Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28
-2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 2 / 28
-2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Defiizioe. Sia A u sottoisieme ifiito di N; ua fuzioe a: A R si chiama ua successioe o ache ua successioe i R. Per questo tipo di fuzioi si usao geeralmete le lettere a, b,..., aziché le lettere f, g,... Ioltre l immagie di u aturale tramite la fuzioe stessa si idica di solito co a aziché co a(). L elemeto a è ache detto il termie geerale o termie -esimo della successioe. La successioe stessa si idica spesso co la scrittura (a ) A o ache semplicemete (a ), o acora (a ). L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 3 / 28
-2-2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero L immagie della successioe si idica co { a A N }. I molti casi per idicare ua successioe si scrivoo esplicitamete i primi termii, cioè le immagii dei primi elemeti del domiio, come el seguete esempio. Esempio. La successioe a = 1, N+, si idica ache co la scrittura 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 4 / 28
Sottosuccessioi -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Defiizioe. Se è data ua successioe a: A R e B è u sottoisieme ifiito di A, ache la restrizioe della fuzioe a all isieme B è acora ua successioe, che si chiama ua sottosuccessioe. Nel caso che il sottoisieme B sia costituito da tutti gli elemeti di A maggiori o uguali a u determiato aturale p, si parla ache di coda della successioe, o di coda che iizia co p. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 5 / 28
Grafici -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Di ua successioe, come di ogi fuzioe di R i R, possiamo fare u grafico cartesiao. Per esempio il grafico della successioe a = ( 1) ha l adameto seguete. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Si tratta di ua successioe che oscilla idefiitamete tra 1 e 1. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 6 / 28
Ricorreza -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Sulla base del pricipio di iduzioe, si possoo defiire le successioi ache per ricorreza, come ell esempio che segue. Esempio. Si cosideri la successioe, detta di Fiboacci, defiita da a 0 = 0, a 1 = 1, a +2 = a +1 + a. I primi termii della successioe soo i segueti 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 7 / 28
Proprietà defiitive -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Ache per le successioi si possoo itrodurre le defiizioi di successioe crescete e decrescete e, più i geerale, di successioe mootoa. Defiizioe. Diremo che ua certa proprietà è verificata defiitivamete per ua successioe se esiste p tale che la coda della successioe che iizia co p verifica la proprietà suddetta. Esempi. La successioe a = 1 ( 2) è defiitivamete decrescete, i quato la coda che iizia co = 3 è decrescete (si veda uo degli esempi sopra cosiderati). La successioe a = 1 l è defiitivamete egativa, i quato la coda che iizia co 3 è costituita tutta da umeri egativi. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 8 / 28
Limiti -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Defiizioe. Sia (a ) ua successioe. 1. Se l R, si dice che lim a = l se per ogi ε > 0, esiste tale che per ogi >, a l < ε. È come dire che la successioe è defiitivamete compresa tra l ε e l + ε, qualuque sia ε > 0. I questo caso la successioe si dice ache covergete. 2. Se l = +, si dice che lim a = l se per ogi k R, esiste tale che per ogi >, a > k. È come dire che la successioe è defiitivamete maggiore di k, qualuque sia k. I questo caso la successioe si dice ache divergete a + o positivamete divergete. 3. Se l =, si dice che lim a = l se per ogi k R, esiste tale che per ogi >, a < k. È come dire che la successioe è defiitivamete miore di k, qualuque sia k. I questo caso la successioe si dice ache divergete a o egativamete divergete. 4. Se l =, si dice che lim a = l se per ogi k R, esiste tale che per ogi >, a > k. È come dire che la successioe è, i modulo, defiitivamete maggiore di k, qualuque sia k. 5. Nel caso che sia l = seza essere é l = +, é l =, oppure el caso il limite o esista, la successioe si dice idetermiata. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 9 / 28
