Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme di R. In simboli f : D! Y, con D R e Y R.. Funzioni elementari Vediamo qualche funzione elementare: la funzione costante f() = K la retta f() = m + k, m e k sono numeri reali. L intersezione con l ascissa e k, m l intersezione con l ordinata e k. Equazione implicita della retta a + b = c Chiaramente dall equazione implicita, se esplicitiamo una delle due variabili (ad esempio ), otteniamo = c b a b che e nella forma f() = ::: Tornando all equazione della retta, supponiamo di partire da un punto e spostarci verso il punto. Chiamiamo questa variazione = della funzione f = f() f( ). Otteniamo. Consideriamo la variazione f = m ossia f = m cioe il rapporto incrementale, e quindi la derivata, della funzione lineare e costante. m viene chiamato coe ciente angolare della retta (la pendenza). La pendenza ci dice quale e la variazione della funzione per una variazione della variabile indipendente pari a. f = m = m.
Un altra formula utile e quella che ci dice l equazione di una retta passante per due punti. Supponiamo di sapere che la retta passa per i punti ( ; y ) e ( ; y ). Allora l equazione della retta e data da = y y y y Esempio(): La retta passante per i punti (; 3) e (; 4) e data da = y 3 4 3 esplicita y =., e in forma f() = log a. Ricordate che il logaritmo e l esponente da dare alla base per ottenere l argomento. Questo signi ca che log a = y se e solo se a y = L intersezione con l asse delle ascisse e log a =, cioe = (infatti a = ). Notate che lim log a =! ( se a + se a < lim log a =!+ ( + se a se a < che la funzione non e de nita per, ed e crescente se a > e decrescente se a <. f(). f().. -.. 3.7. 3.7 - -. -. - f() = log e f() = log Qualche proprieta utile dei logaritmi: (a) log(y) = log + log y (b) log a = a log (c) log( ) = log log y (d) y log( ) = log Esercizio: fate vedere che (a) e (b) implicano (c) e (d) f() = a, a R + Valgono i seguenti Come notato sopra, l esponenziale e la funzione inversa del logaritmo. lim! a = ( + se a < se a > lim log a =!+ ( se a < + se a >
l esponenziale e de nita solo per a positivo, ed e crescente se a > e decrescente se a <. f() 4 3. 3 f() 3.. -.. f() = 3.7 -.. 3.7 f() = Nel disegno sotto abbiamo messo nello stesso gra co l esponenziale e il logaritmo naturale. Notate come, essendo l una l inverso dell altra, i gra ci siano l uno lo "specchio" dell altro attraverso la retta y =. y 3.7. - - -. - ln, e Qualche proprieta utile degli esponenziali (a) a +y = a a y (b) a a y = a y (c) a = a (d) (a ) y = a y (e) a = Il numero e = :788:: e un numero irrazionale ed e per de nizione il valore del limite : e lim n! ( + n )n Oss. E anche vero che e k = lim n! ( + k n )n. Derivate Riportiamo le derivate di funzioni elementari 3
f() f () log a log e a a a log e a Nel caso del logaritmo in base e. la derivata si riduce a d ln =. Allo stesso modo, la d derivata della funzione esponente e si riduce a d d e = e. Abbiamo poi le seguenti regole di derivazione: (a) d d (f() + g()) = f() + d g() (b) d (f() g()) = d f() d g() d d d d d d (c) d d d (f()g()) = g() f() + f() g() (d) d ( f() ) = g() d d f() f() d d g() d d d d g() g() Inoltre vale la seguente proposizione per la derivata di una funzione composta Prop. Siano f; g : R! R entrambe di erenziabili, e F () f(g()). La derivata d F () e d d d F () = d d f(g()) d d g().3 Monotonia, massimi e minimi Def. f : R! R e crescente (decrescente) se > implica f() f( ) (f() f( )). Se