08 - Matrici, Determinante e Rango

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M. Tumminello, V Lacagnina e A. Consiglio

1. Definizione di matrice 1. Definizione di matrice Siano m, n N. La tabella A composta da m n numeri reali, disposti su m righe ed n colonne, è detta matrice m n in R, e si rappresenta come segue: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Utilizzeremo le lettere maiuscole dell alfabeto latino per indicare una matrice: A, B, C,... I numeri reali a ij, con i = 1,..., m e j = 1,..., n, sono detti elementi della matrice A, i e j sono detti indice di riga e indice di colonna, in quanto i identifica la riga della matrice dove trovare l elemento a ij e j ne identifica la colonna. Ad esempio con a 13 si indica l elemento posto all incrocio tra la prima riga e la terza colonna di una matrice. Una matrice può essere indicata come segue: [A] ij, i = {1,..., m}, j = {1,..., n}, A m,n, Indicheremo con A i la i-esima riga di A, A i = [a i1 a i2 a in ] e con A j la j-esima colonna di A: A j = a 1j a 2j. a mj. oppure A m n Esempio 1.1 Sia A una matrice 2 3: [ ] 1 1/2 2 A =. 3 1/3 4 In questo esempio l elemento a 11 della matrice è a 11 = 1 e l elemento a 23 è a 23 = 4. Gli elementi della terza colonna sono: [ ] 2 A 3 =. 4 e quelli della prima riga sono: A 1 = [1 1/2 2]. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 3

1. Definizione di matrice Definizione Una matrice A m n con m = n si dice quadrata di ordine n e si indica con A n. Sia A n una matrice quadrata di ordine n. Definizione Gli elementi a 11, a 22,..., a nn sono detti elementi diagonali e costituiscono la diagonale principale di A n. Definizione Gli elementi a 1n, a 2(n 1), a 3(n 2),..., a n1 costituiscono invece la diagonale secondaria di A n. Definizione La somma degli elementi diagonali di una matrice si dice traccia: T r[a n ] = a 11 + a 22 + + a nn. Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale nulli, a ij = 0, i j, si dice matrice diagonale. Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali, a ij = k R, i = j, si dice matrice scalare. Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a 1, a ij = 1, i = j, si dice matrice unitá o identitá. Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi sotto (sopra) la diagonale principale nulli, a ij = 0 i > j(a ij = 0 i j), si dice matrice triangolare superiore (matrice triangolare inferiore). Esempio 1.2 Si considerino le seguenti matrici: 2 1 0 1 0 0 A = 0 3 1 ; B = 0 1/3 0 ; 0 1 2 0 0 4 5 0 0 1 0 0 C = 0 5 0 ; I = 0 1 0 ; 0 0 5 0 0 1 2 1 8 1 0 0 D = 0 3 1 ; E = 2 3 0. 0 0 2 1 5 4 Sono tutte matrici quadrate di ordine 3. B è una matrice diagonale, C è una matrice scalare, I è la matrice identitá o unitá, D é una matrice triangolare superiore e E una matrice triangolare inferiore. Definizione Siano A m n e B p q due matrici. Diremo che le due matrici sono uguali e scriveremo A = B 4 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

2. Operazioni fra Matrici se: m = p e n = q, cioé le due matrici sono dello stesso ordine, e a ij = b ij, i, j, cioé sono uguali gli elementi che occupano le medesime posizioni nelle rispettive matrici. Definizione Una matrice i cui elementi sono tutti nulli si dice matrice nulla. Definizione Sia A m n una matrice. Chiameremo matrice trasposta di A e la indicheremo con A T, la matrice che si ottiene scambiando le righe e le colonne di A, quindi: A T m n = A n m. Definizione Una matrice A si dice simmetrica se A = A T. Definizione Una matrice A di ordine 1 n è anche detta vettore riga di ordine n, mentre una matrice A di ordine n 1 è anche detta vettore colonna di ordine n. Quando parleremo di vettore senza indicare se riga o colonna, assumeremo che si tratti di un vettore colonna. Esempio 1.3 1 π 1 π [ ] [ ] A = 0 1 ; B = 0 1 1 0 3 0 0 ; C = ; D = ; π 1 2 0 0 3 2 3 2 1 2 1 π 9 0 0 E = 2 3 4 ; F = 1 ; G = [ 1 6 e] ; H = 0 5 0. 1 4 0 4 0 0 e Come si può verificare, A = B; C = A T ; D è una matrice quadrata nulla di ordine 2; E è una matrice simmetrica (E = E T ); F è un vettore colonna; G è un vettore riga; H è una matrice diagonale (e quindi simmetrica) di ordine 3. 2. Operazioni fra Matrici Definizione Siano A e B due matrici di ordine m n. Si definisce matrice somma di A e B e si indica con A + B la matrice C ottenuta sommando gli elementi di A e B che occupano la stessa posizione nelle rispettive matrici: C m n = A m n + B m n, con c ij = a ij + b ij, i, j. E evidente che due matrici si possono sommare se sono dello stesso ordine. Date due matrici, A e B, dello stesso ordine, la somma tra matrici gode delle seguenti proprietà: (1) A + B = B + A. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 5