Restrizioi -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Osservazioe. I molti casi di iteresse pratico si può facilmete iterpretare ua successioe come la restrizioe a N (o a u suo sottoisieme) di ua fuzioe defiita i u opportuo sottoisieme di R. Esempio. La successioe a = 1 può essere iterpretata come la restrizioe a N + della fuzioe, defiita i R \ {0}, f(x) = 1 x. I altri casi la cosa o è possibile, o perlomeo o è facile. L osservazioe è abbastaza importate per quato riguarda il calcolo dei limiti. Ifatti per le fuzioi abbiamo delle teciche che si basao sul calcolo differeziale, cosa che o è possibile co le successioi. Se è possibile calcolare il limite di queste fuzioi a +, e se questo limite esiste, esisterà ache il limite della successioe, i base al teorema sul limite delle restrizioi. Se ivece il limite della fuzioe o esiste, ulla si potrà dire sul limite della successioe. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 10 / 28
Nepero -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti Restrizioi Nepero Abbiamo già cosiderato il umero di Nepero come limite di ua particolare fuzioe. I realtà l itroduzioe di questo umero procede esattamete i seso cotrario: si valuta cioè prima il limite di ua successioe e poi si passa a quello della fuzioe. ( lim 1 + 1 ) I passi di questa dimostrazioe soo i segueti. Si prova che la successioe è strettamete compresa tra 2 e 3. Si prova che la successioe è crescete. Si deduce (teorema sul limite delle fuzioi mootoe) che il limite esiste fiito. Si prova che il limite è u umero irrazioale, addirittura trascedete, che si idica co e. Co opportui procedimeti se e calcola u approssimazioe, co il grado voluto di approssimazioe. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 11 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 12 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Suppoiamo sia data ua successioe (a ) N e, a partire da essa, costruiamo ua uova successioe (s ) N el modo seguete. s 0 = a 0 ; s 1 = a 0 + a 1 ; s 2 = a 0 + a 1 + a 2 ;... s = a 0 + a 1 + a 2 + + a ;... Defiizioe. La successioe (s ) costruita come idicato dalla formula precedete si chiama successioe delle ridotte (o ache delle somme parziali) associata alla successioe (a ), o serie associata alla successioe (a ). L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 13 / 28
Defiizioi-2 Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Defiizioe. Gli elemeti della successioe (a ) si chiamao termii della serie e la serie si idica ache co la otazioe + a =0 o ache a, quado sia chiaro dal cotesto quale sia il valore iiziale della somma e il fatto che la somma stessa si esteda fio all ifiito. Naturalmete si scriverà ache s = a p. p=0 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 14 / 28
Defiizioi-3 Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Defiizioe. Se la successioe (s ) ha u limite fiito l, allora l si chiama somma della serie e si scrive l = + =0 a. I questo caso si dice che la serie coverge. Se la successioe delle ridotte diverge si dice che la serie diverge, se la successioe delle ridotte è idetermiata si dice che la serie è idetermiata. La caratteristica di ua serie di essere covergete, divergete o idetermiata, si chiama il carattere della serie. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 15 / 28
Serie di Megoli Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Esempio. Sia data la successioe a = 1 ( + 1), > 0. La serie di termie geerale a si può costruire abbastaza facilmete osservado che Allora... Duque + =1 1 ( + 1) = 1 1 + 1. ( a = lim 1 1 ) + + 1 = 1. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 16 / 28
Megoli-2 Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2.0.5 1 2 3 4 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 17 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Esempio. Sia a = a, N, a R, co a 1. Usado le proprietà delle progressioi geometriche si trova subito che s = 1 a 1 a. Se e deduce che se a < 1, + =0 se a > 1 la serie + a = 1 1 a ; =0 se a 1 la serie + =0 a diverge; a è idetermiata. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 18 / 28
di covergeza Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Teorema (Codizioe ecessaria per la covergeza). Se ua serie coverge, allora il suo termie geerale è ifiitesimo. Quidi ua serie il cui termie geerale o sia ifiitesimo o può covergere. Per esempio la serie + 1 o può covergere perché il termie geerale tede a 1. Purtroppo la codizioe espressa o è sufficiete. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 19 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Teorema. Siao date due serie e a b. Se esse covergoo rispettivamete a l ed m, allora si ha (λa + µb ) = λl + µm, λ, µ R; se etrambe divergoo a + oppure a, ache la serie (a + b ) diverge rispettivamete a + e a ; se ua delle due diverge a + oppure a, metre l altra coverge, ache la serie (a + b ) diverge rispettivamete a + e a. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 20 / 28
