Tenendo conto che la funzione di probabilità per una v.c. binomiale X è definita dalla seguente notazione

APPENDICE I. TAVOLE STATISTICHE Si ribadisce al lettore che in questa Appendice si riportano le procedure di Excel e di R.2.12.1 che gli permettono di trovare qualsiasi valore di probabilità cercato e una guida per leggere le principali tavole statistiche. AI.1 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE La Tavola delle probabilità relative alla distribuzione binomiale riporta, per alcune combinazioni dei parametri n e p, le probabilità che competono ai diversi valori della v.c. discreta binomiale X. ESEMPIO 1. Si supponga di dover calcolare la probabilità che X = 3 per la combinazione dei parametri n=4 e p=0,1 e si voglia trovare il valore corrispondente della funzione di probabilità e quello di ripartizione. Tenendo conto che la funzione di probabilità per una v.c. binomiale X è definita dalla seguente notazione 4! P(X = 3)= 0,1 3 (1-0,1) 4-3 = 0,0036 3!(4-3)! Per il calcolo si utilizza la procedura di Excel. Aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare funzioni statistiche; selezionare distribuzione binomiale; appare una schermata con le seguenti finestre: il numero di successi sulla quale si inserisce il valore della X, prove dove si inserisce il valore di n, probabilità_s dove si inserisce la probabilità p del numero di successi in n prove, cumulativo in cui si inserisce l opzione Vero se si vuole ottenere il valore della probabilità cumulata o Falso se si vuole quella di massa o funzione di probabilità. Si riprenda l esempio 1. Nella videata si inseriscono rispettivamente i valori 3, 4, 0,1 e falso e si ottiene quello riportato nella tavola 0,0036. Se si vuole ottenere la probabilità cumulata basta inserire gli stessi dati numerici più il Vero e si ottiene 0,999. Nella Tavola AI.1 si riporta la modalità di lettura della tavola binomiale per l esempio 1. Tavola AI.1. Tavola statistica per la distribuzione binomiale TAVOLE STATISTICHE (BINOMIALE) Si riporta qui di seguito l estratto di Tavola di cui sopra. Il valore trovato dall applicazione della formula si può leggere dalla tavola incrociando il valore di colonna di p=0,10 sulla parte superiore e quello di riga per la combinazione di n=4 X=3 nella parte sinistra della tabella in quanto p<0,5 n X 0,01 0,02 0,10..0,15..0,40..0,50 X n 2 0 0,9801 0,9604 0,8100 0,7225 0,3600 0,2500 2 1 0,0198 0,0392 0,1800 0,2550 0,4800 0,5000 1 2 0,0001 0,0004 0,0081 0,0225 0,1600 0,2500 0.. 4 1 2 3 0,0000 0,0000 0,0036 0,0115 0,1536 0,2500 n X 0,99 0,98 0,90 0,85 0,60 0,50 X n 543

AI.2 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE DI POISSON La Tavola AI.2 delle probabilità relative alla distribuzione di Poisson riporta, per il parametro λ, le probabilità che competono ai diversi valori della v.c. discreta di Poisson X. Si riporta qui di seguito un estratto di Tavola. ESEMPIO 2. Si supponga di dover calcolare la probabilità che X = 2 con parametro λ = 3. La P(X) sarà: P(X)= -3 e 2 (3) 2! = 0,2240 Si evidenzia la modalità di ricerca nella Tavola A1.2. Tavola AI2. Tavola statistica per la distribuzione di Poisson TAVOLE STATISTICHE (DI POISSON) Si riporta qui di seguito l estratto di Tavola di cui sopra λ X 0,1 0,2 0,9 1,5 2,0 3,0 4,0 0 0,9048 0,8187 0,4066 0,2231 0,1353 0,0498 0,0183 1 0,0905 0,1637 0,3659 0,3347 0,2707 0,1494 0,0733 2 0,0045 0,0164 0,1647 0,2510 0,2707 0,2240 0,1465 9 0,0000 0,0002 0,0027 0,0132 12 0,0001 0,0006 Questa distribuzione non è trattata con Excel. Si rimanda il lettore al Paragrafo AI.11 in fondo all Appendice. AI.3 TAVOLA STATISTICA PER LA NORMALE STANDARDIZZATA La Tavola AI.3 delle probabilità relative alla distribuzione normale standardizzata riporta, per i cosiddetti punteggi Z, le probabilità che competono ai diversi valori della v.c. continua normale standardizzata X. Se si è in presenza, ad esempio, di una v.c. continua normale standardizzata i punteggi Z sono espressi sull asse delle ascisse del piano cartesiano. Va precisato che nella parte inferiore della distribuzione si associa al valore Z ( da - a Z) la cosiddetta Φ(z) mentre nella parte superiore (da Z a + ) al valore Z si associa il complementare 1 - Φ(z). 544

