A Ripasso Terminologia DOMADE Spazio campionario Evento Evento certo Evento elementare Evento impossibile Evento unione Evento intersezione Eventi incompatibili Evento contrario RISPOSTE È l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo. Si chiama così ogni sottoinsieme dello spazio campionario. Si chiama così un evento che coincide con lo spazio campionario. Un evento costituito da un solo elemento dello spazio campionario. Si chiama così un evento che coincide con l insieme vuoto. Si definisce evento unione di A e, e si indica con A [, l evento che si realizza quando si realizzano A o (o entrambi). Si definisce evento intersezione di A e, e si indica con A \, l evento che si realizza quando si realizzano simultaneamente entrambi gli eventi A e. Due eventi la cui intersezione è l evento impossibile. Si definisce evento contrario di A, e si indica con A, l evento che si realizza quando non si realizza A, ossia l evento rappresentato dal complementare di A. Assiomi Dato uno spazio campionario, la probabilità di un evento A di è un numero reale tale che: 0 pðaþ 1 Se A ¼, allora pðaþ ¼1. Se A e sono due eventi incompatibili, allora: pða [ Þ ¼pðAÞþpðÞ Definizione classica di probabilità Consideriamo un evento E relativo a uno spazio campionario in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità di verificarsi; supponiamo che l evento E sia formato da k eventi elementari (brevemente detti «casi favorevoli») e lo spazio campionario sia formato da n eventi elementari (brevemente detti «casi possibili»). Si definisce probabilità dell evento E, esi indica con pðeþ, il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: pðeþ ¼ k n Teoremi fondamentali a. Se A è un evento e A è il suo evento contrario, allora: pðaþ ¼1 pðaþ. b. Siano A e due eventi; allora: pða [ Þ ¼pðAÞþpðÞ pða \ Þ. Principio fondamentale del calcolo combinatorio Se un oggetto si forma facendo una successione di n scelte tali che vi sono k 1 possibilità per la prima scelta, k 2 per la seconda,..., k n per la n-esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto: k 1 k 2 ::: k n 1/5
erifica delle conoscenze ero o falso? 1 la probabilità di un evento può essere uguale a 2 2 la probabilità di un evento può essere uguale a 2 un evento certo ha probabilità uguale a 1 4 un evento impossibile ha probabilità uguale a 0 5 se due eventi hanno probabilità diversa da zero, non possono essere incompatibili 6 se un evento ha probabilità uguale a 1, allora il suo evento contrario ha probabilità uguale a 2 7 se due eventi sono disgiunti, allora sono incompatibili 8 la probabilità dell evento A [ è sempre uguale alla somma delle probabilità di A e 9 si lancia successivamente una moneta per volte; lo spazio campionario di questo esperimento aleatorio è costituito da esattamente 8 elementi comunque si scelgano due eventi A e, vale la relazione: pða \ ÞþpðA [ Þ ¼pðAÞþpðÞ Test 11 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e (inclusi 1 e ). Qual è la probabilità di ottenere un numero pari? A 1 D 12 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e (inclusi 1 e ). Qual è la probabilità di ottenere un multiplo di? A 1 D 1 Si sceglie a caso un numero intero positivo compreso tra 1 e (inclusi 1 e ). Qual è la probabilità di ottenere un multiplo di 4? A 1 14 Sia A un evento la cui probabilità è 1. Qual è la probabilità dell evento contrario A? 5 A 1 15 Dati due eventi A e tali che pðaþ ¼ 1, pðþ ¼ 1 2 e pða \ Þ ¼ 1, qual è la probabilità dell evento A [? 4 A 1 6 5 6 C 2 5 C 5 12 D D 4 5 D 7 12 2/5
