SVUOTAMENTO DI UN CILINDRO

PROBLEMA: Dati due serbatoi cilindrici pieni di acqua, aventi le altezze: H1 = 3 metri e H2 = 1,5 metri, ed i diametri d1 1 = 1 m e d1 2 = 1,41 m, ricavare il grafico dello svuotamento (altezza in funzione del tempo) di entrambi i serbatoi, sapendo che essi hanno un foro alla base di diametro: d2 1 = d2 2 = 5 cm. SVUOTAMENTO DI UN CILINDRO S1 V1 h A h(t) V2 B S2 Secondo il principio di conservazione dell energia, l energia presente nella zona A di massa m, deve essere uguale a quella presente nella zona B della stessa massa m. Energia in A = Energia in B Nella zona A è presente sia energia cinetica che energia potenziale, invece nella zona B c è solo energia cinetica. Perciò: 1/2*m*v1 2 + m*g*h(t) = 1/2*m*v2 2 (1) L acqua è un liquido incomprimibile, infatti di quanto essa si abbassa nel cilindro, tanta ne deve uscire, possiamo perciò applicare il principio di continuità, che dice che la quantità d acqua di cui si abbassa il livello dell acqua nel cilindro, in un determinato tempo t (zona A), deve essere uguale alla quantità d acqua di uscita nello stesso tempo t (zona B). Perciò: S1*V1 = S2*V2 (2) A questo punto ricaviamo V1, ovvero la velocità con cui l acqua si abbassa nel cilindro, dall equazione del principio di continuità (2): V1= S2/S1*V2 (3) Ora sostituisco la formula di V1 (3) nell equazione ottenuta applicando il principio di conservazione dell energia (1) : 1/2*m*S2 2 /S1 2 *V2 2 + m*g*h(t) = 1/2*m*V2 2 (4) Da questa equazione (4) posso ricavare V2, ovvero la velocità di uscita dell acqua. 1

Dopo semplici passaggi matematici ottengo : V2 = 2*g*h(t)*S1 2 /(S1 2 -S2 2 ) considerando S1>>S2 posso fare un ulteriore semplificazione, ottenendo così la velocità di fuoriuscita dell acqua relativa ad ogni istante t, meglio nota come formula di Torricelli: V2 2*g*h(t) (5) Osservando la formula della velocità di fuoriuscita dell acqua (5), posso dedurre che quando il livello dell acqua scende, cioè l altezza diminuisce, la velocità di fuoriuscita è minore, infatti quest ultima è condizionata sia dall altezza che dal tempo (non è costante). Il sistema perciò, non è lineare, ma è reazionato (autocondizionante), infatti si condiziona da solo. h SISTEMA V2 REAZIONARIO Dopo aver stabilito, secondo la logica, la curva che ci aspettiamo, ipotizziamo che, raggiunto un tempo finito B, il serbatoio si svuoti. A questo punto prendo un intervallo piuttosto piccolo t: durante questo intervallo il sistema si può ipotizzare lineare, perciò l acqua deve uscire con una velocità, ed una portata, costante. h h0 h0+ t Il sistema, per questo intervallo, si può considerare LINEARE t B t 2

La velocità iniziale di fuoriuscita dell acqua dal foro, rimane costante per tutto l intervallo t, ed è: V2(0) = 2*g*h0 Possiamo trovare la portata di uscita Q durante il primo intervallo t, sapendo che essa è uguale a Q = S*V: Q2(0) = S2*V2(0)= S2* 2*g*h0 Il volume dell acqua che esce nell intervallo t, ovvero la quantità d acqua, si può ricavare dalla formula della portata Q = Vol / t Vol = Q*t: Vol (tra 0 e t) = Q2(0)* t = S2* 2*g*h0 * t A questo punto possiamo ricavare l altezza dell acqua, dopo il primo istante t, sottraendo da h0, h. Sapendo che il volume dell acqua che scende nel cilindro è dato da: Vol = S1* h h risulta essere: h = Vol / S1. Perciò: h(0+ t) = h0- h = h0 - Vol/S1= h0 - S2/S1* 2*g*h0 * t Ora incremento il tempo di t alla volta e ripeto le operazioni descritte in precedenza fino a quando l altezza risulta essere minore uguale a 0. In questo modo siamo riusciti a trasformare il sistema, da reazionario, a discreto linearizzato, eseguendo una linearizzazione a tratti. h(t) h0 LINEARIZZAZIONE A TRATTI FRA UN PUNTO E QUELLO A FIANCO IL SISTEMA E LINEARE t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t t 3

