Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti Esercizi roosti - Gruo 7 1) Verificare che ognuina delle seguenti coie di numeri razionali ( ) r + 1, r + 1, r Q {0} r ha la rorietà seguente: Si chiede il rodotto dei suoi elementi è uguale alla loro somma (a) se, oltre a quella sora considerata, vi sono altre coie di numeri razionali con la rorietà in questione; (b) se una coia di numeri reali (x, y), con la medesima rorietà, ha entrambi i suoi elementi razionali, oure entrambi irrazionali; (c) di verificare che le coie di numeri reali (x, y) di cui al unto 1)b sono tutte e sole le coie ordinate dei unti del grafico di una funzione f(x), di cui si chiede l esressione eslicita; (d) di riconoscere che la funzione f(x) di cui sora è invertibile, e di fornire l esressione eslicita di f 1 (x); (e) se è corretto affermare che ( f 1 f ) (x) = x = id R 2) È vero che risulta x + 1 x 1, x R? E che dire della x 2 + 1 x 2 1, x R? Fornire una illustrazione grafica di entrambi i roblemi. 3) Verificare che, er ogni assegnata coia di numeri reali ositivi (x, y) con il numero y 1, log b x log b y è costante al variare della base b dei logaritmi in R + {1}. 4) Per ogni x R si indica con il numero intero relativo detto [x] arte intera di x 18
Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti e definito come segue: [x] = il massimo intero relativo minore o uguale a x Esemi : [ 3 ] = ; [π] = 3 ; [e 2 ] = 7 ; [ 7] = 7 ; 2 [ ] 9 = 2 ; [n!] = n! 4 La funzione che a ogni x R associa la sua arte intera [x] ha (ristretta all intervallo [ 3, 4[) il seguente grafico: 3 2 1 3 1 1 2 3 4 1 3 5) Riconoscere che, er ogni intero n N {0} e ogni numero rimo, [ ] n = arte intera di n ( Q + {0} ) = max{k N {0}: k n} e, quindi, che [ ] n è individuato dalla seguente condizione: [ ] n ( * ) n < e, infine, che ([ ] ) n + 1 [ ] n è il numero ( 0) di multili interi ositivi di che risultano n Esemi: [ ] 24 = 4, e i multili interi di 5 24 sono i seguenti quattro 5 5, 10, 15, 20 19
Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti [ ] 40 = 13, e i multili interi di 3 40 sono i seguenti tredici 3 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 [ ] 61 = 8, e i multili interi di 7 61 sono i seguenti sette 7 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 6) Verificare che, er ogni coia di numeri reali (x, y), valgono le disuguaglianze ( *) [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1 con l avvertenza che se la rima è uguaglianza, la seconda è disuguaglianza stretta, e viceversa. Caratterizzare le coie di numeri (x, y) er le quali in ( *) la rima (seconda) disuguaglianza è un uguaglianza. 7) Verificare che, er ogni coia di numeri reali non negativi (x, y), valgono le disuguaglianze ( **) [x][y] [xy] < ([x] + 1)([y] + 1) recisando er quali coie (x, y) la disuguaglianza di sinistra risulta un uguaglianza. 8) Se x è un numero reale e z un intero relativo, cosa si uò dire del numero [x + z]? 9) Per quali x R vale l uguaglianza ( *) [ x] = [x]? Precisare, er gli x er cui ( *) non vale, quale altra relazione risulta verificata: ( ** ) [ x] =? 10) Per quali numeri reali vale la disuguaglianza [x] + 1 2 x? 11) Trovare quale funzione risulta avere il grafico seguente 2 1 3 1 1 2 3 1 20
Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti 12) Per ogni intero n N, e ogni numero rimo, si one Esemi: < n; > DEF. = 0, se n; esonente di nella raresentazione di n come rodotto di otenze di numeri rimi, se n < 25; 3 >= 0; < 14; 2 >= 1; < 63; 3 >= 2; < 184; 5 >= 0; < 2058; 7 >= 3; < 1000; 2 >= 3; < 11 5 ; 11 >= 5; < 10 6 ; 2 >= 6; < 10!; 3 >= 4; < 10!; 5 >= 2 13) Per ogni intero n N e ogni numero rimo, si onga µ(n; ) DEF. = max{h N {0}: h n} Riconoscere che si ha la formula [ ] log n ( * ) µ(n; ) = log Infatti µ(n; ) risulta individuato dalla condizione (i) µ(n;) n < µ(n;)+1 Passando ai logaritmi (risetto a una base qualsiasi > 1) dei tre termini della (i) si ottiene la (ii) µ(n;) log log n < (µ(n; ) + 1) log e quindi (essendo log > 0 erché è > 1) la (iii) µ(n; ) log n log < µ(n; ) + 1 da cui si ricava la ( * ) (si veda la ( *) del numero 5)). 14) Verificare che, er ogni intero n N, e ogni numero rimo n, si ha n n n < n!; >= + + + 2 µ(n;) Esemi: [ ] log 10 (a) n = 10, = 2; µ(10; 2) = = [3.321... ] = 3: log 2 10 10 10 < 10!, 2 >= + + = 5 + 2 + 1 = 8 2 2 2 2 3 e infatti risulta 10! = 2 8 14175 21
(b) n = 26, = 3; µ(26; 3) = Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti [ ] log 26 = [2.965... ] = 2: log 3 [ ] [ ] 26 26 < 26!; 3 >= + = 8 + 2 = 10 3 3 2 e infatti risulta 26! = 3 10 (un numero non divisibile er 3) [ ] log 213 (c) n = 213, = 5; µ(213; 5) = = [3.331... ] = 3: log 5 213 213 213 < 213!; 5 >= + + = 42 + 8 + 1 = 51 5 5 2 5 3 e infatti risulta (ci vuole l aiuto del comuter) 213! = 5 51 (un numero non divisibile er 5) Osservazione imortante È chiaro che il numero < n!; 5 > risulterà uguale al numero degli zeri finali di n!, ossia a max{h N {0}: 10 h n!} Il lettore recisi erché. [ ] log 2000 (d) n = 2000, = 11; µ(2000; 11) = = [3.169... ] = 3: log 11 2000 2000 2000 < 2000!; 11 >= + + = 181 + 16 + 1 = 198 11 11 2 11 3 e infatti risulta (ci vuole l aiuto del comuter) 2000! = 11 198 (un numero non divisibile er 11) (e) Quanti sono gli zeri finali del numero 2013!? Sono 501. Infatti risulta [ ] log 2013 µ(2013; 5) = = [4.722... ] = 4: log 5 e quindi [ ] 2013 2013 2013 2013 < 2013!; 5 >= + + + = 402 + 80 + 16 + 3 = 501 5 5 2 5 3 5 4 Si uò effettuare una verifica al comuter. 15) Dimostrare il criterio di divisibilità er 11: un numero n N è divisibile er 11 se e solo se, raresentato n in base 10, la differenza fra 22
Argomenti di Matematica er l Ingegneria - Volume I - Esercizi roosti la somma delle cifre di osto disari e la somma delle cifre di osto ari risulta un intero relativo (anche 0) divisibile er 11. 16) Consideriamo la relazione R definita nell insieme R + nel seguente modo Si chiede se (a) R è riflessiva; (b) R è simmetrica; (c) R è transitiva. xry x y = y x Se R soddisfa le tre rorietà elencate, essa è una relazione di equivalenza definita in R + In tal caso il lettore roceda ad una descrizione esauriente delle classi di equivalenza modulo R. 17) Nell insieme R {0} è definita la relazione R nel modo seguente xry x y = x y Riconoscere che R è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva): come si riartisce R {0} in classi di equivalenza modulo R? Se la stessa relazione si definisce in tutto R, è ancora una relazione di equivalenza 18) Dimostrare che vale la seguente affermazione usando l induzione su n. n n > n!, n N, n 2 19) Se r Q Z + 3 r uò essere un numero razionale solo se r = 0? 20) Se b è un numero reale ositivo e diverso da 1, e m, n N {1}, ma n m, il numero log b m log b n è semre irrazionale? 23