LA RETTA La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. Proprietà: Per due punti del piano passa una ed una sola retta. Nel precedente modulo abbiamo visto che ad ogni punto del piano è associata una coppia di numeri che ne definisce le coordinate cartesiane. Questa associazione ci consente di rappresentare un punto sul piano cartesiano una volta note le sue coordinate; e, viceversa, di definire le coordinate cartesiane di un punto una volta individuata la sua posizione sul piano cartesiano. Esiste quindi una corrispondenza tra punto geometrico e coppia di numeri. Lo stesso tipo di corrispondenza esiste tra una retta ed un'equazione: ad ogni retta del piano cartesiano è associata una ben precisa equazione, ed ogni equazione è associata ad una ben precisa retta. Questa corrispondenza ci consente di studiare la retta da un punto di vista analitico, osservando le sue proprietà grafiche in base a caratteristiche algebriche dell'equazione ad essa associata. L'equazione associata ad una retta non è una qualsiasi equazione, ma ha una forma ben precisa. Vedremo più avanti alcune caratteristiche precise di tale equazione e commenteremo, studiandoli, il significato di alcuni termini numerici dell'equazione stessa. Per il momento è sufficiente sapere che l'equazione di una retta: E' sempre di primo grado Contiene due variabili: la X detta variabile indipendente (ad essa posso assegnare valori a piacere), e la Y detta variabile dipendente (il suo valore non è libero ma calcolato in funzione del valore assegnato alla X). Esempio: Y = 3X + 2 Rappresentazione, sul piano cartesiano, della retta di equazione assegnata Per rappresentare una retta sul piano cartesiano è sufficiente determinarne due punti dall'equazione che ci viene assegnata. Per la proprietà riportata all'inizio è infatti sufficiente trovare due punti appartenenti alla retta per poterla disegnare sul piano cartesiano. Vediamo in che modo è possibile trovare le coordinate di due punti di una retta partendo dalla sua equazione. Data la retta di equazione Y = 2X + 4 assegniamo alla variabile indipendente X un valore a piacere, ad esempio 0. Sostituendo tale valore nell'equazione e facendo i calcoli otteniamo un valore per la Y che è 4. Ripetiamo l'operazione con un altro valore scelto a piacere per la X, ad esempio 1. Il valore della Y ottenuto sarà in questo caso 6. I valori X;Y così trovati definiscono i due punti del piano cartesiano per i quali passa il tracciato grafico della retta associata all'equazione data. X Y Punto 0 2 * 0 + 4 = 0 + 4 = 4 A (0;4) 1 2 * 1 + 4 = 2 + 4 = 6 B (1;6)
Appartenenza di un punto ad una retta Data una retta r ed un punto P del piano cartesiano è possibile chiedersi se il punto P appartenga o meno alla retta r. E' evidente che la risposta a questa domanda sarà sì se il tracciato grafico della retta r passa per il punto P no se il punto P resta al di fuori del tracciato grafico della retta r. Come spiegato nel precedente modulo nessuna informazione può essere tratta dalla rappresentazione grafica di retta e punto, ma va giustificata per via algebrica. Possiamo, quindi, dire che un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione rendendola un'uguaglianza VERA. Esempio Consideriamo la retta r di equazione Y = X + 3 ed i punti P = (1;5) e Q = (4;7). Sostituendo le coordinate del punto P nell'equazione della retta r otteniamo: 5 = 1 + 3 che è un'uguaglianza falsa. Ciò mi consente di dire che il punto P non appartiene alla retta r. Sostituendo le coordinate del punto Q nell'equazione della retta r otteniamo: 7 = 4 + 3 che è un'uguaglianza vera. Ciò mi consente di dire che il punto Q appartiene alla retta r.
Il tutto è verificato anche graficamente come si può vedere nella figura seguente. Equazione generica della retta Abbiamo visto che, negli esempi precedenti, l'equazione associata ad una retta è sempre di primo grado, e contiene sempre due variabili: X e Y. Rivediamo alcune equazioni di rette: Y =2X 3 Y = X 2 Y = 2 3 X 4 Y = 4 5 X 2 3 Possiamo, quindi, dedurre che, oltre alle due variabili X e Y ci sono sempre (tranne casi particolari che analizzeremo in seguito) altri due oggetti fondamentali che caratterizzano l'equazione di una retta. La variabile X, infatti, ha sempre un suo coefficiente numerico, ed inoltre è presente anche un termine noto. Modificando questi due valori otteniamo sempre equazioni di rette differenti. Possiamo concludere che l'equazione generica di una retta è sempre del tipo Y = mx + q. Dove m (coefficiente della X) prende il nome di coefficiente angolare; e q (termine noto) prende il nome di ordinata all'origine. Nelle rette dell'esempio precedente avremo che: Retta 1 m = 2 e q = -3 Retta 2 m = -1 e q = 2 Retta 3 m = 2 3 e q = -4 Retta 4 m = 4 5 e q = 2 3 I due valori di m e q sono molto importanti in quanto, oltre a rappresentare due dati numerici presenti nell'equazione della retta, individuano caratteristiche grafiche della rappresentazione del tracciato grafico della retta.
