Le leggi del decadimento radioattivo Figura 1.7 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N
Stabiltà e instabilità nucleare Se analizziamo attentamente la carta dei nuclidi, vediamo che in essa sono rappresentati, oltre ai nuclei stabili, anche vari nuclei instabili. Con il termine instabile si intende definire un nucleo che spontaneamente subisce una trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o meno instabile). Così, nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tenderanno a trasformare un protone in un neutrone, e viceversa tenderanno a fare i nuclei con un eccesso di neutroni. Le trasformazioni spontanee più comuni sono: decadimento α il nucleo emette una particella α, cioè un nucleo di Elio4. L Elio è infatti molto stabile, avendo un valore B/A=7.07 MeV, molto alto rispetto a tutti gli altri nuclei leggeri. decadimento β - : n p + e - + ν decadimento β + : cattura elettronica ε: p n + e + + ν p + e - n + ν
Le reazioni indicate sopra riguardano trasformazioni di singoli protoni e neutroni all interno del nucleo. Gli elettroni, negativo o positivo (positrone), emessi si chiamano particelle beta, ma a parte l origine nucleare, sono del tutto identici all elettrone o positrone atomico. Nella cattura elettronica, un elettrone atomico (generalmente della shell K, più interna) avente una funzione d onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo, viene catturato da un protone nucleare: le due particelle si trasformano in un neutrone nucleare. La particella che si accompagna all elettrone è il neutrino o l anti-neutrino. Vedremo nel seguito in dettaglio questi decadimenti: per ora vogliamo solo analizzarli dal punto di vista energetico, stabilire cioè mediante l utilizzo delle tavole delle masse quali e quando sono possibili. Nei conti che seguono consideriamo nulla la massa del neutrino.
decadimento β - : n p + e - +ν A X A Z Z+1 Y + β + ν Nel bilancio energetico vanno considerate le masse nucleari. Affinché la reazione avvenga deve ovviamente essere: m(z,a) m(z+1,a)+m e Tuttavia, nella maggior parte delle tabelle sono riportate le masse atomiche, non quelle nucleari. Risulta quindi utile ragionare in termini di masse atomiche. Se aggiungiamo Zm e ad entrambi i membri: m(z,a) + Zm e m(z+1,a) + (Z+1)m e ossia: M(Z,A) M(Z+1,A) Introducendo le masse atomiche abbiamo considerato legato anche lo (Z+1)-esimo elettrone (pochi ev). decadimento β + : p n + e + + ν A X A Z Z 1 Y + β + + ν Deve ovviamente essere: m(z,a) m(z-1,a)+m e Se aggiungiamo Zm e ad entrambi i membri: m(z,a) + Zm e m(z-1,a) + Zm e + m e = m(z-1,a) + (Z-1)m e +2m e ossia: M(Z,A) M(Z-1,A) + 2m e Qui abbiamo invece considerato libero un elettrone che in effetti è legato (pochi ev).
cattura elettronica ε: p + e - n + ν Deve risultare: m(z,a) + m e m(z-1,a) Se aggiungiamo (Z-1)m e ad entrambi i membri: A X + e A Z Z 1 Y + ν m(z,a) + (Z-1)m e + m e = m(z,a) + Zm e m(z-1,a) + (Z-1)m e Ossia: M(Z,A) M(Z-1,A) decadimento α A A X 4 Z Z 2 Y + 4 2 He m(z,a) m(z-2,a-4) + m( 4 He) Se aggiungiamo Zm e ad entrambi i membri: m(z,a) + Zm e m(z-2,a-4) +(Z-2)m e + m( 4 He) + 2m e ossia: M(Z,A) M(Z-2,A-4) + M( 4 He) trascurando la diversa energia di legame degli elettroni nei nuclei X,Y ed He
