TEORIA DELLE DECISIONI

Capitolo 8 TEORIA DELLE DECISIONI 8.0 - Introduzione In taluni problemi di decisione, il decisore deve operare una scelta tra le diverse opzioni alternative disponibili, in presenza di informazioni incerte circa gli effetti che queste opzioni determineranno in futuro. Egli ha la possibilità di utilizzare una serie di tecniche che sono disponibili allo scopo, fra le quali elenchiamo, a seconda delle condizioni in cui è costretto ad operare, le seguenti: Teoria delle decisioni Analisi decisionale in condizioni di rischio Analisi decisionale in condizioni di incertezza Alberi di decisione Teoria dell utilità 8.1 - Teoria delle decisioni La teoria delle decisioni consta di quattro passi: Individuazione delle alternative Individuazione degli eventi futuri Calcolo dei guadagni Valutazione e confronto delle alternative 8.1.1 - Individuazione delle alternative: È la fase in cui vengono enumerate le diverse opzioni ammissibili. Tali m decisioni alternative vengono indicate con D i con i = 1,2,,m 8.1.2 - Individuazione degli eventi futuri Gli eventi futuri, indicati come stati di natura, possono influenzare gli effetti conseguenti alle diverse decisioni. Gli stati di natura costituiscono un insieme di eventi composti esaustivi e mutuamente esclusivi con j = 1,2,.,n S j 8.1.3 - Calcolo dei guadagni Ad ogni coppia di decisione e di stato di natura viene associato un corrispondente guadagno espresso in termini monetari e indice del valore determinato da D i se in futuro si verificherà S j. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 124

Esso viene indicato col simbolo V (D i, S j ) 8.1.4 - Valutazione e confronto delle alternative È l ultimo stadio del processo, cioè quello in cui si definisce un criterio di confronto delle alternative, espresso come funzione reale f (V) dei guadagni. La decisione migliore è quella che rende massima ( o minima) la funzione f (V). 8.1.5 - Esempio di problema di Analisi decisionale Un azienda deve valutare diversi processi produttivi in alternativa per realizzare un progetto di innovazione tecnologica. In particolare supponiamo che siano state individuate quattro possibili decisioni alternative, indicate con A, B, C e D, corrispondenti a quattro tipi di processo produttivo. Supponiamo inoltre che i possibili eventi futuri, relativi al volume della domanda, siano riconducibili ad una classificazione a tre livelli: alta, media, e bassa domanda. La tabella 8.1.5.1 ci mostra i guadagni monetari, espressi in euro, per ciascuna coppia decisione-stato di natura. Tabella 8.1.5.1- Guadagni monetari Bassa Media Alta A 200000 350000 600000 B 250000 350000 540000 C 300000 375000 490000 D 300000 350000 470000 Come si vede, la decisione D risulta dominata dalla decisione C, nel senso che, per ogni stato di natura il guadagno monetario relativo a D è non superiore al corrispondente guadagno monetario associato a C. Possiamo quindi eliminare la decisione D, in quanto essa non può risultare ottimale per nessuna ragionevole definizione della funzione di valutazione a confronto f(v). D altra parte le rimanenti tre decisioni A, B e C non si dominano a vicenda. 8.2 - Analisi decisionale in condizioni di rischio Nell analisi decisionale in condizioni di rischio si assume che il decisore sia in grado di associare a ciascuno stato di natura una probabilità di occorrenza P(S j ), con j=1,2,,n, frutto sia di valutazioni soggettive di esperti che di esperienze analoghe condotte in passato. Dato che gli stati di natura sono mutuamente esclusivi, la sommatoria delle probabilità deve essere unitaria. 8.2.1 - Criteri di valutazione e confronto per l analisi in condizioni di rischio Esistono vari criteri per affrontare le condizioni di rischio; i più usati sono i seguenti: Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 125

