La teoria del consumo Il surplus del consumatore e la domanda di mercato. Mario Sportelli Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bari Via E. Orabona, 4 I-70125 Bari (Italy) (Tel.: +39 (0)99 7720 626; fax: +39 (0)99 7763 295) E-mail: msportelli@dm.uniba.it URL: http://www.dm.uniba.it/~msportelli
Il surplus del consumatore. Definizione: Il surplus del consumatore è una misura monetaria del benessere associato alla quantità consumata di un bene. Per misurare il benessere relativo al consumo di un bene x, si utilizza una funzione di utilità che include il bene x e un bene composito y: u = ux (, y) Definizione: Per bene composito si intende l ammontare di moneta destinato all acquisto di tutti i beni inclusi nel paniere di consumo diversi da x. 2
Il surplus del consumatore. Osservazione: Se y è un ammontare di moneta il suo prezzo sarà uguale a 1, perché un unità di moneta si scambia sempre con una unità di moneta. Il problema di massimizzazione dell utilità da risolvere è, pertanto, il seguente: max ux (, y) da cui deduciamo, sub m = p x + y. x u MRS uy m= px x + y x = = p x 3
Il surplus del consumatore. Risolvendo il sistema di scelta ottima, otteniamo la funzione di domanda x( p, m) x Osservazione: Fino a quando non diviene noto il prezzo p x, la funzione di domanda denota le quantità che il consumatore è disposto ad acquistare ai diversi prezzi. Nel momento in cui l informazione sul prezzo è acquisita (p x = p x ), la funzione di domanda determina x*. 4
Il surplus del consumatore. A partire dalla scelta x* (che, per ipotesi, include n unità di bene), supponiamo di sottrarre al consumatore una unità di bene x. Ciò provocherà una riduzione del suo benessere. Tuttavia, se compensiamo il consumatore con una quantità addizionale dell altro bene, il suo benessere resterà invariato. Per stabilire in che misura dobbiamo compensarlo, utilizziamo il MRS: y ux MRS = = = px x uy da cui deduciamo che perché x < 0. y = px x > 0 5
Il surplus del consumatore. Quando x = 1, al consumatore rimborseremo esattamente il prezzo di mercato p per la prima unità sottratta di bene. Se, a partire da (x 1) sottraiamo un altra unità, il prezzo che dovremo rimborsare non è più il prezzo di mercato, ma un prezzo di riserva. Definizione: Il prezzo di riserva economicamente denota la disponibilità marginale a pagare, ossia quanto il consumatore è disposto a pagare per una unità di bene. (NB Il prezzo di riserva non ha alcun legame con il prezzo di mercato, ma dipende dall importanza relativa che l individuo attribuisce al bene). Con lo stesso procedimento, ossia compensando sempre il consumatore con quantità addizionali di y, possiamo sottrarre altre unità di x fino ad azzerarne il consumo. 6
Il surplus del consumatore. Se il consumatore è stato sempre compensato con successive quantità addizionali di moneta, il suo benessere non ha subito variazioni. Pertanto, possiamo interpretare l ammontare complessivo di moneta che gli abbiamo fornito come il valore (soggettivo) che egli attribuisce alle n unità x* di bene che aveva acquistato. Tale valore, dal punto di vista economico, misura la disponibilità totale a pagare per ottenere la quantità x*. La disponibilità totale a pagare è interpretata dagli economisti come una misura monetaria dell utilità totale associata alla quantità x* del bene. Per misurare la disponibilità totale a pagare, ossia l utilità totale in termini monetari, dobbiamo semplicemente sommare i prezzi di riserva di ciascuna unità, cioè le somme che abbiamo rimborsato al consumatore per compensarlo della perdita delle diverse unità di bene: dove x i = 1 (per ipotesi). n utilità totale di x* = p ( x ) x i= 0 r i i 7
Il surplus del consumatore. Osservazione: Con riferimento al grafico della domanda di x, la somma che abbiamo determinato altro non è che la somma delle n ordinate. Se x 0, ossia se la variazione x diviene molto piccola (infinitesima), allora, l insieme delle ordinate si infittisce e ricopre interamente l area sotto la curva di domanda. Vale, pertanto, la seguente: n x lim p ( x ) x p ( ) d area A r i i = r τ τ = x 0 i = 0 0 8
Il surplus del consumatore. Definizione 1: Per surplus lordo del consumatore si intende l utilità totale in termini monetari associata alla quantità acquistata di un bene. Il surplus lordo è un modo alternativo per indicare la disponibilità totale a pagare. La disponibilità marginale a pagare è un modo alternativo per indicare il prezzo di riserva. Gli economisti interpretano il prezzo di riserva come una misura monetaria dell utilità marginale. Definizione 2: Per surplus netto del consumatore si intende la differenza tra ciò che il consumatore sarebbe disposto a spendere per x* e ciò che effettivamente spende: Surplus netto consumatore = CS = p ( τ) dτ px * x 0 r 9