Riassumendo, e indicando al solito rispettivamente con M e m le masse atomiche e nucleari: M(Z,A) M(Z+1,A) > 0 m(z,a) m(z+1,a) > m e M(Z,A) M(Z-1,A) > 0 m(z,a) + m e m(z-1,a) M(Z,A) M(Z-1,A) > 2m e m(z,a) m(z-1,a) > m e M(Z,A) M(Z-2,A-4) > M( 4 He) m(z,a) m(z-2,a-4) > m( 4 He) decadimento β - possibile cattura elettronica ε possibile decadimento β + e cattura elettronica possibili decadimento α possibile
Energia Z-2 Z-1 Z Z+1 A X A Z Z+1 Y + β + ν Z -> Z + 1 A X A Z Z 1 Y + β + + ν e A X + e A Z Z 1 Y + ν Z -> Z - 1 A A X 4 Z Z 2 Y + 4 2 He Z -> Z - 2 (Non tutti i livelli energeticamente possibili sono raggiunti: oltre all energia deve infatti conservarsi il momento angolare)
Energia Z-2 Z-1 Z Z+1 β- M(Z,A) M(Z+1,A) > 0 m(z,a) m(z+1,a) > m e
Energia Z-2 Z-1 Z Z+1 ε M(Z,A) M(Z-1,A) > 0 m(z,a) + m e m(z-1,a) β+ M(Z,A) M(Z-1,A) > 2m e
m(z,a) m(z-1,a) > m e Energia Z-2 Z-1 Z Z+1 α M(Z,A) M(Z-2,A-4) > M( 4 He) m(z,a) m(z-2,a-4) > m( 4 He)
Vediamo qualche esempio: ( ) E ν = m( 22 Na) m * ( 22 Ne) = m( 22 Na) m( 22 Ne) + E ecc T max β + = m 22 Na ( ) m e ( ) m( 22 Ne) + E ecc
T max = m 60 Co β1 ( ) ( 0.12 %) ( ) m( 60 Ni) + 1.33 T max β2 = m 60 Co ( ) ( 99.88 %) ( ) m( 60 Ni) + 1.33 + 1.17
ΔE Δτ una vita media di 1 ps corrisponde ad una larghezza ΔE: ΔE = Δτ = c cδτ = 197.4 3 10 10 10 13 10 12 = 66 10 11 MeV = 0.66 nev
Esercizi Il neutrone è instabile per decadimento beta? Dalle tavole ricaviamo che: m n > m p + m e e precisamente: m n = 939.5054 MeV, m p = 938.213 MeV, m e = 0.511 MeV pertanto il decadimento beta del neutrone isolato è possibile. In effetti si osserva sperimentalmente: la massima energia dell elettrone emesso (per una trattazione più estesa si rimanda al capitolo che descrive in maggior dettaglio il decadimento beta) è appunto pari a: T emax = m n - m p - m e = 0.781 MeV. Il neutrone libero ha una vita media di circa 15 minuti (885 ± 0.8 s). Prendiamo in esame il nucleo: 23 11 Na 12 Può avvenire qualche decadimento? β - : 23 Na 11 12 23 12 Mg 11 + e + ν β + : 23 Na 11 12 23 10 Ne 13 + e + + ν α : 23 Na 11 12 19 9 F 10 + 4 2 He 2
Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono: M( 23 11 Na ) = 21413.53 MeV M( 23 12 Mg ) = 21417.59 MeV M( 23 10 Ne ) = 21417.91 MeV M( 19 9 F ) = 17695.82 MeV M( 2 4 He ) = 3728.17 MeV M( 19 9 F ) + M( 4 2 He ) = 21423.99 MeV Facendo i conti, si vede che nessuno dei decadimenti è energeticamente possibile. Pertanto, come c era da aspettarsi, il nucleo 23 11 Na è stabile.
Vediamo ora con un altro isotopo del sodio: 22 11 Na Può avvenire qualche decadimento? β - : 22 Na 22 11 12 Mg + e + ν β + : 22 Na 22 11 10 Ne + e + + ν α : 22 Na 18 11 9 Ne + α Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono: M( 22 11 Na ) = 20486.41 MeV M( 22 12 Mg ) = 20492.49 MeV M( 22 10 Ne ) = 20483.57 MeV M( 9 M( 2 4 He ) = 3728.17 MeV M( 9 18 F ) = 16766.73 MeV 18 F ) + M( 2 4 He ) = 20494.9 MeV Facendo i conti, si vede che sono energeticamente possibili il decadimento β + e di conseguenza la cattura elettronica ε.
Terzo esempio: 14 C 6 Dai conti sulle masse si ricava che il nucleo Carbonio 14 è instabile per decadimento β - : 14 C 14 6 7 N + e + ν La differenza delle masse vale: M( 14 6 C ) - M( 14 7 N ) = 13043.132-13042.976 = 0.156 MeV Pertanto la massima energia cinetica dell elettrone emesso potrà valere 156 kev (vedi nel seguito le teoria del decadimento beta).