ESEMPIO 3. Si consideri una distribuzione di probabilità normale N~(7, 9) che si legge con valore atteso μ = 7 e varianza quindi: 2 σ = 9 e si voglia calcolare la probabilità che X<6. Si standardizza al fine di individuare la z e X - μ Z = σ Tavola AI.3. Tavola statistica per la distribuzione normale standardizzata = 6-7 9 = 0,33 Tavole statistiche (normale standardizzata) P(- Z 1)=0,8413-1 Per il calcolo della relativa probabilità cumulata si può utilizzare la procedura di Excel. Aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare funzioni statistiche; selezionare distribuzione normale standardizzata; appare una schermata con la sola finestra della Z; si inserisce il valore 0,33 e si ottiene la probabilità cumulata pari a 0,6293. Qualora si disponesse della probabilità e si volesse ricercare il valore della Z empirico basta selezionare Inv.Norm.St. dalle funzioni statistiche e inserire la probabilità stessa per ottenere il valore cercato. AI.4 TAVOLA STATISTICA PER LA t di STUDENT La distribuzione t di Student viene utilizzata per piccoli campioni ed in altre circostanze. La Tavola restituisce la probabilità cumulata per un valore di t. ESEMPIO 4. Si prendano in considerazione sette campioni con valori pari a 34, 35, 36, 37, 42, 31 e 38, provenienti da una popolazione Normale con media 35. Il valore di t è pari a 0,8799. Esso non è riportato nelle tavole e quindi si sarebbe nell impossibilità di calcolare la probabilità. Occorre pertanto utilizzare la procedura di Excel. 545

Aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare funzioni statistiche; selezionare distrib t; appare una schermata con la finestra della X dove si riporta il valore della t=0,8799, quella dei gradi di libertà dove si inserisce 6( 7-1=6) e quella delle code nella quale va selezionata l opzione 1 se si vogliono calcolare solo i percentili nella coda destra oppure la 2 per le due code. La probabilità risulta 0,201643434 per una coda. Ovviamente esattamente il doppio per le due code in quanto la distribuzione t di Student è simmetrica. Qualora si disponesse della probabilità e si volesse ricercare il valore di F empirico basta selezionare Inv.distr.t dalle funzioni statistiche e inserire la probabilità stessa e i gradi di libertà per ottenere il valore cercato. AI.5 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL La Tavola statistica per la v.c. di Weibull permette di calcolare i valori della funzione di densità e di distribuzione. Questa distribuzione si utilizza nelle analisi di affidabilità, come il calcolo della durata media di un dispositivo. X è il valore in cui calcolare la funzione. Alfa e Beta sono parametri per la distribuzione. ESEMPIO 5. Si supponga di dover calcolare la probabilità che X = 2 con parametri alfa=5 e beta=1 Nella Tavola AI.5 si evidenzia la modalità con cui si ricerca il valore della funzione di densità estraendo il valore dall incrocio del valore di X e il valore dei parametri, distinguendo tra i valori della densità da quelli della distribuzione cumulativa. Tavola AI.5. Tavola statistica per la distribuzione di Weibull (funzione di densità) TAVOLE STATISTICHE (WEIBULL) Si riporta qui di seguito l estratto di una Tavola di Weibull per la funzione di densità parametro alfa X par beta 1 2 9 15 20 30 40 1 5 0,163746151 2 7 9 23 12 27 Per questa distribuzione non è trattata con Excel si rimanda il lettore al Paragrafo AI.11. AI.6 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO Per calcolare i valori critici della Chi-quadrato occorre stabilire il livello di significatività e i gradi di libertà. Sulle colonne è riportata la probabilità ovvero l area destra della distribuzione; sulle righe i valori di Chiquadrato corrispondenti ai gradi di libertà. ESEMPIO 6. Si prenda il caso in cui i gradi di libertà siano 22 e il livello di confidenza del 95%. Ciò significa che nella coda destra sta un area pari a 0,05 (essendo la distribuzione a una coda o unilatera). Per calcolare il 546

