Esae 0 Luglio 07 Roberto Bonciani e Paolo Dore Corso di Fisica Generale Dipartiento di ateatica Università degli Studi di Roa La Sapienza Anno Accadeico 06-07
Esae - Fisica Generale I 0 Luglio 07 R. Bonciani, P. Dore Esercizio Un punto ateriale di assa scorre sulla guida seicircolare liscia descritta in figura (θ = π/4. Al tepo t = t 0, il punto viene lasciato da fero nel punto ad altezza R dal suolo (dove R è il raggio della guida, coe in figura. In seguito all azione della forza di gravità, il punto si ette in oto, percorre la guida e se ne distacca in B. Da B in poi il punto cade a terra ribalzando sul suolo (asse delle x con urti successivi perfettaente elastici. θ g R B 0 x 0 x Calcolare: a la velocità (in odulo, direzione e verso con cui il punto ateriale si distacca dalla guida nel punto B, nel caso in cui R = ; b il valore di R affinché il secondo ribalzo al suolo avvenga nel punto x 0 =.5. Esercizio Un asta oogenea di assa = kg e lunghezza l, appoggiata su un piano orizzontale privo di attrito, è incernierata al piano nel suo punto centrale O. Un proiettile di assa = 0. kg e velocità di odulo v = 0 /s, diretta perpendicolarente all asta (vedi figura la colpisce ad un estreo, restandovi conficcato. 0 v Subito dopo l urto, il sistea si ette in rotazione, a tende a rallentare a causa di un attrito fra cerniera e sbarra, che esercita un oento frenante costante, di odulo τ. Tutto
il processo avviene nel piano orizzontale. Deterinare il valore di τ sapendo che il sistea si fera dopo aver copiuto giri. Esercizio 3 Un asta oogenea di assa = kg e lunghezza l è appoggiata su un piano orizzontale (x,y privo di attrito. Un punto ateriale di assa è poggiato all estreità di una olla ideale di costante elastica k = 5 0 4 N/, copressa di un tratto A = 7 c. L altra estreità della olla è collegata ad una estreità dell asta coe ostrato in figura. Il sistea è tenuto fero in questa configurazione da un blocco. y v x All istante t = 0 il blocco viene riosso. Deterinare l espressione del odulo della velocità v con cui il punto ateriale si stacca dalla olla, assuendo che sia diretta lungo l asse y e che tutto il processo avvenga nel piano orizzontale, coe ostrato in figura. Per i calcoli utilizzare = 3. Esercizio 4 UngasperfettocopieunciclodiCarnotreversibile fraduesorgenti con T = T T = 50 K. Sapendo che la variazione di entropia del gas lungo l isotera a teperatura inferiore, T, è S = 0 J/K, calcolare il lavoro copiuto dal gas in un ciclo. Esercizio 5 0 oli di gas perfetto vengono copresse reversibilente con una trasforazione isotera, da un volue iniziale V = 3 ad un volue finale V. Il gas è contenuto in un recipiente a pareti isolanti e può scabiare calore solo con una sorgente che è costituita da una assa di ghiaccio = 0. kg alla teperatura T = 0 C. Calcolare il volue V per il quale si ha la copleta fusione del ghiaccio. (Il calore latente di fusione del ghiaccio è λ = 333.5 J/g.