Ultimo esempio. 40 K 19 β - : 40 19 K 40 18 Ca + e + ν β + : 40 19 K 40 18 Ar + e + + ν ε : 40 19 K + e 40 18 Ar + ν I valori della masse atomiche sono i seguenti: M( 40 K) = 37223.95 M( 40 Ca) = 37222.58 M( 40 A) = 37222.41 Dai valori riportati si verifica che sono possibili sia il decadimento β - che la cattura elettronica, che si osservano sperimentalmente. Per la verità è energeticamente possibile anche il decadimento β +, che però non si osserva (per maggiori dettagli vedi il capitolo 7 sul decadimento beta).
Le leggi del decadimento radioattivo Già nel 1900 era nota la radioattività naturale a Rutherford e Soddy che studiarono quantitativamente la variazione temporale di attività del Radon 222 riportato in figura. (La trasformazione è: 222 Rn 218 Po + α ) Fig. 3.1 andamento temporale delle quantità Radon e Polonio in un campione radioattivo
Le curve riportate nelle figure rappresentano degli esponenziali del tipo: A X ( t) = A 0 X e λt per il 222 Rn A( t) = A 0 ( 1 e λt ) per il 218 Po Queste osservazioni portarono a formulare una teoria sul decadimento radioattivo: la radioattività rappresenta un cambiamento dell atomo individuale. Si tratta di un processo puramente statistico. nel senso che è impossibile prevedere in quale istante un certo nucleo si trasformerà, ma è possibile prevedere quanti nuclei saranno decaduti in media dopo un certo intervallo di tempo. Sia N P (t) il numero di atomi parents (genitori) radioattivi presente nel campione al tempo t. Poichè i singoli decadimenti sono indipendenti (nel senso che il decadimento di un nucleo non influenza i decadimenti degli altri nuclei della sorgente), il numero di nuclei che decadranno in un intervallo di tempo dt è dato da: dn p = λn p ( t)dt dove, caratteristica di ogni nuclide radioattivo, è detta costante di decadimento, ed il segno meno sta a indicare che N P (t) decresce con il tempo.
Separando le variabili: dn p N p = λ dt che integrata dà appunto: N p ( t) = N 0 e λt N P (t) rappresenta il numero di nuclei radioattivi parents presenti al tempo t (non ancora decaduti), essendo N O il numero di nuclei presenti al tempo t=0. Attività Si definisce attività di un campione il numero di decadimenti subiti nell unità di tempo. Essa risulta quindi: a( t) = dn( t) dt, dove il valore assoluto è necessario perché l attività è definita positiva. Risulta pertanto: a( t) = dn( t) dt d = N ( ) 0 dt e λt = λn 0 e λt = λn p ( t) cioè l attività è proporzionale al numero di nuclei radioattivi presenti nel campione ed alla probabilità di decadimento per unità di tempo λ.
Allo stesso modo per quanto riguarda la formazione del nuovo elemento daughter (figlio), la variazione nel tempo dn d /dt è la stessa ma di segno opposto: dn d = +λ N p ( t) dt (infatti deve ovviamente essere: dn p +dn d =0) Allora: dn d dt = +λ N ( t) = λ N p 0 e λt che risolta con la condizione che per t=0 era N d =0, dà: N d ( t) = N 0 ( 1 e λt ) Ovviamente ad ogni istante risulta: N p + N d = N 0. λ è detta costante di decadimento ed ha le dimensioni dell inverso di un tempo: rappresenta la probabilità di decadimento per unità di tempo di ogni singolo atomo del campione; τ = 1/λ è la vita media, il cui significato fisico è il seguente:
per t=τ risulta N( τ) = N 0 e 1, e quindi in un intervallo di tempo τ, il numero di atomi radioattivi, e quindi l attività del campione si riduce di un fattore e, circa 3. τ è detta vita media: infatti, per trovare la media dei tempi di vita di tutti gli atomi, si deve calcolare: < t > = 0 t dn 0 dn = 0 t λ N( t)dt 0 dn = λn 0 N 0 0 t e λt dt = 1 λ 0 x e x dx = 1 λ = τ Si definisce tempo di dimezzamento T 1/2 il tempo nel quale il numero di atomi radioattivi, e quindi l attività si dimezza. N( T 1/ 2 ) = N 0 e λt 1/ 2 = N 0 2 e λt 1/ 2 = 2 1, e quindi: T = ln2 1/ 2 λ = 0.693 λ = 0.693 τ
Decadimenti successivi. Famiglie radioattive Supponiamo che anche i nuclei formati siano radioattivi, e quindi essi stessi decadano. Si potrà avere un decadimento a cascata del tipo: X 1 X 2 X 3 X N
Vediamo il caso più semplice: X 1 X 2 X 3, con X 3 stabile. Le equazioni differenziali da risolvere sono ora tre: dn 1 ( t) dt dn 2 ( t) dt dn 3 ( t) dt = λ 1 N 1 ( t) = λ 1 N 1 ( t) λ 2 N 2 ( t) = λ 2 N 2 ( t) Svolgendo i calcoli: N 1 ( t) = N 10 e λ t 1 dn 2 ( t) = λ 1 N 10 e λ t 1 λ 2 N 2 ( t) dt dn 2 ( t) + λ 2 N 2 ( t) = λ 1 N 10 e λ t 1 dt
moltiplicando per e λ 2 t : che si può riscrivere come: Integrando: e dn ( t) λ t 2 2 ( + λ 2 e λ t 2 N 2 ( t) = λ 1 N 10 e λ +λ 1 2 )t dt d ( ( t ) e λ t ) 2 = λ N e λ +λ 1 2 1 10 dt N 2 ( )t N 2 ( t) e λ t 2 = λ 1 ( N 10 e λ +λ 1 2 )t λ 2 λ 1 + C ossia: N 2 ( t) = λ 1 N λ 2 λ 10 e λ t 1 + C e λ t 2 1 Il valore della costante C si ricava sapendo che per t=0, N 2 = N 20 : C = λ 1 λ 2 λ 1 N 10 + N 20 N 2 ( t) = N 20 e λ t 2 + λ 1 λ 2 λ 1 N 10 ( e λ t 1 e λ t ) 2
ricaviamo ora N 3 (t): dn 3 ( t) = λ 2 N 2 ( t)dt = λ 2 N 20 e λ 2 t dt + λ 1 λ 2 λ 2 λ 1 N 10 N 3 ( t) = N 30 + N 20 e λ t 2 t 0 + λ 2 N 10 e λ t 1 λ 2 λ 1 ( N 3 ( t) = N 30 + N 20 1 e λ t ) 2 + N 1 + λ 1 e λ 10 λ 2 λ 1 t 0 ( e λ t 1 e λ t ) 2 dt + λ 1 N 10 e λ λ 2 λ 1 2 t Nel caso particolare che per t=0 sia N 20 = N 30 = 0: N 1 ( t) = N 10 e λ 1 t 2 t λ 2 λ 2 λ 1 e λ 1 t t 0 N 2 ( t) = λ 1 λ 2 λ 1 N 10 ( e λ t 1 e λ t ) 2 N 3 ( t) = N 10 1 + λ 1 λ 2 λ 1 e λ 2 t λ 2 λ 2 λ 1 e λ 1 t. (N 3(0) = 0 per qualsiasi valore di N 10 )
N1 N2 N3 τ1 << τ2
N1 N2 N3 τ1 >> τ2
Vediamo ora il caso: X 1 X 2 X 3... X N-1 X N, con X N stabile. In generale, per una catena di decadimenti, si scrivono le seguenti equazioni differenziali: dn 1 ( t) = λ 1 N 1 ( t) dt dn 2 ( t) = λ 1 N 1 ( t) λ 2 N 2 ( t) dt dn 3 ( t) = λ 2 N 2 ( t) λ 3 N 3 ( t) dt... dn N ( t) = λ N 1 N N 1 ( t) dt Se per t=0 si ha: N 20 = N 30 =.. = N N0 = 0, si può scrivere: N i ( t) = C 1 i e λ 1 t + C 2 i e λ 2 t +... + C i i e λ i t
dove: C 1 i = λ 1 λ 2...λ i 1 ( λ 2 λ ) 1 ( λ 3 λ 1 )... ( λ i λ ) 1 C 2 i = λ 1 λ 2...λ i 1 ( λ 1 λ ) 2 ( λ 3 λ 2 )... ( λ i λ ) 2... C i i = λ 1 λ 2...λ i 1 ( λ 1 λ ) i ( λ 2 λ i )... ( λ i 1 λ ) i ovviamente essendo λ N = 0 (nucleo stabile).
