Capiolo 8 Il regime periodico e il regime alernaivo sinusoidale Capiolo 8 Il regime periodico e il regime alernaivo sinusoidale 8.1 Definizioni 8.1.1 Periodo, frequenza, pulsazione Una grandezza si dice periodica se assume gli sessi valori dopo un deerminao inervallo di empo, deo periodo. In linguaggio maemaico, una funzione f () è periodica se f ( ) f ( ) per qualsiasi valore di, dove è il periodo. Di seguio è mosrao un esempio grafico. f () PP MIN Figura 8.1. Rappresenazione grafica di una grandezza periodica Se la variabile indipendene è il empo, il periodo si misura in secondi. La frequenza è definia come il reciproco del periodo e si misura in herz: 1 f [Hz] La ree elerica europea ha una frequenza di 50 Hz; il periodo, perano, è pari a 20 ms. La pulsazione ω corrisponde al numero di giri, espressi in radiani, effeuai in un secondo; dal momeno che un giro corrisponde a 2π rad, la relazione ra pulsazione e frequenza è rad 2f s A una frequenza di 50 Hz corrisponde una pulsazione di 314 rad/s. 8.1.2 alore picco-picco, grandezza alernaa, componene coninua, valor medio Una grandezza periodica v () avrà un valore massimo,, e una valore minimo, MIN. Il valore picco-picco (figura in alo) a pari alla differenza ra massimo e minimo: PP MIN Una grandezza si dice alernaa (o alernaiva) se è periodica e se la somma algebrica dei valori assuni in un periodo è nulla. I valori isananei posiivi, cioè, formano, con l asse dei empi, un area equivalene a quella analoga di segno opposo formaa dai valori negaivi: le due aree si compensa- 96
Corso di Eleroecnica, eleronica e auomazione no esaamene. Le funzioni seno e coseno sono grandezze alernae, come pure quella rappresenaa dal grafico seguene: v () Figura 8.2. Rappresenazione grafica di una grandezza alernaa Il grafico riporao in figura 8.3, invece, rappresena una grandezza non alernaa; è chiaro, infai, che l area delimiaa dalla curva superiormene all asse delle ascisse è maggiore di quella delimiaa di soo: f () CC componene coninua Figura 8.3. Componene coninua relaiva a una grandezza periodica La componene coninua di una grandezza periodica è daa dal rapporo ra la somma delle aree soese alla curva (prese col segno posiivo se sopra l asse delle ascisse, col segno negaivo se Ai soo), e il periodo: CC. Se racciamo la rea della componene coninua (fig. 8.3), noiamo che le aree delimiae superiormene ed inferiormene hanno lo sesso valore (se l asse delle ascisse fosse raslao in corrispondenza di quella rea, la grandezza diverrebbe alernaa). Il nome componene coninua deriva dal fao che la grandezza periodica può essere visa come la somma ra una grandezza alernaa (componene alernaa) e una grandezza coninua, di valore CC, come schemaizzao in figura 8.4. = + Figura 8.4. Scomposizione di una grandezza periodica in componene alernaa e componene coninua Le funzioni alernae, come seno e coseno, hanno componene coninua nulla. Il valor medio è la componene coninua oenua considerando i valori assolui delle aree: Ai m. Nella figura 8.5 è mosrao l andameno grafico di una grandezza periodica f () e a desra quello del suo valore assoluo f (), da cui si calcola il valor medio. f () f () m Figura 8.5. alor medio di una grandezza periodica 97
Capiolo 8 Il regime periodico e il regime alernaivo sinusoidale Una grandezza alernaa, perano, ha valor medio diverso da zero. Alcuni auori, comunque, usano l espressione valor medio come sinonimo di componene coninua. 8.1.3 Correni e ensioni alernae: valore efficace e faore di forma Se ai capi di un bipolo vi è una ensione alernaa, sui morsei cambierà coninuamene la differenza di poenziale e la polarià; se un filo è araversao da una correne alernaa, gli eleroni non scorrono sempre in un verso, ma lo cambiano coninuamene e la correne assume sempre diversi valori compresi fra un massimo e un minimo. Il valore efficace di una ensione (o correne) alernaa è il valore di ensione (o correne) coninua che dissiperebbe la sessa poenza su una resisenza. Nel caso di forma d onda sinusoidale, c è una relazione precisa ra valore efficace e valore massimo: eff 2 Delle sinusoidi di ensione e correne si fornisce generalmene il valore efficace, e non il valore massimo. Di solio i valori efficaci di ensione e correne si indicano rispeivamene con e I, senza il pedice eff ; i valori massimi, invece, con e I (o M e I M ). v () eff Figura 8.6. alore efficace di una grandezza periodica La ensione