ross: esempio di verifica di una rete chiusa. Richiami sul metodo di ross di bilanciamento dei carichi. L applicazione del metodo proposto da ross può richiedere un certo numero di iterazioni di calcolo in quanto non risolve il sistema esatto delle equazioni del moto e di continuità, ma una approssimazione di tale sistema. er applicare il metodo di ross occorre individuare un insieme completo di maglie indipendenti (meglio se elementari, cioè maglie che non contengono condotte all interno) e stabilire arbitrariamente un verso di percorrenza per ogni maglia. Occorre inoltre determinare un insieme di portate di tentativo che verifichino tutte le equazioni di continuità ai nodi ed alle condotte con funzione di distribuzione. Le portate di tentativo sono scelte arbitrariamente con un numero di gradi di libertà pari al numero di maglie indipendenti. i seguito si utilizza l indice i per indicare la generica condotta i-esima; si denominano Q i le portate di tentativo delle condotte con funzione di solo trasporto, Q,i e Q,i le portate di tentativo alle sezioni estreme delle condotte con anche funzione di distribuzione uniforme. La portata correttiva Q m di ogni maglia m si calcola attraverso la seguente espressione : Q m = i t(m) i t(m) δ im K i (Q i) α i + K i α i (Q i) α i + i d (m) i d (m) W i [ (Q,i ) α i+ (Q,i) α i+ ] W i (α i + ) (Q,i ) α i + χ i (Q,i) α i () Le portate correttive Q m così calcolate vengono utilizzate per correggere le portate di tentativo Q i, Q,i e Q,i. ll iterazione successiva, le portate Si osservi che tutte le grandezze devono essere espresse nelle unità del S.I. Q m = portata correttiva in m /s, positiva nel verso di percorrenza della maglia m. t (m) = insieme di condotte con funz. di solo trasporto percorse dalla maglia m d (m) = insieme di condotte con funz. di distrib. unif. percorse dalla maglia m Q i = valore assoluto della portata di tentativo (m /s) nella condotta i-esima con funzione di solo trasporto. Q,i e Q,i = valore assoluto delle portate di tentativo (m /s) alle estremità della condotta i-esima con funzione di distribuzione uniforme: i pedici e sono usati per indicare rispettivamente la prima e l ultima sezione di condotta incontrata percorrendo la maglia nel verso prescelto. Nelle condotte i percorse in verso opposto da due maglie i valori di Q,i e Q,i per il calcolo della () risultano scambiati. l i = lunghezza della condotta i-esima (m) i = diametro della condotta i-esima (m) i = portata uniformemente erogata dalla condotta i-esima (m /s) k i, n i e{ α i = parametri della formula di ontessini della condotta i-esima + se la portata Qi è concorde al verso di percorrenza della maglia m δ im = { se la portata Q i è discorde rispetto al verso della maglia m + se la condotta ha una sezione neutra χ i = se la condotta non ha sezione neutra er rendere compatta l equazione () si è introdotto K i = k il i n i i e W i = k i l i n i i i (α i + )