Soluzione esercizio Il odulo della velocità v B con cui la assa si distacca dalla guida, si trova utilizzando la conservazione dell energia: v B = grcosπ/4, ( da cui v B = gr. ( La velocità v B è diretta lungo la bisettrice del prio quadrante: Se R = si ottiene v B = 3.7 /s. v B = (v B cosπ/4,v B sinπ/4 = v B (,. (3 Dal punto B in poi il problea è un problea di balistica. Il punto parte da B con velocità iniziale v B, sotto l azione della gravità. Troviao la velocità del punto quando tocca terra. L accelerazione di gravità è diretta lungo la verticale, quindi la coponente x della velocità del punto, v B /, si conserva. La coponente y è quella di un proiettile sparato con velocità iniziale v B / dall altezza y B = R( cosπ/4 = R( / verso l alto. L attio in cui il punto ateriale tocca terra per la pria volta si trova risolvendo l equazione gt +v B t+r(, (4 che dà coe risultato (prendiao la soluzione positiva vb t 0 = + vb g g + 4R g (. (5 Lungo l asse delle x il oto è unifore. Quindi la distanza percorsa dal proiettile quando tocca terra per la pria volta è d 0 = v Bt 0 = v B g + v B vb g + 4R g (. (6 Il ribalzo è elastico, cioè si conserva l energia cinetica. La coponente x della velocità riane inalterata, entre invece la coponente y cabia sepliceente di segno. Siccoe v y (t 0 = gt 0 + v B = vb +4Rg(, (7 si ha che il secondo ribalzo parte da x = d 0 con velocità iniziale ( v 0 = v B, vb +4Rg(. (8 3
Da questo istante in poi il oto è quello di un proiettile che venga sparato dal suolo con velocità iniziale pari a v 0. Quindi il secondo ribalzo avverrà dopo un tepo t = v 0y vb = g g + 4R g (, (9 a distanza dal prio pari a d = v Bt = v B v B g + 4R g (. (0 Affinché con il secondo ribalzo il punto cada in x 0,deve valere la seguente condizione per lo spazio percorso nei due ribalzi, d 0 +d : x 0 = d 0 +d = v B g + 3v B vb g + 4R g (, ( ( = R +3 ( da cui si ricava il valore di R: R = +3 x 0 = 70c. (3 Soluzione esercizio La velocità angolare del sistea subito dopo l urto può essere ricavata utilizzando la seconda legge cardinale ipulsiva, centrata nel punto O. Le uniche reazioni vincolari ipulsive che possiao avere in seguito all urto sono concentrate in O, quindi hanno oento nullo rispetto al punto e non contribuiscono alla seconda cardinale. 0 = O dt = L O = L (f O L(i O, (4 da cui dove Da qui si ha L (f O = L(i O, (5 ( L (f O = I O θ = l + ( 4 l θ = l 4 3 + θ, (6 L (i O = lv. (7 I O θ = lv θ = lv I 0 = v l ( (8 + 3 4
Per trovare τ facciao uso del teorea delle forze vive: L = τdθ = τ θ = T f T i = T i = I θ O, (9 da cui τ = I O θ θ. (0 Due giri corrispondono ad un θ = 4π. Quindi Soluzione esercizio 3 τ = I θ O 8π = v 8π ( = 0.09 N. ( + Non ci sono forze dissipative, quindi si conserva l energia eccanica del sistea: 3 ka = v + v C + I Cω, ( dove abbiao indicato con C il centro di assa della sbarra e dove I C = l. (3 Lungo il piano non vi sono forze esterne che agiscono sul sistea. Quindi si conserva la quantità di oto sia lungo le x che lungo le y: 0 = v x +v Cx, (4 0 = v y +v Cy, (5 ovvero v C = v e siccoe abbiao coe ipotesi che v sia parallela all asse delle y, anche v C lo sarà. Riane da deterinare la velocità angolare della sbarra. Siccoe non ci sono forze esterne agenti sul sistea, il loro oento rispetto ad un qualunque punto del piano è nullo. Inoltre, all istante iniziale il sistea è fero, quindi il vettore quantità di oto del sistea è nullo ad ogni istante. Di conseguenza, il oento angolare si conserva, rispetto a qualsiasi punto del piano. Prendiao coe polo il centro di assa della sbarretta. Avreo allora a L (i C = 0 e quindi L (f C = L(i C. (6 0 = L (f C = I Cω v l, (7 ovvero ω = vl = 6 v I C l. (8 Sostituendo nell equazione di conservazione dell energia otteniao ka = v + ( v + 3 ( v, (9 5
da cui ka v = [ +4 ( ] (30 infine, utilizzando = 3 ka = 7 6 v v = 3kA 7 = 7.75 /s. (3 Soluzione esercizio 4 Siccoe il ciclo è reversibile, avreo che la variazione di entropia totale è nulla. D altra parte, il S tot è soa dei singoli S sulle varie trasforazioni interedie. Lungo le adiabatiche, siccoe dq = 0, l entropia non varia. Quindi, dette S e S le variazioni di entropia lungo le isotere a teperatura T e T, rispettivaente, avreo che ovvero S tot = S + S = 0, (3 S = S. (33 Il lavoro copiuto dal gas nel ciclo è dato, per il Prio Principio, da e quindi, utilizzando la (33 L tot = Q +Q = T S +T S, (34 L tot = T S +T S = S (T T = S T = 000 J. (35 Soluzione esercizio 5 Il calore ceduto dal gas durante la copressione è dato da V ( dv V Q = nrt = nrt ln < 0, (36 V V in quanto V < V. T = 73.5 K. Dato il calore latente di fusione del ghiaccio λ, la assa di ghiaccio che si scioglie avendo assorbito una quantità di calore Q, si ricava dalla relazione Nel nostro caso Q = Q. Quindi si ha: da cui si ricava V Q = λ. (37 λ = Q = nrt ln ( V V, (38 V = V e λ nrt = 0.3 3. (39 6