alernaa che uilizziamo nelle nosre abiazioni è di 230 in valore efficace; la sinusoide, perano, ha un valore massimo pari a 2 2 230 325 eff In regime alernaivo sinusoidale, le ensioni sono classificae in base al loro valore efficace in bassa, media e ala ensione, come riporao nella seguene abella: alore efficace da 0 a 1 k da 1 k a 30 k olre 30 k Denominazione Bassa ensione (B) Media ensione (M) Ala ensione (A) Di seguio è riporaa l evoluzione dei sisemi elerici negli aeromobili. La frequenza di 400 Hz, invece dei 50 o 60 Hz usai negli impiani erresri, è uile a diminuire il flusso magneico che scorre nei circuii e quindi ridurre il volume del ferro delle macchine eleriche (vedi la legge di Faraday nel capiolo n. 7). CF e F sanno rispeivamene per consan frequency e variable frequency. Il load managemen sysem (sisema di gesione dei carichi) alimena e conrolla i carichi direamene dai bus principali a c. a. dell aeromobile, è in grado di riconfigurare i carichi per disribuire nel modo migliore la poenza disponibile e di alimenare i carichi secondo diversi programmi nel caso di riprisino della correne. 98
Corso di Eleroecnica, eleronica e auomazione Il faore di forma di una ensione o correne periodica è un numero adimensionale, definio come il rapporo ra valore efficace e valor medio: eff K f m Nel caso di forma d onda sinusoidale, esso assume sempre lo sesso valore, pari a K 1, 11. ra vediamo come lavora uno srumeno di misura nel caso di grandezza alernaa sinusoidale. Esso la raddrizza, ovvero fa divenare posiiva la semionda negaiva (come fa maemaicamene il valore assoluo), come vediamo nei grafici di figura 8.7. Figura 8.7. Funzionameno degli srumeni di misura di ensioni e correni Misura quindi il valor medio dell onda raddrizzaa, con lo sesso meccanismo uilizzao per misurare le grandezze coninue (abbiamo viso il funzionameno dell amperomero nel capiolo sul magneismo), e lo moliplica per il faore di forma, fornendo un valore efficace: K 1,11 eff m f m Una grandezza misuraa porebbe non essere perfeamene sinusoidale, poiché ad esempio proviene da un inverer 19 o da un generaore di funzioni (fig. 8.8), o poiché è inquinaa da armoniche 20 (la curva rossa nella fig. 8.9). La formula appena visa darà un risulao falsao, perché il faore di forma avrà un valore diverso da 1,11; in quel caso, perciò, è bene uilizzare degli srumeni a vero valore efficace, su cui è riporaa la sigla RMS (roo mean square, valore quadraico medio); essi misurano il calore prodoo dalla correne, risalendo quindi alla effeiva poenza dissipaa, o analizzano digialmene le forme d onda ricavando lo spero, cioè le varie armoniche conenue nell onda non sinusoidale, da cui calcolano il valore efficace. 19 L inverer è un disposiivo eleronico, che sudierai nei prossimi anni, che permee di converire una ensione coninua in una ensione alernaa; la forma d onda non è però sinusoidale. I gruppi di coninuià, ad esempio, di solio hanno una baeria di ensione di 12 coninua; per alimenare gli apparecchi che richiedono ensione alernaa, la inverono. 20 Le armoniche sono sinusoidi a frequenza mulipla di una sinusoide fondamenale, a cui si sovrappongono, rendendola come frasagliaa. Non sono desiderae soliamene armoniche di ensione e di correne, perché producono perdie e possono provare malfunzionameni negli uilizzaori; esse sono indispensabili, invece, nelle onde sonore, poiché creano il imbro caraerisico di ogni suono. 99 f m
Capiolo 8 Il regime periodico e il regime alernaivo sinusoidale Figura 8.8. Grandezze periodiche generae da un generaore di funzioni Figura 8.9. Forma d onda di una grandezza alernaa come somma di diverse armoniche 8.2 Espressione maemaica di una ensione o correne sinusoidale Le ensioni e le correni alernae uilizzae negli impiani e nei disposiivi elerici hanno, di norma, forma d onda sinusoidale. Una grandezza elerica sinusoidale è soliamene indicaa come segue: v( ) sin( ) ensione i( ) I sin( ) correne Con v () e i () si indica il nome della funzione; soliamene per indicare le grandezze variabili, qual è una grandezza sinusoidale, si usa la leera minuscola. All inerno della parenesi si indica la variabile indipendene, che in queso caso è il empo. Il coefficiene della funzione seno, o I, è il valor massimo rispeivamene della funzione ensione e correne. Spesso nelle formule si uilizza il valore efficace o I; le espressioni divenano quindi v ( ) 2 sin( ) i ( ) 2I