la diseguaglianza e stretta allora f si dice strettamente crescente (decrescente). Oss. Una funzione crescente o decrescente ovunque si dice monotona. Prop. f : R! R di erenziabile. f e crescente (decrescente) se e solo se d d f ( d d f ) Def. Sia f : R! R. j j < " implica f( ) f() Il punto e di massimo locale (libero) se esiste " > tale che Def. 3 Sia f : R! R Il punto e di massimo globale (libero) se per ogni R n, f( ) f() Oss. Per i minimi ovviamente la diseguaglianza e invertita. La ricerca di massimi e minimi liberi si e ettua (almeno per funzioni di erenziabili) attraverso l utilizzo delle condizioni necessarie e su cienti. Prop. 3 Se e un punto di massimo o di minimo locale (libero) allora d d f( ) = Prop. 4 Se e tale che d d f( ) = e d d f( ) < allora e di massimo locale. Se d d f( ) = e d d f( ) > allora e di minimo locale. 4
Concludiamo ricordando i passi per disegnare il gra co di una funzione: - Calcolarne il dominio - Studiare il segno della funzione - Calcolare i limiti per che diverge (se la funzione e ivi de nita) e nei punti in cui non e de nita - Studiarne la monotonia, minimi e massimi e i cambiamenti di concavita Esercizi: Disegnare il gra co delle seguenti funzioni: ln( 3) (a) f() = (b) f() = 3 + 4 (c) f() = 3 + 4 (d) f() = e +4 + + +3 Funzioni di n variabili Una funzione di n variabili reali ha come insieme di partenza un sottoinsieme dello spazio R n e come insieme di arrivo un sottoinsieme di R e viene indicata in simboli con f : D! Y con D R n e Y R. D e il dominio della funzione, Y il codominio. Ovviamente quando la funzione e de nita in tutto R n o quando non c e necessita di indicarne il dominio e/o codominio allora f : R n! R. Esempi f( ; ) = +. In questo caso lo spazio di partenza e R (il piano cartesiano) e il dominio coincide con R f( ; ) = + p. Lo spazio di partenza e R ma ora il dominio e D = f( ; ) R : g f( ; ; 3 ) = + ln 3 D = f( ; ; 3 ) R 3 : 3 > e 6= g Esercizi Disegnate il dominio delle seguenti funzioni q (a) f( ; ) = ln( ) (b) f( ln(4 3) ; ) = +3 +4 In economia ha particolare rilevanza l insieme dei punti di una funzione di n variabili che danno lo stesso valore della funzione. Ad esempio, se consideriamo la funzione f( ; ) = + potremmo essere interessati all insieme dei punti ( ; ) che danno il valore 3 alla funzione. Cioe, l insieme dei punti + = 3. Questo insieme (visto nello spazio di partenza della funzione) si chiama curva di livello Def. 4 Sia f : R n! R. La curva di livello di f per il valore k e data dall insieme di punti f R n : f() = kg
Oss. Variando k nel codominio della funzione si ottiene tutta la mappa di curve di livello di f. Oss. Le curve di livello sono particolarmente utili per visualizzare una funzione di variabili. Esempi: f( ; ) = con ( ; ) R +. Considerando = k otteniamo che la mappa delle curve di livello e data dalle iperboli = k 7.. 7... 3 f( ; ) = +, ( ; ) R +. Ponendo + = k otteniamo le rette = k y 3.... 3 Oss. Per disegnare le curve di livello nel caso in cui non e immediato esplicitare una delle due variabili in funzione dell altra e utile partire da un punto "semplice" e muoversi nel dominio alla ricerca di punti che danno lo stesso valore della funzione. (Provate a farlo per (b) qui sotto) Oss. Le curve di livello non si intersecano mai. Esercizi: Disegnate la mappa delle curve di livello delle seguenti funzioni (a) f( ; ) = +, (b) f( ; ) = minf ; g, f( ; ) = minf ; 3 g (c) f( ; ) = + (d) f( ; ) = + (e) Dimostrate che due curve di livello distinte non si intersecano (Sugg. supponete che esista un punto in cui si intersecano e derivate una contraddizione) per assurdo,. Derivate parziali Per f : R n! R, de niamo con e i = (; ::; ; ::) il vettore di R n con tutti zero tranne l i coordinata uguale ad, de niamo la derivata parziale rispetto all i nel punto 6 esima esima coordinata ( )
