Soluzioni agli esercizi supplementari

Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed Soluzioni agli esercizi supplementari Capitolo 1 (esercizi alle pp. 22 23) (1) ➀ [Ce la farai senz altro], perché ➁ [hai talento] e ➂ [lavori sodo]. Le asserzioni 2 e 3 fungono da premesse indipendenti per la conclusione 1: la persona a cui l argomentazione è rivolta potrebbe aver talento senza lavorare sodo, e potrebbe lavorare sodo pur senza avere talento. Si tratta quindi di un argomentazione convergente: 2 3 1 (2) ➀ [C è bisogno di altra morfina.] ➁ [Abbiamo 32 feriti] e ➂ [sono rimaste solo 12 dosi.] In questo caso le due premesse lavorano in congiunzione. Il diagramma è: 2 + 3 1 (3) Questa non è un argomentazione ma un asserzione condizionale. (4) ➀ [Se ci fosse stato un autovelox, sarebbe comparso su questo radar,] ma ➁ [qui non è comparso nulla.] Questa è un argomentazione con conclusione implicita: ➂ [Non c era un autovelox.] 1 + 2 3 (5) ➀ [O gli UFO sono armi segrete del nemico oppure sono navi spaziali che provengono da un mondo alieno.] ➁ [Se sono armi nemiche, allora la tecnologia nemica è ampiamente superiore alla nostra (contrariamente a quanto si pensa di solito).] ➂ [Se sono navi spaziali aliene, allora dispongono di una tecnologia superiore a qualsiasi cosa noi si possa immaginare.] In ogni caso, quindi, ➃ [i costruttori di UFO sono tecnologicamente più sofisticati di noi.] L indicatore di conclusione quindi (insieme alla qualifica in ogni caso ) segnala che l asserzione 4 è una conclusione sostenuta da tutte le asserzioni precedenti. Si noti che queste sono poste tra parentesi senza spezzarle in componenti più semplici, dal momento che si tratta di asserzioni composte mediante i connettivi o oppure e se allora. Pertanto il diagramma è: 1.1

2 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 1 + 2 + 3 4 (6) Questa non è un argomentazione. La parola perché non funge da indicatore di premessa ma svolge una funzione puramente esplicativa: il parlante sta spiegando per quale motivo una certa persona si sia rinchiusa nella sua camera da letto, non sta cercando di dimostrare che l ha fatto. (7) ➀ [Ho seguito le indicazioni della ricetta sulla scatola,] ma ➁ [la torta è davvero immangiabile.] Evidentemente ➂ [alcuni ingredienti erano andati a male]. Argomentazione non convergente: 1 + 2 3 (8) ➀ [I cibi salati mi fanno bere.] ➁ [Quando bevo mi passa la sete.] Quindi ➂ [i cibi salati mi fanno passare la sete.] Argomentazione non convergente (ma colpevole di una fallacia semantica; si veda il Paragrafo 8.2). Anche in questo caso il diagramma è: 1 + 2 3 (9) Non è un argomentazione ma una semplice descrizione di un concorso a premi. (10) ➀ [Come si fa a dire che la pena capitale è un deterrente per il crimine?] ➁ [In quegli stati in cui la pena di morte è stata abolita, il tasso di incidenza dei delitti è inferiore a quello degli stati che invece l hanno mantenuta.] Inoltre, ➂ [la pena capitale è una pratica barbarica che non dovrebbe trovare posto in una società che si definisce civilizzata.] Questa è un argomentazione convergente (come suggerisce la parola inoltre ) con un ovvia conclusione implicita: ➃ [La pema di morte va abolita.] Il diagramma è: 2 1 3 4 Si noti che la conclusione intermedia 1 è espressa da una domanda retorica. (11) ➀ [Non sono stati né il maggiordomo né la cameriera.] ➁ [Rimangono il cuoco e l autista.] Ma ➂ [l autista era all aeroporto quando il delitto è avvenuto.] ➃ [Il cuoco è l unico senza un alibi.] Inoltre ➄ [l ereditiera è stata avvelenata.] È logico concludere che ➅ [l assassino è proprio il cuoco.] Quest argomentazione riposa su due ovvia premesse implicite: ➆ [L assassino è uno tra il maggiordomo, la cameriera, il cuoro, l autista.] ➇ [L omicidio ha avuto luogo a casa.]

Soluzioni agli esercizi supplementari 3 Dalla premessa 7 insieme alla 1 si deriva l asserzione 2. Da quest ultima, insieme alle premesse 3 e 8, si deduce che il cuoco è l unica persona sospetta a non avere un alibi (asserzione 4), da cui si inferisce la conclusione 6. La conclusione è supportata indipendentemente dalla premessa 5. Si tratta quindi di un argomentazione complessa il cui ultimo passo è convergente: 1 + 7 2 + 3 + 8 4 5 6 (12) ➀ [La serie dei numeri interi è infinita.] ➁ [Se non fosse infinita, allora ci sarebbe un numero più grande di tutti gli altri.] Ma, ➂ [per le leggi dell aritmetica, si può applicare l operazione di addizione a un numero arbitrariamente grande, lo si chiami n, per ottenere n + 1.] Poiché ➃ [n + 1 è più grande di n,] ne segue che ➄ [non c è un numero intero più grande di tutti gli altri.] Questo dimostra che ➀ [la serie degli interi è infinita.] Argomentazione complessa non convergente: 3 + 4 2 + 5 1 (13) ➀ [La scala Richter misura l intensità di un terremoto in potenze di 10.] ➁ [Una scossa che misura 6 gradi è 10 volte più potente di una che ne misura 5,] e ➂ [una che misura 7 gradi rilascia 10 volte più energia di una che ne misura 6 e 100 volte più di una che ne misura 5.] ➃ [Scosse famose come quella di San Francisco del 1906 (8,6 gradi) o quella dell Alaska nel 1964 (8,3 gradi) sono quindi almeno mille volte più devastanti di una scossa che misuri appena 5 gradi.] In quest argomentazione, le asserzioni 2 e 3 sono introdotte al solo fine di spiegare e illustrare il significato dell asserzione 1 e non aggiungono nulla alla struttura logica del discorso. Pertanto il diagramma è semplicemente: (14) ➀ [I genitori che hanno subito molestie da piccoli sono spesso più violenti, con i propri figli, dei genitori che non ne hanno subite.] Questo dimostra che ➁ [subire molestie da piccoli porta a ulteriori molestie nei confronti della generazione successiva.] Di conseguenza, ➂ [l unico modo per fermare il ciclo delle molestie ai minori è fornire assistenza per i minori molestati prima che questi possano diventare genitori e perpetuare questo triste e grave problema.] (15) Supponiamo che ➀ [ci sia un tavolo da biliardo perfettamente quadrato] e che ➁ [una palla sia colpita dalla metà di una sponda con una traiettoria dritta e 1 4 1 2 3