Equilibrio secolare. Consideriamo per semplicità di nuovo il caso: : X 1 X 2 X 3, con X 3 stabile. e supponiamo che sia: λ 1 << λ 2 (ossia τ 1 >> τ 2 ). Allora: N 2 ( t) = λ 1 λ 2 λ 1 N 10 ( e λ t 1 e λ t ) 2 λ 1 N 10 e λ t 1 = λ 1 N 1 λ 2 λ 2 ( t) Ossia: λ 1 N 1 ( t) = λ 2 N ( 2 t) e quindi: a 1 ( t) = a ( 2 t)
N 1 N 2 N 3 τ 1 >> τ 2 a 1 ( t) = a 2 t ( )
Se in generale se in una catena radioattiva X 1 X 2 X 3... X N-1 X N risulta: λ i << λ i+1, λ i+2, λ N-1 per tutti i nuclei che seguono l i-esimo decadimento vale la relazione: a i (t) = a i+1 (t ) =.. = a N-1 (t ) e si dice che i nuclidi si trovano in condizioni di equilibrio secolare. Naturalmente, se la condizione è vera a partire dal capostipite, cioè se: λ 1 << λ i, per ogni i, tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare. Per gli elementi naturali (vedi Uranio, Torio, Radio,..) è vera quest ultima condizione perché gli eventuali capostipiti a vita media breve, dal momento della loro formazione sarebbero ormai decaduti.
L unità di misura dell attività è il Bequerel (Bq), pari a un decadimento al secondo. Molto usata tutt oggi è la vecchia unità, il Curie (Ci) 1 Ci = 3.7 10 10 disintegrazioni al secondo. L origine storica di questo valore è dovuta al fatto che il Curie è l attività di un grammo di 226 Ra 1 Bq = 2,7 10-11 Ci 1 Ci = 3.7 10 10 Bq Abbiamo visto che l attività è data da: ( ) = dn ( t ) a t dt = λn( t) Il numero di atomi N in un campione di massa M e peso atomico A, si ricava dalla relazione: M( t) ( ) = N Av N t A, dove N Av è il numero di Avogadro. M( t) a ( t) = λn( t) = λn Av A = M ( t )N Av τa = ln2 M ( t )N Av T 1/ 2 A M(t) rappresenta la massa dell elemento radioattivo, NON quella del campione.. La massa del campione diminuirà in relazione al difetto di massa della trasformazione nucleare, svariati ordini di grandezza più piccolo del peso atomico (qualche MeV contro decine o centinaia di GeV)
Vediamo ora alcuni esempi. Calcolare la massa di 214 Pb corrispondente all attività di 1 Ci. Il 214 Pb decade β - con un tempo di dimezzamento T 1/2 = 26.8 min (τ =38.7 min = 2.32 10 3 sec; λ=4.32 10-4 sec -1 ) M = aa λn Av = 3.7 10 10 214 6.023 10 23 4.3 10 4 = 3.051 10 8 g = 30 ng Vediamo ora nel caso di 1 Ci di 238 U: l U-238 decade α con un tempo di dimezzamento T 1/2 = 4.51 10 5 anni, pertanto risulta λ=4.9 10-14 sec -1. M = aa λn Av = 3.7 10 10 238 6.023 10 23 4.9 10 14 = 3 102 g Vediamo a che massa corrisponde 1 Ci di 24 Na T 1/2 = 14.8 h, λ=1.3 10-5 sec -1 M = 1.1 10-7 g =0.1 µg e a che massa corrisponde 1 Ci di 32 P: T 1/2 = 14.5 d, λ =5.5 10-7 sec -1 M = 3.6 10-6 g
Naturalmente, per 1 Ci di 226 Ra otteniamo: Il 226 Ra decade α con un tempo di dimezzamento T 1/2 = 1620 anni, pertanto risulta λ=1.36 10-11 sec -1. M = aa λn Av = 3.7 10 10 226 = 1.00 g 6.023 10 23 11 1.36 10 Determinare la massa in grammi di una sorgente di 60 Co da 5000 Ci, supponendo che sia costituita esclusivamente di atomi radioattivi. Il 60 Co decade β - con T 1/2 = 5.26 y (pertanto risulta: λ =4.2 10-9 sec -1 ) M = aa λn Av = 5 10 3 3.7 10 10 60 = 4.4 g 6.023 10 23 9 4.2 10 Trovare la variazione oraria di massa di una sorgente di 1 Ci di 210 Po Il 210 Po decade α in 206 Pb con T 1/2 = 138.4 d (pertanto risulta λ =5.79 10-8 sec -1 ). Il 206 Pb è stabile. Dobbiamo calcolare quanti atomi di 210 Po decadono in un ora.