2. Operazioni fra Matrici (2) (A + B) + C = A + (B + C). (3) A + O = O + A = A, dove O è la matrice nulla dello stesso ordine di A. Definizione Sia A una matrice di ordine m n. Si definisce prodotto scalare-matrice il prodotto di uno scalare k R per la matrice A. La nuova matrice si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per k. Definizione Sia A una matrice di ordine m n. Si definisce matrice opposta di A e si indica con A, la matrice che si ottiene invertendo il segno di tutti gli elementi di A. A si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per 1. Vale allora anche la seguente proprietá della somma: A + ( A) = ( A) + A = O. Dalle proprietà precedenti si può definire la differenza di A e B come la somma di A e della matrice opposta di B: Esempi 2.1 Calcolare le seguenti matrici: A B = A + [ B] A + B ; 2C ; A + B 2C dove [ ] [ ] [ ] 2 1 3 4 9 16 a 1 2 A = ; B = ; C =. 4 1 1 9 16 25 3 b 4 Si ha: [ ] [ ] [ ] 2 1 3 4 9 16 6 8 19 A + B = + =, 4 1 1 9 16 25 13 17 26 [ ] 2a 2 4 2C =, 6 2b 8 [ ] [ ] 6 8 19 2a 2 4 A + B 2 C = = 13 17 26 6 2b 8 [ ] 2(3 a) 10 15 =. 7 17 2b 18 Definizione Sia A una matrice di ordine m p e B una matrice di ordine p n. Il prodotto A B è la matrice C di ordine m n i cui elementi c ij sono definiti come: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj = p a ik b kj. k=1 In altri termini, il generico elemento c ij della matrice 6 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

2. Operazioni fra Matrici c 11 c 12 c 1j c 1n c 21 c 22 c 2j c 2n.. C = c i1 c i2 c ij c in. c m1 c m2 c mj c mn prodotto tra la matrice A e la matrice B si ottiene facendo la somma dei prodotti di ogni elemento della riga i-esima della matrice A a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p.. A = a i1 a i2 a ij a ip. a m1 a m2 a mj a mp per il corrispondente elemento della colonna j-esima della matrice B b 11 b 12 b 1j b 1n b 21 b 22 b 2j b 2n. B = b i1 b i2 b ij b in.. b p1 b p2 b pj b pn D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 7

2. Operazioni fra Matrici Esempio 2.2 Determinare il prodotto delle matrici [ ] 1 1 0 2 1 1 A 2 3 = e B 1 1 1 3 3 = 1 2 1. 1 1 0 La prima cosa da fare è verificare che sia possibile effettuare il prodotto, quindi verificare che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe della matrice B. In questo caso la dimensione di A è [2 3], mentre quella di B è [3 3], quindi numero di colonne di A = numero di righe di B = 3. La dimensione della matrice prodotto sará [2 3]. Accertato che è possibile effettuare il prodotto, gli elementi di C 2 3 si ottengono attraverso il prodotto riga per colonna. L elemento c 11 si ottiene come la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice A per i corrispondenti elementi della prima colonna della matrice B: c 11 = 2 1 + 1 ( 1) + ( 1) 1 = 0 Allo stesso modo, ad esempio, l elemento c 13 sarà calcolato come la somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice A per i corrsipondenti elementi della terza colonna della matrice B: c 13 = 2 0 + 1 1 + ( 1) 0 = 1 Continuando in questo modo per ogni riga i = 1, 2 di A e ogni colonna j = 1, 2, 3 di B si ottiene la matrice del prodotto A B: [ ] 0 5 1 C 2 3 =. 3 2 1 Il prodotto tra due matrici non è commutativo. Ciò è evidente nel caso di matrici non quadrate. Infatti, se A = A m p e B = B p n allora il il prodotto B A è impossibile per ragioni dimensionali se n m, mentre il prodotto A B è dimensionalmente possibile e si ottiene una matrice C di dimensione m n. In generale, anche per le matrici quadrate, per cui è sempre possibile calcolare sia il prodotto A B che il prodotto B A, si può avere che A B B A. Quindi, in generale e a differenza degli insiemi numerici, la moltiplicazione definita nell insieme delle matrici NON è communitativa. Fanno eccezione alla non commutabilitá del prodotto tra matrici, il prodotto di una matrice quadrata A per la matrice identitá dello stesso ordine, A n I n = I n A n = A n ; 8 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

2. Operazioni fra Matrici di una matrice quadrata A per la matrice nulla dello stesso ordine A n 0 n = 0 n A n = 0 n ; di una matrice quadrata A per la sua matrice inversa (che definiremo piú avanti), A n A 1 n = A 1 n A n = I n. La prima espressione, inoltre, dimostra che I n è l elemento neutro per la moltiplicazione fra matrici. Vi sono altre differenze con gli insiemi numerici. Per esempio è noto che, per la legge di annullamento del prodotto, dati α e β R, può essere α β = 0 solo se α = 0, oppure β = 0, oppure α = β = 0. Anche questa proprietà non è vera, in generale, per le matrici. Per esempio, siano [ ] [ ] 2 4 2 4 A 2 = e B 1 2 2 =. 1 2 Entrambe le matrici sono diverse dalla matrice nulla O 2. Tuttavia si ha: [ ] [ ] [ ] 2 4 2 4 0 0 A 2 B 2 = = = O 1 2 1 2 0 0 2. Questo esempio mostra quanto sia problematico definire il rapporto tra matrici, visto che il prodotto tra matrici a) non è commutativo e b) può essere uguale alla matrice nulla, nonostante entrambe le matrici a prodotto siano diverse dalla matrice nulla. Si possono tuttavia dimostrare le seguenti proprietà: (1) (A B) C = A (B C). (2) A (B + C) = A B + A C. (3) (A + B) C = A C + B C (4) A O = O A = O, dove O è la matrice nulla dello stesso ordine di A. (5) A (k B) = k A B, dove A e B sono matrici e k è un generico scalare. Definite le operazioni di somma e prodotto tra matrici, possiamo occuparci di alcune interessanti proprietá della matrice trasposta rispetto a tali operazioni. Date due matrici, A e B, di ordine n e uno scalare α R, risulta che (1) (A + B) T = A T + B T (2) (α A) T = α A T (3) (A B) T = B T A T (4) (A T ) 1 = (A 1 ) T D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 9