C Esercizi guidati 1 Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a risolvere insieme un problema di calcolo delle probabilità. Rappresentazione dei casi possibili Da un urna contenente una pallina bianca e una nera si estrae a caso una pallina. La pallina estratta viene rimessa nell urna e ne viene estratta una seconda. Anche la seconda pallina estratta viene rimessa nell urna e ne viene estratta una terza. Determina la probabilità che: a. le tre palline estratte siano bianche; b. almeno una pallina estratta sia nera; c. esca una pallina bianca alla prima ; d. esca una pallina bianca per la prima volta alla seconda. Le estrazioni delle palline avvengono a caso, quindi è lecito supporre che i vari casi possibili siano tutti equiprobabili. Puoi quindi calcolare le varie probabilità secondo la definizione classica. Completa il seguente diagramma ad albero che rappresenta tutti i casi possibili. prima seconda terza Risposta alla domanda a Risposta alla domanda b Risposta alla domanda c Risposta alla domanda d C è 1 solo caso favorevole all di tre palline bianche, quindi la probabilità richiesta è uguale a 1 :. L evento «almeno una pallina estratta è nera» è l evento contrario di «le tre palline estratte sono bianche», quindi la sua probabilità è 1 meno la probabilità calcolata nel punto a: 1 1 :::: ¼ Dal diagramma ad albero puoi dedurre che ci sono 4 casi favorevoli alla realizzazione dell evento «la prima pallina estratta è bianca», quindi la probabilità richiesta è uguale a: 4 ¼ :::: Dal diagramma ad albero puoi dedurre che ci sono... casi favorevoli alla realizzazione dell evento «esce una pallina bianca per la prima volta alla seconda», quindi la probabilità richiesta è uguale a :::: /5
C Esercizi guidati 2 Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a risolvere insieme un problema di calcolo delle probabilità. Risposta alla domanda a Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52. Determina qual è la probabilità che esca: a. un Asso; b. una carta di cuori; c. un Asso di cuori; d. un Asso o una carta di cuori. L della carta avviene a caso, quindi è lecito supporre che le varie possibili estrazioni siano tutte equiprobabili. Puoi allora calcolare le varie probabilità secondo la definizione classica. I casi favorevoli all di un Asso sono 4, i casi possibili sono 52, quindi la probabilità richiesta è uguale a: : ¼ 1 : Risposta alla domanda b I casi favorevoli all di una carta di cuori sono..., i casi possibili sono 52, quindi la probabilità richiesta è uguale a : ¼ 1 : Risposta alla domanda c C è 1 solo caso favorevole all di un asso di cuori, i casi possibili sono 52, quindi la probabilità richiesta è uguale a :::: :. Risposta alla domanda d Indicato con A l evento «è uscito un Asso», con l evento «è uscita una carta di cuori», si osserva che l evento di cui si vuole calcolare la probabilità è A [. Puoi allora calcolare la probabilità richiesta in base alla formula seguente, tenendo conto che hai calcolato le probabilità degli eventi A, e A \ nei punti precedenti: pða [ Þ ¼pðAÞþpðÞ pða \ Þ ¼ ¼ Completa la seguente tabella, in cui ti guidiamo a risolvere insieme un problema di calcolo delle probabilità. Casi possibili Casi favorevoli Risposta Un urna contiene palline, numerate da 1 a. Estraiamo a caso successivamente due palline, rimettendo nell urna, dopo ciascuna, la pallina estratta. Qual è la probabilità che la prima pallina estratta abbia un numero primo e la seconda pallina estratta un numero dispari? Dal momento che le palline vengono estratte a caso, è lecito supporre che ogni pallina abbia la stessa probabilità di essere estratta. Anche in questo caso puoi quindi calcolare la probabilità richiesta secondo la definizione classica. Lo spazio campionario è l insieme formato dalle coppie ordinate ða, bþ, dove a, b sono numeri naturali compresi tra 1 e (inclusi 1 e ). Poiché dopo ogni si rimette la pallina nell urna, in ciascuna delle due estrazioni si hanno possibilità di scelta, quindi complessivamente le due palline possono essere estratte in:... modi diversi. In altre parole, i casi possibili sono in tutto... I casi «favorevoli» sono quelli in cui nella prima esce un numero primo e nella seconda un numero dispari. Essi sono rappresentati dalle coppie ordinate ða, bþ dello spazio campionario in cui a è primo e b è dispari. Per calcolare quante sono queste coppie, ovvero quanti sono i casi favorevoli, osserva che: il numero a può essere scelto in 4 modi diversi (i numeri primi compresi tra 1 e sono infatti 2,, 5, 7); il numero b può essere scelto in... modi diversi (i numeri dispari compresi tra 1 e sono infatti...). Pertanto, complessivamente, ci sono 4... casi favorevoli. La probabilità richiesta è dunque uguale a 4 ¼ :::: :::: 4/5
