Reliability Demonstration Tests Distribuzione di Weibull Stefano Beretta Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Giugno 2009 Sommario Le prove di laboratorio molto spesso vengono intese come tests per dimostrare l affidabilità di un componente sulla base di un numero limitato di prototipi. In questa nota si presentano, sulla base della confidenza delle stime dei parametri della distribuzione esponenziale e Weibull, i concetti per il dimensionamento di tali tests sulla base della distribuzione di Weibull. 1 Introduzione al problema Nel campo della verifica strutturale e durabilità dei componenti meccanici (ma la cosa vale anche in altri campi di prova) è molto sentito il problema di cercare di dimostrare l affidabilità tramite un numero limitato di esemplari e prototipi su cui eseguire i tests. E altresì molto comune che le prove di durata vengano analizzate con la distribuzione di Weibull 1]: nell ipotesi di conoscere a priori il parametro β della distribuzione, è possibile calcolare in modo semplice la stima di α e da questa derivare le relazioni necessarie a esprimere il legame tra stima dell affidabilità ad un tempo t, numero di campioni da provare, tempo di prova e confidenza della stima. Nel seguito si richiamano: i) la stima ML del parametro θ di una distribuzione esponenziale e la stima di α per una Weibull quando sia noto β; ii) le bande di confidenza di tali stime; iii) la confidenza dell affidabilità al tempo t o in relazione al tempo totale di prova ed al numero di campioni da provare; iv) alcuni esempi applicativi. 2 Stime parametri esponenziale e Weibull 2.1 Distribuzione esponenziale Si consideri un campione t 1,t 2..t n di dati relativi a n prove complete e t 1,t 2...t r relativo a r prove interrotte (run-outs). Data la distribuzione 1
esponenziale: F(t) = 1 exp t ], θ volendo analizzare il campione con la distribuzione esponenziale, la logverosimiglianza del campione risulta: n ( )] ti r ( ) l = ln(θ) + t j. (1) θ θ i=1 La stima di θ si ottiene con il metodo ML tramite la equazione 2]: dl dθ = n θ + ti t j + = 0, (2) θ 2 θ 2 da cui: yi + y j ˆθ =. (3) n Come si può notare se n = 0 (un campione di sole prove interrotte) non è possibile stimare θ: una delle prove interrotte deve almeno essere considerata come una prova completa ed è quindi possibile ottenere una stima conservativa di θ. 2.1.1 Intervalli di confidenza Gli estremi dell intervallo corrispondente ad una confidenza γ per ˆθ risultano 2]: ˆθ 2n ˆθ 2n = θ χ 2( θ 1+γ = ;2n) χ 2( (4) 1 γ ;2n) 2 2 dove χ 2 (p;2n) è il percentile p della distribuzione χ 2 con 2n gradi di libertà. Per un intervallo unilatero con confidenza γ si deve sostituire (1+γ)/2 con γ. Gli intervalli di confidenza per percentili ed affidabilità si ottengono inserendo θ e θ nelle formule per il calcolo di tali quantità. Campione di sole prove interrotte Per campioni di sole prove interrotte vale l osservazione fatta in precedenza per la (3), se si considera di avere almeno una prova completa è possibile utilizzare le (4) per avere una valutazione approssimata. In particolare l estremo inferiore della banda per una confidenza γ di θ risulta 3]: θ = 2 (t 1 +t 2 +...t r) χ 2 (γ;2) 2.2 Distribuzione Weibull = (t 1 +t 2 +...t r) ln(1 γ) Analizzando lo stesso campione, t 1,t 2..t n dati di n prove complete e t 1,t 2...t r dati di r prove interrotte, con una distribuzione Weibull: ( ) ] β t F(t) = 1 exp, α (5) 2
la log-verosimiglianza del campione si scrive come: n ( ) ] β ti r ( t ) β ] j l = lnβ +(β 1)ln(t i) βln(α) +. (6) α α i=1 Se il parametro β è noto, l unico parametro da ricercare è α che può essere ottenuto tramite l equazione: n dl dα = β α + β ( ) ] β α ti r ( β t ) β ] + α α j = 0. (7) α Risolvendo: i=i ˆα = t β i + ] 1/β t j β (8) n Le osservazioni che si possono trarre da (8), come per la (3), sono: pern = 0 non esiste soluzione e quindi come minimo bisogna trattare una prova interrotta come una prova completa (ottenendo comunque una stima conservativa di α); per β = 1 la soluzione coincide con quella dell esponenziale. E interessante notare come (8) sia identica alla (3), ovvero per una distribuzione di Weibull con parametro di forma β la variabile casuale T 3]: T = t β (9) appartiene da una distribuzione esponenziale. Dato un campione estratto da una Weibull con β noto, i dati t i,t j si trasformano tramite la (9). Dopo aver stimato ˆθ per la nuova variabile casuale T, la stima di α risulta: ˆα = ˆθ 1/β (10) Questo permette di utilizzare le formule (4) per la banda di confidenza di ˆα, in particolare risulta: ( 1/β = θ ). (11) α L estremo inferiore dell intervallo di confidenza γ per l affidabilità al tempo t risulta: R (t) = exp (t/α ) β ] (12) Esempio 1 Supponiamo che un totale di 12 componenti siano stati provati a fatica senza cedimenti (6 prove sospese a 50,000 cicli e 6 prove sospese a 100,000 cicli). Qual è l affidabilità a 50,000 cicli con una confidenza γ = 90% che venga superata? Assumendo β = 2, con una confidenza unilatera γ = 0.9 applicando la (5) e la (11) risulta: θ = 3.25 10 10 α = 185,500 cicli 3
L affidabilità a 50, 000 cicli con una confidenza γ = 90% che venga superata risulta: R (50000) = exp( (50000/185500) 2 ) = 0.93 3 Prove per dimostrare l affidabilità Le nozioni delle sezioni precedenti sono la base per risolvere il quesito base per le prove volte a dimostare l affidabilità di un componente. In particolare si vuole dimostrare che al tempo t l affidabilità sia, con confidenza γ che venga superata, pari a R: quanti componenti provare? quando le prove possono essere interrotte? Immaginando di sottoporre r componenti a prove interrotte al tempo ˆt, la stima di α con confidenza unilatera γ risulta: α = r ˆt β ln(1 γ) 1/β = ] r 1/β ˆt β (13) ln(1 γ) Imponendo che l affidabilità con confidenza γ sia pari ad R per t = t si ottiene: ( )] R = exp t β ln(1 γ), (14) r ˆt β da cui con semplici passaggi: ˆt = t in cui il tempo di prova ˆt dipende da r,γ, R. ( ) 1/β ln(1 γ) (15) r ln( R) Esempio 2 Supponiamo di dover dimostrare l affidabilità di un nuovo tipo di cuscinetto. Il nuovo cuscinetto deve avere un B 10 di 1000 h (da considerare con una confidenza unilatera γ = 0.9) e solo 10 componenti sono disponibili per le prove. Quanto devono durare le prove per dimostare l affidabilità con la confidenza richiesta se β = 1.5? Sulla base della (15) risulta: ˆt = 1000 ( ) 1/1.5 ln(1 0.9) 10 ln( 0.9) = 1684 h. 4
3.1 Scelta del parametro β La distribuzione viene usualmente utilizzata per descrivere la vita dei componenti per la sua versatilità (al variare di β la distribuzione cambia forma) e perchè diventa molto semplice esprimere il tasso di guasto 1]. La scelta del parametro β (a parte la semplice assunzione β = 1 quando si abbiano componenti con tasso diguasto costante) può venire effettuata sulla base delle fonti per ricavare tassi di guasto per componenti meccanici ed elettronici : per i componenti meccanici la guida del Naval Warfare Center 4] contiene modelli del tasso di guasto per diversi componenti meccanici; banche dati: Mechrel (www.mechrel.com), SRC (http://src.alionscience.com/). Nel campo della fatica risulta molto comune analizzare i dati sulla base della distribuzione log-normale 5, 6] il cui utilizzo in un problema come quello qui esposto è meno immediato vista l impossibilità di stimare in forma chiusa il parametro µ, prefissando σ, in presenza di prove interrotte. 0.8 0.7 0.6 1/β, σ 0.5 0.4 0.3 0.2 1/β σ 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T 90 / T 10 Figura 1: Andamento di σ ed 1/β al variare di T 90 /T 10 Se definiamo T 90 e T 10 rispettivamente i percentili 90% e 10% della durata a fatica di una popolazione, nel caso di una distribuzione lognormale (supponendo di utilizzare log 10 ) risulta: ( ) T90 log 10 = 2 1.282 σ. (16) T 10 Nel caso di una distribuzione Weibull: ( ) T90 log 10 = 1 T 10 β log 10 ] ln(1 0.9) ln(1 0.1) (17) 5
Si può quindi vedere come β controlli la dispersione per la Weibull, esattamente come σ per la lognormale. Prefissato T 90/T 10 è semplice trovare una corrispondenza tra i due parametri come riportato nella Fig. 1. Esempio 3 Supponiamo di voler dimostrare, con una confidenza γ = 0.75, che una struttura meccanica ha una affidabilità del 90% in corrispondenza di 100,000 cicli, avendo a disposizione r = 2 prototipi e sapendo che la vita a fatica dei particolari più critici della struttura è caratterizzata da σ logn = 0.16. A quale numero di cicli devono resistere i 2 prototipi? Combinando (16) ed (17) si ottiene: 2 1.282 σ = 1 β log 10 ] ln(1 0.9) ln(1 0.1) da cui si può stimare che la vita a fatica possa essere descritta con una Weibull con β = 3.26. Applicando la (15) si ottiene ˆt = 178,000 cicli. 4 Considerazioni conclusive In questa nota si è analizzato il problema del corretto dimensionamento di tests per dimostare l affidabilità di componenti (ovvero la determinazione di uno scatter factor 7] da applicare al tempo di prova). In particolare, partendo dall ipotesi di analizzare i dati con una distribuzione Weibull con β noto, è possibile ricavare in forma chiusa una formula per scegliete il tempo di prova sulla base della dimensione del campione e della confidenza con cui si vuole stimare l affidabilità. Se i componenti vengono solitamente analizzati con la distribuzione lognormale, è possibile stimare in modo semplice il parametro β corrispondente al tipico σ del componente da provare. In 7] la trattazione si basa sul prefissare t per il valore caratteristico della vita minima su una flotta di n f componenti (velivoli in particolare). Tale valore caratteristico corrisponde ad una probabilità cumulata: F = 1 n f da cui se ne evince che si applica la (15) considerando: Riferimenti bibliografici R = 1 1 n f (18) 1] S. Beretta. Affidabilità delle Costruzioni Meccaniche. Springer, 2009. 2] W. Nelson. Applied Life Data Analysis. J. Wiley & Sons, New York, 1981. 6
3] W. Nelson. Accelerated Testing. J. Wiley & Sons, New York, 1990. 4] Handbook of reliability prediction procedures for mechanical equipment. Technical report, Naval Surface Warfare Center, 1992. 5] W. Weibull. Fatigue Testing and the Analysis of Results. Pergamon Press, Oxford, 1961. 6] ASTM E739. Standard Practice for Statistical Analysis of Linear or Linearized Stress-Life (S-N) and Strain-Life (ǫ -N) Fatigue Data. American Society for Testing And Materials, 1991. 7] A.M. Freudenthal. Reliability Assessment of aircracft structures based on probabilistic interpretation of the Scatter Factor. Technical report, Air Force Materials Laboratory, 1975. 7