corrette, le quali risulteranno ancora congruenti con le equazioni di continuità, assumeranno il ruolo di portate di tentativo per calcolare ancora con la () le nuove portate correttive alle maglie. Si effettuano quindi nuove iterazioni sino a quando viene raggiunto un buon grado di approssimazione della soluzione. Raggiunta la convergenza, si calcolano i carichi ai nodi utilizzando le portate Q i,q,i e Q,i corrette all ultima iterazione. Si possono infatti scrivere le seguenti equazioni (integrali) del moto che permettono di calcolare la differenza di carico (h,i h,i ) fra le sezioni estreme di ciascuna condotta i: h,i h,i = Q α i i δ i l i k i n i i solo trasporto k i l i n i i i (α i + ) (Qα i+,i Q α i+,i ) distribuzione i =,, L () Le equazioni integrali del moto sulle condotte richiedono la conoscenza della condizione al contorno su una estremità della condotta. Questa condizione viene fornita fissando il carico piezometrico al serbatoio (ad esempio il livello minimo per le verifiche nell ora di massimo consumo). Si risolve quindi l equazione del moto per le condotte aventi un estremo sul nodo serbatoio e si calcolano i carichi all altra estremità di tali condotte. I carichi così calcolati diventeranno a loro volta la condizione al contorno necessaria per applicare le equazioni del moto alle condotte contigue, sino a determinare i carichi in tutti i nodi. riterio di convergenza: si possono fermare le iterazioni quando per ciascuna maglia il numeratore dell equazione () risulta inferiore ad una prefissata tolleranza (il decimo di metro può essere ragionevole nelle reti con poche maglie). Infatti il numeratore, la cui unità di misura è il metro, rappresenta la somma delle differenze di carico fra gli estremi di ciascuna condotta percorsa dalla maglia (somma che dovrebbe essere pari a zero se l insieme delle portate di tentativo, o corrette alla iterazione precedente, fosse una soluzione del problema). Il numeratore fornisce quindi la differenza fra il carico calcolato in un nodo di maglia seguendo una circolazione oraria e il carico calcolato nello stesso nodo, ma seguendo una circolazione anti-oraria. I numeratori della () sono dunque indice dell errore commesso nel determinare i carichi ai nodi.
escrizione della rete in esempio Si vogliono calcolare i carichi piezometrici ai nodi di una rete chiusa con due maglie indipendenti, rappresentata schematicamente nella Figura. Nella Tabella sono consegnati i dati di ciascuna condotta: lunghezza, diametro, portate uniformemente erogate ed i parametri di scabrezza. I nodi, e erogano rispettivamente 70 l/s, 00 l/s e 80 l/s. Un serbatoio alimenta il nodo con la portata q da determinare. Il carico al nodo è pari a 7. m. La rete è realizzata con condotte in ghisa sferoidale. Nei calcoli idraulici si fa riferimento alla scabrezza di tubazioni in servizio con lievi incrostazioni: azin γ = 0.6, cui corrispondono i parametri k = 0.00, n =.9 e α = per la formula di ontessini delle perdite di carico distribuite J = kq α n. q =??? l/s q m= = 80 l/s m= = 0 l/s q = 00 l/s Figura : Schema della rete e delle portate erogate. lato L (m) (mm) (l/s) α k n ) - 00-0.00.9 ) - 6 00-0.00.9 ) - 98 0 80 0.00.9 ) - 6 00 70 0.00.9 ) - 97 0 0 0.00.9 Tabella : ati relativi alle condotte: lunghezza L, diametro, portata uniformemente erogata, e parametri α, k e n della formula di ontessini.