4 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed un angolazione di 45 gradi rispetto alla sponda.] Si capisce che ➂ [la palla colpirà la sponda adiacente con un angolazione di 45 gradi.] ➃ [In seguito la palla rimbalzerà con un angolazione uguale, ma nella direzione opposta a quella di arrivo.] Quindi ➄ [si inclinerà con un angolazione di 45 gradi e colpirà nel mezzo la sponda opposta a quella da cui era partita.] Ne segue che, per lo stesso principio, ➅ [colpirà nel mezzo la sponda successiva con un angolazione di 45 gradi] e quindi ➆ [ritornerà al punto di partenza.] 1 + 2 3 + 1 5 + 1 6 + 1 7 1.2 (1) La maiuscola di x è X. (2) Quando si parla di amore, si parla semplicemente di una parola di 5 lettere. (3) Roma è conosciuta con il nome di Città Eterna. Il Vaticano è a Roma. Il Vaticano, quindi, è nella Città Eterna. (4) Il Capitolo 1 di questo libro riguarda la struttura delle argomentazioni. (5) In logica formale, le lettere P e Q sono spesso usate per designare asserzioni. (6) Se usiamo la lettera P per designare l asserzione Piove e Q per designare Fuori fa freddo, allora l argomentazione Piove, quindi fuori fa freddo si simbolizza così: P, quindi Q. (7) Roma designa Roma, e Roma designa Roma, ma Roma non designa Roma. [Esistono infinite altre soluzioni corrette. È sufficiente che le coppie di virgolette intorno alla prima occorrenza di Roma siano una in più rispetto alla seconda occorrrenza, le coppie di virgolette intorno alla terza occorrenza di Roma siano una in più rispetto alla quarta occorrrenza, e le coppie di virgolette intorno all ultima occorrenza di Roma siano in numero uguale o maggiore rispetto alla penultima.] Capitolo 2 (esercizi alle pp. 43 46) 2.1 (1) Deduttiva. (2) Deduttiva. (3) Deduttiva. (4) Induttiva (debole); i fumatori potrebbero patire una morte dolorosa anche se non si ammalassero di enfisema. (5) Induttiva (forte); date le premesse, è molto improbabile (benché in linea di principio possibile) che una nazione scateni un attacco nucleare. (6) Induttiva. Le premesse non dicono che lo starnuto avviene subito, quindi può anche essere che io abbia respirato del pepe poco prima di mezzanotte e abbia starnutito dopo mezzanotte. Si tratta comunque di una possibilità estrema, per cui la forza dell argomentazione è decisamente alta. (7) Induttiva (forte). (8) Induttiva (debole); la prima premessa non dice che solo i conservatori sono convinti assertori della legge e dell ordine.

Soluzioni agli esercizi supplementari 5 (9) Induttiva (debole); non essere convinti dell innocenza di una persona non equivale a ritenerla colpevole. (10) Induttiva (forte). (11) Induttiva (piuttosto forte). (12) Induttiva. Supponiamo che siano rimaste solamente due persone al mondo, una totalmente calva e l altra con un solo capello. In tal caso le premesse sarebbero vere e la conclusione falsa, quindi l argomentazione non può essere deduttiva. L argomentazione, tuttavia, è abbastanza forte, dal momento che la maggior parte delle circostanze in cui le premesse sono vere, è vera anche la conclusione. (13) Deduttiva. (14) Deduttiva. (15) Induttiva (forte). (16) Induttiva (moderatamente forte). (1) ➀ [Il tema di Ettore e quello di Alessandro sono pressoché identici.] Evidentemente, ➁ [uno dei due ha copiato.] 1 I (forte) 2 (2) Dal momento che ➀ [mi hai detto che ci saremmo incontrati al drive-in] e ➁ [tu non c eri], ➂ [sei un bugiardo.] Quindi ➃ [non posso credere a nulla di quello che dici.] Ecco perché ➄ [con te non posso sentirmi a mio agio.] 1 + 2 I (debole) 3 I (piuttosto debole) 4 I (piuttosto forte) 5 I (debole) (3) ➀ [L argomentazione precedente è infondata per due ragioni.] Anzitutto, ➁ [al drive-in io c ero], ma evidentemente ➂ [non mi hai visto,] quindi ➃ [una delle tue premesse è falsa.] E poi ➄ [il tuo ragionamento non è valido.] 2 + 3 D 4 5 D D D 1 (4) ➀ [È da tre giorni che piove.] ➁ [Domani farà sicuramente bello.] 1 I (debole) 2 (5) ➀ [Le previsioni meteorologiche dicono che pioverà,] ➁ [il cielo appare molto minaccioso,] e ➂ [la lancetta del barometro sta scendendo rapidamente:] tutti fenomeni fortemente correlati alla pioggia. Quindi ➃ [sta per piovere.] Ma ➄ [se pioverà non potremo certo fare un picnic nel prato.] Quindi, ➅ [il picnic dovrà essere cancellato.] 2.2

6 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 2.3 2.4 2.5 1 2 3 I (deboli, ma congiuntamente forti) 4 + 5 D I (forte) 2 (6) ➀ [Tutti i cittadini maggiorenni hanno diritto di votare, a meno che siano mentalmente disabili o siano stati condannati per un crimine.] ➁ [Luca è un cittadino maggiorenne], e ciononostante ➂ [dice di non avere diritto al voto.] ➃ [Luca non è mentalmente disabile.] Quindi, ➄ [o ciò che dice è falso, o è stato condannato per un crimine.] Ma ➅ [Luca mi ha anche detto di non essere mai stato arrestato,] ed ➆ [è impossibile essere condannati per un crimine senza essere arrestati.] Quindi, ➇ [almeno una delle cose che Luca ha detto è falsa.] 1 + 2 + 3 + 4 D 5 + 6 + 7 D 8 (7) ➀ [Non vi è alcun modo per stabilire se la coscienza sopravviva alla morte fisica,] quindi possiamo solo concludere che ➁ [non sopravviverà.] Ma ➂ [noi non siamo altro che coscienza,] dal momento che ➃ [senza coscienza non siamo in grado di esperire alcunché, nemmeno l oscurità.] Quindi ➄ [noi non sopravviviamo alla morte.] ➅ [Ogni sistema morale fondato sull idea di una punizione o di un premio ultraterreno è quindi fondamentalmente sbagliato.] 1 4 I (debole) I (debole) 2 + 3 D 5 I (debole) 6 D I (debole) (1) Bassa pertinenza e bassa probabilità induttiva. (2) Alta pertinenza e probabilità induttiva; in effetti, ammesso che il parlante abbia degli amici, l aggiunta della seconda premessa rende l argomentazione deduttiva. (3) Pertinenza nulla e probabilità induttiva bassissima. (4) Bassa pertinenza e bassa probabilità induttiva. (5) Buona pertinenza e bassa probabilità induttiva; tuttavia si potrebbe pensare che l argomentazione poggi su una premessa implicita in base alla quale l amico in questione non ha il coraggio di dire come stanno le cose, nel qual caso l argomentazione sarebbe deduttiva. (6) La conclusione è logicamente necessaria, quindi l argomentazione è deduttiva e ha probabilità induttiva massima; la pertinenza delle premesse è irrilevante. (7) La premessa è logicamente impossibile, quindi l argomentazione è deduttiva e ha probabilità induttiva massima; la pertinenza della premessa è irrilevante. (4), (1), (3), (6), (2), (5). L argomentazione più forte, la (4), è deduttiva; in quella più debole, la (5), le premesse inplicano deduttivamente la negazione della conclusione. (1) Quest argomentazione è ragionevolmente buona, ma non può essere considerata conclusiva: (a) entrambe le premesse sono vere; (b) la probabilità induttiva è piut-

