UNITEXT La Matematica per il 3+2 Volume 67 For further volumes: http://www.springer.com/series/5418
Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Probabilità Un introduzione attraverso modelli e applicazioni Springer
Francesco Caravenna Dipartimento Matematica e Applicazioni Università degli Studi di Milano-Bicocca Milano Paolo Dai Pra Dipartimento Matematica Pura e Applicata Università degli Studi di Padova Padova Ulteriore materiale collegato al libro può essere scaricato da http://extras.springer.com Password: 978-88-470-2594-3 UNITEXT La Matematica per il 3+2 ISSN versione cartacea: 2038-5722 ISSN versione elettronica: 2038-5757 ISBN 978-88-470-2594-3 ISBN 978-88-470-2595-0 DOI 10.1007/978-88-470-2595-0 (ebook) Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2013 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Lay-out di copertina: Beatrice B., Milano Impaginazione: PTP-Berlin, Protago TEX-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media (www.springer.com)
Prefazione L obiettivo di questo libro è di fornire un introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni, senza fare ricorso alla teoria della misura, per studenti dei corsi di laurea scientifici (in particolar modo di matematica, fisica e ingegneria). La scelta degli argomenti e l approccio adottato sono il frutto di alcuni anni di esperienza con i corsi da noi tenuti per la laurea triennale in matematica, presso le università di Padova e di Milano-Bicocca. Si è deciso di porre grande enfasi sulla probabilità discreta, vale a dire su spazi finiti o numerabili, a cui i primi quattro capitoli sono dedicati. La prima ragione è che, in questo contesto, sono sufficienti pochi strumenti analitici per presentare la teoria in modo completo e rigoroso (bastano sostanzialmente successioni e serie). Questo permette di introdurre il linguaggio e le nozioni basilari di probabilità senza eccessive complicazioni tecniche, concentrando l attenzione sulle difficoltà sostanziali che gli studenti incontrano nella fase iniziale dello studio di questa disciplina. La seconda ragione è che poche nozioni di probabilità discreta sono più che sufficienti per discutere problemi e modelli estremamente interessanti, alcuni tuttora oggetto di ricerca. Una selezione di esempi in questa direzione è presentata nel Capitolo 2, mentre problemi più avanzati, che coinvolgono variabili aleatorie, sono descritti nel Capitolo 4. Riteniamo che la trattazione di uno o più di tali esempi già nella prima parte del corso costituisca un ottimo elemento formativo. La trattazione degli spazi di probabilità generali, nel Capitolo 5, è piuttosto succinta e principalmente focalizzata alla discussione delle variabili aleatorie assolutamente continue, oggetto del Capitolo 6. In queste parti del testo diverse dimostrazioni sono omesse, ma si è cercato di dare sempre definizioni matematicamente precise, esplicitando le questioni tecniche che non possono essere risolte con gli strumenti a disposizione. I prerequisiti sono al livello di un primo corso di analisi matematica (limiti, derivate, integrale di Riemann), ad eccezione dei paragrafi conclusivi sui vettori aleatori, segnalati con un asterisco *, per i quali è richiesta la conoscenza di un po di analisi multivariata (integrale di Riemann multidimensionale). Vengono quindi presentati nel Capitolo 7 i teoremi limite classici del calcolo delle probabilità, ossia la legge (debole) dei grandi numeri e il teorema limite centrale. Per quest ultimo, viene fornita una dimostrazione completa (con l ipotesi di momen-