Scelta delle maglie indipendenti Sono state individuate due maglie elementari e si è scelto arbitrariamente il verso di precorrenza orario (Figura ). ortate di tentativo Sono state scelte arbitrariamente delle portate di tentativo Q i nelle condotte i-esime con funzione di solo trasporto, ovvero Q,i e Q,i in quelle con funzione di distribuzione uniforme. La scelta di tutte le portate di tentativo è stata effettuata in modo da verificare tutte le equazioni di continuità ai nodi ed alle condotte con funzione di distribuzione uniforme. Nella Figura sono riportate le portate di tentativo scelte. pplicando l equazione di continuità al nodo si determina infine la portata erogata dal serbatoio e quindi immessa al nodo. oichè la rete è alimentata da un solo serbatoio, la portata da esso erogata viene univocamente determinata con le sole equazioni di continuità (o banalmente sommando tutte le portate erogate dai nodi e dalle condotte con funzione di distribuzione uniforme, il che equivale a combinare linearmente tutte le equazioni di continuità). Nota sulle cifre significative Le portate di tentativo possono essere assegnate senza troppo dettaglio (pur soddisfando tutte le equazioni di continuità), perchè sicuramente saranno soggette a correzione. Quando le portate convergono alla soluzione può essere opportuno aumentare il numero di cifre significative. Nell esempio quì discusso, la precisione è aumentata al decimo di l/s nelle correzioni di portata alle prime due iterazioni e al centesimo di l/s nelle correzioni di portata alla terza e quarta iterazione. q = 0 l/s q 0 m= 90 0 90 = 80 l/s 0 m= 00 60 0 = 0 l/s q = 00 l/s Figura : ortate di tentativo (in l/s)
Iterazione Le portate correttive sono calcolate con l eq. () utilizzando le portate di tentativo riportate in Figura. Si ottiene: Q =.7 l/s e Q = - 9. l/s lato orrezione delle portate ) - Q = Q Q = [0.0.7] l/s =. l/s ) - Q = Q + Q = [00.0 +.7] l/s =.7 l/s ) - Q = Q Q + Q = [90.0.7 + ( 9.)] l/s =. l/s Q = Q Q + Q = [0.0.7 + ( 9.)] l/s = -.8 l/s ) - Q = Q Q = [90.0 ( 9.)] l/s = 9. l/s Q = Q Q = [0.0 ( 9.)] l/s = 9. l/s ) - Q = Q + Q = [0.0 + ( 9.)] l/s = 80.9 l/s Q = Q + Q = [60.0 + ( 9.)] l/s = 0.9 l/s Le portate corrette sono riportate nella seguente Figura. q = 0 l/s q m= = 80 l/s m=.7..8 9.. 9. 0.9 80.9 = 0 l/s q = 00 l/s Figura : ortate corrette alla prima iterazione (in l/s). Si osservi che si è invertito il verso del moto nella condotta in prossimità del nodo (confrontare con la Figura ), infatti la corrispondente portata Q è risultata negativa dopo la correzione (vedere la Tabelle sopra).