Serie resto Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Defiizioe. Se è data ua serie la serie + =0 + =p+1 a, a, cioè la serie otteuta tralasciado i primi p termii della precedete si chiama serie resto p-esimo. Poiché le somme parziali delle due serie differiscoo solo per ua costate (la somma dei primi p termii), è chiaro che le due serie hao lo stesso carattere (ma o la stessa somma!). Si usa esprimere questo fatto dicedo che il carattere di ua serie o è ifluezato dai primi p termii della serie stessa. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 21 / 28
Cofroto Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Ua serie a termii positivi può solo covergere o divergere. Dal teorema sul cofroto dei limiti, si deduce il seguete importatissimo criterio di covergeza, da cui sostazialmete dipedoo gli altri che cosidereremo. Teorema (o del cofroto). Se a e b. soo due serie a termii positivi e se a b per ogi, allora se b coverge, coverge ache a ; se a diverge, diverge ache b. Il risultato di questo teorema si usa esprimere dicedo che la miorate a termii positivi di ua serie covergete coverge; la maggiorate di ua serie a termii positivi e divergete diverge. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 22 / 28
Armoica Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Esempio. La cosiddetta serie armoica, cioè è divergete. + =1 Si può ivece provare che vale il seguete teorema. Teorema. La serie + =1 1 1 α, detta serie armoica geeralizzata, coverge se α > 1, diverge se 0 < α 1. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 23 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Teorema (o del rapporto). Sia ua serie a termii positivi e a lim a +1 a = l. Se l < 1, la serie coverge. Se l > 1, la serie diverge. Se l = 1, ulla si può dire circa il carattere della serie. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 24 / 28
Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Teorema (o della radice). Sia ua serie a termii positivi e a lim a = l. Se l < 1, la serie coverge. Se l > 1, la serie diverge. Se l = 1, ulla si può dire circa il carattere della serie. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 25 / 28
Serie altere Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 La trattazioe delle serie a termii di sego qualuque è decisamete più complessa, i geerale. Il primo risultato importate è il seguete. Teorema. Se ua serie è assolutamete covergete è ache covergete. Teorema (o di Leibiz). Sia a ua serie a termii di sego altero. Se lim a = 0; a +1 < a, la serie coverge. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 26 / 28
Osservazioi coclusive Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 Ua serie è u cocetto completamete diverso da ua somma. I particolare i geerale o si possoo applicare le proprietà associativa e commutativa tipiche della somma. Esempio. Si cosideri la serie 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1... Sappiamo che o può covergere perchè il suo termie geerale o è ifiitesimo. Se però la scriviamo così (associado i termii) (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) +... otteiamo chiaramete ua serie che coverge a 0. Se ivece la scriviamo così (associado i termii i u altro modo) 1 (1 1) (1 1) (1 1)... otteiamo chiaramete ua serie che coverge a 1. Se la scriviamo così (permutado i termii pari co i dispari e poi associado i termii) 1 + (1 1) + (1 1) + (1 1) +... otteiamo ua serie che coverge a 1. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 27 / 28
Osservazioi coclusive - 2 Defiizioi-1 Defiizioi-2 Defiizioi-3 Serie di Megoli Megoli-2 Cofroto Armoica Serie altere Oss.coclusive Oss.coclusive-2 La situazioe può però essere acora più drammatica. Cosideriamo per esempio di uovo la serie armoica a sego altero, che abbiamo detto essere covergete a l2. Ebbee è possibile provare che se riordiiamo i suoi termii come segue 1 1 2 1 4 + 1 3 1 6 1 8 +... (uo positivo e due egativi), la serie è acora covergete ma a l 2 2. Si può addirittura provare che è possibile riordiare i termii i modo da otteere ua serie divergete, oppure ua serie covergete a u reale qualsiasi. Solo per le serie assolutamete covergeti (i particolare quelle positive) le proprietà associativa e commutativa cotiuao a valere: è questo il motivo pricipale della loro importaza applicativa. L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 28 / 28