Poichè l intervallo di un ora è molto breve rispetto a T 1/2, possiamo con ottima approssimazione considerare costante l attività della sorgente durante l intervallo di un ora e scrivere: a = dn dt = ΔN Δt ΔN = aδt = 3.7 10 10 3600 = 1.33 10 14 Ad ogni decadimento un nucleo di 210 Po si trasforma in un nucleo di 206 Pb più una particella α. La variazione di massa è pari a: m = M fin -M iniz = M(α)+M( 206 Pb)-M( 210 Po) = 4.00+206.04-210.05 = -0.01 amu =-1.67 10-26 g cioè circa 1/100 della massa di un protone! (1 amu = 1.67 10-24 g) la variazione totale di massa sarà allora: ΔM = mδn= 1,67 10-26 1,33 10 14 = 2.22 10-12 g =2.2 pg Notiamo che una sorgente da 1Ci di 210 Po ha una massa pari a: M = aa λn Av = 3.7 10 10 210 6.023 10 23 5.79 10 8 = 2.2 10 4 g la variazione di massa oraria è quindi di una parte su 100 milioni.
Misura di vita media (o di costante di decadimento). Per vite medie brevi è apprezzabile la variazione di attività della sorgente nel tempo. Si effettuano quindi più (almeno due) misure di attività della sorgente, distanziate tra loro di un certo intervallo di tempo. Indicando con Δt la durata delle singole misure e con C 1 e C 2 i conteggi totali registrati in esse: C 1 = t 1 + Δt a( t) dt = λ N( t) dt = N 0 e λt 1 1 e λδt t 1 t 1 + Δt t 1 ( ) C 2 = t 2 + Δt a( t) dt = λ N( t) dt = N 0 e λt 2 1 e λδt t 2 t 2 + Δt t 2 ( ) dove t 1 e t 2 (ignoti) rappresentano il tempo trascorso tra un istante di riferimento e l inizio delle due misure.
Facendo il rapporto: C 1 C 2 = e λt 1 e λt 2 = e λ ( t t 2 1 ) Ossia: λ = 1 ln C 1 t 2 t 1 = 1 Δt ln C 1 C 2 C 2 t 2 -t 1 = Δt rappresenta l intervallo di tempo intercorso tra le due misure. S noti che, ai fini della determinazione della vita media, è sufficiente conoscere l intervallo t 2 -t 1 e non i tempi assoluti. Esempio. Una sorgente radioattiva viene misurata due volte per un tempo di misura Δt=30 minuti a distanza di t 2 -t 1 =24 ore. Si sono ricavati i seguenti valori: C 1 = 9800 e C 2 = 7380. Calcolare il tempo di dimezzamento della sorgente. λ = 1 ln C 1 t 2 t 1 = 1 9800 ln = 3.28 10 6 s 86400 7380 C 2 Pertanto: τ = 3.05 10 5 s, e T 1/2 = 2.11 10 5 = 2.44 d.
Per vite medie lunghe, spesso non è apprezzabile la variazione di attività nel tempo. Allora la misura della vita media, o della costante di decadimento, viene effettuata usando la relazione: a = dn dt = λn λ = a N λ si determina allora da un unica misura di attività e dalla conoscenza di N. Esempio: per trovare la vita media del 147 Sm si è usata una sorgente da 1.000±0.001 grammi e sono stati misurati a=680±4 decadimenti al secondo. Determinare la vita media del Samario con il suo errore τ = N a = N Av M a A 6.023 10 23 1 = 680 147 = 6.02 10 18 s = 1.91 10 11 y L indeterminazione relativa su τ è: Δτ τ = Δa a 2 + ΔM M 2 = 6 10 3
Quanto tempo è durata la misura? Supponendo nullo l errore sul tempo di misura, l errore relativo sull intensità di conteggi è dato proprio da ΔC/C = Δa/a = 4/680 = 5.6 10-3. E poiché l errore assoluto di un conteggio è dato dal valore della radice quadrata del conteggio stesso (statistica di Poisson), avremo: ΔC C = C C = 1 C = 5.6 10 3 ossia: C = 2.89 10 4. E poiché C=aΔt, il tempo di misura risulta essere stato: Δt = C/a = 42.5 s. Avendo a disposizione 1 Ci di 226 Ra (T 1/2 = 1620 y), determinare quanto 222 Rn (T 1/2 = 8.32 d ) volatile si è formato in 5 anni. Valutare la quantità di Rn sia in grammi che in cm 3 (in condizioni STP).