Valore atteso monetario Valore atteso della perdita di opportunità Valore atteso della perfetta informazione 8.2.1.1 - Valore atteso monetario VAM È il criterio di misura di valutazione delle decisioni più naturale e più utilizzato in pratica e si basa sul calcolo medio per ogni decisione VAM (Di) =? [P(Sj) * V(Di,Sj)] con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n. La decisione ottimale D* è quella che rende massimo il VAM: VAM* = VAM (D*) = max VAM (Di) con i = 1,2,,m Per l esempio relativo ai guadagni monetari della tabella 8.1.5.1, ricaviamo la seguente tabella 8.2.1.1 dei valori attesi monetari. Come si vede, A rappresenta la decisione ottimale secondo il criterio del valore atteso monetario. tabella 8.2.1.1 - Valore atteso monetario Bassa Media Alta VAM A 200000 350000 600000 435000 B 250000 350000 540000 416000 C 300000 375000 490000 413000 P(D j ) 0.1 0.5 0.4 8.2.1.2 - Valore atteso della perdita di opportunità Tale criterio di valutazione si basa sul concetto di perdita di opportunità di una decisione. Tale perdita, indicata con L(Di,Sj), rappresenta la differenza tra il guadagno massimo per il generico stato di natura Sj e il guadagno che deriva dalla decisione Di in merito al medesimo stato di natura. In simboli: L(Di,Sj) = Vmax(Sj) V(Di,Sj) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n ponendo Vmax(Sj) = max V(Di,Sj) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n. Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 ricaviamo la seguente tabella delle perdite di opportunità: Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 126

8.2.1.2 - Perdita di opportunità Bassa Media Alta A 100000 25000 0 B 50000 25000 60000 C 0 0 110000 I valori in tabella, calcolati per colonna, ossia fissato lo stato di natura, si sono ottenuti considerando il massimo dei valori monetari per stato di natura e sottraendo da questo il guadagno relativo ad ogni decisione preso in corrispondenza del relativo stato di natura. Calcolata la matrice delle opportunità, si utilizza il valore medio della perdita delle opportunità per confrontare le decisioni: VAPO(Di) =? [P(Sj) * L(Di,Sj)] con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n La decisione ottimale D* è quella che rende minima la perdita di opportunità VAPO(Di): VAPO* = VAPO(D*) = min VAPO(Di) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n. Sempre per lo stesso esempio la successiva tabella indica le perdite di opportunità attese. La decisione A è ottimale secondo il criterio della perdita di opportunità attesa. 8.2.1.3 - Perdita di opportunità attesa Bassa Media Alta VAPO A 100000 25000 0 22500 B 50000 25000 60000 41500 C 0 0 110000 44000 P(D j ) 0.1 0.5 0.4 Il fatto che la decisione A risulti ottimale sia per il criterio del valore atteso monetario sia per il criterio della perdita di opportunità attesa non è una circostanza fortuita. Si può infatti verificare che la decisione ottimale è sempre la medesima per i due criteri, che pertanto risultano solo apparentemente distinti. 8.2.1.2.1 - Relazioni esistenti tra i due criteri La decisione ottimale è sempre la medesima per i due criteri: Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 127