Soluzioni agli esercizi supplementari 7 tosto debole, visto che i nove pianeti conosciuti costituiscono un campione molto esiguo (e non casuale) su cui basare l ampia generalizzazione della conclusione; (c) le premesse sono pertinenti; (d) non siamo a conoscenza di evidenza contraria. (2) Questa non è una cattiva argomentazione, ma benché in effetti la conclusione risulti falsa: (a) entrambe le premesse sono vere; (b) la probabilità induttiva è alta; (c) le premesse sono pertinenti; (d) sappiamo che Ronald Reagan ha recitato in diversi film, e tanto basta a inficiare l inferenza. Per valutare l argomentazione nel suo complesso, si tratta di vedere se quest ultima informazione è stata volutamente taciuta o semplicemente ignorata. (3) Quest agomentazione è decisamente debole e non giustifica la conclusione: (a) non sappiamo se le premesse siano vere; (b) la probabilità induttiva è bassa (e tradisce una fallacia dello scommettitore; si veda il Paragrafo 8.4); (c) le premesse sono pertinenti; (d) l argomentazione è vulnerabile a fronte di nuova evidenza: si tratta di vedere chi siano i nemici e quale sia la loro politica militare. (4) Questa è un agomentazione deduttivamente valida e fondata, quindi giustifica appieno la conclusione: (a) le premesse sono tutte vere (si noti che se n è negativo, il numero degli interi positivi minori di n è zero, quindi finito); (b) la probabilità induttiva è massima; (c) le premesse sono pertinenti; (d) in quanto deduttiva, l argomentazione non è vulnerabile a fronte di nuova evidenza. (5) Questa è un agomentazione induttiva piuttosto debole ai fini della conclusione: (a) non sappiamo se la prima premessa sia vera; (b) la probabilità induttiva è piuttosto bassa, considerato che abbiamo avuto modo di osservare una quantità di materia che potrebe rivelarsi molto limitata (soprattutto nell ipotesi in cui la prima premessa sia vera); (c) le premesse sono pertinenti; (d) l argomentazione è chiaramente vulnerabile a fronte di nuove scoperte scientifiche. (6) Questa è un argomentazione deduttiva, ma è infondata e come tale fallisce nel suo intento di stabilire la verità della conclusione: (a) la prima premessa è falsa; (b) la probabilità induttiva è massima; (c) le premesse sono pertinenti; (d) in quanto deduttiva, l argomentazione non è vulnerabile a fronte di nuova evidenza (ma abbiamo già evidenza a sufficiena per non accettare la prima premessa). Capitolo 3 (esercizi alle pp. 91 92) (1) P (2) P & Q (3) P Q (4) Q P (5) P Q (6) P Q (7) P & Q oppure, in alternativa, (P Q); questi due modi di formalizzare l asserzione sono equivalenti e ugualmente corretti (si veda l risolto 3.10). (8) (P & Q) (9) P Q (10) Q P (11) P (Q & R) (12) P (Q & R) (13) P & (Q & R) (14) R ( P Q) (15) ( R & Q) (P & S), oppure (R Q) (P & S) (16) (P & S) ( Q & R) 3.1

8 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed o 3.2 3.3 (17) (R & Q) & ( P & S) (18) (R & Q) ((P S) & (P & S)) (19) (S (R P)) & ( S (P & Q)) (20) ((R Q) P) & (( P & ( Q & R)) S) (1) Non è una fbf. Le parentesi vanno introdotte solo insieme a operatori binari (regola 3). (2) Non è una fbf. Due o più lettere enunciative possono produrre una fbf solo in combinazione con un operatore binario (regola 3). (3) P è una fbf per la regola 1, così (P P) è una fbf per la regola 3. (4) A rigore non è una fbf: mancano le parentesi. Però possiamo usare formule di questo tipo ufficiosamente. (5) P e Q sono fbf per la regola 1, e P è una fbf per la regola 2. Quindi ( P & Q) è una fbf per la regola 3. Ne segue che ( P & Q) è una fbf per re applicazioni successive della regola 2. (6) Non è una fbf: nessuna regola ci autorizza a introdurre una doppia coppia di parentesi. (7) Questa non è una fbf, ma lo sarebbe se aggiungessimo una coppia di parentesi attorno all intera formula. Infatti P e Q sono fbf per la regola 1, quindi (P & Q) è una fbf per la regola 3 e di conseguenza (P & Q) è una fbf per la regola 2. Anche R è una fbf per la regola 1, quindi R è una fbf per la regola 2. Ne segue che la congiunzione ( (P & Q) & R) sarebbe una fbf per la regola 3. La formula data può quindi essere accettata ufficiosamente. (8) P è una fbf per la regola 1, così (P P) è una fbf per la regola 3. Applicando nuovamente la regola 3, si ottengono prima (P (P P)) e infine (P (P (P P))), che quindi è una fbf. (9) Non è una fbf: manca una parentesi a destra. (10) Non è una fbf: la regola 3 ci autorizza a unire soltanto due lettere enunciative alla volta, quindi la sottoformula (Q R S) non è ben formata. (1) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità: P P P V V V V F F V F (2) Contingente, come mostra la seguente tavola di verità: P P P V V F F F F V V (3) Inconsistente, come mostra la seguente tavola di verità: P (P P) V F V V V F F F V F (4) Contingente, come mostra la seguente tavola di verità: P Q P Q V V V V V V F V F F F V F V V F F F V F

Soluzioni agli esercizi supplementari 9 (5) Contingente, come mostra la seguente tavola di verità: P Q (P Q) P V V V V V V V V F V V F V V F V F V V F F F F F F F V F (6) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità: P Q (P & Q) P V V V V V V V V F V F F V V F V F F V V F F F F F F V F (7) Contingente, come mostra la seguente tavola di verità: P Q P (P Q) V V V F F V V V V F V F F V V F F V F V F F V V F F F F V F F F (8) Contingente, come mostra la seguente tavola di verità: P Q V V V F F V F F ((P & Q) (P Q)) F V V V V V V V V V F F F V V F V F F V F F V V F F F F V F F F (9) Inconsistente, come mostra la seguente tavola di verità: P Q R (P & Q) & (P R) V V V V V V F F V V V V V F V V V F F V V F V F V V F F F F V V V V F F V F F F F V V F F V V F F V F F F V V F V F F F V F V F F F F F V F F F F F F V V F F F F F F F V F F F (10) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità: P Q R (P (Q & R)) (P R) V V V V V V V V V V V V V V F V F V F F V V F F V F V V F F F V V V V V V F F V F F F F V V F F F V V F V V V V V F V V F V F F V V F F V F V F F F V F V F F V V F V V F F F F V F F F V F V F

10 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 3.4 (1) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 P 2 (P P) 3 P 2 4 P 2 5 X 1,3 (oppure 1,4 ) (2) Non valida; l albero di refutazione presenta due cammini aperti: 1 P Q 2 (P & Q) q p 3 P 1 Q 1 e i e i 4 P 2 & Q 2 & P 2 & Q 2 & 5 X 3,4 X 3,4 (3) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 P Q 2 (P & Q) 3 P & Q 2 4 P 3 & 5 Q 3 & e i 6 P 1 Q 1 7 X 4,6 X 5,6 (4) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 P 2 ((P (Q & P)) (P & Q)) 3 P (Q & P) 2 4 (P & Q) 2 q p 5 P 3 Q & P 3 6 X 1,5 Q 5 & 7 P 5 & e i 8 P 4 & Q 4 & 9 X 1,8 X 1,8 (5) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 P Q 2 P 3 Q 4 R e i 5 P Q 1 6 X 2,5 X 3,5

Soluzioni agli esercizi supplementari 11 (6) Non valida; tutti i cammini dell albero di refutazione sono aperti: 1 (Q & R) P 2 Q 3 R 4 P 5 P 4 q p 6 (Q & R) 1 P 1 e i 7 Q 6 & R 6 & (7) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 (P Q) 2 R P 3 R 4 R 3 5 P 1 6 Q 1 e i 7 R 2 R 2 8 P 2 P 2 9 X 5,8 X 4,7 (8) Non valida; l albero di refutazione presenta un cammino aperto: 1 (P & Q) 2 R P 3 R 4 R 3 q p 5 P 1 & Q 1 & e i e i 6 R 2 R 2 R 2 R 2 7 P 2 P 2 P 2 P 2 8 X 5,7 X 4,6 X 4,6 (9) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 P Q 2 Q R 3 (P R) q p 4 P 1 P 1 5 Q 1 Q 1 e i e i 6 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 7 R 2 R 2 R 2 R 2 8 X 5,6 e i X 5,6 e i 9 P 3 P 3 P 3 P 3 10 R 3 R 3 R 3 R 3 11 X 7,10 X 4,9 X 4,9 X 7,10