Chi-quadrato critico occorre incrociare il valore della riga 22 (corrispondente ai gradi di libertà) e la colonna 0,05 (corrispondente al livello di significatività) come si evince dalla Tavola A1.6. Tavola AI.6. Tavola statistica per la distribuzione Chi-quadrato TAVOLE STATISTICHE (CHI-QUADRATO) Area a destra è pari a 0,05 e il valore della Chi è pari a 33,924 Attraverso l utilizzo della procedura di Excel si ottiene invece direttamente la probabilità. Supposto che il valore empirico della Chi-quadrato sia 58,345 si deve: aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare dalle funzioni statistiche distrib.chi.; appare una schermata con la finestra della X dove si riporta il valore della Chi-quadrato, quella dei gradi di libertà dove si inserisce 22. Si dà invio e si ottiene la probabilità pari 0,0001. Qualora si disponesse della probabilità e si volesse ricercare il valore di t empirico basta selezionare Inv.Chi. dalle funzioni statistiche e inserire la probabilità stessa e i gradi di libertà per ottenere il valore cercato. AI.7 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE F DI FISHER Per calcolare i valori critici della F di Fisher occorre stabilire due valori per i gradi di libertà, uno riferito al numeratore disposto sulle colonne e l altro riferito al denominatore disposto sulle righe, dato un predeterminato livello di significatività. ESEMPIO 7. Si prenda il caso in cui i gradi di libertà al numeratore, riportati sulle colonne, siano 12 e quelli al denominatore, riportati sulle righe, siano 22 e il livello di significatività sia pari a 0,05. Ciò significa che nella coda destra sta un area pari a 0,025 (essendo la distribuzione F a due code o bilatera). Per calcolare il valore F critico occorre incrociare il valore della riga 22 con quello della colonna 12 al livello di significatività del 5% come è evidenziato nella Tavola AI.7 547

Tavola AI.7. Tavola statistica per la distribuzione F di Fisher TAVOLE STATISTICHE (F DI FISHER) Se invece si dovesse ricercare la probabilità si utilizza la procedura di Excel. Supposto che il valore empirico di F sia 1,345 si deve: aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare funzioni statistiche; selezionare distrib.f; appare una schermata con la finestra della X dove si riporta il valore della F trovato 1,345, quella dei gradi di libertà al numeratore e al denominatore rispettivamente 12 e 22. Si dà invio e si ottiene la probabilità che risulta pari a 0,263447. Qualora si conoscesse la probabilità e si volesse ricercare il valore di F empirico basta selezionare Inv.F dalle funzioni statistiche e inserire la probabilità stessa e i gradi di libertà al numeratore e al denominatore per ottenere il valore cercato. AI.8 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE GAMMA La Tavola statistica AI.8 consente di identificare i valori della distribuzione Gamma. È possibile utilizzare questa funzione per studiare le variabili che potrebbero avere una distribuzione asimmetrica. La distribuzione Gamma viene in genere utilizzata nell'analisi delle code. X è il valore in cui si desidera calcolare la distribuzione. Alfa è un parametro per la distribuzione. Beta è un parametro per la distribuzione. Se Beta = 1, la distribuzione Gamma restituirà la distribuzione Gamma standard. La tavola delle probabilità relative alla Gamma può essere costruita identificando il valore della X e i parametri Alfa e Beta. ESEMPIO 8. Si riporta qui di seguito un estratto di Tavola per pochi valori come esempio. 548