Il surplus del consumatore Osservazione 1: Per una generica funzione di utilità non c è una perfetta corrispondenza tra prezzo di riserva e utilità marginale. Tuttavia convenzionalmente, gli economisti assumono che il prezzo di riserva sia una buona approssimazione dell utilità marginale. Osservazione 2: Una univoca corrispondenza tra utilità marginale e prezzo di riserva è verificata solo per la funzione di utilità quasi lineare. Sia u= vx ( ) + yuna generica funzione di utilità quasi lineare. La scelta ottima segue dalla soluzione del seguente sistema: MRS = ux = v ( x) = p m = px x + y x 10
I coefficienti di elasticità della domanda individuale. Sia x i (p, m) una funzione di domanda individuale del bene i. La sensibilità di x i al variare dei prezzi e del reddito è misurata convenzionalmente con i coefficienti di elasticità. Definizione: Per coefficiente di elasticità di una funzione s intende il rapporto tra la variazione relativa o percentuale della variabile dipendente e la variazione relativa o percentuale di una variabile indipendente. Con riferimento alla funzione di domanda possiamo calcolare tre coefficienti di elasticità: a) l elasticità al prezzo p i ; b) l elasticità al prezzo di un qualunque altro bene p j (elasticità incrociata). c) L elasticità al reddito. 11
ε L elasticità al prezzo p i p i xi% xi pi xi pi = = : = 0 p % x p p x i i i i i Questo coefficiente di elasticità è sempre negativo per i beni normali o inferiori ordinari e positivo per i beni inferiori di Giffen. Convenzionalmente, per i beni normali l interpretazione è fatta con riferimento al valore assoluto. Pertanto: ε p i 1 Elasticità maggiore di 1: la domanda si dice elastica (data una variazione del prezzo, la quantità varia in misura più che proporzionale). Elasticità minore di 1: la domanda si dice anelastica o rigida (data una variazione del prezzo, la quantità varia in misura meno che proporzionale). Elasticità uguale a 1: prezzo e quantità variano proporzionalmente. 12
ε p L elasticità al prezzo p j i xi% x p i j x p i j = = : = 0 p % x p p x j i j j i Questo coefficiente di elasticità è positivo se i beni sono succedanei e negativo per i beni complementari. Trattandosi comunque di un rapporto, il suo valore con segno o assoluto è sempre tale che ε p j 1 e misura il grado di succedaneità o complementarietà. Elasticità maggiore di 1: data una variazione del prezzo, la quantità varia in misura più che proporzionale. Elasticità minore di 1: data una variazione del prezzo, la quantità varia in misura meno che proporzionale. Elasticità uguale a 1: prezzo e quantità variano proporzionalmente. 13
L elasticità al reddito m. ε m xi% xi m xi m = = : = 0 m% x m mx i Questo coefficiente di elasticità è positivo se il bene è normale, negativo se il bene è inferiore. Trattandosi comunque di un rapporto, il suo valore è sempre tale che i ε m 1 e misura il grado di normalità o inferiorità del bene. Elasticità maggiore di 1: data una variazione del reddito, la quantità varia in misura più che proporzionale. Elasticità minore di 1: data una variazione del reddito, la quantità varia in misura meno che proporzionale. Elasticità uguale a 1: reddito e quantità variano proporzionalmente. 14
Dalla domanda individuale alla domanda di mercato. Supponiamo che nel mercato ci siano m consumatori che acquistano il bene x i. Fissati i redditi e i prezzi di tutti gli altri beni diversi da x i, possiamo sommare tutte le quantità acquistate in corrispondenza dei diversi possibili prezzi p i. Questa operazione consente di determinare la domanda di mercato del bene x i. Possiamo indicare con Q(p) oppure Y(p) la domanda di mercato: Q( p) = xij ( pi ) La domanda di mercato è generalmente inclinata negativamente. m j= 1 Osservazione: Poiché i prezzi degli altri beni diversi da x i ed i redditi contribuiscono a definire i parametri della funzione Q(p), le loro possibili variazioni trasporranno nel piano la funzione a parità di prezzo. 15
Elasticità della domanda di mercato. ε Il coefficiente di elasticità della domanda di mercato va interpretato come quello relativo alla domanda individuale: domanda elastica Q% Q p Qp = = : = 1 domanda proporzionale p% Q p pq domanda anelastica Osservazione 1: Su una domanda lineare l elasticità cambia da punto a punto. Ciò accade perché, sebbene sia costante il coefficiente angolare (la pendenza), cambia il rapporto p/q. Pertanto: ε [, 0] Osservazione 2: Se vogliamo far dipendere l elasticità dalla pendenza, dobbiamo fissare un rapporto p/q. 16
Elasticità della domanda di mercato. 17
Funzione di domanda con elasticità costante. Il parametro b denota l elasticità: Q = ap b 18
Elasticità e spesa dei consumatori. La spesa dei consumatori è determinata dal prodotto tra prezzo di mercato e quantità acquistata: S = pq = pq( p) o Osservazione 1: Analiticamente la spesa è un prodotto di funzioni: la funzione p e la funzione Q(p). o Osservazione 2: La spesa dei consumatori coincide con i ricavi delle imprese (R). Le variazioni della spesa (come quelle dei ricavi) sono determinate dal seguente tasso di variazione: ds dq dq p = Q( p) + p = Q 1 + = Q(1 ε ) 0 dp dp dp Q 19