2. Operazioni fra Matrici 2.1. Definizione di Matrice in Forma a Scala per Riga. Una matrice E m n si dice essere in forma a scala per riga (in inglese Row Echelon Form) se le seguenti condizioni sono verificate: (1) Se la riga E i è composta da elementi tutti nulli, allora tutte le righe sottostanti, ovvero ogni E k con k = i + 1, i + 2, m, sono composte da elementi tutti nulli. (2) se il primo elemento diverso da zero della riga E i si trova nella j sima colonna, allora tutti gli elementi delle righe successive che si trovano nelle colonne E 1, E 2,, E j sono uguali a zero. Il primo elemento diverso da zero di ogni riga è detto elemento pivot. Le colonne corrispondenti a quelle dove si trovano gli elementi pivot sono dette colonne basiche. Tutte le altre colonne si dicono non-basiche. Le due condizioni sopra enunciate definiscono matrici in cui gli elementi diversi da zero si trovano sulle, o sopra, la linea a gradini che parte dall angolo in alto a sinistra e scende fino all angolo in basso a destra di una matrice. Una struttura tipica di una matrice in forma a scala per riga è illustrata di seguito, dove gli elementi pivot sono indicati con il simbolo e gli elementi indicati con possono essere diversi da 0. E 6 7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Come si può notare, le colonne cui appartengono gli elementi pivot, cioè le colonne basiche, individuano il minore diverso da zero di ordine maggiore. Tale minore è associato ad una sotto-matrice 4 4 di forma triangolare. Si noti, inoltre, che, data l arbitrarietà con cui possiamo ottenere una matrice in forma a scala per riga E a partire da una matrice A, gli elementi di E non sono univocamente determinati da A. Invece è unicamente determinata da A la posizione degli elementi pivot. In altri termini, partendo da A, tramite la riduzione di Gauss per mezzo di operazioni per riga, possiamo ottenere due matrici in forma a scala per riga aventi elementi diversi da zero differenti. Esse avranno, invece, lo stesso numero di elementi pivot e nella stessa posizione. Tale numero è il rango di A (e di E). Una definizione alternativa di rango di una matrice sará data in un successivo paragrafo. 10 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

3. Matrice Inversa 3. Matrice Inversa 3.1. Definizione di Invertibilità e Inversa. Sia A un matrice di ordine n. Si dice che A è invertibile se esiste una matrice A 1, di ordine n, tale che A n A 1 n = A 1 n A n = I n. Esiste un teorema che pone la condizione perché esista l inversa di una matrice. Tale teorema fa uso del concetto di determinante della matrice e quindi dobbiamo rinviarne lo studio ad un momento successivo. Possiamo invece introdurre il seguente teorema. Teorema 3.1 (Unicità dell inversa di una matrice). Sia A una matrice di ordine n. Se A è invertibile allora la sua matrice inversa, A 1, è unica. Dimostrazione. Si ipotizzi per assurdo l esistenza di due matrici inverse, B e C, della matrice A. Dalla definizione di matrice inversa segue che A B = B A = I n ; A C = C A = I n. Consideriamo la prima uguagliaza e moltiplichiamo ambo i membri di questa equazione per C a sinistra 1. Si ottiene C (A B) = C I n ; Per la proprietà associativa della moltiplicazione tra matrici (punto 1 delle proprietà sopra elencate) possiamo scrivere (C A) B = C I n Poiché, per ipotesi, C é matrice inversa di A, C A = I n, e quindi possiamo riscrivere l ultima equazione da cui segue I n B = C I n B = C. Concludiamo quindi che se la matrice A ammette inversa, questa é unica. Teorema 3.2. Siano A e B due matrici di ordine n invertibili. Allora (1) (A 1 ) 1 = A (2) (A B) 1 = B 1 A 1. 1 Si noti che per le matrici è importante indicare se si moltiplica a destra (postmoltiplicazione) o a sinistra (pre-moltiplicazione), mentre negli insiemi numerici ciò era irrilevante. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 11

4. Determinante di una matrice 4. Determinante di una matrice Un concetto associato a tutte (e solamente) le matrici quadrate é quello di determinante. Prima peró di addentrarci in tale argomento, vediamo alcuni concetti propedeutici. Definizione Sia n un numero intero positivo. Si definisce permutazione degli interi 1, 2,..., n, la sequenza di interi i 1, i 2,..., i n ottenuta scambiando di posto uno o più elementi della sequenza 1, 2,..., n. Esempio 4.1 Dato l insieme 1, 2, 3 le possibili permutazioni sono: 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 2, 1. Definizione Una permutazione si dice pari se il numero di inversioni rispetto alla sequenza di partenza è pari. Altrimenti la permutazione si dice dispari. Per determinare se una permutazione è pari o dispari è sufficiente costruire un diagramma in cui sia tracciato un segmento tra ogni elemento della sequenza di partenza e lo stesso elemento nella sequenza di arrivo e verificare se il numero di intersezioni (incroci) tra i segmenti è pari o dispari. Esercizio 4.1 Nei casi seguenti la prima riga rappresenta la sequenza (o insieme) di partenza e la seconda una permutazione. Calcolare il numero di incroci ed indicare se la permutazione è pari o dispari: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 ; 2 3 1 ; 1 2 3 Definizione Si definisce segno di una permutazione e si indica con sign(i 1, i 2,..., i n ) il valore +1 se la permutazione è pari e 1 se la permutazione è dispari. Teorema 4.1. Sia n > 1, allora le permutazioni di n elementi, il cui numero totale é pari a n! 2, saranno metà pari e metà dispari. Definizione Sia A una matrice di ordine n. Il determinante di A è uno scalare definito come segue: A = det (A) = sign(i 1, i 2,..., i n ) a 1i1 a 2i2 a nin i 1,i 2,...,i n 2 n! si legge n fattoriale ed é pari al prodotto degli n numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In altre parole, n! = n (n 1) (n 2) (n 3)... 3 2 1. 12 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