vi Prefazione Capitolo 1 Capitolo 3 Capitolo 5 Capitolo 6 Capitolo 2 Capitolo 4 7.1 Legge dei grandi numeri Capitolo 7 7.2 Teorema limite centrale Capitolo 8 Schema delle dipendenze tra i capitoli. La via d accesso più naturale al Capitolo 7 è quella che proviene dal Capitolo 6; tuttavia, volendo, la prima metà del Capitolo 7, sulla legge dei grandi numeri, è accessibile già dopo il Capitolo 3 to terzo finito) e viene discussa in dettaglio la tecnica dell approssimazione normale. Infine, il Capitolo 8 è dedicato ad alcune applicazioni alla statistica matematica. Sopra è riportato un diagramma con i possibili ordini di lettura. L esposizione è arricchita da numerosi esempi, che costituiscono una parte fondamentale della presentazione, e da una vasta selezione di esercizi, per i quali viene fornita la soluzione dettagliata sulla pagina del sito Springer dedicata al volume (accessibile all indirizzo http://extras.springer.com mediante il codice 978-88-470-2594-3). Alcune parti piuttosto tecniche, o che abbiamo ritenuto non essenziali, appaiono in corpo minore, oppure sono contenute nell Appendice. Questo libro, com è ovvio, risente della nostra formazione, dei nostri interessi di ricerca e del nostro gusto. Siamo stati ispirati e aiutati da pareri e osservazioni di vari colleghi, che ringraziamo di cuore per i loro suggerimenti. Un grazie particolare a Wolfgang J. Runggaldier e Tiziano Vargiolu, per le numerose e utili discussioni. Siamo inoltre debitori a numerosi autori di articoli e libri, dai quali abbiamo imparato molta della matematica che qui presentiamo. In particolare crediamo, e speriamo, di essere stati influenzati dai due splendidi testi di William Feller [23] e Patrick Billingsley [6]. Infine, siamo riconoscenti agli studenti della laurea triennale in matematica delle Università di Padova e di Milano-Bicocca che, con il loro studio, i loro commenti, le loro critiche e segnalazioni di errori, hanno contribuito alla progettazione e costruzione di questo libro. Milano e Padova, marzo 2013 Francesco Caravenna Paolo Dai Pra
Indice Nozioni preliminari... 1 Notazioni... 1 Alcunirichiamidianalisimatematica... 3 Sommeinfinite... 3 1 Spazi di probabilità discreti: teoria... 7 1.1 Modelli probabilistici discreti..... 7 1.1.1 Considerazioni introduttive...... 7 1.1.2 Assiomi della probabilità.... 10 1.1.3 Probabilità e densità discreta..... 12 1.1.4 Proprietà fondamentali..... 15 1.2 Calcolocombinatorio... 20 1.2.1 Principi basilari..... 20 1.2.2 Disposizioni con ripetizione..... 21 1.2.3 Il principio fondamentale.... 22 1.2.4 Disposizioni semplici e permutazioni... 24 1.2.5 Combinazioni...... 28 1.2.6 Estrazioni di palline da un urna... 29 1.3 Probabilità condizionale e indipendenza.... 33 1.3.1 Probabilità condizionale... 33 1.3.2 Bayes e dintorni.... 36 1.3.3 Indipendenza di eventi..... 40 1.3.4 Prove ripetute e indipendenti..... 47 1.3.5 Esempi e paradossi sul condizionamento...... 52 1.4 Esercizidiriepilogo... 61 1.5 Notebibliografiche... 67 2 Spazi di probabilità discreti: esempi e applicazioni... 69 2.1 Permutazionialeatorie... 69 2.2 Lapasseggiataaleatoriasemplice... 77 2.3 Statisticheclassicheequantistiche... 84
