Lezione 4 Energia potenziale e conservazione dell energia 4. Energia potenziale e conservazione dell energia Energia potenziale di: Forza peso sulla superficie terrestre Serway, Cap 7 U = mgh di un corpo nel campo di gravità terrestre U = GM T m r Energia potenziale di una molla U = 2 k x2 Conservazione dell energia meccanica: E i = K i + U i = K f + U f = E f Proponiamo una raccolta di tutti gli esercizi del Cap.7 VII.2 Una palla di 2 Kg è collegata all estremità inferiore di una fune lunga m legata al soffitto di una stanza. L altezza della stanza è 3 m. Qual è l energia potenziale gravitazionale relativa (a) al soffitto;
(b) al pavimento; (c) a un punto alla stessa quota della palla? a) U P U S = mgh P mgh S = mg(h P h S ) = mg h = mg b) U P U T = mgh P mgh T = mg(h P h T ) = 2mg a) U P U O = mgh P mgh O = mg(h P h O ) = 0 VII.8 Una particella di massa 0.5 Kg viene lanciata dalla posizione P, come indicato in figura P7.8 con una velocità iniziale v 0. La componente orizzontale della velocità è di 30 m/s. La particella raggiunge una altezza massima di 20 mrispetto a P. Usando la conservazione dell energia si determini: (a) La componente verticale di v 0, (b) il lavoro compiuto dalla forza di gravità sulla particella durante il suo moto da P a B (c) le componenti orizzontale e verticale del vettore velocità quando la particella raggiunge la posizione B. (a) Moto parabolico: si scompone lungo x e y x : v x =cost y : Analisi cinematica oppure conservazione dell energia. U A + K A = U C + K C = U C mgh a + 2 mv2 Ay = mgh c v Ay = 2g(h c h a ) = 2g 20 = 9.8 (b) per definizione di energia potenziali: U f U i = f F dx = L i L = U i U f = mgh A mgh B = mg h = 60mg = 294J (c)v x = const = v 0x = 30m/s v y : U f + K f = U i + K i 2 mv2 yf = 2 mv2 yi + U i U f = 2 mv2 yi + mg h v yf = vyi 2 + 2g h = 39.59m/s ALTERNATIVAMENTE K C + U C = K B + U B K C = 0 K B = U C U B 2 mv2 By = mg h v By = 2g 80 = 39.59 VII.0 Un pendolo semplice di lunghezza 2 m è abbandonato da fermo quando la fune di collegamento forma un angolo di 25 o con la verticale. Qual è la velocità della massa sospesa nel punto più basso dell oscillazione? U A + K A = U B + K B K B = U A U B = mg(h A h B ) = mg h v B = 2g h h = l l cos25 o v B = 2g(l l cos25 o ) =.92m/s 2
nota che v B è tangente alla traiettoria. VII.2 Due masse sono collegate da una fune, di massa trascurabile, che passa su una carrucola priva di attrito come in figura P7.. La sua massa m viene abbandonata da ferma ad altezza h. Usando il principio di conservazione dell energia a) determinare la velocità di m 2 quando m tocca il suolo; b) trovare la massima altezza alla quale arriva m 2. a): velcità di m 2 K f + U f = K i + U i K i = 0 U i = m gh i + m 2 gh 2i U f = m gh f + m 2 gh 2f K f = 2 m v 2 + 2 m 2v2 2 = ma v = v 2 = v perchè moto solidale = 2 (m + m 2 )2v 2 L equazione da risolvere è K f = U i U f (m + m 2 )v 2 = m g(h i h f ) + m 2 g(h 2f h 2i ) dai dati abbiamo che Quindi h i h f = h 2f h 2i = 4m v = m m 2 m + m 2 g h = 3.3m/s Arrivato a terra il blocco consideriamo il moto del blocco 2 v i = 3.3m/s K f + U f = K i + U i K f = 0 K i = 2 mv2 i mg h = 2 mv2 i h = v2 i 2g = 0.5 3
VII.8 Un tuffatore di 70 Kg si tuffa da 0 m. Se egli si ferma 5 m sotto acqua, determinare la forza media esercitata dall acqua. Indicato con A il punto da cui il tuffatore si lancia, con B il livello della superficie dell acqua e C il punto in cui il tuffatore si ferma, abbiamo per la conservazione dell energia: ed anche U A + K A = U B + K B K A = 0 U A = U C + K C Ma K C è uguale a zero benchè la variazione di energia potenziale sia negativa: i conti non tornano perchè c è la forza di attrito e quindi dobbiamo scrivere la conservazione dell energia come: U A = U C + K C + L at L at = U A U C = mg 5J Siccome ci viene chiesta la forza media, immaginiamo F at = cost L at = F at x F at = mg5 5 = 2058N VII.24 Una paracadutista di 50 Kg si lancia da un aeroplano da un altezza di 000 m. Il paracadute si apre ed essa raggiunge il suolo con una velocità di 5 m/s. Determinare l energia dissipata per attrito con l aria durante la discesa. L equazione di conservazione dell energia dovrebbe essere scritta K f + U f = K i + U i In realtà c è la forza di attrito e quindi dobbiamo scrivere Vogliamo determinare L at K i + U i = K f + U f + L at L at = K i K f + U i U f = mg h 2 mv2 f = m ( g h v2 f 2 ) = 489375J 4
VII.26 Un fucile giocattolo utilizza una molla di costante elastica 80 N/m per sparare una sferetta di gomma soffice di 5.3 g di massa. La canna del fucile è lunga 5 cm e tra canna e proiettile agisce una forza di attrito costante di 0.032 N. Determinare la velocità di uscita del proiettile dalla canna del fucile se la molla viene compressa di 5 cm. Ancora scriviamo l equazione di conservazione dell energia come U i + K i = U f + K f + L at K i = 0 perchè il proiettile parte da fermo U f = 0 perchè la molla non agisce più sul proiettile VII.30 K f = U i Lat v f = L at = F at l 2 m ( ) 2 k x2 F at l = 5.99m/s Quanta energia è necessaria per allontanare una massa di 000 Kg dalla superficie terrestre ad una altezza doppia del raggio della Terra? Scriviamo ancora l equazione di conservazione dell energia VII.32 U f U i = G M T m r f ( GM ) ( T m = GM T m ) R r f R ( = GM T m R ) = GM T m 2R 2R = 3.3 00 J Un proiettile è lanciato verticalmente dalla superficie terrestre con una velocità di 0 Km/s. A che altezza arriverà? K f + U f = K i + U i K f = 0 GM T r f = 2 mv2 i GM T m R r f = GM T 2 v2 i GM T R = 3.65 0 7 5
Poichè il problema chiede di determinare l altezza abbiamo che h = r f R = 2.56 0 7 m 6