4. Determinante di una matrice In altri termini, il determinante di una matrice di ordine n si ottiene sommando i prodotti degli elementi della matrice stessa, dove la somma è estesa a tutte le possibili n! permutazioni degli n elementi. Si noti che nella precedente espressione del determinante l indice della colonna è dato dalle permutazioni. Dalla definizione di determinante si evince quanto possa essere complicato calcolare il determinante di una matrice quando la dimensione, n, è moderatamente alta. Per esempio con n = 10 è necessario sommare 10! = 3.628.800 prodotti di 10 elementi! Definizione Una matrice quadrata di ordine n con determinante nullo, A n = 0, si dice singolare. Se A é una matrice di ordine non superiore a 3, allora é possibile far uso di alcune semplici regole per il calcolo del determinante della matrice. Sia A 1 = a 11, cioé una matrice composta da un solo elemento. Allora A 1 = a 11, cioé il determinante é pari al valore dell unico elemento della matrice. Sia [ ] a11 a A 2 = 12 a 21 a 22 una generica matrice di ordine 2. Poiché n = 2, n! = 2 sono il numero di permutazioni di 2 elementi, specificamente 1, 2 e 2, 1. La prima permutazione è pari (0 incroci), quindi sign(1, 2) = 1 e la seconda è dispari (1 incrocio), quindi sign(2, 1) = 1. Utilizzando la definizione di determinante si ha che: A 2 = sign(1, 2)a 11 a 22 + sign(2, 1)a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21. Quindi il determinante di una matrice di ordine 2 è la differenza dei prodotti incrociati degli elementi di A: A 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Per le matrici di ordine 3 esiste una regola che semplifica il calcolo del determinante, detta Regola di Sarrus. Secondo tale regola, si riportano gli elementi delle colonne della matrice e, alla destra degli elementi della terza colonna, si accostano ordinatamente, la prima e la seconda colonna ottenendo a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 13

4. Determinante di una matrice Si calcolano quindi i prodotti degli elementi della diagonale principale e delle due diagonali complete ad essa parallele e se ne fa la somma a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33. a 31. a 32. e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali complete ad essa parallele (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) a 11 a 12 a 13. a 11. a 12. a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Il determinante della generica matrice A di ordine 3 è dunque pari a A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Esempio 4.2 Sia B una matrice di ordine 3: 1 2 1 3 1 1 2 0 1. Il determinante calcolato con la regola di Sarrus sarà B = b 11 b 22 b 33 +b 12 b 23 b 31 +b 13 b 21 b 32 b 11 b 23 b 32 b 12 b 21 b 33 b 13 b 22 b 31. Sostituendo gli elementi di B si ottiene 1 1 1 + 2 1 2 + 1 3 0 1 1 0 2 3 1 1 1 2 = 3. 14 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

4. Determinante di una matrice Esercizio 4.2 Calcolare il determinante delle seguenti matrici: A 2 = [ 1 1 1 1 ] [ 1/2 1 ; B 2 = 1 2 ] ; C 3 1 2 1 1 0 4. 1 2 0 Per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine superiore a 3, si puó applicare il primo teorema di Laplace. Per poter enunciare tale teorema abbiamo peró bisogno di introdurre alcune deifinizioni. Definizione Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce minore di ordine k il determinante di una qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene rimuovendo n k righe e n k colonne da A. Definizione Data una matrice rettangolare A m n e dati h, k Z +, si definisce sottomatrice di A di ordine h k la matrice composta dagli h k elementi della matrice A m n, ottenuti dall intersezione di h righe e k colonne scelte a piacere dalla matrice A m n. Definizione Si definisce minore complementare (i,j), e si indica (tipicamente) con M ij, il determinante di ordine n 1 della sottomatrice di A che si ottiene rimuovendo l i-esima riga e la j-esima colonna di A. Definizione Si definisce minore principale di ordine k il determinante di qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene eliminando n k righe e le corrispondenti n k colonne da A. Definizione Si definisce minore principale dominante di ordine k il determinante della sottomatrice di A che si ottiene eliminando le ultime n k righe e le ultime n k colonne da A. Si noti che mentre i determinanti si possono calcolare solo per matrici quadrate i minori possono essere calcolati anche per matrici rettangolari m n con m n. Definizione Sia M ij un minore complementare di una matrice quadrata di ordine n. Si definisce complemento algebrico o cofattore relativo alla posizione (i,j), e si indica con α ij, il minore complementare M ij avente segno ( 1) i+j : α ij = ( 1) i+j M ij. Definizione Data la matrice A n di ordine n, si definisce aggiunta di A n la matrice α 11 α 21... α n1 A a = agga = α 12 α 22... α n2.... α 1n α 2n... α nn D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 15