VAM* = VAM (D*) = max i? [P(Sj) * V(Di,Sj)] = = max i? {P(Sj) * [Vmax(Sj) L(Di,Sj)]} = =? [P(Sj) * V(Sj)] + max i? [P(Sj) * L(Di,Sj)] = =?[P(Sj) * Vmax(Sj)] + min i *? [P(Sj) * L(Di,Sj)] = =? [P(Sj) * Vmax(Sj)] min i VAPO (Di) = =? [P(Sj) * Vmax(Sj)] VAPO (D*) = =? [P(S) * Vmax(Sj) VAPO* con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n 8.2.1.3 - Valore atteso della perfetta informazione Il VAM ed il VAPO differiscono tra loro per una quantità indipendente dalle decisioni e denominata valore monetario atteso con perfetta informazione : VAMPI =? [P(Sj) * Vmax(Sj)] con j = 1,2,,n Esso rappresenta il valore atteso del guadagno monetario che si otterrebbe se per ciascuno stato di natura venisse operata la scelta più conveniente. La differenza tra il VAMPI ed il VAM* prende il nome di valore atteso della perfetta informazione: VAPI = VAMPI VAM* = VAPO* Il valore atteso della perfetta informazione coincide con il minimo valore atteso della perdita di opportunità, e può essere interpretato come il prezzo massimo che il decisore è disposto a pagare per poter acquisire informazioni che gli forniscano certezza circa gli eventi futuri che si verificheranno. Nel caso del solito esempio si ha: VAMPI = 0.1x300000+0.5x375000+0.4x600000=457500 VAPI = VAMPI-VAM*= 457500-435000=22500=VAPO* 8.3 - Analisi decisionale in condizioni di incertezza Si ricorre all analisi decisionale in condizioni di incertezza allorché non sono disponibili valutazioni di probabilità per gli eventi futuri. Per fare ciò ci si avvale di diversi criteri. 8.3.1 - Criterio maximax Rappresenta un punto di vista ottimistico da parte del decisore: la decisione migliore è quella che massimizza il guadagno monetario più favorevole rispetto a tutti gli stati di natura. Esso viene espresso dalla funzione: f(v) = max i max j V(Di,Sj) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione A è ottimale secondo il criterio maximax, come indicato dalla tabella. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 128

Tabella 8.1.5.1 - Criterio maximax Bassa Media Alta f(v) A 200000 350000 600000 600000 B 250000 350000 540000 540000 C 300000 375000 490000 490000 8.3.2 - Criterio maximin Rappresenta, invece, un punto di vista pessimistico da parte del decisore: la decisione migliore è quella che massimizza il guadagno più sfavorevole rispetto a tutti gli stati di natura. Esso viene espresso dalla funzione: f(v) = max i min j V(Di,Sj) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione C è ottimale secondo il criterio maximin, come indicato dalla tabella Tabella 8.3.2.1 - Criterio maximin Bassa Media Alta f(v) A 200000 350000 600000 200000 B 250000 350000 540000 250000 C 300000 375000 490000 300000 8.3.3 - Criterio del realismo o di Hurwicz Rappresenta un compromesso tra il punto di vista ottimistico e quello pessimistico: la decisione migliore è quella che massimizza una combinazione lineare convessa del guadagno monetario più favorevole e quello più sfavorevole: f(v) = max i {[a * max j V(Di,Sj)] + [(1-a) * min i V(Di,Sj)]} con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n con a compreso tra 0 ed 1. Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1, in corrispondenza di α=0.6, la decisione A è ottimale secondo il criterio del realismo, come indicato dalla tabella 8.3.3.1 Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 129

Tabella 8.3.3.1 - Criterio del realismo Bassa Media Alta f(v) A 200000 350000 600000 440000 B 250000 350000 540000 424000 C 300000 375000 490000 414000 8.3.4 - Criterio di equiprobabilità o di Laplace È il criterio più adottato in pratica e consiste nell attribuire una sostanziale equiprobabilità agli eventi futuri: P(Sj) = 1/n con j = 1,2,,n La decisione migliore è quella che massimizza il VAM 8.3.5 Criterio minimax Seleziona la decisione che rende minima la massima delle perdite di opportunità. In simboli viene espresso da: f(v) = min i max j L(Di,Sj) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione B è ottimale secondo il criterio minimax, come indicato in tabella 8.3.5.1. Tabella 8.3.5.1 - Criterio minimax Bassa Media Alta f(v) A 100000 25000 0 100000 B 50000 25000 60000 60000 C 0 0 110000 110000 8.4 - Alberi di decisione Metodologia che si avvale dell ausilio grafico di rappresentazioni ad albero per: sviluppare analisi decisionali sequenziali facilitare le interazioni con il decisore migliorare la qualità di rappresentazione. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 130