IL SISTEMA SI PUÒ RIASSUMERE IN UN DIAGRAMMA A BLOCCHI: BEGIN t = 0 VELOCITÀ DI V2(t) = 2*g*h(t) FUORIUSCITA DELL ACQUA NEL TEMPO SI NO h(t)<= 0 PORTATA Q2(t) = S2* 2*g*h(t) DI USCITA NEL TEMPO VOLUME Vol (t, t) = S2 * 2*g*h(t) * t DI ACQUA FUORIUSCITA VARIAZ. DEL LIVEL. h (t + t) = h(t) - S2/S1 * 2*g*h(t) * t DELL ACQUA NEL TEMPO t = t + t INCREMENTO DEL TEMPO Al posto di h(t) si mette il nuovo h(t) END Il ciclo iterativo si conclude quando l altezza è <= 0 4

LA SCELTA DEL T Dopo aver calcolato il tempo di svuotamento lineare del serbatoio, dato dal rapporto fra la quantità d acqua e la portata (TSL = Vol / Q), lo divido per 2, o per 3 e considero il risultato ottenuto come il mio primo t. Ora, con questo t, svolgo le operazioni presenti nel diagramma a blocchi precedente finché l altezza è <= 0 e rilevo il tempo di svuotamento. A questo punto divido il t nuovamente per 2, o per 3 e ripeto sempre le stesse operazioni, descritte in precedenza, fino a quando l errore fra il t ottenuto e quello precedente non è trascurabile. L errore precentuale è dato dalla differenza fra il tempo di svuotamento ottenuto e quello precedente, rapportata con il tempo di svuotamento ottenuto e moltiplicata per 100 : ERRORE % = (TS - TS precedente)/ts * 100 Il t deve essere molto più piccolo del tempo di evoluzione del sistema, però bisogna comunque stare attenti a non prenderne uno troppo piccolo, perché arrivati a un certo punto, la precisione si stabilizzerebbe, e ad esempio, usando il computer, questo non andrebbe più : si perderebbe molto tempo, infatti, a fare inutili calcoli, perché i numeri verrebbero scritti sempre nello stesso modo; questo per la grande quantità di numeri dopo la virgola. Si deve trovare, perciò, un t ottimale. Il tempo di svuotamento, come si può notare dal grafico a fianco, diminuisce all aumentare del t, di conseguenza, minore è il t, maggiore è il tempo di svuotamento, infatti, in questo caso, il tempo di svuotamento risulta essere più preciso. TS t L errore, invece, risulta essere maggiore all aumentare di t, perciò per intervalli di tempo molto piccoli, l errore risulta essere minimo come è ben visibile dal grafico seguente: ERRORE t 5

L equazione di svuotamento della curva, risolvendo la quale si ricava il tempo effettivo di svuotamento, è la seguente: h (t) = g*s2 2 / 2*S1 2 * t 2-2*g*h0 * S1/S2 * t + h0 costante costante cost a b c sostituendo t con X e h (t) con Y, l equazione precedente diventa l equazione della parabola: Y= ax 2 + bx + c quando il serbatoio si svuota l altezza deve essere 0, perciò sostituendo Y= 0 si ottiene: ax 2 + bx + c = 0 risolvendo questa equazione di secondo grado, ottengo il tempo di svuotamento effettivo del serbatoio. L equazione deve dare due soluzioni uguali, per forza di cose, perciò, il delta deve essere uguale a 0, così X, cioè t, è dato, secondo la risoluzione delle equazioni di secondo grado, da: t = (-b )/2a sostituendo i numeri alle lettere e facendo facili passaggi matematici (che non sto a scrivere), ottengo che il tempo di svuotamento effettivo del serbatoio è uguale a: TS = ( 2*g*h0 * S1) / (S2*g) L equazione della parabola è vera per 0 <= t <= ts, infatti: 0 TS t 6