( ) + e i i ) f( ) lim i! jf( j i Oss. Le operazioni tra vettori richiedono un momento di attenzione. Nota che sopra abbiamo i,che e un elemento di R, moltiplicato per e i, che e un elemento di R n Il risultato e ancora un vettore di R n. Nel nostro caso e i i = (; ::; i ; ::; ). Oss. Dal punto di vista pratico, le derivate parziali seguono le stesse regole delle derivate di una funzione di una variabile. In particolare, si deriva parzialmente rispetto ad i una funzione delle variabili ( ; ::; i ; ::; n ) tenendo costanti tutte le variabili tranne i e derivando la funzione come se dipendesse solo da i. Esempi: f( ; ) = 3. Tenendo costante 3. Viceversa, @ () = 3 e derivando rispetto ad otteniamo @ () = f( ; ) = p + p. @ () = p. @ () = p f( ; ; 3 ) = 4 3 ln. @ () = 4 3 @ () = 4 3 ln @ 3 () = 4 3 3 ln Esercizi: Calcolate le derivate parziali delle seguenti funzioni (a) f( ; ) = (ln +4 ) (b) f( ; ; 3 ) = p + + e 3 (a; b e c sono parametri reali) (d) f( ; ) = e ( ) (c) f( ; ) = (a c +b c ) c 3 Geometria della tangenza Def. Siano f; g : R n! R continue. f e g sono tangenti in R n se jf() lim! j g()j j = cioe : 8" > 9 > tale che j j < implica jf() g()j j j < ". Oss. Una funzione f : R n! R e continua se lim! f() = f( ). Oss. jj = p Pi ( i) Oss. La de nizione di funzioni tangenti implica f( ) = g( ) (perche?). Cio signi ca che f() g() = f() f( ) (g() g( ) = f g. Quindi una de nizione equivalente alla de nizione sopra e : Def. 6 Siano f; g : R n! R continue con f( ) = g( ). f e g sono tangenti in se lim! jf gj jj = dove! 7
Prop. Sia f : R! R continua. La retta r() = f( ) + a( in f se e solo se il limite lim! e quindi ) (a R) e tangente ad f esiste ed e uguale ad a. L equazione della retta tangente r() = f( ) + d d f( )( ) Dim.. Nota che r = r() r( ) = a. Quindi f ed r sono tangenti se lim! jf rj jj = lim! j f aj =. Esempio(): f() = ln La retta tangente alla funzione logaritmo nel punto = e r() = {z} ln + f( ) {z} d d f( ) ( ) {z } Oss. Dalla de nizione di tangenza discende che due funzioni f; g : R! R sono tangenti in se f( ) = g( ) e d d f( ) = d d g( ) Oss. Importante. Supponiamo di partire dal punto e spostarci verso il punto. La variazione della funzione f = f() f( ) puo essere approssimata dalla variazione sulla retta tangente, d d f( ). Possiamo estendere il concetto di retta tangente a funzioni di piu variabili. In questo caso parleremo di piano tangente. Prop. 6 Sia f : R n! R continua con le sue derivate paziali. Il piano p() = f( )+ P i a i( i i ) e tangente ad f in se e solo se ( ) = a i. Dunque il piano tangente ad f in e p() = f( ) + X i = f( ) + X i ( )( i i ) = ( ) i Esempio(3): f( ; ) =. Calcoliamo il piano tangente nel punto (; )., @ () = Quindi @ () = p() = 4( ) 4( ) Chiamiamo l incremento sul piano tangente di erenziale df( ; ) della funzione nel punto, relativo ad un incremento. Def. 7 Il di erenziale e df( ; ) p = X i ( ) i 8
Oss. Come nel caso di una variabile, il di erenziale approssima la variazione della funzione considerando la variazione sul piano tangente. Per motivi che saranno chiari oltre siamo interessati a conoscere la tangente ad una curva di livello e la sua pendenza. Abbiamo la seguente de nizione: Def. 8 Sia f : R! R. La tangente alla curva di livello di f() in f( ) e la curva di livello del piano tangente ad f in. Oss. Il piano tangente e caratterizzato dall equazione f = P i ( ) i. Se vogliamo trovarne una curva di livello, eguagliamo la variazione a zero (lo facciamo per una funzione di due variabili) Si noti che la curva di livello ha pendenza ( ) + ( ) = @ @ = @ ( ) @ ( ) Oss. Un modo semplice per ricordare questa derivazione e considerare che la curva di livello rappresenta i punti per cui il valore della funzione non cambia. Allora, se variamo e in modo da restare sulla curva di livello deve valere l equazione precedente (cioe la variazione totale della funzione a seguito di questa variazione deve essere zero). L espressione sopra allora ci da il rapporto in livello, ovvero la pendenza della stessa. Esercizi cui devono essere le variazioni di e perche si resti sulla curva di Trovare la pendenza della curva di livello delle seguenti funzioni nei punti indicati (a) f( ; ) = + ln nel punto (; 4) (b) f( ; ) = ln + 3 ln nel punto ( ; ) (c) f( ; ) = ( p + p ) nel punto (; 3) Derivata di funzioni composte Def. 9 Sia f : R n! R, i : R! R; i = ; ::; n e F : R! R de nita da F (t) = f( (t); ::; n (t)). Se f e continua con la sua derivata e le i derivabili allora df dt (t ) = X i ((t )) d i dt (t ) Oss. La funzione F e una funzione di una variabile, composta dalla funzione di n variabili f e dal vettore di n funzioni di una variabile. Esempio(4): f( ; ) =. (t) = t, (t) = t 3. Allora F (t) = t t 3 Quindi possiamo derivare direttamente df = t 3t. Oppure, applicando il teorema, dt @ =. @ = d = ; d = 3t. Quindi dt dt @ ((t)) = t (nota che la derivata va calcolata nella funzione ) @ ((t)) =. Moltiplicando e sommando df = t + ( )3t = t 3t dt 9
4 Concavita /Convessita Def. Una funzione f : R n! R e concava se 8; y R n e (; ) f( + ( )y) f() + ( )f(y) Una funzione e convessa se f e concava Oss. La diseguaglianza di sopra, per una funzione convessa, e invertita Oss. L espressione a + by ci da tutti i punti che si trovano sul segmento di estremi e y. Allo stesso modo, l espressione f() + ( )f(y) ci da tutti i punti sul segmento di estremi f() ed f(y). Prop. 7 Una funzione e concava se si trova sempre al di sotto delle suo piano tangente. In formule 8 ; R n, f() f( ) + X i @ f( )( i i ) Una funzione e convessa se si trova sempre al di sopra del suo piano tangente. y.. 3 4 -. - Problemi di massimo/minimo (libero e vincolato) Come nel caso di funzioni ad una variabile, anche nel caso di funzioni a piu variabili per trovare massimi e minimi di una funzione ricorriamo a condizioni necessarie ed eventualmente su cienti.. Massimo/minimo libero Prima la de nizione di massimo locale libero Def. Sia f : R n! R. Il punto e di massimo locale (libero) se esiste " > tale che j j < " implica f( ) f()
Def. Sia f : R n! R Il punto e di massimo globale (libero) se per ogni R n, f( ) f() Oss. Un massimo globale e anche un massimo locale. Un massimo locale puo non essere globale. Oss. Cercare il massimo di f() e equivalente a cercare il minimo di f. Quindi possiamo enunciare le condizioni per un massimo in piena generalita (qualora ci dovessimo trovare a minimizzare una funzione, massimizziamo f!). Le condizioni necessarie per un massimo locale si estendono facilmente a funzioni di piu variabili Prop. 8 Sia f : R n! R e di erenziabile. Se il punto e di massimo/minimo locale (libero) allora ( ) =, i = ; ::; n Oss. Come nel caso di funzioni di una sola variabile, le condizioni su cienti per un massimo locale riguardano la derivata seconda della funzione calcolata nel punto. Le illustriamo brevemente per un massimo e per una funzione di due variabili: Prop. 9 Sia f : R! R e di erenziabile due volte. Se ( @ ( ) = @ ( ) =, @ f ( ) < e @ @ f ( ) @ @ f @ @ ( ) @ f @ @ ( ) @ f ( ) > @ allora e di massimo locale. Oss. volte). @ f @ i ( ) sono le derivate parziali seconde (si deriva parzialmente rispetto a i due @ f @ @ e la derivata parziale incrociata (si deriva parzialmente rispetto a e poi a, o viceversa). L ordine di derivazione non conta se le derivate seconde sono continue. Oss. L ultima condizione dice che il determinante di quella matrice deve essere strettamente positivo nel punto. Oss. Notate che per funzioni di piu variabili la condizione su ciente (del secondo ordine) e piu "complicata" della corrispondente condizione nel caso di funzioni di una variabile Esercizio (a) Scrivete il determinante della matrice di sopra. Trovate massimi e minimi liberi delle seguenti funzioni (b) f( ; ) = ( 3) ( 4) (c)
. Ottimizzazione vincolata In economia sono di particolare interesse i problemi di ottimizzazione vincolata. Con questo si intende la ricerca di massimi e minimi in un sottoinsieme del dominio della funzione. Def. 3 Sia f : R n! R. Si de nisce problema di massimo vincolato ma f() soggetto a X dove X R n Esempio(): (Funzione di una variabile) Siamo interessati a trovare il massimo della funzione f() = ( ) soggetta al vincolo [ ; 3 ]. Se ingenuamente ignoriamo il vincolo ed uguagliamo la derivata prima a zero otteniamo = : Se poi calcoliamo la derivata seconda otteniamo che e strettamente negativa. Chiaramente, il massimo vincolato di questa funzione non e in = (che infatti non soddisfa il vincolo). Nel nostro caso, il massimo si trova nel punto di frontiera del vincolo = 3. y 4. 4 3. 3.. - -... 3 3. 4 4. f(); = ; = 3 Questo esempio mostra che la condizione derivata prima uguale a zero non e generalmente condizione necessaria per i punti di ottimi vincolato. Essa e condizione necessaria solo nel caso in cui e un punto interno. Prop. Se risolve ma X f() e e interno allora @ f ( ) =, i = ; ::; n Oss. Questa proposizione implica che nella ricerca dei punti di ottimo vincolato, dapprima possiamo studiare la funzione per i punti interni di X e poi studiare il comportamento di f sull frontiera. Nell esempio di sopra, avremmo trovato che la derivata prima non si annullava mai all interno dell intervallo, e che la funzione era strettamente crescente, quindi il punto massimo si trova in = 3
Vogliamo scrivere una condizione che sia valida per qualsiasi punto di massimo (sia interno che di frontiera) e che sia valida anche per funzioni non di erenziabili. Prendiamo il punto e supponiamo che sia di massimo vincolato per f sul vincolo X R n. Consideriamo l insieme P ( ) = f R n : f() > f( )g Questi sono i punti che danno un valore della funzione che e strettamente maggiore del valore nel punto. Se e di massimo allora deve essere che l intersezione tra quest insieme e il vincolo e vuota! Questa condizione non solo e necessaria ma anche su ciente. Abbiamo allora Prop. e un punto di massimo vincolato se e solo se P ( ) \ X = f;g Dim.. Supponiamo esista P ( ) \ X, allora f() > f( ) e X; contraddicendo che e di massimo vincolato. Oss. Questa proposizione, nel caso in cui il vincolo e la funzione obiettivo siano facilmente visualizzabili, o re un metodo gra co semplice per la ricerca dei punti di massimo. In particolare, disegnando vincolo e curve di livello dobbiamo cercare i punti per cui l insieme P () e il vincolo hanno intersezione vuota. Esempio(6) ma + soggetto a ; + Disegnando la frontiera del vincolo ( in nero) e le curve di livello (in rosso) otteniamo: y...7.....7.. Il vincolo e l insieme dei punti al di sotto della retta in nero nel quadrante positivo. Notiamo che per ogni l insieme dei punti P () si trova alla destra della curva di livello passante per. Notiamo inoltre che se una curva di livello interseca la frontiera del vincolo, l intersezione 3
P () \ X e non vuota. L unico punto in cui quest intersezione e vuota e il punto (; ) che e infatti la soluzione di questo problema di massimo vincolato. Notiamo che non abbiamo trovato ancora condizioni analitiche che caratterizzino un punto di massimo/minimo vincolato. Lo facciamo ora per il caso semplice di vincolo caratterizzato da una uguaglianza e da funzioni di due variabili. Quindi vogliamo risolvere ma f( ; ) (*) s:a: g( ; ) = k Qui X = f R : g( ; ) = kg, cioe la curva di livello di g. Gra camente, vogliamo trovare la curva di livello piu elevata che soddis il vincolo, cioe il punto in cui il vincolo e la curva di livello della funzione sono tangenti. y...7.....7.. Questa condizione vale anche se il punto e di minimo. Prop. Se risolve (*) e se @ g( i ) 6=,i = ; allora 8 < : ( @ @g ) = ( @ ) ( @ @g ) ( @ ) g( ) = k Oss.La prima condizione e quella di tangenza. La seconda dice che tra gli in niti punti in cui la curva di livello di f e tangente alla curva di livello di g dobbiamo scegliere quello per cui g = k Esempio(7): Consumatore con preferenze Cobb-Douglas Condizione di tangenza ma s:a p + p = I 4
( Risolvendo il sistema otteniamo = = p p p + p = I + I p ; = Oss. Nell esempio(6) la condizione di tangenza non valeva poiche il punto di massimo si + trovava in corrispondenza di due vincoli stringenti: = e + =. Diamo ora un teorema generale che puo essere utilizzato per la ricerca di massimi e minimi vincolato con un numero arbitrario di vincoli di uguaglianza. Siano f; g i : R n! R. Consideriamo il problema: I p De niamo una nuova funzione ma f() ((**)) s:a g i () = k i, i = ; ::; m L =f() + mx i (k i = g i ()) L viene chiamata funzione Lagrangiana e i moltiplicatori di Lagrange. Nota che ci sono tanti moltiplicatori quanti vincoli. Prop. 3 Se risolve (**) e se vale la condizione (Q) allora esistono m numeri reali ; ::; m tali che ( @L ( ; ) = i = ; ::; m @ i @L ( ; ) = i = ; ::; n Oss. La condizione (Q) e l equivalente della condizione su g posta nella proposizione precedente. Non ci (pre)occuperemo di questa condizione. livello Esercizi Risolvere i seguenti problemi di ottimizzazione vincolata disegnando il vincolo e le curve di (a) ma + p sotto il vincolo f ; ; + 3g (b) ma + sotto il vincolo f, g (c) ma + sotto il vincolo f ; ; + 4g (d) min + sotto il vincolo f ;, + p 3g (e) ma sotto il vincolo f ; ; + g (f) min sotto il vincolo f ; ( + ) g (g) min f( ; ) sotto il vincolo ( ) +
(h) ma sotto il vincolo f ; ; (i) min p + p sotto il vincolo = Q ( 6 3 se 7 4 se > g (l) Scrivete esplicitamente le derivate della Lagrangiana e applicate il teorema al caso variabili vincolo nel testo e dimostrate che vale la condizione di tangenza. 6