Nodi decisione: nodi scelta delle possibili alternative da parte del decisore; corrisponde il max dei valori monetari Nodi evento: si verifica uno stato di natura con relative probabilità di occorrenza; corrisponde il valore atteso dei valori monetari Nodi terminali: il guadagno monetario è determinato dalla catena di decisione ed eventi verificatisi Il solito esempio in tabella 8.1.5.1 origina l albero di decisione indicato in figura. Il calcolo dei valori monetari associati a ciascun nodo si sviluppa a partire dai nodi terminali fino a raggiungere il nodo decisione. Al termine della procedura di calcolo, il valore monetario associato alla radice dell albero costituisce il valore atteso monetario massimo VAM*. Fig. 8.4 Albero di decisione per l esempio di analisi in condizioni di rischio della Sezione 12.2.1 8.4.1 - Esempio di analisi decisionale sequenziale Per il solito esempio consideriamo un nuovo scenario. L azienda può infatti commissionare in una prima fase una ricerca di mercato, al costo di 2500 euro, e successivamente, sulla base dei risultati ottenuti, decidere in merito al tipo di tecnologia da adottare. Si presentano pertanto due fasi sequenziali nel corso del processo decisionale: 1. Decidere se commissionare la ricerca di mercato; 2. Decidere quale tipo di tecnologia adottare. Ipotizziamo ora che la ricerca di mercato possa avere tre possibili esiti, corrispondenti ad una situazione di mercato favorevole, invariato e sfavorevole. Abbiamo deliberatamente utilizzato una classificazione diversa dalla suddivisione in livelli introdotta a proposito della domanda: il lettore deve tenere infatti ben distinto, ad esempio, il livello della domanda alta dalla previsione di mercato favorevole. E verosimile attendersi, d altra parte, che se il test di mercato esprime una valutazione di mercato favorevole allora il livello di domanda alta abbia maggiori possibilità di verificarsi, a posteriori, rispetto agli altri livelli di domanda. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 131

Per esprimere in termini analitici queste considerazioni di carattere intuitivo è necessario introdurre alcuni concetti di natura probabilistica. Indichiamo con T k, k=1, 2, r gli r possibili esiti del test. Supponiamo che, sulla base di analoghe esperienze di applicazione del test nel passato, sia possibile definire una tabella che fornisce le probabilità relative all esito del test condizionate al verificarsi degli stati di natura. In simboli, la tabella che segue contiene le probabilità condizionate P(T k S j ) k=1, 2,.., r j = 1, 2,.., n Tabella 8.4.1 - Probabilità degli esiti del test dati gli stati di natura Bassa Media Alta Favorevole 0.2 0.4 0.7 Invariato 0.2 0.3 0.2 Sfavorevole 0.6 0.3 0.1 L albero di decisione corrispondente alle decisioni sequenziali del problema descritto è rappresentato nella figura che segue. Per poter procedere al calcolo dei valori monetari per tutti i nodi dell albero, è necessario valutare le probabilità degli archi uscenti dai nodi evento corrispondenti da un lato all esito del test e dall altro all accadimento degli stati di natura condizionati all esito del test. Ci occupiamo dapprima del nodo evento relativo all esito del test. Agli archi che ne scaturiscono dobbiamo associare le probabilità incondizionate dei diversi esiti. Per procedere al calcolo utilizziamo un risultato di teoria della probabilità, solitamente indicato come teorema di probabilità totale. Data una collezione Sj, j=1, 2,, n di eventi esaustivi e mutuamente disgiunti e un generico evento A, vale l eguaglianza P(A) = n P( S j= 1 ) P( A S Possiamo quindi applicare il teorema di probabilità totale per ricavare le probabilità degli esiti incondizionati del test. Ad esempio, per l esito di mercato favorevole si ha P(Favorevole) = P(Alta)*P(Favorevole Alta) + + P(Media)*P(Favorevole Media) + + P(bassa)*P(Favorevole Bassa) = = 0.4x0.7 + 0.5x0.4 + 0.1x0.2 = 0.5 j j ) Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 132