ESPERIENZA IN LABORATORIO Applicando le formule (e le operazioni) che ho scritto in precedenza (che non riscrivo) ad entrambi i serbatoi, mi calcolo la velocità di uscita iniziale dell acqua di entrambi, la portata iniziale, il volume iniziale, ed il tempo di svuotamento lineare. Dopodiché divido quest ultimo per due o per tre e lo assumo come il primo t e svolgo le operazioni presenti nel diagramma a blocchi, per i due serbatoi, trovandomi così, il tempo di svuotamento di entrambi (quando l altezza è minore uguale a 0). A questo punto, come ho descritto nelle pagine precedenti, divido il t ancora per 2 e mi trovo nuovamente il tempo di svuotamento. Rifaccio queste operazioni finché l errore tra un tempo di svuotamento ed il successivo non è trascurabile. Per risparmiare tempo e non fare i calcoli a mano, ci siamo serviti del foglio elettronico Lotus 123 versione 3.4, ed usandolo opportunamente, siamo riusciti a trovare i tempi di svuotamento dei due serbatoi per diversi t. DATI INIZIALI: 1 Serbatoio 2 Serbatoio Altezza (m) h0 1 = 3 h0 2 = 1,5 Diametro maggiore (m) d1 1 = 1 d1 2 = 1,41 Diametro minore (m) d2 1 = 0,05 d2 2 = 0,05 Sezione maggiore (m 2 ) S1 1 = 0,785 S1 2 = 1,5606585 Sezione minore: foro (m 2 ) S2 1 = 0,0019625 S2 2 = 0,0019625 Volume (m 3 ) Vol 1 = 2,355 Vol 2 = 2,341 Velocità di uscita acqua (m/sec) V2 1 = 7,672 V2 2 = 5,725 Portata di uscita iniz. (m 3 /sec) Q2 1 = 0,015 Q2 2 = 0,011 Tempo di svuotamento lineare (s) TSL 1 = 157 TSL 2 = 212,82 Per comodità abbiamo preso lo stesso delta t per entrambi i serbatoi: partendo da 50. Esempio del calcolo del tempo di svuotamento utilizzando il foglio elettronico Lotus. DELTA T = 50 sec TEMPO TRASCORSO ALTEZZA 1 SERB. ALTEZZA 2 SERB. 0 3 1,5 Formule: t = t + delta t h(t)-s2/s1* 2*g*h(t)* t h(t)-s2/s1* 2*g*h(t)* t Dopo aver scritto opportunamente, ed esattamente, le formule, ed aver ottenuto i primi risultati, copio queste ultime fino a quando le altezze risultano essere minori uguali a 0 e rilevo il tempo di svuotamento di entrambi i serbatoi. A questo punto faccio i grafici delle altezze in funzione del tempo per il delta t uguale a 50. Ora non resta che cambiare il delta t e metterne uno più piccolo per ottenere i risultati ad esso relativi e poi fare il grafico. 7

TABELLA DEI DELTA T PRESI, DEI TEMPI DI SVUOTAMENTO A LORO RELATIVI, DEI LORO ERRORI E DEL NUMERO DI ITERAZIONI FATTE PER OGNUNO. T Tempo di Svuotamento Effettivo(sec) Errore % Numero Iterazioni 1 Serbatoio 2 Serbatoio 1 Serb. 2 Serb. 1 Serb. 2 Serb. 50 200 350 4 7 20 260 380 23,8% 7,89% 13 19 10 280 410 7,14% 7,32% 28 41 5 295 420 5,08% 2,38% 59 84 2 304 430 2,96% 2,33% 152 215 1 308 433 1,30% 0,69% 308 433 0,5 309,5 434,5 0,48% 0,35% 619 869 In questa tabella sono evidenziati, per ogni delta t, il tempo di svuotamento effettivo, l errore fra un tempo di svuotamento e l altro, ed il numero di iterazioni, ovvero il numero di volte che si compie il ciclo presente nel diagramma a blocchi (esso è dato da: Num. Iteraz.= Tempo di svuotamento / t ), per entrambi i serbatoi. L ultimo errore da me calcolato, ovvero quello relativo al delta = 0,5, mi è sembrato abbastanza piccolo per potermi fermare, anche perché, andando avanti, avrei potuto rischiare di fare dei calcoli inutili, dato che gli ultimi due grafici finiscono per essere uguali dato il grande numero di valori. A questo punto non mi resta che calcolare il vero tempo di svuotamento per entrambi i serbatoi utilizzando la formula che ho ricavato in precedenza, ovvero: TS = ( 2*g*h0 * S1) / (S2*g) Dopo aver sostituito i valori ottengo i tempi di svuotamento dei serbatoi, cioè: Tempo di svuotamento del 1 Serbatoio = 312,8 secondi; Tempo di svuotamento del 2 Serbatoio = 439,8 secondi. Ora posso calcolare l errore da me fatto, mettendo a confronto i tempi di svuotamento da me trovati, con i veri tempi di svuotamento: Tempi di svuotamento da me trovati Veri Tempi di svuotamento 1 Serbatoio 309,5 sec 312,8 sec 2 Serbatoio 434,5 sec 439,8 sec 8

L errore finale da me commesso é: ERRORE FINALE 1 SERBATOIO 1,05% 2 SERBATOIO 1,21% L errore finale si può considerare quasi trascurabile. E facile notare che il primo serbatoio, ovvero quello alto e stretto, si svuota prima del secondo, cioè quello basso e largo. Era quello che mi aspettavo, infatti nel primo serbatoio, essendo più alto, c è più energia potenziale, ed essendo più stretto, inoltre, la pressione risulta maggiore (Press. = Forza/Sezione). Proprio queste motivazioni mi avevano indotto a pensare che il primo serbatoio si svuotasse prima...ed avevo ragione. 9