226 Ra α 222 Rn T =1620 y 1/ 2 α 218 Po... T =8.32 d 1/ 2 T 1/2 =1620 y T 1/2 =8.32 d λ 1 = 1.36 10-11 s λ 2 = 9.64 10-7 s N 2 ( t) = λ 1 λ 2 λ 1 N 10 ( e λ t 1 e λ t ) 2 Ed essendo λ 1 >> λ 2 : Ma è anche: Uguagliando: N 2 ( t) = N 2 λ 1 N 1 ( t) = a ( t) 1 λ 2 λ 2 ( t) = N Avo A M ( t ) 2
M 2 = A 2 a 1 ( t) λ 2 N Avo = 222 3.7 10 10 6 10 23 9.64 10 7 = 1.42 10 5 g In condizioni STP il volume occupato è dato da: V 0 : A = V : M V = V 0 M A 5 1.42 10 = 22.4 222 = 1.43 10 6 = 1.43 mm 3 Una sorgente pesa 20 g ed ha una attività di 4.72 10 6 dis/minuto. Si ha il dubbio che tale sorgente sia: a) 230 Th T 1/2 = 8 10 4 y λ = 2.75 10-13 s -1 b) 232 Th T 1/2 = 1.39 10 10 y λ = 1.58 10-18 s -1 c) 228 Th T 1/2 = 1.91 y λ = 1.15 10-8 s -1 ricavare il tipo di sorgente dai dati a disposizione.
Dalla solita relazione: a = dn dt = λn λ = a N è possibile ricavare la costante di decadimento e confrontarla con i valori tabulati: a = 4.72 10 6 dis/min = 7.87 10 4 dis/s Se consideriamo che il peso atomico della sorgente sia sempre A=230 nei tre casi, commettiamo in ogni caso un errore inferiore all 1% N = N Av M A = 6 10 23 20 230 = 5.2 10 12 atomi λ = a N = 7.87 104 5.2 10 22 = 1.5 10 18 s 1 La sorgente è quindi 232 Th
Se un certo materiale contiene 1 g di 40 K (T 1/2 = 1.3 10 9 y) e si sa che è vecchio di 2.6 milioni di anni, quale è il massimo numero di millilitri di Argon ( 40 K β - + 40 A ) che può essersi accumulato nel materiale (in condizioni STP)? Il numero di decadimenti avvenuti nel campione in un tempo Δt = 2.6 milioni di anni è dato da: ( ) = a ( t) dt = n Δt Δt ( ) λ dt = N 0 λ N t e λt dt = N 0 1 e λδt Δt ma poichè Δt << T 1/2 e quindi λ Δt << 1 si può approssimare: Δt ( ) M = N ( ) Av A 1 e λδt
M N Av A 1 M ( ) e λδt N Av A λδt = N ln2 M Δt Av A T 1/ 2 pertanto: ( ) = N Av ln2 M Δt n Δt A T 1/ 2 = 2.08 10 19 decadimenti Solo una frazione f=0.1072 di decadimenti porta alla formazione di Ar n ( Ar Δt) = f n( Δt) = 2.2 10 18 atomi di Ar che in condizioni STP occupano un volume dato dalla relazione: V = 22.414 n N Av = 8.2 10-5 = 82 mm 3 Una sorgente radioattiva è una mistura 64 Cu (T 1/2 = 12.8 h) e rame stabile (circa 69% di 63 Cu e 31% di 65 Cu). La massa della sorgente e la sua attività sono rispettivamente 100 mg e 28 mci. Ricavare il rapporto in peso tra gli atomi radioattivi e gli atomi stabili presenti nella sorgente.
a = 28 10 3 3.7 10 10 = 1.04 10 9 Bq λ = ln2 12.8 3600 = 1.51 10 5 s 1 N = a λ = 6.9 1013 atomi di 64 Cu M = N N Av A = 13 6.9 10 6 10 23 64 = 7.34 10 9 grammi di 64 Cu M rad M stab = 9 7.34 10 0.1 = 7.34 10 8, pari a 0.07 ppm (parti per milione).