Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. 4 punti Data la funzione fx, y = e x3 +x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; ii dire se esiste il ite x,y, iii determinare massimo e minimo di fx, y su fx, y x + y Ω = { x, y R : x, y x + }. Esercizio. punti Calcolare l integrale dx dy Ω x + y 5 { { 4 dove Ω = x, y R : y min x, 3 }} + x. Esercizio 3. 8 punti Data la superficie Σ = { x, y, z R 3 : log + x y 3 y + arctanz 3 + z = } i scrivere, se possibile, l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nei punti: P = Q = e ii determinare, se possibile, una parametrizzazione locale di Σ in un intorno dei punti P, Q del punto precedente.
Svolgimento Esercizio. Data la funzione fx, y = e x3 +x y i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli come punti di massimo locale, minimo locale o sella; La funzione è composizione della funzione esponenziale e di un polinomio definito su tutto R, dunque è almeno di classe C su tutto R. Per trovare i punti critici dobbiamo dunque risolvere il sistema fx, y =, ossia { 3x y + y e x3 +x y = x 3 + x e x3 +x y = La funzione esponenziale non si annulla mai, dunque dalla seconda equazione si ricava xx + =, che ha come unica soluzione reale x =. Sostituendo nella prima otteniamo y =. Dunque f ha un solo punto critico, dato da C =. Per caratterizzarlo andiamo a calcolare la matrice Hessiana di f. Poiché f è di classe C su tutto il dominio, la matrice Hessiana è simmetrica. In particolare troviamo [3x y + y + 6xy] e x3 +x y [3x y + yx 3 + x + 3x + ] e x3 +x y Hfx, y =, [3x y + yx 3 + x + 3x + ] e x3 +x y x 3 + x e x3 +x y e Hf, = Si ha det Hf, = <. Dunque C è un punto di sella.. ii dire se esiste il ite x,y, fx, y x + y La funzione di cui dobbiamo studiare il ite è definita su R \ {x + y = } = R \ {, }. Il ite è della forma indeterminata, dunque iniziamo a studiarne il comportamento lungo le rette della forma y = λx con λ R. Si trova y=λx, x,y, e fx, y x + y = x y=, x,y, e x3 +xλx x + λ fx, y x + y = x λxx 3 + x + ox x + λ = λ R \ {}, = x e x =.
Dunque se il ite esiste, è uguale a. Per le proprietà dell esponenziale basta dimostrare che è il ite x 3 + xy x + y, x,y, e per farlo cerchiamo una buona maggiorazione. Si trova x 3 + xy xy = x + y x + y x + x + y x + y x + = x + x + y, e chiaramente x + x + y se x, y. Quindi il ite richiesto esiste ed è uguale a. iii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω = { x, y R : x, y x + }. L insieme Ω è rappresentato nella figura. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non differenziabilità della funzione...5..5. -.5 -. -.5 -. -.5..5..5 Figure : L insieme Ω. La funzione f non ha punti di non differenziabilità, e i punti critici sono stati trovati al punto i. L unico punto critico è C =, che è interno ad Ω, e va quindi preso in considerazione. Passiamo al comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti Q = Q = Q 3 = Q 4 = 3
Il bordo è composto da quattro parti Γ = {x =, y } Γ = {y =, x } Γ 3 = {x =, y } Γ 4 = { y = x +, x } Studiamo f ristretta a Γ. Parametrizziamo il segmento tramite γ t =, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g t = fγ t = e t, t [, ] Si trova g t = et, che non si annulla in [, ], quindi il massimo e minimo saranno raggiunti sugli estremi dell intervallo che corrispondono a due degli spigoli. Studiamo f ristretta a Γ. Parametrizziamo il segmento tramite t γ t =, t [, ] Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g t = fγ t = e t3 t, t [, ] Si trova g t = 3t + e t3 t, che non si annulla in [, ], quindi il massimo e minimo saranno raggiunti sugli estremi dell intervallo che corrispondono a due degli spigoli. Studiamo f ristretta a Γ 3. Parametrizziamo il segmento tramite γ t =, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g 3 t = fγ 3 t = e t, t [, ] Si trova g t = e t, che non si annulla in [, ], quindi il massimo e minimo saranno raggiunti sugli estremi dell intervallo che corrispondono a due degli spigoli. Studiamo infine f ristretta a Γ 4.Parametrizziamo Γ 4 tramite t γ t =, t [, ] t + otteniamo, componendo con f, la funzione di una variabile g 4 t = fγ 4 t = e t3 +tt +, t [, ] 4
Si trova g 4 t = 5t4 + 6t + e t5 +t 3 +t, che non si annulla in [, ], quindi il massimo e minimo saranno raggiunti sugli estremi dell intervallo che corrispondono a due degli spigoli. I valori che dobbiamo confrontare sono dunque solo quelli relativi al punto critico libero e agli spigoli, dunque fc =, fq = e 4, fq = e, fq 3 = e, fq 4 = e 4. Per cui su Ω, il minimo di f è e 4, e il massimo è e 4. Esercizio. Calcolare l integrale dx dy Ω x + y 5 { { 4 dove Ω = x, y R : y min x, 3 }} + x. Osserviamo innanzitutto che l insieme Ω si riscrive come e si rappresenta come nella figura. Ω = { x, y R : y, x + y 4, y 9 + x } 3 - - - Figure : L insieme Ω. La funzione da integrare e il dominio suggeriscono di risolvere l integrale usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ = x, y con { x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ. 5
Dunque ponendo S l insieme tale che ψs = Ω, abbiamo ρ 4 cos θ sin 3 θ dx dy = Ω x + y 5 S ρ 5 ρ dρ dθ = S cos θ sin 3 θ dρ dθ. Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice. Dalla definizione di Ω troviamo S = { ρ, θ [, + [ π, π] : ρ sin θ, ρ 4, ρ sin θ 9 + 9ρ cos θ } La prima e la seconda condizione ci dicono che mentre la terza condizione si riscrive come Siamo quindi arrivati a { S = ρ e θ [, π], ρ 9 cos θ + 36 + 45 cos θ sin θ ρ, θ [, + [ π, π] : θ π, ρ, ρ 9 cos θ + 36 + 45 cos θ sin θ. } 3..5..5..5. -.5..5..5..5 Figure 3: L insieme S. L insieme S è rappresentato nella figura 3 con ρ sulle ordinate e θ sulle ascisse. Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo considerare θ [, π] tale che 9 cos θ + 36 + 45 cos θ sin θ =. Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici, ossia S = { ρ, θ : θ θ, ρ } { ρ, θ : θ θ π, ρ 9 cos θ + 36 + 45 cos θ sin θ 6 }.