Fig. 8.4.1 Albero di decisione per l analisi sequenziale dell esempio della Sezione 12.4.1 In modo analogo possono essere calcolate le rimanenti probabilità, ottenendo P(Invariato) = 0.4x0.2 + 0.5x0.3 + 0.1x0.2 = 0.25 e P(Sfavorevole) = 0.4x0.1 + 0.5x0.3 + 0.1x0.6 = 0.25 Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 133

Rivolgiamo ora la nostra attenzione agli archi che scaturiscono dai nodi evento relativi agli stati di natura che si trovano a valle del nodo evento relativo all esito del test. Evidentemente, le probabilità associate a questi archi devono essere condizionate all esito del test. Più precisamente dobbiamo calcolare le probabilità Per procedere al calcolo utilizziamo il teorema di Bayes P( S j ) P( A S j ) P( S j A) = n P( S j ) P( A S j ) j= 1 Ad esempio calcoliamo la probabilità a posteriori di ottenere un livello di domanda alta dato che il test ha fornito un esito favorevole P( Alta) P( Favorevole Alta) 0.4*0.7 P( Alta Favorevole) = = = 0. 56 P( Favorevole) 0.5 Si ottiene in tal modo: 0.5*0.4 P( Media Favorevole) = = 0.4 0.5 0.1*0.2 P( Bassa Favorevole) = = 0.04 0.5 0.4*0.2 P( Alta In variato) = = 0.32 0.25 0.5*0.3 P( Media In variato) = = 0.6 0.25 0.1*0.2 P( Bassa In variato) = = 0.08 0.25 0.4*0.1 P( Alta Sfavorevole) = = 0.16 0.25 0.5*0.3 P( Media Sfavorevole) = = 0.6 0.25 0.1*0.6 P( Bassa Sfavorevole) = = 0.24 0.25 Una volta determinate le probabilità di tutti gli archi uscenti da nodi evento, siamo in grado di calcolare i valori monetari per tutti i nodi dell albero di decisione. Come si vede dalla figura il valore atteso monetario massimo è pari a 437850 euro, e corrisponde alla seguente strategia: - In un primo tempo si commissiona la ricerca di mercato; - successivamente, se l esito indica condizioni di mercato favorevoli oppure invariate si adotta la tecnologia A; - se indica condizioni sfavorevoli, si opta per la tecnologia C. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 134