sin( ) Il prodoo è un angolo. Sul grafico di una sinusoide, conviene riporare sull asse delle ascisse proprio invece che, al fine di svincolare i valori da riporare su ale asse dalla frequenza. Per qualsiasi frequenza, infai, quei valori saranno gli angoli che siamo abiuai a riporare sull asse delle ascisse. isualizzeremo, inolre, la fase della sinusoide, ovvero l angolo, cambiao di segno, in corrispondenza del quale la sinusoide inizia a crescere dal valore nullo. Ad esempio, una ensione di valore efficace pari a 150, di pulsazione di 314 rad/s e di fase 30, può essere rappresenaa dalla seguene espressione: v ( ) 2150sin 314 212sin314 6 6 Noa che abbiamo espresso l angolo in radiani 21, in quano la pulsazione si misura in rad/s. Possiamo disinguere re casi: 1. sinusoide con fase nulla inizia a crescere nell origine degli assi; 2. sinusoide raslaa verso sinisra: pare in anicipo e la fase è posiiva; 3. sinusoide raslaa verso desra: pare in riardo e la fase è negaiva. Nel grafico di figura 8.10 è rappresenao il primo caso, ovvero una sinusoide con fase nulla. 21 Ricorda che per esprimere in radiani un angolo espresso in gradi sessagesimali è sufficiene risolvere la proporzione : 180 :. Sulla calcolarice imposa DEG se esprimi gli angoli in gradi, RAD se usi i radiani. gradi 100 rad
Corso di Eleroecnica, eleronica e auomazione sin( ) 0 2 2 Figura 8.10. Sinusoide con fase nulla Negli due grafici di figura 8.11 e 8.12 soo sono mosrai gli alri due casi, rispeivamene una sinusoide in anicipo rispeo alla sinusoide di fase nulla, quindi con 0, e una in riardo, con 0. sin( ) 2 2 Figura 8.11. Sinusoide con 0, in anicipo rispeo alla sinusoide di fase nulla: se ci poniamo nell origine, la sinusoide è già nella semionda posiiva sin( ) 2 Figura 8.12. Sinusoide con 0, in riardo rispeo alla sinusoide di fase nulla: se ci poniamo nell origine, la sinusoide è ancora nella semionda negaiva 8.3 Generaore di ensione alernaa Il figura 8.13 è mosrao il simbolo circuiale del generaore di ensione alernaa. In regime alernaivo sinusoidale, come in quello coninuo, hanno noevole imporanza le convenzioni sui segni. Si noi che, nonosane sia alernaa, è raffigurao un segno posiivo (o, in alernaiva, una freccia, in queso caso verso l alo). Esso è indispensabile per conoscere, in ogni isane di empo, quale dei due morsei è effeivamene posiivo. Se la ensione è posiiva (semionda posiiva), il morseo posiivo è quello segnao col + sul disegno; durane la semionda negaiva, invece, il morseo segnao col + è quello che effeivamene è negaivo. 8.4 Esercizi da svolgere 1. Una ensione sinusoidale ha un valore efficace di 40 ; calcola il valore massimo e il valore picco-picco. [Ris.: =57, PP =114 ] 101 E + Figura 8.13. Simbolo del generaore di ensione alernaa
Capiolo 8 Il regime periodico e il regime alernaivo sinusoidale 2. Deermina il periodo, la frequenza, il valore picco-picco, il valore massimo e il valore minimo della grandezza periodica rappresenaa nel grafico seguene. 3. Deermina il periodo, la frequenza, il valore picco-picco, il valore massimo, il valore minimo e la componene coninua della grandezza periodica rappresenaa nel grafico seguene. 4. Disegna una sinusoide di ensione di valore efficace di 100 e fase di 30. 5. Disegna una sinusoide di correne di valore massimo di 2 A e fase di -60. 6. Disegna il grafico di una sinusoide di ampiezza 5 e fase nulla e quindi modificalo in modo che abbia una componene coninua pari a 2. 7. Il faore di forma di una ensione periodica è pari a 1,6; il suo valor medio è pari a 12 ; calcola il suo valore efficace. [Risulao: =19,2 ] 8. Una correne sinusoidale ha la seguene espressione: i ( ) 2sin40. Deermina la fase, 6 se è in riardo o in anicipo rispeo a una sinusoide di fase nulla, il valore efficace, la pulsazione e la frequenza; disegna quindi il suo grafico. 9. Una ensione sinusoidale ha la seguene espressione: v ( ) 600sin200. Deermina la 2 fase, se è in riardo o in anicipo rispeo all origine, il valore efficace, la pulsazione e la frequenza; disegna quindi il suo grafico. [Risulai: φ=π/2 rad, ω=200 rad/s, f=31,8 Hz] 10. Scrivi l espressione maemaica di una ensione sinusoidale avene fase nulla, pulsazione di 500 rad/s e valore efficace di 230. 11. Scrivi l espressione maemaica di una ensione sinusoidale avene fase di -60, pulsazione di 200 rad/s e valore massimo di 200. (Aenzione: nella formula, la fase si esprime in radiani). 102