Iterazione Le portate correttive sono calcolate con l eq. () utilizzando come portate di tentativo le portate corrette alla prima iterazione, riportate in Figura. Si ottiene: Q = - 7. l/s e Q = 0. l/s lato orrezione delle portate ) - Q = Q Q = [. ( 7.)] l/s =.6 l/s ) - Q = Q + Q = [.7 + ( 7.)] l/s = 8. l/s ) - Q = Q Q + Q = [. ( 7.) + 0.] l/s =.6 l/s Q = Q + Q Q = [.8 + ( 7.) 0.] l/s = 7. l/s ) - Q = Q Q = [9. 0.] l/s = 9.0 l/s Q = Q Q = [9. 0.] l/s = 9.0 l/s ) - Q = Q + Q = [80.9 + 0.] l/s = 8.0 l/s Q = Q + Q = [0.9 + 0.] l/s =.0 l/s Si osservi che le correzioni di portata sono formalmente uguali a quelle scritte per la prima iterazione, con la sola eccezione della correzione della portata Q al nodo della condotta, in quanto, come già osservato, il moto ha cambiato verso. Le portate corrette sono riportate nella seguente Figura. q = 0 l/s q.6 9.0.6 m= = 80 l/s 9.0 m= 8..0 7. 8.0 = 0 l/s q = 00 l/s Figura : ortate corrette alla seconda iterazione (in l/s). 6
Iterazione Le portate correttive sono calcolate con l eq. () utilizzando come portate di tentativo le portate corrette alla seconda iterazione, riportate in Figura. Si ottiene: Q = -0.0 l/s e Q = -.9 l/s lato orrezione delle portate ) - Q = Q Q = [.60 ( 0.0)] l/s =.6 l/s ) - Q = Q + Q = [8.0 + ( 0.0)] l/s = 8.8 l/s ) - Q = Q Q + Q = [.60 ( 0.0) + (.9)] l/s = 0.67 l/s Q = Q + Q Q = [7.0 + ( 0.0) (.9)] l/s = 9. l/s ) - Q = Q Q = [9.00 (.9)] l/s = 0.9 l/s Q = Q Q = [9.00 (.9)] l/s = 0.9 l/s ) - Q = Q + Q = [8.00 + (.9)] l/s = 79.0 l/s Q = Q + Q = [.00 + (.9)] l/s = 9.0 l/s Le portate corrette sono riportate nella seguente Figura. q = 0 l/s q 0.67 0.9.6 m= = 80 l/s 0.9 m= 8.8 9.0 9. 79.0 = 0 l/s q = 00 l/s Figura : ortate corrette alla terza iterazione (in l/s). 7
Iterazione Le portate correttive sono calcolate con l eq. () utilizzando come portate di tentativo le portate corrette alla terza iterazione, riportate in Figura. Si ottiene: Q = -0.86 l/s e Q = -0.0 l/s lato orrezione delle portate ) - Q = Q Q = [.6 ( 0.86)] l/s =.8 l/s ) - Q = Q + Q = [8.8 + ( 0.86)] l/s = 7. l/s ) - Q = Q Q + Q = [0.67 ( 0.86) + ( 0.0)] l/s =. l/s Q = Q + Q Q = [9. + ( 0.86) ( 0.0)] l/s = 8.8 l/s ) - Q = Q Q = [0.9 ( 0.0)] l/s = 0.96 l/s Q = Q Q = [0.9 ( 0.0)] l/s = 0.96 l/s ) - Q = Q + Q = [79.0 + ( 0.0)] l/s = 79.0 l/s Q = Q + Q = [9.0 + ( 0.0)] l/s = 9.0 l/s Le portate corrette sono riportate nella seguente Figura 6. q = 0 l/s q. 0.96.8 m= = 80 l/s 0.96 m= 7. 9.0 8.8 79.0 = 0 l/s q = 00 l/s Figura 6: ortate corrette alla quarta iterazione (in l/s). 8
eterminazione dei carichi ai nodi l nodo è assegnato un carico h = 7. m, di seguito sono calcolati i carichi nei restanti nodi utilizzando le equazioni del moto (). h h = 0.00 0.00.9 0.8 m =. m h =. m h h = 0.00 6 0.00.9 0.7 m =.8 m h =.0 m h h = 0.00 6 0.00.9 0.070 [ 0.096 0.0096 ] m =.6 m h =.9 m h h = 0.00 97 0.0.9 0.00 [ 0.0790 0.090 ] m =. m h =.9 m Si osservi la differenza di cm fra i carichi in calcolati attraverso i due percorsi -- e --. Il valore corretto è h =.9 m. llegati Foglio di calcolo con le iterazioni discusse. Foglio con risultati ottenuti con piccole tolleranze su portate e carichi. Il numeratore della equazione () scritta per la maglia alla quarta iterazione (e quindi calcolato con le portate corrette alla terza iterazione) è risultato pari a circa 9 cm. La successiva correzione delle portate con le portate correttive ottenute alla quarta iterazione ha ridotto ulteriormente l errore nel calcolo dei carichi. 9