12 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (10) Non valida; l albero di refutazione presenta un cammino aperto: 1 P (R S) 2 (R & S) Q 3 (P Q) 4 P 3 5 Q 3 q p 6 P 1 R S 1 7 X 4,6 q p 8 Q 2 Q 2 R 6 S 6 9 R 2 R 2 (R & S) 2 Q 2 10 X 5,6 e e i X 5,9 11 P 3 R 9 & S 9 & 12 P 3 X 8,11 3.5 (1) L argomentazione ha la forma: V A A V Questa forma non è valida, poiché il suo albero di refutazione presenta un cammino aperto: 1 V A 2 ( A V) 3 A 2 4 V 2 5 V 4 e i 6 V 1 A 1 7 X 5,6 (2) L argomentazione ha la forma: I V I V Questa forma non è valida, poiché il suo albero di refutazione ha entrambi i cammini aperti: 1 I V 2 ( I V) 3 I 2 4 V 2 5 V 4 e i 6 I 1 V 1 (3) L argomentazione ha la forma: C I C I Questa forma è banalmente valida, poiché la premessa coincide con la conclusione. (4) L argomentazione ha la forma: (C V) & (C & V) V C

Soluzioni agli esercizi supplementari 13 Questa forma è valida, come mostra la seguente tavola di verità: C V (C V) & (C & V) V C V V V V V F F V V V V F F V F V V F V V V F F F V F F V F V V V V F F V V V V F F F F F F V F F F F F V (5) L argomentazione ha la forma: I, I V, V A, A C, C I Questa forma è valida, come mostra il seguente albero di refutazione: 1 I 2 I V 3 V A 4 A C 5 C 6 I q p 7 I 2 V 2 8 X 1,7 e i 9 Q 2 A 4 C 4 10 X 5,6 e i X 5,9 11 V 3 V 3 12 A 3 A 3 13 X 9,12 X 7,11 Capitolo 4 (esercizi alle pp. 119 120) (1) F V, V F 1 F V A 2 V A 3 F H (per I) 4 V 1, 3 E 5 V & V 2, 4 &I 6 F 3 5 I (2) F V, F V 1 F V A 2 F A 3 V 1, 2 E 4 V 3 E (3) F V V F 1 F V A 2 V H (per I) 3 F H (per I) 4 V 1, 3 E 5 V & V 2, 4 &I 6 F 3 5 I 7 V F 2 6 I 4.1

14 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (4) F P, P F Quest argomentazione ha la stessa forma della (1); la sua dimostrazione è quindi identica a quella già fornita (con P al posto di V ). (5) C F (F & C) 1 C F A 2 F & C H (per I) 3 C 2 &E 4 F 1, 3 E 5 F 2 &E 6 F & F 4, 5 &I 7 (F & C) 2 6 I (6) ( F & V) P, P, V F 1 ( F & V) P A 2 P A 3 V A 4 F H (per I) 5 F & V 3, 4 &I 6 P 1, 5 E 7 P & P 2, 6 &I 8 F 4 7 I 9 F 8 E (7) (V & P) F, F C, P V C 1 (V & P) F A 2 F C A 3 P A 4 V H (per I) 5 V & P 3, 4 &I 6 F 1, 5 E 7 C 2, 6 E 8 V C 3 7 I (8) F (V & P), P F 1 F (V & P) A 2 P A 3 F H (per I) 4 F (V & P) 1 E 5 V & P 3, 4 E 6 P 5 &E 7 P & P 2, 6 &I 8 F 3 7 I (9) F (V & P) V (P F) 1 F (V & P) A 2 V H (per I) 3 P H (per I) 4 V & P 2, 3 &I 5 (V & P) F 1 E 6 F 4, 5 E 7 P F 3 6 I 8 V (P F) 2 7 I

Soluzioni agli esercizi supplementari 15 (10) F ( V P), V & P F 1 F ( V P) A 2 V & P A 3 F ( V P) 1 E 4 F H (per I) 5 V P 3, 4 E 6 V H (per I) 7 V V 6 6 I 8 P H (per I) 9 V H (per I) 10 P 2 &E 11 P & P 8, 10 &I 12 V 9 11 I 13 P V 8 12 I 14 V 5, 7, 13 E 15 V 2 &E 16 V & V 14, 15 &I 17 F 4 16 I 18 F 17 E (1) P P Q 1 P A 2 P H (per I) 3 Q H (per I) 4 P & P 1, 2 &I 5 Q 3 4 I 6 Q 5 E 7 P Q 2 6 I (2) P Q P Q 1 P Q A 2 P Q 1 E 3 Q P 2 TRAS 4 Q P 1 E 5 P Q 4 TRAS 6 P Q 3, 5 I (3) P Q (P & Q) 1 P Q A 2 P Q 1 DN 3 (P & Q) 2 DM (4) P (Q R), R P 1 P (Q R) A 2 R A 3 Q R 2 I 4 (Q R) P 1 E 5 P 3, 4 E (5) P Q, P Q P 1 P Q A 2 P Q A 3 P H (per I) 4.2

16 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 4 Q 1, 3 E 5 Q 2, 3 E 6 Q & Q 4, 5 &I 7 P 3 6 I (6) P Q, Q R P R 1 P Q A 2 Q R A 3 P Q 1 E 4 Q R 2 E 5 P R 3, 4 SI 6 Q P 1 E 7 R Q 2 E 8 R P 6, 7 SI 9 P R 5, 8 I (7) P Q (P & R) (Q & R) 1 P Q A 2 P & R H (per I) 3 P 2 &E 4 Q 1, 3 E 5 R 2 &E 6 Q & R 4, 5 &I 7 (P & R) (Q & R) 2 6 I (8) P Q (P R) (Q R) 1 P Q A 2 P R H (per I) 3 P Q 1 RE 4 R H (per I) 5 R R 4 4 I 6 Q R 2, 3, 5 DC 7 (P R) (Q R) 2 6 I (9) (P Q) & (P R) P (Q & R) 1 (P Q) & (P R) A 2 ( P Q) & ( P R) 2 IM (due volte) 3 P (Q & R) 3 DIST 4 P (Q & R) 4 IM (10) P Q, (P Q) (Q P) P Q 1 P Q A 2 (P Q) (Q P) A 3 Q P 1, 2 E 4 P Q 1, 3 I 4.3 (1) P P 1 P H (per I) 2 P P 1 1 I (2) P (Q (P & Q)) 1 (P & Q) (P & Q) IT 4.3(1) 2 P (Q (P & Q)) 1 ESP

Soluzioni agli esercizi supplementari 17 (3) P ((P Q) Q) 1 (P Q) (P Q) IT 4.3(1) 2 ((P Q) & P) Q 1 ESP 3 (P & (P Q)) Q 2 COM 4 P ((P Q) Q) 3 ESP (4) (P Q) ( Q P) 1 (P Q) (P Q) IT 4.3(1) 2 (P Q) ( Q P) 1 TRAS (5) (P & Q) ( P Q) 1 (P & Q) (P & Q) IT 4.36 2 (P & Q) ( P Q) 1 DM (6) Q (P P) 1 P P IT 4.36 2 Q (P P) 1 risolto 4.28 1 (7) (P & P) Q 1 (P & P) IT 4.33 2 Q (P & P) 1 risolto 4.28 3 (P & P) Q 2 TRAS (8) P (P Q) 1 P P IT 4.36 2 (P P) Q 1 I 3 P ( P Q) 2 ASSOC 4 P (P Q) 3 IM (9) P (Q P) 1 P ( P Q) IT 4.3(8) 2 P (Q P) 1 TRAS (10) (P Q) (Q P) 1 Q Q IT 4.36 2 P (Q Q) 1 I 4 ( P (Q Q)) P 3 I 4 ( P Q) ( Q P) 4 ASSOC (due volte) 5 (P Q) (Q P) 6 IM (due volte) (1) (P & Q) ( P Q) 1 (P & Q) H (per I) 2 P Q 1 risolto 4.23 3 (P & Q) ( P Q) 1 2 I 4 P Q H (per I) 5 (P & Q) 4 risolto 4.21 6 ( P Q) (P & Q) 4 5 I 7 (P & Q) ( P Q) 3, 6 I 4.4 1 Se parte di una derivazione è già stata dimostrata, scriviamo direttamente la sua conclusione indicando soltanto i numeri delle righe in cui compaiono le formule utilizzate come premesse e citando l (risolto o supplementare) corrispondente.