4. Determinante di una matrice avente per elementi i complementi algebrici dei corrispondenti elementi della trasposta di A n. A partire dunque dalla matrice quadrata A n, se ne determina prima di tutto la trasposta A T n. La matrice aggiunta di A a n si ottiene sostituendo ad ogni elemento di A T n il corrispondente complemento algebrico. Esempio 4.3 Data la matrice rettangolare 2 1 1 3 A 3 4 = 1 1 1 0 1 1 0 2 costruire tutte le sottomatrici di ordine 2 3 della matrice data. [ ] [ ] [ 2 1 1 2 1 1 1 1 1 ; ; 1 1 1 1 1 0 1 1 0 ] ; [ ] 2 1 3 ; 1 1 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 3 1 1 0 2 1 3 2 1 3 ; ; ; ; 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 0 2 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 0 1 1 3 1 1 3 1 1 0 ; ; ;. 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 2 Il numero totale di sottomatrici di ordine 2 3 estraibili dalla matrice A 3 4 é quindi 12. Data una matrice A m n composta da m righe e n colonne, il numero totale di sottomatrici di ordine h k, con h m e k n, estraibili dalla matrice A m n si ottiene dalla formula m! h! (m h)! n! k! (n k)! Teorema 4.2 (I teorema di Laplace). Sia A n una matrice di ordine n, allora, scelta una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) della matrice, il determinante si calcola facendo la somma dei prodotti degli elementi della riga (colonna) scelta per i rispettivi complementi algebrici. A n = n k=1 a ik A ik (sviluppo per riga) A n = n k=1 a kj A kj (sviluppo per colonna) 16 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

4. Determinante di una matrice Lo sviluppo di Laplace consente quindi di calcolare un determinante di ordine n tramite il calcolo di determinanti di ordine n 1, tale è infatti l ordine dei cofattori. In generale questo approccio non è più efficiente del metodo implicito nella definizione di determinante. Tuttavia, in taluni casi, la struttura della matrice può facilitare lo sviluppo del determinante rispetto ad una certa riga o colonna. Esempio 4.4 Sia A una matrice 3 3 definita come segue: A = 1 2 3 4 5 6. 7 8 9 I minori di ordine 2 corrispondono ai minori complementari in quanto dobbiamo eliminare n k = 3 2 = 1 riga ed n k = 3 2 = 1 colonna. Essi sono: M 11 = 5 6 8 9 ; M 12 = 4 6 7 9 ; M 13 = 4 5 7 8 ; M 21 = 2 3 8 9 ; M 22 = 1 3 7 9 ; M 23 = 1 2 7 8 ; M 31 = 2 3 5 6 ; M 32 = 1 3 4 6 ; M 33 = 1 2 4 5 ; Chiaramente il minore di ordine 3 coincide con il determinante di A. Si lascia allo studente di calcolare i minori di ordine 1. I minori principali di ordine 2 sono i determinanti di sottomatrici che si ottengono eliminando una riga e la corrispondente colonna. Quindi, se si inizia eliminando la prima riga allora si deve eliminare la prima colonna e così via. Quindi i minori principali di ordine 2 saranno M 11, M 22 e M 33. Il minore principale di ordine 3 sarà il determinante di A stessa. Lo studente determini i minori di ordine 1. E possibile dimostrare che il numero totale di minori principali di una matrice di ordine n è 2 n 1, in questo caso pari a 7. Il numero totale di minori principali dominanti di una matrice di ordine n è pari a n, quindi a 3 nel nostro esempio. I minori principali dominanti di ordine 3, 2 e 1 sono rispettivamente: A, 1 2 4 5, 1. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 17

5. Proprietá dei determinanti Corollario 4.3. Sia A una matrice diagonale di ordine n. Allora n A n = a kk. Il corollario appena visto ha un valore più generale, in quanto esso si applica anche alle matrici triangolari. k=1 Esempio 4.5 Calcolare il determinante della matrice A = 0 1 0 0 2 3. 1 4 5 Tenendo a mente lo sviluppo di Laplace, conviene calcolare questo determinante sviluppandolo rispetto alla prima riga oppure rispetto alla prima colonna. Sviluppiamolo rispetto alla riga i = 1. Si ha: A = 0 ( 1) 1+1 2 3 4 5 = (0 5 3) = 3 + 1 0 3 ( 1)1+2 1 5 + 0 0 2 ( 1)1+3 1 4 E lasciato allo studente mostrare che allo stesso risultato si può pervenire sviluppando, ad esempio, rispetto alla colonna j = 1, oppure col metodo di Sarrus. Esercizio 4.3 Verificare che il determinante di una matrice triangolare n n è uguale a: n A = a kk. k=1 5. Proprietá dei determinanti Sia A n una matrice quadrata di ordine n. 1. Se ogni elemento di una linea (riga o colonna) della matrice A n è zero, il determinante è nullo. Infatti basta applicare Laplace rispetto alla linea avente tutti gli elementi uguali a zero. 2. Se nella matrice A n si scambiano due righe, o colonne, tra loro il determinante cambia di segno. 3. Se nella matrice A n gli elementi di una riga, o colonna, vengono moltiplicati per una costante k R, il determinante risulta moltiplicato per k. 4. Se nella matrice A n tutti gli elementi vengono moltiplicati per una costante k R, il determinante risulta moltiplicato per k n. 18 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

5. Proprietá dei determinanti 5. Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono uguali, il determinante è nullo. D altra parte per la proprietà 2. dei determinanti lo scambio due righe, o colonne, modifica il segno del determinante e dunque deve aversi: A = A e ciò accade solo se A = 0. 6. Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono proporzionali, allora il determinante della matrice è uguale a zero. 7. Se nella matrice A n due righe, o colonne, sono combinazione lineare di altre righe, o colonne, della matrice, il determinante della matrice è uguale a zero. 8. La matrice quadrata A n e la sua trasposta A T n hanno lo stesso determinante: A = A T. Teorema 5.1 (Teorema di Binet). Siano A n e B n due matrici quadrate di ordine n. Il determinante della matrice prodotto, A n B n, è uguale al prodotto dei determinanti det(a n B n ) = det(a n ) det(b n ) Questo risultato può essere generaizzato al prodotto di k matrici det (A 1 A 2 A k ) = det (A 1 ) det (A 2 ) det (A k ). Teorema 5.2 (II teorema di Laplace). Sia A n una matrice quadrata di ordine n, é nulla la somma dei prodotti degli elementi di una riga, o colonna, per i complementi algebrici di un altra riga, o colonna, della matrice. Formalmente n a ik A jk = 0, i j (elementi della riga i-esima per i complementi k=1 algebrici della riga j-esima); n a kj A kj = 0 i j (elementi della riga i-esima per i complementi k=1 algebrici della riga j-esima). Teorema 5.3 (Teorema di esistenza della matrice inversa). Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata A n ammetta inversa è che risulti det(a n ) 0. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 19