Dunque = θ = = θ θ Ω x + y 5 π cos θ sin 3 θ dρ dθ + θ cos θ sin 3 θ ρ = cos θ sin 3 θ dθ + θ 4 sin4 θ = sin4 θ + dx dy = cos θ sin 3 θ dρ dθ = S 9 cos θ+ 36+45 cos θ sin θ π dθ + cos θ sin 3 θ θ π θ cos θ sin θ ρ 9 cos θ+ cos θ sin 3 θ dρ dθ = 36+45 cos θ sin θ dθ = 9 cos θ + 36 + 45 cos θ dθ = 9 3 cos3 θ 35 36 + 45 cos θ 3 π + 3 79 35 + 3 cos3 θ + 35 36 + 45 cos 3 θ Per concludere dobbiamo ricavare il valore di sin θ e cos θ. Possiamo risolvere l equazione 9 cos θ + 36 + 45 cos θ sin θ =, da cui si trova che per sin θ si ha 36 + 45 cos θ = 4 sin θ 9 cos θ. Imponendo che il secondo membro sia maggiore o uguale a, eleviamo al quadrato, usiamo l identità cos θ = sin θ, si ottiene da cui, essendo sin θ, troviamo 4 sin θ 4 sin θ 9 8 cos θ =, 4 cos θ + 8 cos θ + 5 =, che ha un unica soluzione accettabile in [, ], ossia cos θ = 9 + 6 4 e quindi sin θ = 9 7 + 6 8 Osservando la figura, si poteva anche dedurre che il punto P = x, y di intersezione tra la circonferenza x + y = 4 e la parabola y = 9 + x, soddisfa x = cos θ e y = sin θ. Dunque, risolviamo l equazione 4 x = 3 + x nell intervallo [, +, da cui si ottiene x = 9+ 6, e quindi nuovamente i valori di prima per cos θ e sin θ. θ =. 7
Sostituendo nell espressione trovata prima si ottiene il valore numerico dell integrale. Osserviamo, al di là degli scopi del compito, che con un po di pazienza il valore numerico si può scrivere nella forma semplificata dx dy = 3 333 + 47 6. Ω x + y 5 3 Esercizio 3. Data la superficie Σ = { x, y, z R 3 : log + x y 3 y + arctanz 3 + z = } i scrivere, se possibile, l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nei punti: e P = Q = La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione di classe C F x, y, z = log + x y 3 y + arctanz 3 + z dunque certamente esiste il piano tangente nei punti di Σ in cui non si annulla il gradiente di F. Abbiamo x +x F x, y, z = 3y 4y, e quindi F P = 3z +4z +z 3 +z, F Q = e e Ne segue che il piano tangente a Σ esiste certamente in Q, e la sua equazione cartesiana è e e x e + y + =. Approfondimento. La condizione F P = non implica che necessariamente il piano tangente non esista in P. Il problema andrebbe studiato in maniera più approfondita e va al di là di quello che è richiesto in questo esame. Tuttavia il disegno di Σ in figura 4 suggerisce che in effetti il piano tangente non esista in P., ii determinare, se possibile, una parametrizzazione locale di Σ in un intorno dei punti P, Q del punto precedente. 8
Figure 4: La superficie Σ in un intorno di P. Per il Teorema delle Funzioni Implicite, siamo certi di poter trovare una parametrizzazione locale di Σ come grafico di una funzione in un intorno dei punti in cui non si annulla il gradiente di F, dunque nel punto Q. Nel caso del punto Q, poiché F x Q e F y Q, possiamo scegliere se applicare il teorema rispetto alla x o rispetto alla y. Se scegliamo di applicarlo rispetto alla x, otteniamo che esistono un intorno U,, un intorno V e ed una funzione gy, z : U V tale che g, = e e F gy, z, y, z = per ogni y, z U. Quindi Σ si può parametrizzare localmente come grafico della funzione g. Dall equazione F gy, z, y, z = log + gy, z y 3 y + arctanz 3 + z = con la condizione g, = e, troviamo gy, z = e y3 +y arctanz 3 +z La parametrizzazione locale di Σ è quindi data da con u, v U, dove gu, v = σu, v = gu, v, u, v e u3 +u arctanv 3 +v. Se scegliamo di applicare invece il Teorema delle Funzioni Implicite rispetto alla y, otteniamo che esistono un intorno U e,, un intorno V ed una funzione hx, z : U V tale che h e, = e F x, hx, z, z = per ogni x, z U. Quindi Σ si può parametrizzare localmente come grafico della funzione h. Dall equazione F x, hx, z, z = log + x hx, z 3 hx, z + arctanz 3 + z = Non risulta tuttavia agevole in questo caso ottenere l espressione esplicita della funzione hx, z. 9