del processo aggregato (sovrapposizione statistica) Modelli delle Sorgenti di Traffico 48 24