5. Proprietá dei determinanti Dimostrazione. Condizione necessaria (esiste la matrice inversa di A n ) Dalla definizione di matrice inversa di una matrice data sappiamo che A n A 1 n = A 1 n Se prendiamo l espressione A n A 1 n a primo e secondo membro otteniamo, per il teorema di Binet, e cioé A n = I n det(a n A 1 n ) = det(i n ) det(a n ) det(a 1 n ) = det(i n ) det(a n ) det(a 1 n ) = 1 equazione possibile solo se det(a n ) 0. = I n e calcoliamo il determinante Condizione sufficiente (det(a n ) 0) Dal secondo teorema di Laplace deriva che A n A a n = A a n A n = det(a n ) I n Se prendiamo l espressione A n A a n = det(a n ) I n e dividiamo primo e secondo membro per det(a n ) (operazione possibile perché per ipotesi det(a n ) 0), otteniamo A n Aa n det(a n ) = I n in cui A a n/det(a n ) dá proprio l espressione analitica della matrice inversa di A n, cioé A 1 n = Aa n det(a n ). Per determinare la matrice inversa di A n, si deve allora 1) verificare che la matrice A n sia non singolare (det(a n ) 0), 2) trovare la matrice aggiunta di A n, A a n 3) dividere ogni elemento della matrice aggiunta A a n per A. 20 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

6. Rango di una matrice 6. Rango di una matrice Definizione (Rango di una matrice)una matrice A m n ha rango r, se r è l ordine massimo delle sue sottomatrici quadrate non singolari. Equivalentemente possiamo dire che una matrice A m n ha rango r se tutte le sottomatrici quadrate di ordine (r + 1) estratte da A (se ne dovessero esistere) sono singolari, mentre almeno una sottomatrice quadrata di ordine r è non singolare. Da quanto detto risulta evidente che rank(a m n ) min{m, n} Se tutti gli elementi della matrice sono nulli allora rank(a m n ) = 0. 6.1. Definizione di Rango (II). Sia A una matrice m n ed E m n una sua riduzione in forma a scala per riga. Le tre seguenti espressioni definiscono in modo equivalente il rango di A: rank(a)= numero di elementi pivot di E. rank(a)= numero di righe non nulle di E. rank(a)= numero di colonne basiche di E. Teorema 6.1 (Proprietà del Rango). Sia A m n una matrice. Allora: a: rank(a) = 0 A = O (matrice nulla); b: rank(a) min(m, n); c: rank(a) = rank(a T ). Si lascia allo studente la dimostrazione di queste proprietà. Una matrice in forma a scala per riga può essere ulteriormente ridotta in modo che ogni elemento pivot sia pari ad 1 e tutti gli elementi sopra di esso siano pari a 0. Tale processo è noto come riduzione di Gauss-Jordan. Come visto, nel caso di matrici invertibili la riduzione di Gauss-Jordan produce una matrice identità dello stesso ordine della matrice di partenza. Nel caso di matrici non invertibili, o, più in generale, di matrici rettangolari di dimensione m n, la matrice prodotta dal processo di riduzione sarà composta da un insieme di colonne che identificano una matrice identità di ordine minore o uguale a min(m, n), e dall insieme di colonne restanti con elementi determinati dal processo di riduzione. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 21

6. Rango di una matrice Esempio 6.1 Si calcoli, se esiste, la matrice inversa della matrice A 3 = 2 3 1 1 4 7 1 1 9 Il determinante della matrice data é A = 72 21 1 (4 + 14 + 27) = 50 45 = 5 Essendo det(a) 0 la matrice A ammette inversa. La trasposta di A n é A T = 2 1 1 3 4 1 1 7 9 La matrice aggiunta sará quindi 4 1 7 9 3 1 1 9 3 4 1 7 agga = 1 1 7 9 2 1 1 9 2 1 1 7 = 1 1 4 1 2 1 2 1 3 1 3 4 = 29 28 25 16 17 15 5 5 5 La matrice inversa sará quindi A 1 = 29 5 16 5 5 5 28 5 17 5 5 5 25 5 15 5 5 5 La verifica della correttezza dei calcoli si puó fare procedendo al prodotto della matrice inversa appena trovata con la matrice A n di partenza. Il risultato dovrá essere una matrice identitá dello stesso ordine di A n. 22 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

6. Rango di una matrice Esempio 6.2 Determinare il rango della seguente matrice e identificare le colonne basiche. A = 1 2 1 1 2 4 2 2. 3 6 3 4 Utilizziamo il processo di riduzione di Gauss per determinare una riduzione in forma a scala per riga di A: E = ref(a) (la notazione ref(a) è usata come acronimo di Row Echelon Form ): [A] = 1 2 1 1 2 4 2 2 R 2 R 2 2R 1 1 2 1 1 0 0 0 0 3 6 3 4 3 6 3 4 R 2 R 3 1 2 1 1 3 6 3 4 0 0 0 0 R 2 R 2 3R 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 = E Quindi rank(a) = 2 e le colonne basiche sono quelle di A che corrispondono agli elementi pivot: A 1 e A 4. Si osservi che, per esempio, avremmo potuto utilizzare un operazione elementare per riga di tipo II nella seconda matrice intermedia (l ultima prima di ottenere E nel processo di riduzione precedente) dividendo la seconda riga per 3: 1 2 1 1 3 6 3 4 0 0 0 0 R 2 R 2 3 1 2 1 1 1 2 1 4 3 0 0 0 0 R 2 R 2 R 1 1 2 1 1 0 0 0 1/3 0 0 0 0 = E I Come si può notare, sebbene l elemento pivot e I 24 = 1/3 di E I abbia un valore diverso dall elemento pivot e 24 = 1 di E, la posizione degli elementi pivot in E ed E I, e più in generale la struttura di queste due matrici, è la stessa. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 23