1 Si lancia un dado regolare a sei facce. Qual è la probabilità che esca un numero primo o multiplo di? 2 Si lancia un dado regolare a sei facce. Qual è la probabilità che esca un numero che non sia multiplo né di 2 né 5? 1 La probabilità che Paolo vada al cinema è del 40%, quella che vada in palestra è del 50% e quella che vada al cinema o in palestra è del 70%. Qual è la probabilità che Paolo vada al cinema e in palestra? [20%] 4 La probabilità di uno studente di superare un esame scritto è del 5%; la probabilità di superare l esame orale è del 45% e la probabilità di superare sia l esame scritto sia quello orale è del 20%. Qual è la probabilità che lo studente superi l esame scritto o quello orale? [60%] 5 Un urna contiene due palline: una bianca e una nera. Si estrae dall urna una pallina, quindi la si rimette nell urna e se ne estrae una seconda. Costruisci un diagramma ad albero che rappresenti tutti i possibili modi in cui possono essere estratte le due palline, quindi calcola la probabilità che: a. esca entrambe le volte una pallina bianca; b. esca almeno una pallina nera; c. escano due palline dello stesso colore. 2 a. 1 4 ; b. 4 ; c. 1 2 6 Un urna contiene tre palline: una rossa, una verde e una nera. Si estrae dall urna una pallina, quindi senza rimetterla nell urna se ne estrae una seconda. Costruisci un diagramma ad albero che rappresenti tutti i possibili modi in cui possono essere estratte le due palline, quindi calcola la probabilità che: a. almeno una pallina estratta sia rossa; b. la prima pallina estratta sia rossa; c. la prima pallina estratta sia rossa o nera. D Esercizi da svolgere a. 2 ; b. 1 ; c. 2 7 Un urna contiene palline, numerate da 1 a. Si estrae una pallina dall urna; calcola la probabilità di ottenere: a. una pallina con un numero dispari; b. una pallina con un numero multiplo di ; c. una pallina con un numero dispari e multiplo di ; d. una pallina con un numero dispari o multiplo di. 8 Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52. Determina qual è la probabilità che esca: a. una figura; b. una carta di fiori; c. una figura di fiori; d. una carta di fiori o una figura. 9 Si lancia per tre volte una moneta non truccata. a. Rappresenta tramite un diagramma ad albero tutti i possibili esiti. b. Calcola la probabilità che esca per tre volte «testa». c. Calcola la probabilità che esca almeno una volta «croce». d. Calcola la probabilità che esca «croce» nel primo lancio. e. Calcola la probabilità che esca «testa» per la prima volta nel secondo lancio. f. Calcola la probabilità che esca «testa» per la prima volta nel terzo lancio. a. a. 1 2 ; b. ; c. 1 5 ; d. 5 1 ; b. 1 4 ; c. 11 ; d. 52 26 b. 1 8 ; c. 7 8 ; d. 1 2 ; e. 1 4 ; f. 1 8 Un urna contiene 2 palline nere e 1 pallina rossa. Si estrae una prima pallina dall urna, quindi, senza rimettere la prima pallina estratta nell urna, se ne estrae una seconda. Calcola la probabilità che: a. siano estratte due palline nere; b. sia estratta almeno una pallina rossa; c. la prima pallina estratta sia nera; d. nella seconda sia estratta una pallina rossa. a. 1 ; b. 2 ; c. 2 ; d. 1 11 Si estraggono successivamente, senza reimmissione, due carte da un mazzo di 52. Qual è la probabilità di estrarre due figure? 11 221 12 Si estraggono successivamente, con reimmissione, due carte da un mazzo di 52. Qual è la probabilità di estrarre due figure? 9 169 5/5