8.4.2 - Valore atteso dell informazione campionaria Il valore atteso dell informazione campionaria per un test assegnato (VAIC) è la differenza tra il valore atteso monetario ottimo in presenza del test e il valore ottimo in sua assenza VAIC = Valore attesomonetario Valore attesomonetario ottimo con test ottimo senza test 8.4.3 - Efficienza dell informazione campionaria Misura l efficienza relativa dei diversi test mediante il rapporto tra VAIC e VAPI EIC = VAIC / VAPI Se EIC = 1 Efficienza max Per il test del nostro esempio abbiamo EIC=5350/22500=0.24 Come ci si poteva attendere, la probabilità a posteriori di ottenere un alto livello di domanda in presenza di un esito favorevole del test di mercato aumenta rispetto alla corrispondente probabilità a priori. Possiamo calcolare, mediante il teorema di Bayes, le rimanenti probabilità a posteriori. 8.5 Teoria dell utilità Fino a questo punto abbiamo introdotto e discusso numerosi criteri di natura monetaria per la valutazione e il confronto di decisioni. Tuttavia, talvolta si presentano situazioni nelle quali i criteri di natura esclusivamente monetaria denunciano evidenti limiti di efficacia. Ad esempio, consideriamo una ipotetica alternativa decisionale con due possibilità: A. Il decisore riceverà 50000 euro con assoluta certezza. B. Il decisore lancia una moneta: se l esito è testa riceve 101000 euro, mentre se è croce non riceve nulla. Il lettore provi a stabilire qual è la propria istintiva scelta tra le due alternative, immaginando di prendere come realistiche le due opzioni che sono state poste. E molto probabile che egli opti per l alternativa A. Tuttavia, se attribuiamo probabilità ½ a ciascuna delle facce della moneta, possiamo calcolare il valore atteso monetario di entrambe le alternative, ricavando VAM(A) = 50000 VAM(B) = ½*101000+1/2*0=50500 Questi calcoli ci mostrano che B è la decisione che massimizza il valore atteso monetario. Il fatto che la maggior parte degli ipotetici decisori preferisca l alternativa A si spiega in base alla seguente osservazione di carattere generale: alcuni decisori preferiscono un guadagno immediato inferiore piuttosto che rischiare possibili perdite future nel tentativo di acquisire guadagni maggiori. Questo tipo di attitudine psicologica da parte del decisore viene indicata come avversione al rischio. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 135

Supponiamo ora che le medesime alternative sino riformulate modificando le somme in gioco, e ponendole pari a 50 e 99 euro in luogo di 50000 e 101000. E probabile che molti di coloro che avrebbero optato per l alternativa A, mutino la loro scelta in questo nuovo scenario, preferendo la decisione B. Tuttavia, per il criterio del valore atteso monetario, A è la scelta ottimale, essendo: VAM(A)= 50 VAM(B)= ½*99+1/2*0=49.5 Questo secondo esempio illustra un attitudine del decisore che viene indicata come propensione al rischio Vogliamo ora considerare un criterio di valutazione e confronto delle decisioni diverso dal valore atteso monetario, mediante la definizione della funzione di utilità, che attribuisce un valore numerico a ciascuna decisione. Naturalmente la funzione utilità esprime una misura soggettiva del valore che uno specifico decisore attribuisce alle alternative disponibili. Tale misura tiene conto dei valori monetari, ma anche di altri criteri e attitudini che il decisore prende in considerazione nel corso del processo decisionale. In base alla propensione o avversione al rischio attribuisce, tramite la funzione utilità, un valore numerico a ciascuna decisione 8.5.1 - Costruzione della funzione utilità Dato un problema di decisione con un insieme di decisioni D i per i = 1,2,,m e di stati di natura S j per j = 1,2,.,n cui associamo una tabella V(D i, S j ) di guadagni monetari, si ponga V min = min i,j V(Di,Sj) V max = max i,j V(Di,Sj) U (V) è la funzione utilità Si attribuisce per definizione utilità 0 e utilità 1 rispettivamente a U (V min ), U (V max ) quindi si procede per bisezioni successive dell intervallo (0,1) dei valori di utilità per poi applicare una tecnica di interpolazione numerica. Definita U (V) si ricava una tabella W(Di,Sj) di valori di utilità per ogni coppia di decisione e stato di natura ponendo: W(Di,Sj) = U (V (Di,Sj) ) con i = 1,2,,m e j = 1,2,,n Nella figura seguente si riportano le due situazioni relative a DM propenso al rischio e DM avverso al rischio. E evidente che il segmento di retta che congiunge l origine con il valore 1 assegnato a V max rappresenta una condizione di equilibrio per il DM. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 136

Bibliografia [1] - Carlo Vercellis, Modelli e Decisioni: Strumenti e metodi per le decisioni Aziendali, Progetto Leonardo, Bologna, 1997. [2] - Massimo Paolucci, DIST Università di Genova, Diapositive del Corso di Teoria delle decisioni, 2001/2002. Politecnico di Bari - Riservato alla circolazione interna 137