Esercizi di Geometria - 2

Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel risolvere queste ultime, non limitarsi a rispondere vero o falso, ma annotarsi anche una motivazione della risposta, da confrontare con quella fornita. 1 Domande aperte Domanda 1 Quando un prodotto scalare è degenere? Domanda 2 Cos è un prodotto scalare? Domanda 3 Quando un prodotto scalare su R n si dice definito? Domanda 4 Quando un prodotto scalare su un campo generico si dice indefinito? Domanda 5 Cos è una base ortonormale per un prodotto scalare? Domanda 6 Cos è una base ortogonale per un prodotto scalare? Domanda 7 Cos è lo spazio radicale di V rispetto ad un prodotto scalare? Domanda 8 Cos è il duale dello spazio vettoriale V sul campo K? Domanda 9 Cos è una matrice ortogonale? Domanda 10 Cos è un applicazione autoaggiunta rispetto ad un prodotto scalare? Domanda 11 Cos è l annullatore di un sottoinsieme E di V? Domanda 12 Cos è l applicazione aggiunta di un applicazione lineare f : V V rispetto ad un prodotto scalare su V? Domanda 13 Cos è lo spazio ortogonale di un sottospazio W di V rispetto ad un prodotto scalare? Domanda 14 Cos è un vettore isotropo? 2 Vero-Falso Domanda 1 Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n su K, il suo duale V ha dimensione n + 1 su K. Domanda 2 L annullatore di un sottospazio di R 3 di dimensione 1 è un sottospazio di (R 3 ) di dimensione 2. 1

Domanda 3 L annullatore di un sottoinsieme E di R 4 coincide con l annullatore del sottospazio generato da E in R 4. Domanda 4 Se f : V W è un applicazione lineare tra spazi vettoriali, la sua trasposta è un applicazione lineare t f : W V. Domanda 5 L applicazione p(x) p(1)p(2) è un elemento del duale di R 2 [x]. Domanda 6 v, w = 2v, w/2 Domanda 7 v, 2w = 2v, w Domanda 8 v, w + v, w = 0 Domanda 9 v + w, v + w v, w = v, v + w, w Domanda 10 v + w, v w = v, v w, w. Domanda 11 Non esiste nessun prodotto scalare su R 2 che sia degenere e indefinito (ma non semidefinito). Domanda 12 Ogni prodotto scalare definito su R n ammette una base ortogonale. Domanda 13 Se un prodotto scalare su C n ammette una base ortonormale, allora è definito positivo. Domanda 14 Un prodotto scalare degenere non ammette una base ortogonale. Domanda 15 Se la matrice associata ad un prodotto scalare rispetto ad una qualche base ha un 1 sulla diagonale, il prodotto non è definito positivo. Domanda 16 Se la traccia della matrice associata ad un prodotto scalare rispetto ad una qualche base è positiva, allora il prodotto scalare è definito negativo. Domanda 17 Se il determinante della matrice associata è negativo, allora il prodotto scalare è indefinito. Domanda 18 Se un prodotto scalare su R n è semidefinito, ogni vettore isotropo appartiene al radicale. Domanda 19 Il radicale contiene tutti i vettori isotropi. Domanda 20 Tutti i vettori del radicale sono isotropi. Domanda 21 In R n, il radicale contiene tutti i vettori isotropi se e solo se il prodotto scalare è definito o semidefinito. Domanda 22 Due vettori del radicale sono ortogonali. Domanda 23 Se v w e z w, allora v = λz con λ R. Domanda 24 Se v w e z w, allora v + z w. Domanda 25 Se v w allora w v. Domanda 26 Due piani iperbolici si intersecano solo nell origine. Domanda 27 In R 3 possono esserci tre piani iperbolici distinti. Domanda 28 Ogni prodotto scalare semidefinito ammette un piano iperbolico. 2