Esempio di applicazione del Metodo del bilanciamento dei carichi di ross: rete chiusa con due maglie Maglia dati comuni num den K=kL -n o Q' δ δkq' α KαQ' α correzione delle portate Q o Q corretta Q corretta velocità Iterazione lato L k α n W=kL -n - (α+) - α+ Q' Q' χ W(Q' - Q' α+ α ) W(α+) Q' +χ Q' α Q Q Q o Q Q Q Q U U m m m /s m /s m /s m m /s m /s m /s m /s m /s m /s (-) 6 0.00 0 0.00.9 69.86 0.000.77 7.7 0.07 0.7.80 (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.000 0.0900 - -.68. - 0.07-0.09-0.08-0.07-0.09 0.0-0.9 0.7 (-) 0.00 0 0.00.9 9.0 0.00 - -.79 9.7-0.07 0..78 -.08 7.800 Q 0.07 m /s Maglia (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.0900 0.000 -.68. - 0.07-0.09 0.0-0.07-0.09-0.08 0.7-0.9 (-) 97 0.0 0.0 0.00.9 6. 0.00 0.0600 -.069.99-0.09 0.0809-0.09 0.009.6 0.6 (-) 7 0.00 0.07 0.00.9.7 0.000 0.0900 - -0.96 0.9 - -0.09 0.09 - -0.09 0.9 0.69.68 7.80 60.798 Q -0.09 m /s Iterazione Maglia dati comuni num den correzione delle portate K=kL -n o Q' δ δkq' α KαQ' α Q o Q corretta Q corretta velocità lato L k α n W=kL -n - (α+) - Q' Q' χ α+ W(Q' - Q' α+ ) W(α+) Q' α +χ Q' α Q Q Q o Q Q Q Q U U m m m /s m /s m /s m m /s m /s m /s m /s m /s m /s (-) 6 0.00 0 0.00.9 69.86 0.7..08-0.007 0.8.7 (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.08 0.0 0.06 6.967-0.007-0.000 0.07 - -0.007 0.000 0.06 0.76 0.87 (-) 0.00 0 0.00.9 9.0 0. - -.9896 6.67 - -0.007 0.6.8 0.76 0.6 Q -0.007 m /s Maglia (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.0 0.08-0.06 6.967 - -0.007 0.000 0.06-0.007-0.000 0.07 0.87 0.76 (-) 97 0.0 0.0 0.00.9 6. 0.0809 0.009 -.70 76.07 0.000 0.080 0.000 0.00.6 0.6 (-) 7 0.00 0.07 0.00.9.7 0.09 0.9 - -.076 6.666-0.000 0.090-0.000 0.90 0.69.68-0.0 69.09 Q 0.000 m /s Iterazione Maglia dati comuni num den correzione delle portate K=kL -n o Q' δ δkq' α KαQ' α Q o Q corretta Q corretta velocità lato L k α n W=kL -n - (α+) - Q' Q' χ α+ W(Q' - Q' α+ ) W(α+) Q' α +χ Q' α Q Q Q o Q Q Q Q U U m m m /s m /s m /s m m /s m /s m /s m /s m /s m /s (-) 6 0.00 0 0.00.9 69.86 0.8.08 0.99-0.0000 0.88.7 (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.07 0.06-0.909.9-0.0000 - -0.009 0.09 - -0.0000-0.009 0.0067 0.80 0.8 (-) 0.00 0 0.00.9 9.0 0.6 - -.876 7.7 - -0.0000 0.6.8 0.0086 0.79 Q -0.0000 m /s Maglia (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.06 0.07 0.909.9 - -0.0000-0.009 0.0067-0.0000 - -0.009 0.09 0.8 0.80 (-) 97 0.0 0.0 0.00.9 6. 0.080 0.00 -.806 76.77-0.009 0.0790-0.009 0.090.6 0.9 (-) 7 0.00 0.07 0.00.9.7 0.090 0.90 - -.0709 6.60 - -0.009 0.009 - -0.009 0.09 0.7.7 0.876 68.99 Q -0.009 m /s Iterazione Maglia dati comuni num den correzione delle portate K=kL -n o Q' δ δkq' α KαQ' α Q o Q corretta Q corretta velocità lato L k α n W=kL -n - (α+) - Q' Q' χ α+ W(Q' - Q' α+ ) W(α+) Q' α +χ Q' α Q Q Q o Q Q Q Q U U m m m /s m /s m /s m m /s m /s m /s m /s m /s m /s (-) 6 0.00 0 0.00.9 69.86 0.88.0770 0.9-0.00086 0.7.7 (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.09 0.0067-0.006.709-0.00086 - -0.0000 0.088 - -0.00086-0.0000 0.0 0.78 0.8 (-) 0.00 0 0.00.9 9.0 0.6 - -.879 7.7 - -0.00086 0.8.8 0.089 0.7 Q -0.00086 m /s Maglia (-) 98 0.0 0.08 0.00.9 76.8 0.0067 0.09 0.006.709 - -0.00086-0.0000 0.0-0.00086 - -0.0000 0.088 0.8 0.78 (-) 97 0.0 0.0 0.00.9 6. 0.0790 0.090 -.9 7.77-0.0000 0.0790-0.0000 0.090.6 0.9 (-) 7 0.00 0.07 0.00.9.7 0.009 0.09 - -.690 7.690 - -0.0000 0.0096 - -0.0000 0.096 0.7.7 0.000 67.6 Q -0.0000 m /s
RISOLUTORE I RETI I ISTRIUZIONE - ESEMIO I UN RETE HIUS UE MGLIE SVOLTO IN UL INUT Numero di condotte = Numero di nodi (inclusi i serbatoi) = Tolleranza soluzione carichi ai nodi (m) = Tolleranza soluzione portate in condotta (l/s) = Visualizza risultati ad ogni iterazione (S/N) = 0.000 ortata totale erogata (l/s) = 0 0.000 S Iterazione corrente = alcola TI SULLE ONOTTE TI SUI NOI INUT OUTUT INUT OUTUT n n L k α n Q Q U U H H/L c.c. Hs Qn z s H E f h min Rs h h - h min - - m mm l/s l/s l/s m/s m/s m - m l/s m m m m l/s m m 00 0 0.00.9.6.6.8.8.6 0.00 S 7. 0.00 6 00 0 0.00.9 7.7 7.7.7.7.77 0.0090 70.00.6 0.00.00 0.6.0.7 98 0 80 0.00.9. -8.6 0.8-0.79 0.06 0.000 00.00 6.7 0.00.00.7.0.77 6 00 70 0.00.9.8.8.7 0.7.7 0.0069 80.00 8. 0.00.00..9 8.8 97 0 0 0.00.9 78.7 8.7.60 0.9.0 0.007 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 ondotte in Ghisa, in servizio con lievi incrostazioni (scabrezza azin γ = 0.6) TI I INUT SULLE ONOTTE: n, n = nodo iniziale e nodo finale di ciascuna condotta L, = lunghezza (m) e diametro (mm) della condotta = portata erogata complessivamente dalla condotta (l/s); positiva k, a, n = coefficienti della formula di ontessini per le perdite di carico distribuite TI I OUTUT SULLE ONOTTE: Q,Q,U,U = portate (l/s) e velocità (m/s) nel nodo iniziale n e finale n di ciascuna condotta: segni positivi se il moto è concorde all'orientamento n -n della condotta. H = differenza di carico piezometrico fra i nodi iniziale e finale di ciascuna condotta (m) TI I INUT SUI NOI SERTOIO (colonna c.c. = S): Hs = carico piezometrico del serbatoio (m.s.l.m.) TI I INUT SU TUTTI GLI LTRI NOI (colonna c.c. <> S): Qn = portate erogate dal nodo (l/s); positive se uscenti dal nodo, neg. per torrino z s = quota stradale del nodo (m.s.l.m.) H E = altezza massima (del piano di gronda) dei fabbricati vicini al nodo (m) f = franco assegnato ai fabbricati vicini al nodo (m) TI I OUTUT SUI NOI SERTOIO (colonna c.c. = S): Rs = portata erogata dal serbatoio (l/s) TI I OUTUT SU TUTTI GLI LTRI NOI (colonna c.c. <> S): h min = z s + H E + f = carico piezometrico minimo da garantire nel nodo (m.s.l.m.) h = carico piezomentrico calcolato (m.s.l.m.) h - h min = se è positivo è garantita l'erogazione delle portate negli edifici serviti dal nodo (m)