Tavola AI.8. Tavola statistica per la distribuzione Gamma Parametri Alfa Beta Valore della funzione di probabilità di massa di Gamma X 7 2 5 0,013917 8 0,052098 15 0,068359 25 0,009872 Un metodo più efficace e valido per qualsiasi valore cercato è quello di utilizzare la procedura di Excel. Aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare funzioni statistiche; distrib.gamma; appare una schermata con la finestra della X dove si riporta il valore della gamma empirica, e con quella dei parametri Alfa e Beta. Si dà invio e si ottiene la probabilità. Qualora si disponesse della probabilità e si volesse ricercare il valore dello stesso Gamma empirico basta selezionare Inv.Gamma dalle funzioni statistiche e inserire la probabilità stessa e i valori dei parametri Alfa e Beta per ottenere il valore cercato. AI.9 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE Per calcolare i valori della distribuzione esponenziale occorre stabilire il valore della relativa funzione che è riportato sulle colonne e quello del parametro che è riportato sulle righe. ESEMPIO 9. Si prenda l esempio in cui il valore della funzione esponenziale, che è riportato sulle colonne, sia pari a 0,3 e il valore del parametro, che è riportato sulle righe, sia pari a 7. La Tavola A1.8 restituisce una probabilità pari a 0,8775. Tavola AI.9. Tavola statistica per la distribuzione esponenziale Valore della funzione esponenziale Parametro 0,1 0,2 0,3... Lambda 1 0,0951 0,1813 0,2592 0,3935 2 0,1813 0,3297 0,4512 0,6321 3 0,2592 0,4512 0,5934 0,7769 5 0,3935 0,6321 0,7769 0,9179 7 0,5434 0,7534 0,8775 0,9698 12 0,6988 0,9093 0,9727 0,9975 15 0,7769 0,9052 0,9889 0,9994 30 0,9052 0,9975 0,9999 0,9999 50 0,9993 0,9999 0,9999 1,0000 Un metodo più efficace e valido per qualsiasi valore cercato è quello di utilizzare la procedura di Excel. Aprire un foglio di lavoro; cliccare su f(x) sulla barra degli strumenti; selezionare dalle funzioni statistiche distribexp; appare una schermata con la finestra della X dove si riporta il valore della esponenziale empirica, quella del parametro Lambda dove si riporta il relativo valore e quella Cumulativo dove si inserisce l opzione Falso se si vuole ottenere un valore della funzione di densità oppure Vero se si intende ricercare quello della funzione di ripartizione che corrisponde alla probabilità cumulata. Qualora si disponesse della probabilità e si volesse ricercare il valore dello stesso esponenziale empirico basta 549

selezionare Inv.Exp dalle funzioni statistiche e inserire nella prima finestra lo stesso valore di probabilità e nelle altre due il Lambda e il Cumulativo. AI.10 TAVOLA STATISTICA PER LA DISTRIBUZIONE UNIFORME La Tavola AI.10 riporta il valore della probabilità indicato dalle frecce quando la v.c. X assuma il valore 2. Tavola AI.10. Tavola statistica per la distribuzione Uniforme continua X 0,1 0,2 0,9 1,5 2,0 3,0 4,0 0 0,9048 0,8187 0,4066 0,2231 0,1353 0,0498 0,0183 1 0,0905 0,1637 0,3659 0,3347 0,2707 0,1494 0,0733 2 0,0045 0,0164 0,1647 0,2510 0,2707 0,2240 0,1465........................ 9 0,0000 0,0002 0,0027 0,0132 12 0,0001 0,0006 Per questa distribuzione, non trattata in Excel, si rimanda il lettore al succesivo Paragrafo AI.11. AI.11 Nella Tabella AI.11 vengono riportate le istruzioni di R.1.2.2.1 per il calcolo dei valori delle funzione di probabilità, di ripartizione e dell inversa per le distribuzioni binomiale e poissoniana; dei valori delle funzione di probabilità, di ripartizione e dell inversa per le distribuzioni normale standardizzata, t di Student, Chi-quadrato, F di Fisher, Uniforme continua, di Weibull, Esponenziale, Gamma (Si fa presente al lettore che nella Tabella A1.10 è ricompreso anche il valore rnorm(n) riferito al campione casuale che in questa sede non viene trattato ma che viene, comunque, messo a disposizione per un suo eventuale utilizzo). Tab. AI.11.1. Istruzioni di R # ############################################ # VARIABILE CASUALE NORMALE STANDARD # ############################################## # dnorm(x) # pnorm(q) # qnorm(p) # rnorm(n) pnorm(1 # ###################################### # VARIABILE CASUALE CHI-QUADRATO # ####################################### dchisq(x, df) pchisq(q, df) qchisq(p, df) rchisq(n, df) qchisq(0.95, 22) # ############################################ # VARIABILE CASUALE UNIFORME CONTINUA # ############################################# # dunif(x, min=0, max=1) # punif(q, min=0, max=1) # qunif(p, min=0, max=1) # runif(n, min=0, max=1) punif(6, 3, 8) # ################################ # VARIABILE CASUALE WEIBULL # 550 # ################################# # VARIABILE CASUALE t-student # ################################## # dt(x, df) # pt(q, df) # qt(p, df) # rt(n, df) 1 - pt(0.8799, 6) # ############################### # VARIABILE CASUALE F-FISHER # ################################ # df(x, df1, df2) # pf(q, df1, df2) # qf(p, df1, df2) # rf(n, df1, df2) qf(0.975, 12, 22) 1 - pf(1.345, 12, 22) # ################################ # VARIABILE CASUALE WEIBULL # ################################# # dweibull(x, shape, scale) # pweibull(q, shape, scale) # qweibull(p, shape, scale) # rweibull(n, shape, scale) dweibull(2, 1, 5) # ###################################### # VARIABILE CASUALE ESPONENZIALE # (segue)