Domanda 29 Se W W = {0}, allora W contiene un vettore isotropo. Domanda 30 Per un prodotto scalare degenere, W W {0} per ogni sottospazio W {0}. Domanda 31 Se W W sono due sottospazi vettoriali, allora W W. Domanda 32 Se W, W sono due sottospazi vettoriali, allora (W W ) = W W. Domanda 33 Se W è un sottospazio vettoriale, W W contiene solo vettori isotropi. 3 Risposte alle domande aperte Risposta alla Domanda 1 Un prodotto scalare, su V, spazio vettoriale sul campo K, si dice degenere se il suo spazio radicale V = {v V v, w = 0 w V } è diverso dal solo zero. Oppure: Si dice degenere se esiste un vettore non nullo ortogonale a tutto V. Osservazione: Questo implica che la matrice associata al prodotto scalare rispetto ad una qualche base ha determinante nullo. Risposta alla Domanda 2 Un prodotto scalare, su V, spazio vettoriale sul campo K, è un applicazione bilineare e simmetrica da V V in K. Più esplicitamente: E un applicazione, : V V K tale che λv + µv, w = λ v, w + µ v, w v, w = w, v Risposta alla Domanda 3 Un prodotto scalare, su R n si dice definito positivo (o negativo) se per ogni vettore v V non nullo si ha v, v > 0 (oppure v, v < 0). Risposta alla Domanda 4 Un prodotto scalare, su V, spazio vettoriale sul campo K, si dice indefinito se esiste un vettore isotropo non nullo. Osservazione : questa definizione include anche il caso dei semidefiniti (che fanno parte degli indefiniti su un campo generico); per escluderli si può modificare vettore isotropo non nullo in vettore isotropo non appartenente al radicale. Risposta alla Domanda 5 Una base {v 1,..., v n } di uno spazio vettoriale V sul campo K si dice ortonormale per il prodotto scalare, se: v i, v i = 1 per ogni i = 1,..., n v i, v j = 0 se i j. Risposta alla Domanda 6 Una base {v 1,..., v n } di uno spazio vettoriale V sul campo K si dice ortogonale per il prodotto scalare, se v i, v j = 0 quando i j. Risposta alla Domanda 7 Lo spazio radicale di V rispetto al prodotto scalare, è V = {v V v, w = 0 w V } 3

Risposta alla Domanda 8 Il duale di V, spazio vettoriale sul campo K, è lo spazio vettoriale V = {L : V K L è K lineare} Oppure: E lo spazio vettoriale formato dalle applicazioni K lineari da V al campo K. Risposta alla Domanda 9 Una matrice ortogonale è una matrice quadrata M tale che M t M = I, ovvero M t = M 1. Risposta alla Domanda 10 Un applicazione lineare f : V autoaggiunta rispetto al prodotto scalare, se V si dice v, f(w) = f(v), w v, w V Risposta alla Domanda 11 L annullatore di E V è l insieme Ann(E) = {L V L(v) = 0 v E} Risposta alla Domanda 12 L applicazione aggiunta di f : V V rispetto al prodotto scalare, è un applicazione lineare a f : V V tale che v, f(w) = a f(v), w v, w V Risposta alla Domanda 13 Lo spazio ortogonale di W, sottospazio vettoriale di V, rispetto al prodotto scalare, è W = {v V v, w = 0 w W } Risposta alla Domanda 14 Un vettore v V è isotropo per il prodotto scalare, se v, v = 0. 4 Risposte ai quesiti vero-falso Risposta alla Domanda 1 Falso. Se V è uno spazio di dimensione finita, V ha la stessa dimensione di V. Risposta alla Domanda 2 Vero. Infatti, per un sottospazio W di V vale la formula dim W + dim Ann(W ) = dim V, quindi se V = R 3 e W ha dimensione 1 si ha dim Ånn(W ) = 3 1 = 2. Risposta alla Domanda 3 Vero. E vero in generale, non solo in R 4, che l annullatore di un sottoinsieme coincide con l annullatore dello spazio generato da questo. Risposta alla Domanda 4 Falso. La trasposta è un applicazione tra i duali, quindi t f : W V. Risposta alla Domanda 5 Falso. Infatti quella applicazione non è lineare: x 2 ma 2x 8 che non è 2 2. Risposta alla Domanda 6 Vero. 2v, w/2 = 2 (1/2) v, w = v, w. 4

Risposta alla Domanda 7 Vero. v, 2w = 2 v, w = 2v, w. Risposta alla Domanda 8 Vero. v, w ) = v, w. Risposta alla Domanda 9 Falso. Manca a destra il termine v, w. Risposta alla Domanda 10 Vero. v + w, v w = v, v w + w, v w = v, v v, w + w, v w, w. Risposta alla Domanda 11 Vero. Un prodotto indefinito (non semidefinito) deve avere, nella matrice associata, un autovalore positivo e uno negativo, entrambi non nulli; perché sia degenere serve poi che almeno un autovalore sia 0. Ma in R 2 possiamo avere al più 2 autovalori, quindi non è possibile. Risposta alla Domanda 12 Vero. In realtà, ogni prodotto scalare su R n ammette una base ortogonale e possiamo trovarla con il metodo di Lagrange (non serve quindi che sia definito). Risposta alla Domanda 13 Falso. Ogni prodotto non degenere di C n ammette una base ortonormale e per di più su C non ha senso parlare di positivi e negativi. Risposta alla Domanda 14 Falso. Ogni prodotto scalare ammette una base ortogonale. Risposta alla Domanda 15 Vero. In corrispondenza di quel 1 si ha un vettore della base tale che e i, e i < 0, quindi il prodotto non può essere definito positivo. Risposta alla Domanda 16 Falso. La traccia e il determinante, da soli, non possono determinare la segnatura di un prodotto scalare (e anche insieme possono solo su R 2 ). Risposta alla Domanda 17 Falso. Vedi sopra. Risposta alla Domanda 18 Vero. Se il prodotto scalare è semidefinito, non possiamo avere due vettori con prodotto scalare di segno opposto da combinare per avere un vettore isotropo, quindi l unica possibilità è il radicale. Risposta alla Domanda 19 Falso. Ad esempio, per il prodotto scalare x, y = x 1 y 2 + x 2 y 1 il radicale è il solo 0, ma il vettore e 1 è isotropo. Risposta alla Domanda 20 Vero. Essendo ortogonali a tutto lo spazio, i vettori del radicale sono anche ortogonali a se stessi, quindi isotropi. Risposta alla Domanda 21 Vero. Vedi sopra. Risposta alla Domanda 22 Vero. Sono ortogonali a tutto lo spazio, quindi anche tra di loro. Risposta alla Domanda 23 Falso. Ad esempio i vettori della base di R 3 rispettano le condizioni di ortogonalità, ma non la conclusione. Risposta alla Domanda 24 Vero. componente. Il prodotto scalare è lineare in ogni Risposta alla Domanda 25 Vero. Il prodotto scalare è simmetrico. 5

Risposta alla Domanda 26 Falso. In R 3, il prodotto scalare x, y = x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 3 + x 3 y 2 ha come piani iperbolici i generati da {e 1, e 2 } e {e 2, e 3 }, che quindi si incontrano lungo la retta generata da e 2. Risposta alla Domanda 27 Vero. Basta considerare il prodotto scalare x, y = x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + x 1 y 3 + x 3 y 1 che ha come piani iperbolici i generati da {e 1, e 2 }, {e 2, e 3 }, {e 1, e 3 }. Risposta alla Domanda 28 Falso. Un prodotto scalare semidefinito non può ammettere un piano iperbolico, perché in un piano iperbolico ci sono un vettore tale che v, v > 0 e uno tale che u, u < 0, quindi è per forza indefinito (ma non semidefinito). Risposta alla Domanda 29 Falso. In R n con il prodotto scalare canonico questo è vero per ogni sottospazio e non esistono vettori isotropi. Risposta alla Domanda 30 Falso. In R 2, con il prodotto scalare x, y = x 1 y 1, l ortogonale di W = Span{e 1 } è Span{e 2 } quindi W W = {0} ma il prodotto scalare è degenere. Risposta alla Domanda 31 Falso. Se W W allora W W. Risposta alla Domanda 32 Vero. Vale anche (W W ) = W W. Risposta alla Domanda 33 Vero. Ogni vettore di W W è ortogonale a se stesso, quindi isotropo. 6