Significato geometrico del coefficiente q Il coefficiente q è individuabile come termine noto nell'equazione della retta. Prende il nome di ordinata all'origine e, graficamente, rappresenta il punto in cui il tracciato grafico della retta incrocia l'asse Y (verticale). La presenza di tale coefficiente ci consente di individuare immediatamente sull'equazione un punto per cui certamente passa la retta. Come si può osservare le due rette incrociano l'asse Y proprio nel valore indicato dal coefficiente q delle loro equazioni. Significato geometrico del coefficiente m Il coefficiente m è individuabile come coefficiente numerico della x nell'equazione della retta. Prende il nome di coefficiente angolare e, graficamente, rappresenta la pendenza (o inclinazione) della retta.
Dal grafico precedente è possibile osservare alcune caratteristiche del coefficiente angolare in relazione ad aspetti grafici associati alla retta. Se m>0 la retta è ascendente e maggiore è il valore di m maggiore è la pendenza della retta (come possiamo osservare per le rette con m=1 e m=3) Se m<0 la retta è discendente e minore è il valore di m maggiore è la pendenza della retta (come possiamo osservare per le rette con m=-2 e m=-0,5) Possiamo quindi osservare che è possibile dedurre alcune caratteristiche grafiche della retta semplicemente in base ai valori dei due coefficienti m e q. Esempio Date le rette di equazione Y = 2X - 3 e Y = 5X + 2 possiamo osservare che entrambe sono ascendenti in quanto hanno coefficienti angolari positivi, ma che la prima retta è meno ripida della seconda, visto che il suo valore di m è inferiore a quello della seconda retta. Dal valore di q possiamo infine rilevare che la prima retta incrocia l'asse Y nel punto di ordinata -3, e che la seconda retta incrocia l'asse Y nel punto di ordinata +2.
Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia l'asse Y. Alcune rette hanno caratteristiche particolari che, come altre informazioni, è possibile riscontrare sull'equazione stessa della retta. Retta per l'origine Una retta si dice passante per l'origine se il suo tracciato grafico passa per il punto di coordinate (0;0). E' abbastanza evidente che, in tal caso, l'origine risulta essere anche il punto in cui la retta incrocia l'asse Y. Ciò ci porta a dedurre che l'equazione di una retta che passa per l'origine deve avere il valore di q=0. La sua equazione generica diventa perciò Y = mx + 0 ossia Y = mx Possiamo quindi concludere che ogni equazione che manca del termine noto (q) è associata ad una retta il cui tracciato grafico passa certamente per l'origine indipendentemente dal valore di m. Retta orizzontale Una retta è orizzontale se il suo tracciato grafico è parallelo all'asse X. Se prendiamo in considerazione rette ascendenti con valori di m sempre più piccoli (ma sempre positivi) possiamo verificare che la pendenza di queste rette tende a diminuire fino ad arrivare alla retta orizzontale che, avendo pendenza nulla, dovrà avere un coefficiente angolare nullo. Ciò ci porta a dedurre che l'equazione di una retta orizzontale deve avere il valore di m=0. La sua equazione generica diventa perciò Y = 0X + q ossia Y = q Possiamo quindi concludere che ogni equazione che manca del termine in X è associata ad una retta il cui tracciato grafico è certamente orizzontale indipendentemente dal valore di q che, in ogni caso, rappresenta sempre il punto in cui la retta incrocia l'asse Y.
Osservazione 1 Per rappresentare una retta orizzontale non è necessario ricercare punti del piano cartesiano. E', infatti, sufficiente individuare il punto dell'asse Y (definibile in base al valore di q) per cui la retta passa. Osservazione 2 L'asse X è una particolare retta orizzontale che incrocia l'asse Y nell'origine, per cui la sua equazione sarà Y = 0. Osservazione 3 L'equazione di una retta orizzontale descrive in modo evidente quella che è una caratteristica dei punti che la formano. L'equazione Y = 3, ad esempio, evidenzia che tutti i punti della retta hanno ordinata pari a 3. In effetti è sufficiente disegnare la retta per rendersi conto di tale caratteristica. Retta verticale Una retta è verticale se il suo tracciato grafico è parallelo all'asse Y. Se prendiamo in considerazione rette ascendenti con valori di m sempre più grandi e positivi possiamo verificare che la pendenza di queste rette tende ad aumentare fino ad arrivare alla retta verticale. In tal caso, però, non è possibile definire per mezzo di un valore del coefficiente m la pendenza della retta verticale e quindi, per definirne l'equazione è necessario percorrere una strada diversa. In base all'osservazione 3 e disegnando una retta verticale possiamo osservare che tutti i punti della retta hanno stessa ascissa. Per analogia, quindi, possiamo dire che l'equazione di una retta orizzontale sarà del tipo X = k, dove k è il valore dell'ascissa di tutti i punti appartenenti alla retta. Osservazione 1 Per rappresentare una retta verticale non è necessario ricercare punti del piano cartesiano. E', infatti, sufficiente individuare il punto dell'asse X (definibile in base al valore di k) per cui la retta passa. Osservazione 2 L'asse Y è una particolare retta verticale che incrocia l'asse X nell'origine, per cui la sua equazione sarà X = 0.