################################# # dweibull(x, shape, scale) # pweibull(q, shape, scale) # qweibull(p, shape, scale) # rweibull(n, shape, scale) dweibull(2, 1, 5) # ################################ # VARIABILE CASUALE GAMMA # ################################## # dgamma(x, shape, rate, scale = 1/rate) # pgamma(q, shape, rate, scale = 1/rate) # qgamma(p, shape, rate, scale = 1/rate) # rgamma(n, shape, rate, scale = 1/rate) pgamma(0.7, 4, 12) # ################################## # VARIABILE CASUALE BINOMIALE # #################################### #dbinom(x, size, prob) #pbinom(q, size, prob) #qbinom(p, size, prob) #rbinom(n, size, prob) dbinom(3, 4, 0.10) ####################################### # dexp(x, rate) # pexp(q, rate) # qexp(p, rate) # rexp(n, rate) pexp(0.3, 7) # ################################## # VARIABILE CASUALE BINOMIALE # #################################### #dbinom(x, size, prob) #pbinom(q, size, prob) #qbinom(p, size, prob) #rbinom(n, size, prob) dbinom(3, 4, 0.10) # ################################ # VARIABILE CASUALE POISSON # ################################# #dpois(x, lambda) #ppois(q, lambda) #qpois(p, lambda) #rpois(n, lambda) dpois(2, 3) La legenda è la seguente: d = densità, p= ripartizione, q = inversa (o quantile) r = campione casuale ESEMPIO 1. Per ottenere l output relativo al calcolo della densità per la v.c. standardizzata per X uguale a 1,96; la probabilità cumulata e l inversa per lo stesso valore egli evidenzia con il tasto destro rispettivamente la istruzione dnorm(x), pnorm(x) e qnorm(x) contenute nel riquadro 1 e sceglie l opzione copia; apre la versione di R di cui dispone. Clicca sul comando File dal menù a tendina e quindi sceglie l opzione Nuovo script. Gli appare una schermata in bianco Senza titolo Editor- sulla quale dà con il tasto destro il comando Incolla. Nella schermata appaiono copiate le istruzioni. Sostituisce alla x il valore 1,96 nelle prime due istruzioni e 0,975 nella terza (Attenzione: non si deve evidenziare il simbolo cancelletto e non si deve usare la virgola ma il punto!!!). Le evidenzia e le manda in esecuzione una alla volta con il comando Esegui linea o selezione e gli appare la schermata di output riportata nella Tavola AI.11. 551

Tavola AI.11.1. Tavola dei valori di densità, di probabilità cumulata e di inversa (o quantile) per la v.c. normale standardizzata (Si lascia al lettore la possibilità di calcolare qualsiasi valore per tutte le altre v.c.) 552