18 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (2) (P Q) ( P & Q) 1 (P Q) H (per I) 2 P & Q 1 risolto 4.24 3 (P Q) ( P & Q) 1 2 I 4 P & Q H (per I) 5 P Q H (per I) 6 P H (per I) 7 P 4 &E 8 P & P 6, 7 &I 9 P (P & P) 6 8 I 10 Q H (per I) 11 (P & P) H (per I) 12 Q 4 &E 13 Q & Q 10, 12 &I 14 (P & P) 11 13 I 15 P & P 14 E 16 Q (P & P) 10 15 I 17 P & P 5, 9, 16 E 18 (P Q) 5 17 I 19 ( P & Q) (P Q) 4 18 I 20 (P Q) ( P & Q) 3, 19 I (3) (P Q) (Q P) 1 P Q H (per I) 2 Q P 1 risolto 4.16 3 (P Q) (Q P) 1 2 I 4 Q P H (per I) 5 P Q 4 risolto 4.16 6 (Q P) (P Q) 4 5 I 7 (P Q) (Q P) 3, 6 I (4) (P & Q) (Q & P) 1 P & Q H (per I) 2 Q & P 1 risolto 4.3 3 (P & Q) (Q & P) 1 2 I 4 Q & P H (per I) 5 P & Q 4 risolto 4.3 6 (Q & P) (P & Q) 4 5 I 7 (P & Q) (Q & P) 3, 6 I (5) (P (Q R)) ((P Q) R) 1 P (Q R) H (per I) 2 P H (per I) 3 P Q 2 I 4 (P Q) R 3 I 5 P ((P Q) R) 2 4 I 6 Q R H (per I) 7 Q H (per I) 8 P Q 7 I 9 (P Q) R 8 I 10 Q ((P Q) R) 2 4 I 11 R H (per I) 12 (P Q) R 11 I 13 R ((P Q) R) 2 4 I 14 (P Q) R 6, 10, 13 E

Soluzioni agli esercizi supplementari 19 15 (Q R) ((P Q) R) 6 14 I 16 (P Q) R 1, 5, 15 E 17 (P (Q R)) ((P Q) R) 1 16 I 18 (P Q) R H (per I) 19 P Q H (per I) 20 P H (per I) 21 P (Q R) 20 I 22 P (P (Q R)) 20 21 I 23 Q H (per I) 24 Q R 23 I 25 P (Q R) 24 I 26 Q (P (Q R)) 23 25 I 27 P (Q R) 19, 22, 26 E 28 (P Q) (P (Q R)) 19 27 I 29 R H (per I) 30 Q R 29 I 31 P (Q R) 30 I 32 R (P (Q R)) 2 4 I 33 P (Q R) 18, 28, 32 E 34 ((P Q) R) (P (Q R)) 18 33 I 35 (P (Q R)) ((P Q) R) 17, 34 I (6) (P & (Q & R)) ((P & Q) & R) 1 P & (Q & R) H (per I) 2 P 1 &E 3 Q & R 1 &E 4 Q 3 &E 5 P & Q 2, 4 &I 6 R 3 &E 7 (P & Q) & R 5, 6 &I 8 (P & (Q & R)) ((P & Q) & R) 1 7 I 9 (P & Q) & R H (per I) 10 P & Q 9 &E 11 Q 10 &E 12 R 9 &E 13 Q & R 2, 4 &I 14 P 10 &E 15 P & (Q & R) 13, 14 &I 16 ((P & Q) & R) (P & (Q & R)) 9 15 I 17 (P & (Q & R)) ((P & Q) & R) 8, 16 I (7) (P & (Q R)) ((P & Q) (P & R)) 1 P & (Q R) H (per I) 2 P 1 &E 3 Q R 1 &E 4 Q H (per I) 5 P & Q 2, 4 &I 6 (P & Q) (P & R) 5 I 7 Q ((P & Q) (P & R)) 4 6 I 8 R H (per I) 9 P & R 2, 8 &I 10 (P & Q) (P & R) 9 I 11 R ((P & Q) (P & R)) 8 10 I 12 (P & Q) (P & R) 3, 7, 11 E 13 (P & (Q R)) ((P & Q) (P & R)) 1 12 I

20 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 14 (P & Q) (P & R) H (per I) 15 P & (Q R) 14 risolto 4.17 16 (P & Q) (P & R) (P & (Q R)) 14 15 I 17 (P & (Q R)) ((P & Q) (P & R)) 13, 16 I (8) (P (Q & R)) ((P Q) & (P R)) 1 P (Q & R) H (per I) 2 P H (per I) 3 P Q 2 I 4 P R 2 I 5 (P Q) & (P R) 3, 4 &I 6 P ((P Q) & (P R)) 2 5 I 7 Q & R H (per I) 8 Q 7 &E 9 P Q 8 I 10 R 7 &E 11 P R 10 I 12 (P Q) & (P R) 9, 11 &I 13 (Q & R) ((P Q) & (P R)) 7 12 I 14 (P Q) & (P R) 1, 6, 13 E 15 (P (Q & R)) ((P Q) & (P R)) 1 14 I 16 (P Q) & (P R) H (per I) 17 (P (Q & R)) H (per I) 18 P & (Q & R)) 17 risolto 4.24 19 P 18 &E 20 P Q 16 &E 21 Q 19, 20 risolto 4.30 22 P R 16 &E 23 R 19, 22 risolto 4.30 24 Q & R 21, 23 &I 25 (Q & R) 18 &E 26 (Q & R) & (Q & R) 24, 25 &I 27 (P (Q & R)) 17 26 I 28 P (Q & R) 27 E 29 ((P Q) & (P R)) (P (Q & R)) 16 28 I 30 (P (Q & R)) ((P Q) & (P R)) 15, 29 I (9) (P Q) ( Q P) 1 P Q H (per I) 2 Q H (per I) 3 P H (per I) 4 Q 1, 3 E 5 Q & Q 2, 4 &I 6 P 3 5 I 7 Q P 2 6 I 8 (P Q) ( Q P) 1 7 I 9 Q P H (per I) 10 P H (per I) 11 Q H (per I) 12 P 9, 11 E 13 P & P 2, 4 &I 14 Q 11 13 I 15 Q 14 E 16 P Q 10 15 I 17 ( Q P) (P Q) 9 16 I 18 (P Q) ( Q P) 8, 17 I

Soluzioni agli esercizi supplementari 21 (10) (P Q) ( P Q) 1 P Q H (per I) 2 P Q 1 risolto 4.22 3 (P Q) ( P Q) 1 2 I 4 P Q H (per I) 5 P H (per I) 6 P Q 5 4.2(1) 7 P (P Q) 5 6 I 8 Q H (per I) 9 P Q 8 risolto 4.28 10 Q (P Q) 8 9 I 11 P Q 4, 7, 10 E 12 ( P Q) (P Q) 4 11 I 13 (P Q) ( P Q) 3, 12 I (11) (P Q) (P & Q) 1 P Q H (per I) 2 P & Q H (per I) 3 P 2 &E 4 Q 1, 3 E 5 Q 2 &E 6 Q & Q 4, 5 &I 7 (P & Q) 2 6 I 8 (P Q) (P & Q) 1 7 I 9 (P & Q) H (per I) 10 P H (per I) 11 Q H (per I) 12 P & Q 10, 11 &I 13 (P & Q) & (P & Q) 9, 12 &I 14 Q 11 13 I 15 Q 14 E 16 P Q 10 15 I 17 (P & Q) (P Q) 9 16 I 18 (P Q) ( P Q) 8, 17 I (12) ((P & Q) R) (P (Q R)) 1 (P & Q) R H (per I) 2 P (Q R) 1 risolto 4.15 3 ((P & Q) R) (P (Q R)) 1 2 I 4 P (Q R) H (per I) 5 P & Q H (per I) 6 P 5 &E 7 Q R 4, 6 E 8 Q 5 &E 9 R 7, 8 E 10 (P & Q) R 5 9 I 11 (P (Q R)) ((P & Q) R) 4 10 I 12 ((P & Q) R) (P (Q R)) 3, 11 I (13) P (P & P) 1 P H (per I) 2 P & P 1, 1 &I 3 P (P & P) 1 2 I 4 P & P H (per I) 5 P 4 &E