7. Orlati di una sottomatrice quadrata Esempio 6.3 Riduzione di una matrice in forma a scala per riga. Ridurre secondo Gauss-Jordan la seguente matrice: A = 1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 2 4 0 4 7. Trasformiamo prima la matrice in forma a scala per riga: A = 1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 2 4 0 4 7 R 3 R 3 + R 2 R 4 R 4 R 2 R 2 R 2 2 R 3 R 4 R 2 R 2 2 R 1 R 3 R 3 R 1 R 4 R 4 2 R 1 1 2 1 3 3 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 1 3 3 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 2 1 3 3 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 1 = E che è una matrice in forma a scala per riga. Gli elementi pivot sono riportati in grassetto. Quindi il rango della matrice è pari a 3 e le colonne basiche sono A 1, A 3 e A 5. 7. Orlati di una sottomatrice quadrata Sia A m n una matrice e sia r Z + con r {m, n}. Sia M r una sottomatrice quadrata di ordine r estratta da A. Si chiamano orlati di M r in A le sottomatrici di ordine (r + 1) estratte da A che si ottengono orlando M r con una delle rimanenti (m r) righe ed una delle rimanenti (n r) colonne di A. Quindi una sottomatrice M r di A m n ha un numero di orlati uguale a (m r)(n r). 24 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

7. Orlati di una sottomatrice quadrata Esempio 7.1 Sia A 3 4 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 una matrice e [ ] a11 a M 2 = 12 a 21 a 22 una sua sottomatrice. Si costruiscano tutti gli orlati di M in A. Il numero di orlati di M è (m r)(n r) = (3 2)(5 2) = 1 3 = 3 Indichiamo con O3 1 la sottomatrice del 3 ordine, che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la 3 colonna, con O3 2 la sottomatrice del 3 ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la 4 colonna e con con O3 3 la sottomatrice del 4 ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3 riga e la 5 colonna. Gli orlati richiesti sono O3 1 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ; O3 2 = a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 31 a 32 a 34 ; O3 3 = a 11 a 12 a 15 a 21 a 22 a 25 a 31 a 32 a 35 La costruzione degli orlati é alla base del teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) che permette di calcolare il rango di una matrice A m n in maniera meno onerosa rispetto al calcolo del determinante di tutte le sottomatrici quadrate estraibili dalla stessa. Secondo tale teorema, data una matrice A m n, e considerata una sua sottomatrice quadrata M r di ordine r con determinante diverso da zero, se tutti gli orlati di M in A, di ordine r+1, hanno determinante nullo, allora rank(a m n ) = r. Grazie al teorema di Kronecker quindi non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli otteibili a partire da una sottomatrice di A m n di ordine r non singolare.. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 25

7. Orlati di una sottomatrice quadrata Esempio 7.2 Si consideri la matrice A 4 4 = 1 2 1 0 2 1 3 3 3 1 4 3 3 1 4 3 Determinare il rango della matrice A 4 4. Applichiamo il teorema di Kronecker. Cerchiamo una sottomatrice quadrata di ordine r non singolare. Scegliamo r = 2 ed estraiamo la sottomatrice composta dalle prime 2 righe e dalle prime 2 colonne S 2 = 1 2 2 1 = 1 4 = 5. Ovviamente se tale sottomatrice dovesse essere singolare se ne individuerá un altra (se possibile) con determinante diverso da zero. Nel caso in esame, la matrice S 2 è non singolare, e quindi rank(a 4 4 ) 2. È possibile orlare S 2 in A in (4 2)(4 2) = 4 modi. Gli orlati di S 2 sono O3 1 = 1 2 1 2 1 3 ; O3 2 = 3 1 4 O3 3 = 1 2 1 2 1 3 ; O3 4 = 3 1 4 I rispettivi determinanti sono O 1 3 = 4 + 18 + 2 + 3 3 16 = 0 O 2 3 = 3 18 + 0 + 0 + 3 + 12 = 0 O 3 3 = 4 18 2 3 + 3 + 16 = 0 O 4 3 = 3 + 18 + 0 + 0 3 12 = 0. 2 1 3 1 2 0 3 1 3 2 1 3 1 2 0 3 1 3 Quindi tutti gli orlati del terzo ordine hanno determinante nullo, mentre la sottomatrice di A 4 4 del secondo ordine da cui siamo partiti é non singolare. Per il teorema di Kronecker il rando dalla matrice A 4 4 é due. Se per il calcolo del rango della matrice avessimo applicato il metodo delle sottomatrici, avremmo dovuto calcolare il determinante delle 16 sottomatrici del 3 ordine estraibili da A 4 4. ;. 26 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