Riepilogando Y = mx + q Y = mx Y = q Y = 0 X = k X = 0 Equazione generica di una retta Equazione generica di una retta passante per l'origine Equazione generica di una retta orizzontale Equazione dell'asse X Equazione generica di una retta verticale Equazione dell'asse Y Posizione di due rette nel piano cartesiano Se rappresentiamo due rette sul piano cartesiano si possono verificare tre situazioni differenti. Le rette sono INCIDENTI ed hanno un unico punto in comune. Le rette sono PARALLELE e non hanno punti in comune. Le rette sono COINCIDENTI ed hanno infiniti punti in comune Ancora una volta è possibile stabilire in quale dei tre casi ci troviamo semplicemente osservando le equazioni delle rette. Abbiamo infatti visto che sia il coefficiente angolare m che l'ordinata all'origine q hanno un ben preciso significato geometrico. Affinchè due rette siano incidenti è sufficiente che abbiano pendenze diverse, affinchè siano parallele è necessario che abbino la stessa pendenza e che incrocino l'asse Y in punti diversi, mentre affinchè siano coincidenti è necessario che abbiano stessa pendenza e che incrocino nello stesso punto l'asse Y.
Possiamo quindi affermare che date due rette generiche di equazione Y = m 1 X + q 1 e Y = m 2 X + q 2 avremo che la loro posizione sul piano cartesiano sarà: INCIDENTI se m 1 m 2 PARALLELE se m 1 = m 2 e q 1 q 2 COINCIDENTI se m 1 = m 2 e q 1 = q 2 Esempio: Come possiamo osservare le rette a e c sono parallele e hanno stesso coefficiente angolare (m = 1) ed intersecano l'asse Y in punti diversi. La retta b ha coefficiente angolare diverso e quindi è incidente sia alla retta a che alla retta c. Determinare le coordinate del punto in comune tra rette incidenti Per rette che sono incidenti è possibile determinare le coordinate del loro unico in comune detto punto di intersezione. Ciò ovviamente non ha senso per rette parallele (visto che non hanno punti di intersezione) e per rette coincidenti (visto che hanno infiniti punti di intersezione). Il metodo richiede di impostare e risolvere il sistema tra le equazioni delle rette. Esempio Date le rette di equazione Y = 3X 1 e Y = -2X + 4, determinare le coordinate del loro punto di intersezione. Possiamo osservare che in base al diverso valore dei coefficienti angolari le rette risultano essere incidenti, per cui avranno un unico punto di intersezione.
Impostiamo il sistema tra le equazioni delle rette { Y =3X 1 Y = 2X 4 tale sistema può essere immediatamente risolto utilizzando il metodo del confronto ottenendo 3X 1 = -2X + 4 da cui 5X = 5 e quindi X = 1 Tale valore rappresenta l'ascissa del punto di intersezione tra le due rette. Per trovare la corrispondente ordinata è sufficiente sostituire tale valore in una qualsiasi delle due equazioni. Y = 3*1 1 Y = 2 Il punto A di coordinate (1;2) è quindi l'unico punto di intersezione tra le due rette date. Intersezione di una retta con l'asse X Abbiamo visto che il termine noto di un'equazione (q) rappresenta il punto in cui il tracciato grafico della retta incrocia l'asse delle Y. Se invece vogliamo determinare l'intersezione della retta con l'asse X è necessario procedere come nella ricerca dell'intersezione tra due rette. In effetti l'asse X è una retta che ha una sua equazione ben precisa (Y = 0), e quindi non ci resta che impostare e risolvere il sistema tra le equazioni delle due rette. Esempio Data la retta di equazione Y = 3X + 1, determinare il suo punto di intersezione con l'asse X. Impostiamo e risolviamo il sistema formato dall'equazione della retta data e l'equazione dell'asse X { Y =3X 1 Y =0 3X + 1 = 0 da cui X = 1 3
Il punto di coordinate 1 3 ;0 sarà quindi il punto di intersezione tra la retta data e l'asse X.