22 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 6 (P & P) P 4 5 I 7 P (P & P) 3, 6 I (14) P (P P) 1 P H (per I) 2 P P 1 I 3 P (P P) 1 2 I 4 P P H (per I) 5 P 5 &E 6 P P 5 5 I 7 P 4, 6, 6 E 8 (P P) P 4 7 I 9 P (P P) 3, 8 I 4.5 (1) (P & Q) ( P Q) 1 (P & Q) ( P Q) IT 4.4(1) 2 (P & Q) ( P Q) 1 4.2(2) 3 (P & Q) ( P Q) 2 DN (2) (P Q) ( P & Q) 1 (P Q) ( P & Q) IT 4.4(2) 2 (P Q) ( P & Q) 1 4.2(2) 3 (P Q) ( P & Q) 2 DN (3) (P & Q) (P Q) 1 (P & Q) ( P Q) IT 4.5(1) 2 (P & Q) (P Q) 1 IM (4) (P Q) ( P Q) 1 ( P Q) ( P Q) IT 4.4(10) 2 ( P Q) (P Q) 1 DN 3 (P Q) ( P Q) 2 risolto 4.11 (5) P ((P & Q) (P & Q)) 1 P H (per I) 2 Q Q IT 4.36 3 P & (Q Q) 1, 2 &I 4 (P & Q) (P & Q) 3 DIST 5 P ((P & Q) (P & Q)) 1-4 I 6 (P & Q) (P & Q) H (per I) 7 P & (Q Q) 6 DIST 8 P 7 &E 9 ((P & Q) (P & Q)) P 6-8 I 10 P ((P & Q) (P & P)) 5, 9 I (6) (P Q) (P & Q) 1 (P Q) (P & Q) IT 4.4(11) 2 (P Q) (P & Q) 1 4.2(2) 3 (P Q) (P & Q) 2 DN (7) (P Q) ((P & Q) ( P & Q)) 1 P Q H (per I) 2 P Q 1 E

Soluzioni agli esercizi supplementari 23 3 P (P & Q) 2 ASS 4 Q P 1 E 5 P Q 4 TRAS 6 P ( P & Q) 5 ASS 7 P P IT 4.36 8 (P & Q) ( P & Q) 3, 6, 7 DC 9 (P Q) ((P & Q) ( P & Q)) 1 8 I 10 (P & Q) ( P & Q) H (per I) 11 P & Q H (per I) 12 P 11 &E 13 Q P 12 risolto 4.28 14 Q 11 &E 15 P Q 14 risolto 4.28 16 P Q 13, 15 I 17 (P & Q) (P Q) 11 16 I 18 P & Q H (per I) 19 P 18 &E 20 Q P 19 risolto 4.28 20 P Q 20 TRAS 21 Q 18 &E 22 P Q 21 risolto 4.28 23 Q P 22 TRAS 24 P Q 20, 23 I 25 ( P & Q) (P Q) 18 24 I 26 P Q 10, 17, 25 E 27 ((P & Q) ( P & Q)) (P Q) 10 26 I 28 (P Q) ((P & Q) ( P & Q)) 9, 27 I (8) (P Q) (( P & Q) (P & Q)) 1 (( P & Q) (P & Q)) H (per I) 2 ((Q & P) (P & Q)) 1 COM 3 ( (Q P) (P Q)) 2 IE 4.5(6) (due v.) 4 (Q P) & (P Q) 3 IE 4.5(1) 5 Q P 4 &E 6 P Q 4 &E 7 P Q 5, 6 I 8 (( P & Q) (P & Q)) (P Q) 1 7 I 9 P Q H (per I) 10 P Q 9 E 11 Q P 9 E 12 (Q P) & (P Q) 10, 11 &I 13 ( (Q P) (P Q)) 12 IE 4.5(1) 14 ((Q & P) (P & Q)) 13 IE 4.5(6) (due v.) 15 (( P & Q) (P & Q)) 14 COM 16 (P Q) (( P & Q) (P & Q)) 9 15 I 17 (P Q) (( P & Q) (P & Q)) 8, 16 I 18 (P Q) (( P & Q) (P & Q)) 17 4.2(2) 19 (P Q) (( P & Q) (P & Q)) 18 DN (9) (P & P) (Q & Q) 1 (P & P) H (per I) 2 (Q & Q) IT 4.33 3 (P & P) (Q & Q) 1-2 I 4 (Q & Q) H (per I) 5 (P & P) IT 4.33 6 (Q & Q) (P & P) 4-5 I

24 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 7 (P & P) (Q & Q) 3, 6 I 8 (P & P) (Q & Q) 7 4.2(2) 9 (P & P) (Q & Q) 8 DN (due volte) (10) (P P) (Q Q) 1 P P H (per I) 2 Q Q IT 4.36 3 (P P) (Q Q) 1-2 I 4 Q Q H (per I) 5 P P IT 4.36 6 (Q Q) (P P) 4-5 I 7 (P P) (Q Q) 3, 6 I Capitolo 5 (esercizi alle pp. 149 150) 5.1 (1) Ogni I non è P. Qualche I è non-p. (Usiamo I per individuo e P per perfetto, ovvero, in forma canonica, cosa perfetta.) La premessa è un asserzione categorica della forma E, che ha il seguente diagramma di Venn: La conclusione, che è della forma I con predicato complementare, ha invece il diagramma seguente: (si veda l risolto 5.9). Poiché il primo diagramma non dice nulla circa la porzione del cerchio I esterna a P, mentre nel secondo vi compare un, l inferenza non è valida. (Lo sarebbe se si assumesse che ogni termine designa un insieme non vuoto, come nella logica aristotelica. In tal caso, infatti, l insieme I dovrebbe contenere almeno un elemento e, data la premessa, dovrebbe per forza di cose trovarsi nella parte contrassegnata dal segno.) (2) Ogni I non è P. (Ogni I è P). Come in (1), la premessa è della forma E. La conclusione è la negazione di una forma A, il cui diagramma è:

Soluzioni agli esercizi supplementari 25 (si veda l risolto 5.12). Ci troviamo pertanto nella medesima situazione di (1): l inferenza non è valida. (3) Ogni I non è P. Ogni I è non-p. Anche in questo caso la premessa è della forma E, come in (1). La conclusione è un asserzione della forma A con predicato complementare e afferma che l insieme I è un sottoinsieme del complemento dell insieme P; il suo diagramma si ottiene quindi oscurando l area comune ai due cerchi: (si veda l risolto 5.10). Poiché questo diagramma coincide esattamente con quello della premessa, le due asserzioni sono equivalenti e l inferenza risulta valida. (4) Ogni I non è P. Qualche I non è P. In questo caso la conclusione è un asserzione categorica della forma O, il cui diagramma è: Poiché la premessa è immutata, ci troviamo ancora una volta nella situazione di (1) e (2): l inferenza non è valida. (5) Ogni V è S. Qualche V è S. (Usiamo V per verità autocontraddittoria e S per cosa sorprendente.) La premessa è un asserzione categorica della forma A, il cui diagramma si ottiene oscurando la parte del cerchio V esterna al cerchio S:

26 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed La conclusione è la subalterna della premessa: un asserzione della forma I il cui diagramma contiene un a indicare che gli insiemi V e S hanno almeno un elemento in comune: La diversità dei diagrammi dimostra che l inferenza non è valida (benché fosse ritenuta tale nella logica aristotelica). (6) Ogni M è non-p. (Qualche M è P). (Usiamo M per miracolo e P per cosa possibile.) La premessa è un asserzione della forma A con predicato complementare, il cui diagramma, come si è visto in (3), si ottiene oscurando l area comune ai due cerchi: La conclusione è la negazione di un asserzione della forma I, ossia di Qualche M è P. Il diagramma di Qualche M è P ha un nell area comune, e per rappresentare la negazione bisogna convertire l area così contrassegnata in un area o- scurata. Poiché ciò che si ottiene è un diagramma identico a quello della premessa, l inferenza è valida. (7) Ogni non-p è M. (Qualche P è M). (Qui usiamo M per cosa che mi piace e P per numero pari e interpretiamo la conclusione, Non mi piacciono i numeri pari, come Non c è alcun numero pari che mi piaccia.) La premessa è un asserzione categorica della forma A con soggetto complementare e afferma che il complemento dell insieme P è incluso nell insieme M. Il suo diagramma si ottiene quindi oscurando quella parte dell area esterna al cerchio P che non rientra nel cerchio M, cioè l area esterna a entrambi i cerchi:

Soluzioni agli esercizi supplementari 27 (si veda l risolto 5.6). Per contro, la conclusione è la negazione di un asserzione della forma I, come in (6), e ha il diagramma seguente: Dato che i diagrammi rappresentano situazioni completamente differenti, l inferenza non è valida. Si noti che nella formalizzazione abbiamo identificato numero dispari con numero non pari. Questo è giustificato, dal momento che si tratta di termini complementari, ma naturalmente avremmo anche potuto identificare numero pari con numero non dispari e formalizzare l inferenza così: Ogni D è M. (Qualche non-d è M). Il responso, comunque, non sarebbe cambiato. In questo caso, infatti, il diagramma della premessa sarebbe: mentre la conclusione avrebbe il diagramma seguente: (8) Questa non è un inferenza diretta ma un argomentazione (valida) in cui premessa e conclusione sono in forma condizionale.

28 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (9) Ogni R non è E. Ogni R è non-e. ( R per referendum e E per cosa che darà gli esiti desiderati.) Quest inferenza è un esempio di obversione e pertanto è valida. Sia la premessa che la conclusione hanno lo stesso diagramma: (10) Ogni non-c è E. Ogni non-e non è non-c. ( C per persona competente e E per persona che commette errori.) Anche quest inferenza, nella quale la conclusione è ottenuta dalla premessa per contrapposizione e obversione, è valida. Le due asserzioni hanno lo stesso diagramma: 5.2 (1) Ogni I è E. Ogni D non è E. Ogni I non è D. (Usiamo I per persona incompetente, E per persona che commette errori, e D per persona diligente.) Il diagramma seguente dimostra che si tratta di un sillogismo categorico valido: Si noti che, diversamente dall esercizio 5.1(10), qui abbiamo trattato incompetente alla stregua di un termine semplice. Ciò è dovuto al fatto che nel testo ci siamo limitati a considerare sillogismi in cui non compaiono termini complementari (Paragrafo 5.4). Se volessimo anche qui rappresentare incompetente come complementare di competente, usando non-c al posto di I, il diagramma richiederebbe una cornice esterna:

Soluzioni agli esercizi supplementari 29 Anche così, tuttavia, la validità del sillogismo risulterebbe confermata, poiché rappresentando le premesse si rappresenta automaticamente la conclusione. (2) Ogni M è A. Ogni A è D. Ogni M è D. (Usiamo M per cosa detta da Mario, A per cosa assurda, che equivale ad assurdità, e D per cosa deplorevole.) Questo è un sillogismo categorico valido, come mostra il diagramma: (3) Questo non è un sillogismo categorico, dato che le premesse non sono asserzioni categoriche. (Si tratta tuttavia di un argomentazione valida.) (4) Qualche P è F. Qualche P è B. Qualche F è B. (Usiamo P per persona, F per fumatore, cioè cosa (persona) che fuma, e B per bevitore, cioè cosa (persona) che beve.) Questo è un sillogismo categorico, ma il diagramma mostra che non è valido: la conclusione richiede che ci sia almeno un all interno dell area comune ai cerchi F e B.

30 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (5) Ogni R è T. Ogni F non è T. Ogni F non è R. (Qui usiamo I per cosa (persona) che riceverà l incarico, T per cosa (persona) in grado di portare a termine l incarico, e F per filosofo.) Il diagramma mostra che si tratta di un sillogismo categorico valido. (6) Ogni G non è M. Qualche G è P. Ogni P non è M. (Usiamo G per giocatore, M per cosa (persona) che si è fatta male, e P per cosa (persona) che era in panchina.) Il diagramma mostra che il sillogismo non è valido: la conclusione vorrebbe che l area comune tra P e M sia oscurata. (7) Ogni B è F. Ogni D non è B. Qualche D non è F. (Usiamo B per cosa bella, F per cosa che deve finire (o che avrà termine), e D per dittatura.) Il diagramma mostra che il sillogismo non è valido: la verità della conclusione richiede un nell area del cerchio D esterna al cerchio F.

Soluzioni agli esercizi supplementari 31 (8) Ogni E è N. Ogni P non è N. Ogni P non è E. (Usiamo E per elettrone, N per cosa che ha carica negativa, e P per positrone.) Il sillogismo ha la stessa forma di quello in (6) e anche in questo caso il diagramma ne dimostra la validità. (9) Ogni E è N. Ogni P non è N. Qualche P non è E. Le premesse sono identiche a quelle del sillogismo in (8), quindi il diagramma è identico. In questo caso, però, la conclusione vorrebbe un nell area del cerchio P esterna a E. Siccome quell area è vuota, il sillogismo non è valido. (10) Ogni R è S. Qualche S è B. Qualche R è B. (Usiamo R per suo regalo, S per sorpresa, e B per cosa bellissima.) Il diagramma mostra che il sillogismo non è valido: le premesse sono compatibili con l esistenza di un elemento comune agli insiemi R e B, ma non la garantiscono.

32 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed 5.3 (1) Ogni S è P. Ogni S non è non-p. Quest inferenza è un esempio di obversione per la forma A. La conclusione è ottenuta dalla premessa invertendo la qualità (da affermativa a negativa) e sostituendo il predicato P con il suo complementare: si afferma che l insieme S è disgiunto dal complemento dell insieme P. Pertanto, il suo diagramma si ottiene oscurando la porzione del cerchio S esterna al cerchio P. Poiché il risultato coincide con il diagramma della premessa, l inferenza è valida. (2) Ogni S è P. Ogni non-p è non-s. Quest inferenza è un esempio di contrapposizione per la forma A. La conclusione è ottenuta dalla premessa sostituendo il soggetto con il complementare del predicato e il predicato con il complementare del soggetto: si afferma che il complemento dell insieme P è incluso nel complemento dell insieme S, cioè che è disgiunto da S. Pertanto, il suo diagramma si ottiene oscurando la porzione esterna al cerchio P che giace all interno del cerchio S. Il risultato è esattamente il diagramma di un asserzione della forma A, cioè della premessa, come in (1), quindi l inferenza è valida. (3) Ogni S non è non-p. Ogni S è P. Quest inferenza consiste delle stesse asserzioni della (1), sebbene l ordine sia scambiato. Poiché si è visto che i loro diagrammi coincidono, l inferenza è valida. (È un altro esempio di obversione.) (4) Qualche S è P. Qualche S non è non-p. Quest inferenza è un esempio di obversione per la forma I. Il diagramma della conclusione si ottiene indicando con un che l insieme S ha almeno un elemento che non si trova nel complemento dell insieme P. Poiché ciò equivale a scrivere nell area comune ai due cerchi, il risultato coincide con il diagramma della premessa, dimostrando che l inferenza è valida. (5) Qualche S non è non-p. Qualche S è P.

Soluzioni agli esercizi supplementari 33 Quest inferenza consiste delle stesse asserzioni della (4), sebbene l ordine sia scambiato. Poiché si è visto che i loro diagrammi coincidono, l inferenza è valida. (È un altro esempio di obversione.) (6) Qualche S non è P. Qualche non-p non è non-s. Quest inferenza è un esempio di contrapposizione per la forma O. Il diagramma della conclusione si ottiene indicando con un che il complemento dell insieme P contiene almeno un elemento che non appartiene al complemento dell insieme S, e quindi che appartiene a S. Poiché il risultato coincide con il diagramma della premessa, l inferenza è valida. (7) Qualche S è P. (Ogni S non è P). Quest inferenza è un esempio di negazione della contraddittoria per la forma I. Il diagramma della conclusione si ottiene dal diagramma per la forma E, di cui è la negazione, rimuovendo l ombtreggiatura dall area comune ai due cerchi e sostituendola con un. Il risultato coincide con il diagramma della premessa, già fornito in (4), quindi l inferenza è valida. (8) (Ogni S non è P). Qualche S è P. Quest inferenza consiste delle stesse asserzioni della (7), sebbene l ordine sia scambiato. Poiché si è visto che i loro diagrammi coincidono, l inferenza è valida. (9) Ogni S non è P. (Qualche S è P). Quest inferenza è un esempio di negazione della contraddittoria per la forma E. Il diagramma della conclusione si ottiene dal diagramma per la forma I, di cui è la negazione, rimuovendo il segno e oscurando l area comune ai due cerchi. Il risultato coincide con il diagramma della premessa, quindi l inferenza è valida. (10) (Qualche S è P). Ogni S non è P.

34 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed Quest inferenza consiste delle stesse asserzioni della (9), sebbene l ordine sia scambiato. Poiché si è visto che i loro diagrammi coincidono, l inferenza è valida. 5.4 (1) Qualche S non è P. Qualche P non è S. Il confronto del diagramma della premessa (a sinistra) con il diagramma della conclusione (a destra) dimostra che l inferenza non è valida. (2) Qualche S è P. Qualche non-p è non-s. Il confronto del diagramma della premessa (a sinistra) con il diagramma della conclusione (a destra) dimostra che l inferenza non è valida. (3) (Qualche S non è P). Qualche S è P. Il confronto del diagramma della premessa (a sinistra) con il diagramma della conclusione (a destra) dimostra che l inferenza non è valida. (4) Ogni S è P (Ogni S non è P) Il confronto del diagramma della premessa (a sinistra) con il diagramma della conclusione (a destra) dimostra che l inferenza non è valida. Si noti che i diagrammi coincidono con quelli di (3): si tratta infatti di due inferenze costituite da asserzioni equivalenti ottenute per negazione della contraddittoria (si veda l 5.3(7)).

Soluzioni agli esercizi supplementari 35 (5) (Qualche S è P). Qualche S non è P. Il confronto del diagramma della premessa (a sinistra) con il diagramma della conclusione (a destra) dimostra che l inferenza non è valida. (1) La forma EIO della prima figura è la seguente: Ogni G non è H. Qualche F è G. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché il segno si trova all interno del cerchio F ma all esterno del cerchio H, il diagramma rappresentata correttamente anche la conclusione. Ciò dimostra la validità della forma in esame. 5.5 (2) La forma EAE della seconda figura è la seguente:: Ogni H non è G. Ogni F è G. Ogni F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché l area comune ai cerchi F e H è oscurata, indicando che non contiene alcun elemento, il diagramma rappresentata correttamente anche la conclusione. Ciò dimostra la validità della forma.

36 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (3) La forma EIO della seconda figura è la seguente: Ogni H non è G. Qualche F è G. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse di questa forma è identico a quello in (1). (Ciò è dovuto al fatto che la prima premessa è identica e la seconda è equivalente, essendo ottenuta per conversione.) Poiché anche la conclusione è identica, se ne deduce che la forma è altrettanto valida. (4) La forma AOO della seconda figura è la seguente: Ogni H è G. Qualche F non è G. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché il segno si trova all interno del cerchio F e all esterno del cerchio H, il diagramma rappresentata correttamente anche la conclusione. Ciò dimostra la validità della forma. (5) La forma IAI della terza figura è la seguente: Qualche G è H. Ogni G è F. Qualche F è H. Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. In questo caso notiamo che il segno, che in base alla prima premessa potrebbe giacere da ambo i lati della linea di confine, deve per forza trovarsi all interno del cerchio F. Dal momento che appartiene anche ad H, se ne deduce che il diagramma rappresentata correttamente la conclusione, dimostrando la validità della forma in esame.

Soluzioni agli esercizi supplementari 37 (6) La forma AII della terza figura è la seguente: Ogni G è H. Qualche G è F. Qualche F è H. Il diagramma determinato dalle premesse rappresentata correttamente anche la conclusione, quindi la forma è valida. (7) La forma EIO della terza figura è la seguente: Ogni G non è H. Qualche G è F. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è identico a quello in (1). Poiché anche la conclusione è identica, se ne deduce che la forma è altrettanto valida. (8) La forma AEE della quarta figura è la seguente: Ogni H è G. Ogni G non è F. Ogni F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse rappresentata correttamente anche la conclusione, quindi la forma è valida.

38 Varzi / Nolt / Rohatyn Logica 2/ed (9) La forma IAI della quarta figura è la seguente: Qualche H è G. Ogni G è F. Qualche F è H. Il diagramma determinato dalle premesse è identico a quello in (5). Poiché anche la conclusione è identica, se ne deduce che la forma è altrettanto valida. (10) La forma EIO della quarta figura è la seguente: Ogni H non è G. Qualche G è F. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è identico a quello in (1). Poiché anche la conclusione è identica, se ne deduce che la forma è altrettanto valida. 5.6 (1) La forma AAI della terza figura è la seguente: Ogni G è H. Ogni G è F. Qualche F è H. Il diagramma determinato dalle premesse, ciascuna delle quali è un asserzione universale (affermativa), è riportato di seguito. Poiché non vi compare alcun, e in particolar modo alcun nella parte comune ai cerchi F e H, ne segue che il diagramma non rappresenta correttamente la conclusione, quindi la forma in esame è invalida. Si noti tuttavia che se l insieme G fosse necessariamente nonvuoto, come si presuppone nella logica aristotelica, la parte comune a G e a F conterrebbe almeno un elemento, e quest elemento sarebbe per forza di cose incluso in H. In tal caso, la conclusione sarebbe vera e la forma argomentativa risulterebbe valida. (2) La forma EAO della terza figura è la seguente: Ogni G non è H. Ogni G è F. Qualche F non è H. Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché non vi compare alcun, e in particolar modo alcun nella parte del cerchio F che giace all esterno del cerchio H, ne segue che il diagramma non rappresenta correttamente la conclusione, quindi la forma è invalida. Anche in questo caso, tuttavia, la forma risulterebbe valida nella logica aristotelica. Infatti, se l insieme G fosse necessariamente non-vuoto, la parte comune a G e a F conterrebbe almeno un elemento, e quest elemento sarebbe per forza di cose esterno ad H, rendendo vera la conclusione.

Soluzioni agli esercizi supplementari 39 (3) La forma AAI della quarta figura è la seguente: Ogni H è G. Ogni G è F. Qualche F è H. Il diagramma determinato dalle premesse, riportato di seguito, non contiene alcun, e in particolar modo alcun nella parte comune ai cerchi F e H. Ne segue che il diagramma non rappresenta correttamente la conclusione, quindi la forma è invalida. Sarebbe valida nella logica aristotelica in quanto l insieme H conterrebbe almeno un elemento, e quest elemento sarebbe per forza di cose incluso in F, rendendo vera la conclusione. Capitolo 6 (esercizi alle pp. 190 192) (1) Ca & Cb (2) Cb & Ib (3) x(cx Abx) (4) x(abx Cx) (5) x((cx & Axx) Dax) (6) Ib & x(cx Dbx) (7) Cb & x(ix & Dxb) (8) x((cx & Abx) Aax) (9) x((cx & Aax) Abx) (10) x(cx (Aax Abx)) (11) x((cx & Abx) Aax). Quest enunciato è una variante grammaticale di (8). (12) x y(((cx & Ix) & (Cy & Iy)) Pbxy) (13) x y((cy & Iy) Axy) (14) x y((cy & Iy) Axy) (15) x(ix y(cy Axy)) 6.1