7. Orlati di una sottomatrice quadrata Esempio 7.3 Si consideri la matrice B 5 4 = 2 1 2 3 2 1 1 1 4 2 3 3 3 1 4 3 7 0 5 1 determinarne il rango col teorema di Kronecker. Sia B 2 la sottomatrice quadrata di ordine 2 ottenuta considerando le prime 2 righe e le prime due colonne di B B 2 = 2 1 2 1 = 2 2 = 0. Questa sottomatrice é singolare quindi non possiamo sceglierla per applicare il teorema di Kronecker. Sia allora B 2 la sottomatrice di B ottenuta dall intersezione degli elementi della 1 e 2 riga con quelli della 2 e 3 colonna B 2 = 1 2 1 1 = 1 + 2 = 1. Questa sottomatrice è non singolare, e quindi rank(b 5 4 ) 2. È possibile orlare B 2 in B 5 4 in (5 2)(4 2) = 6 modi. Costruiamo tutti gli orlati del terzo ordine. O 1 3 = O 4 3 = 2 1 2 2 1 1 4 2 3 1 2 3 1 1 1 1 4 3 ; O 2 3 = ; O 5 3 = 1 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 1 7 0 5 ; O 3 3 = ; O 6 3 = 2 1 2 2 1 1 3 1 4 1 2 3 1 1 1 0 5 1 O3 1 = 0 perchè la terza riga è la somma delle prime due (vedi proprietà dei determinanti). O3 2 = 3 4 9 [ 6 3 + 6] = 10 + 3 = 7 0. Ed allora rank(b 5 4 ) 3. Potrebbe essere al più pari a 4. A partire da O3 2 si riapplica il teorema di Kronecker. È possibile orlare O3 2 in due modi (4 riga 1 colonna e 5 riga 1 colonna). I due orlati sono O 1 4 = 2 1 2 3 2 1 1 1 4 2 3 3 3 1 4 3 ; O2 4 = 2 1 2 3 2 1 1 1 4 2 3 3 7 0 5 1 Il determinante O 1 4 = 7 0 (i calcoli relativi all applicazione del I teorema di Laplace si lasciano come esercizio allo studente). Tale risultato é sufficiente per poter dire che rank(b 5 4 ) = 4. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 27 ;.

8. Operazioni elementari sulle matrici 8. Operazioni elementari sulle matrici Teorema 8.1 (Operazioni elementari). Sia A n una matrice quadrata di ordine n e sia B n una matrice dello stesso ordine ottenuta da A n tramite una delle seguenti operazioni per riga. (1) Scambiare la i-esima riga con la j-esima riga. (2) Moltiplicare la i-esima riga per α 0. (3) Sommare all i-esima riga α volte la j-esima riga. Allora il determinante di B n, B n è dato da: (1) B n = A n. (2) B n = α A n. (3) B n = A n. I risultati di tale teorema valgono anche se tali operazioni sono applicate alle colonne di A n e sono conseguenza delle proprietá dei determinanti. L utilitá di tali operazioni sta nella possibilitá di utilizzarle per trasformare la matrice iniziale in una matrice triangolare, il cui determinante è di facile calcolo. Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice qualsiasi in una triangolare è detto risoluzione di Gauss. Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice (con determinante diverso da zero) in una identitá è detto Risoluzione di Gauss-Jordan. I due processi sono mostrati rispettivamente negli esercizi 8.1 e 8.2. 28 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

8. Operazioni elementari sulle matrici Esempio 8.1 Calcolare il determinante della seguente matrice A n = 2 1 1 3 1 2. 0 1 1 Non è possibile stabilire a priori quale operazione elementare ci condurà più facilmente ad una matrice triangolare. E necessario un po di intuito e di esperienza. Per esempio si scambi la riga 2 con la riga 3, pertanto 2 1 1 3 1 2 0 1 1 = 2 1 1 0 1 1 3 1 2 Il nostro prossimo obiettivo è di trasformare gli elementi a 31 e a 32 in zeri. Conviene sempre iniziare a trasformare gli elementi da sinistra. Consideriamo quindi l elemento a 31 = 3. Possiamo trasformare questo elemento in 0 sommando alla terza riga della matrice α volte la prima riga con α tale che αa 11 + a 31 = 0. Quindi α = 3/2. Questa trasformazione non altera il valore del determinante. Quindi: 2 1 1 A = 0 1 1 0 5 7. 2 2 Non resta quindi che annullare l elemento a 32 = 5/2. Per far questo conviene modificare la riga 3 usando solo la riga 2, in modo da non alterare il valore di a 31 = 0. Si potrebbe procedere come in precedenza e sommare alla riga 3 β volte la riga 2 con β tale che βa 22 + a 32 = 0. Il valore di β cercato é β = 2/5. Per mantenere l uguaglianza il determinante di A andrà moltiplicato per 1/β = 5/2. Otteniamo A = 5 2 2 1 1 0 1 1 0 1 7 5 Sommando, a questo punto, alla riga 3 la riga 2 non si altera il valore del determinante e si ottiene il risultato desiderato, ovvero una matrice triangolare di cui sappiamo calcolare facilmente il determinante A = 5 2 2 1 1 0 1 1 0 0 12 5 = 5 2.. ( 2 1 12 ) = 12. 5 Si osservi che, tramite ulteriori operazioni per riga, è possibile trasformare la matrice triangolare appena trovata in una matrice identità se, come nel nostro caso, il determinante risulta diverso da 0. I passaggi sono mostrati nell esercizio successivo. D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio 29

8. Operazioni elementari sulle matrici Esempio 8.2 Sia data la matrice triangolare A 3 dell esercizio precedente A = 5 2 1 1 2 0 1 1 12 0 0. 5 Indichiamo con R i la riga i-esima della matrice. Abbiamo A = 5 2 = 5 2 = 5 2 2 12 5 2 1 1 0 1 1 12 0 0 5 2 0 0 0 1 1 0 0 12 5 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 1 R 2 = 5 2 R 2 5 12 R 3 = 5 2 = 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 2 0 1 1 12 0 0 5 R 1 + 5 6 R 3 = 2 0 0 R 1 1 2 0 1 0 = 0 0 12 R 5 3 5 12 = 12 I 3 = 12, visto che il determinante della matrice identità è pari a 1. 30 D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio