Concetti fondamentali elemento insieme sequenza tutto si riconduce a questi insieme: esempi {,3,5,7,9} insieme dei numeri dispari positivi minori di dieci {Antonio, Beatrice, Carlo, Daria} insieme dei cugini di Gino {{d,c}, {r}, {f,e,r,t}} un insieme di insiemi di lettere { i i=,,, } insieme delle potenze positive di due notare: insiemi infiniti, insiemi di insiemi insiemi: appartenenza, sottoinsiemi x S = x è un elemento dell insieme S esempio: Carlo {Antonio, Beatrice, Carlo, Daria} P S = S contiene tutti gli elementi di P esempio: {,3,5,7,9} {,,3,,5,6,7,8,9} formale: se x P allora x S sequenze: esempi,,3,,5 sequenza dei primi cinque numeri interi,,,,, sequenza di risultati di partite ogni risultato è una coppia come,, cioè una sequenza di due numeri p,a,r,o,l,a una sequenza di lettere forma abbreviata: parola concetti derivati stringa sequenza di caratteri (elementi di un certo alfabeto)
funzione insieme di coppie con certe proprietà relazione insieme di coppie... [altro?] concetti derivati: relazioni esempio: relazione genitore-figlio: { marco,giulia, giulia,luca, gianni,roberto, } due elementi a e b sono in relazione se a,b relazione a,b e b,a non sono la stessa cosa!: marco,giulia relazione marco è un genitore di giulia giulia,marco relazione giulia è un genitore di marco marco giulia luca gianni roberto relazioni simmetriche esempio: relazione fratello-di se marco è fratello di Luca allora luca è fratello di marco formale: relazione simmetrica: se a,b relazione allora b,a relazione viceversa: automatico non tutte le relazioni sono simmetriche concetti derivati: funzioni esempio: funzione quadrato
{,,,,,, 3,9,,6, } interpretazione: f(x) è = y tale che x,y funzione indefinita se non esiste x,y funzione 6 9 3 funzioni: rappresentazione grafica per chiarezza: elementi duplicati stesso significato coppie rappresentate con frecce esempio: freccia da a significa:, funzione 3 9 6 condizioni sulle funzioni tutte non esistono x,y funzione e x,z funzione con y z iniettive non esistono x,y funzione w,y funzione con x w suriettive per ogni y esiste x tale che x,y funzione 3
esempi grafici relazioni e funzioni 3 3 maggiore: relazione (non è una funzione) {,,,,, } 3 9 6 quadrato: funzione {,,,,, } -------[ note ]------- La prima non è una funzione, come si vede dalle due coppie con lo stesso primo elemento. funzioni iniettive e non 3 9 6 quadrato: funzione iniettiva {,,,,, } 3 modulo due: non iniettiva {,,,,, }
-------[ note ]------- La seconda non è iniettiva, come si vede dalle due coppie con lo stesso secondo elemento. funzioni suriettive e non esempio con funzioni da interi a interi 3 dimezzamento intero: suriettiva (funzione numero//) 3 doppio: non suriettiva (funzione numero*) -------[ note ]------- La seconda non è suriettiva, dato che 3 non è un valore possibile. Notare che la suriettività dipende da come si definisce il codominio delle funzione: la seconda sarebbe suriettiva sugli interi pari. operazioni su insiemi unione A B contiene gli elementi di A e quelli di B esempio: {,3,5} {,3,,5,9,} = {,,3,,5,9,} intersezione A B contiene solo gli elementi che sono sia in A che in B esempio: {,3,5} {,3,,5,9,} = {3,5} 5
insieme vuoto quello che non contiene nessun elemento simbolo: o anche {} contenimento e contenimento stretto A B contenimento: anche uguali {,,3} {,,3} A B contenimento stretto, come {,3} {,,3} vale che A per qualsiasi insieme A ma A solo se A non è vuoto sottoinsieme, insieme delle parti sottoinsieme di A = un insieme contenuto in A i sottoinsiemi di {,,3}: {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} l insieme di questi: insieme delle parti di A simbolo P(A) oppure A insieme delle parti: esempi insieme insieme delle parti S={Carlo, Luca} P(S)={, {Carlo}, {Luca}, {Carlo, Luca}} T={} P(T)={, {}} R={,,, } P(R)={,{, },{, },{,,, }} cardinalità di un insieme = numero dei suoi elementi {,3,9,} = {Luca,Antonio} = = P(A) = A 6
domanda: A B = A + B? cardinalità di un unione {,} = {,3} = {,} {,3} = {,,3} = 3 non vale A B = A + B però: A B A + B per l intersezione? cardinalità dell interesezione A B può anche essere zero: {,} {3,} = = vale: A B min( A, B ) confronto fra insiemi L H T E A C ci sono più lettere maiuscole sopra la riga o sotto? ovviamente: tre sopra tre sotto stesso numero -------[ note ]------- Non è una domanda a trabocchetto: si parla solo delle lettere (maiuscole) del disegno (HLTEAC). 7
insiemi più grandi V G H W K F D L T S P X Y A J I M B E O C U stessa domanda: più sopra o più sotto? questa volta ci vuole un po... -------[ note ]------- Sicuri di aver contato anche la I sotto la linea? E la F sopra? Le lettere sono non allineate apposto per rendere il conteggio difficile. facilitazione A B C D E F G H I J K L M O P S T U V W X Y stesse lettere versione facilitata 8
H G V W K D F L T P S B O U C E M Y I A J X spostando le lettere: stesso numero in generale contare e confrontare per confrontare due insiemi: contare gli elementi facile con pochi farli corrispondere sempre possibile infiniti elementi: impossibile contarli cardinalità di insiemi infiniti insiemi con numero infinito di elementi: impossibile contare quanti elementi sono però: i positivi sono quanti i negativi 3 5 ------------------- - - -3 - -5 in generale: vedere se gli elementi corrispondono confronto fra insiemi infiniti 3 5 ------------------- - - -3 - -5 non si può dire il numero di elementi di un insieme infinito, ma si può dire se è grande quanto un altro 9
positivi = negativi altro esempio interi positivi e sequenze di bit che iniziano con : 3 5 ----------------------- corrispondono stessa grandezza interi = sequenze di bit che iniziano con l albergo di Hilbert 3 5 è un albergo con un numero infinito di stanze numerate: stanza, stanza, stanza 3, sono tutte piene arriva un nuovo cliente gli trovano una stanza! non cacciano nessun cliente sempre un cliente per stanza come fanno? albergo di Hilbert: non soluzione metto il cliente nella stanza infinito+ non esiste! infinito non è un numero significa solo che per ogni intero c è una stanza stanza n con cliente n albergo di Hilbert: soluzione
3 5 si spostano i clienti: quello della stanza va nella quella della nella 3 quello della 3 nella albergo di Hilbert, dopo lo spostamento 3 5 il nuovo cliente va nella! clienti precedenti: cliente n stanza n+ i clienti da in poi entrano nelle stanze da in poi in generale attenzione ai sottoinsiemi interi e interi maggiori di tre: 3 5 --------------- 5 6 7 8 corrispondono stessa grandezza interi = interi maggiori di tre ma però cardinalità dei sottoinsiemi finiti: se A B allora: B è più grande di A o uguale
infiniti: lo stesso se A B allora A B e se A B? sottoinsiemi stretti insiemi finiti: se A B allora A < B insiemi infiniti: interi maggiori di tre interi ma: corrispondono (= stessa grandezza) interi maggiori di tre = interi es: interi ma interi maggiori di tre elemento che l altro insieme non ha ma: stessa cardinalità interi e interi pari sottoinsieme stretto: ogni pari è intero 5 è intero ma non pari ma: 3 ------------- 6 8 corrispondono stessa cardinalità pari = interi interi e pari gli interi sono di più!!! (o no?) ragionamento (errato): ogni intero pari è un intero 5 è intero ma non pari quindi gli interi sono più dei pari (falso)
grandezza di insiemi infiniti A B non implica A < B es pari e interi la cardinalità di un insieme infinito indica il suo ordine di grandezza, non il numero specifico di elementi (questo numero non esiste) se A B allora A B definizione formale per ogni intero c è un pari (il doppio) e per ogni pari c è un intero (la metà) gli interi positivi pari sono quanti gli interi positivi se esiste una funzione suriettiva f:a B allora A B suriettiva: per ogni y esiste x tale che f(x)=y insiemi grandi come gli interi interi maggiori di tre interi positivi pari interi negativi coppie di interi coppie di interi 3 5 6 ------------------------------------------ (,) (,) (,3) (,) (,5) (,6) può funzionare? coppie di interi: disposizione errata 3 5 6 ------------------------------------------ (,) (,) (,3) (,) (,5) (,6) ci sono infinite coppie (,numero) a (,) non ci arrivo mai: non si può mettere (,) "dopo infinito": infinito = non ci si arriva mai 3
coppie di interi: soluzione 3 5 6 ------------------------------------------ (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) come funziona? ordinamento delle coppie 3 5 6 ------------------------------------------ (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) prima le coppie con somma : (,) poi quelle con somma 3: (,) e (,) poi con somma, ecc. corrispondenza coppie interi: matrice (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,3) (3,) visualizzando le coppie come una matrice corrispondenza coppie interi: grafico (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,3) (3,) sequenza di coppie: si parte da (,) e si seguono le frecce grafico alternativo
(,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,3) (,) si segue la linea modifica (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,3) (,) raddrizzando la linea si ottiene linea raddrizzata (,) (,) (,3) (,) (,) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,3) (,) raddrizzando la linea (,) (,) (,) (,3) (,)... si aggiungono 3 sopra la linea si ottiene la corrispondenza 5
cardinalità delle coppie di interi linea con interi sopra e coppie sotto coppie = interi perchè non per linee? (,) (,) (,3) (,) (,) (,3) (3,) (3,) (3,3) qual è l intero di (,)? (ce ne sono infiniti prima di lui) nell altro modo no, posizione di (n,m): somma n+m prima le diagonali a somma, 3, n+m- poi n lungo questa diagonale insiemi contabili sono quelli con la stessa cardinalità degli interi: interi negativi interi pari interi maggiori di tre coppie di interi definizione alternativa: si possono contare (= si mettono sotto la linea, poi: uno, due, tre, ) contabilità dei numeri razionali numero razionale coppia di interi es:,5 = 5/ (5,) razionali coppie di interi (la funzione inversa non è iniettiva, ma non ci interessa) dimostrato prima: coppie di interi interi quindi: 6
razionali interi razionali e interi razionali interi ma interi razionali quindi interi razionali quindi: razionali = interi non molto intuitivo sottoinsiemi di insiemi infiniti "gli interi sono molti meno dei razionali" infatti: già fra e ci sono infiniti razionali su insiemi infiniti non vuol dire niente invece: i reali sono davvero di più! stringhe es: ASCII stringa=sequenza di caratteri terminata da NUL carattere numero a otto bit (NUL ) stringa sequenza di tutti questi bit aggiungere all inizio stringhe sequenze di bit (neanche tutte le sequenze: lunghezza multipla di otto, zero solo alla fine) già visto: sequenze di bit = interi quindi: stringhe interi viceversa: numero sequenza di caratteri,,9 numeri reali 7
non ci interessa la definizione formale diciamo che: numero reale sequenza (anche infinita) di cifre quindi: reali = sequenze di cifre mettere i reali sotto la linea il sistema dei razionali non funziona: in che posizione si mette π? si dimostra che non si può fare contare i reali mettiamo la linea in verticale (è lo stesso),3,9533 3,5933,83 5, 6,673873 consideriamo solo i numeri minori di dimostriamo che qualche numero non c è cifre in diagonale,3,9533 3,5933,83 5, 6,673873 numero con quella cifra più uno (9 diventa ) 98,39 definizione di questo numero: sua cifra i = uno più cifra i del numero i 8
dove sta il numero in diagonale?,3,9533 3,5933,83 5, 6,673873,39 deve stare da qualche parte nella lista per esempio: posizione numero in posizione dieci,3,9533 3,5933,83 5, 6,673873 7 x 8 y 9 z,39 c la diagonale interseca il numero alla decima cifra decima cifra,3,9533 3,5933,83 5, 6,673873 7 x 8 y 9 z,39 c cifra del numero = uno più la cifra sulla diagonale per la decima cifra: c = uno più c conclusione: il numero non è in posizione dieci 9
posizione del numero,3,9533 3,5933,83 5, 6,673873 n,39 indichiamo con n la sua posizione la diagonale lo interseca sulla n-esima cifra n-esima cifra del numero in diagonale definizione del numero: n,39 c sua cifra i = uno più cifra i del numero i se i=n: cifra n = uno più cifra n del numero n contraddizione! diagonalizzazione si assume che l elenco contenga tutti i reali si costruisce un reale prendendo una cifra modificata da ognuno si dimostra che se sta nell elenco in posizione n allora la sua n-esima cifra vale lei stessa più uno i reali non sono in corrispondenza con gli interi non sono contabili insieme delle parti insieme di tutti gli insiemi (anche infiniti) di interi rappresentazione:
3 5 6 7 -------------------------------- {,3} {,,5} tutti pari < > con, davanti = numeri reali minori di uno in binario insiemi di interi = reali non contabili l insieme delle parti dell insieme dei numeri interi non è contabile contabili e non contabili contabili negativi, pari, sequenze di bit, coppie di interi, razionali, stringhe non contabili reali, insiemi di interi