viii Indice 2.4 Il modello di Ising in meccanica statistica...... 90 2.5 IlmodellodiHardy-Weinbergingenetica... 98 2.6 Notebibliografiche... 101 3 Variabili aleatorie discrete: teoria... 103 3.1 Variabilialeatorieedistribuzioni... 103 3.1.1 Considerazioni introduttive...... 103 3.1.2 Definizioni.... 104 3.1.3 Probabilità discrete su spazi generali.... 106 3.1.4 Distribuzione e densità discreta... 107 3.1.5 Osservazioni ed esempi.... 111 3.1.6 Costruzione canonica di una variabile aleatoria...... 115 3.2 Indipendenzadivariabilialeatorie... 117 3.2.1 Distribuzioni congiunte e marginali..... 117 3.2.2 Indipendenza di variabili aleatorie...... 120 3.2.3 Rivisitazione delle prove ripetute e indipendenti..... 124 3.2.4 Proprietà dell indipendenza...... 125 3.2.5 Costruzione di variabili aleatorie indipendenti... 127 3.2.6 Dallo spazio di probabilità alle variabili aleatorie..... 128 3.3 Valor medio e disuguaglianze..... 130 3.3.1 Definizione... 130 3.3.2 Proprietà del valor medio... 134 3.3.3 Momenti, varianza e covarianza... 139 3.3.4 Valor medio e indipendenza..... 146 3.3.5 Disuguaglianze..... 147 3.3.6 Coefficiente di correlazione...... 151 3.4 Lavorareconledistribuzioni... 154 3.4.1 Somma di variabili aleatorie..... 154 3.4.2 Funzione di ripartizione.... 155 3.4.3 Massimo e minimo di variabili aleatorie indipendenti...... 158 3.4.4 Funzione generatrice dei momenti...... 159 3.5 Classinotevolidivariabilialeatoriediscrete... 164 3.5.1 Uniforme discreta.... 164 3.5.2 Bernoulli..... 166 3.5.3 Binomiale.... 167 3.5.4 Ipergeometrica..... 171 3.5.5 Poisson...... 172 3.5.6 Geometrica... 176 3.6 Esercizidiriepilogo... 182 3.7 Notebibliografiche... 187 4 Variabili aleatorie discrete: esempi e applicazioni... 189 4.1 Sullaleggedeipiccolinumeri... 189 4.2 Un applicazione alla finanza: il modello binomiale.... 193 4.3 Ilproblemadelcollezionistadifigurine... 200
Indice ix 4.4 Mescolare un mazzo di carte...... 204 4.5 Rivisitazionedellepasseggiatealeatorie... 211 4.6 La condensazione di Bose-Einstein...... 218 4.7 Notebibliografiche... 229 5 Spazi di probabilità e variabili aleatorie generali... 231 5.1 σ-algebre e misure di probabilità... 231 5.2 Variabilialeatoriegenerali... 235 5.3 Indipendenzaevalormedio... 238 5.4 Costruzione di modelli probabilistici.... 241 5.5 Notebibliografiche... 242 6 Variabili aleatorie assolutamente continue... 243 6.1 Richiamisull integralediriemann... 243 6.1.1 L integrale in senso proprio..... 243 6.1.2 L integrale in senso improprio... 244 6.1.3 Alcuni esempi...... 246 6.1.4 Approfondimenti sull integrabilità...... 248 6.1.5 Proprietà dell integrale.... 250 6.2 Variabilialeatorierealiassolutamentecontinue... 251 6.2.1 Definizione e prime proprietà.... 252 6.2.2 Determinare la densità..... 254 6.2.3 Il calcolo del valor medio... 257 6.2.4 Calcoli con variabili aleatorie indipendenti.... 259 6.3 Classi notevoli di variabili aleatorie reali assolutamente continue... 261 6.3.1 Uniforme continua... 261 6.3.2 Gamma...... 263 6.3.3 Esponenziale....... 266 6.3.4 Normale...... 267 6.4 Vettorialeatoriassolutamentecontinui*... 271 6.4.1 Definizione e prime proprietà *... 273 6.4.2 Densità congiunta e marginali *... 275 6.4.3 Calcoli con densità*....... 278 6.5 Esempi e applicazioni...... 282 6.5.1 Le variabili aleatorie chi-quadro... 282 6.5.2 Statistiche d ordine e variabili aleatorie Beta... 283 6.5.3 Il processo di Poisson (parte I)... 286 6.5.4 Il processo di Poisson (parte II) *... 289 6.5.5 I vettori aleatori uniformi e il paradosso di Bertrand *...... 292 6.6 Vettorialeatorinormali*... 294 6.6.1 Matrice di covarianza *.... 294 6.6.2 Definizione e proprietà principali *..... 296 6.6.3 Proiezioni ortogonali di vettori normali *..... 300 6.7 Esercizidiriepilogo... 303 6.8 Notebibliografiche... 311
x Indice 7 Teoremi limite... 313 7.1 Laleggedeigrandinumeri... 313 7.1.1 Enunciato, dimostrazione e discussione....... 314 7.1.2 Il metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali..... 317 7.1.3 Il teorema di approssimazione di Weierstrass... 319 7.1.4 Un esempio con variabili aleatorie correlate... 321 7.2 Ilteoremalimitecentrale... 324 7.2.1 Enunciato e discussione.... 324 7.2.2 Il metodo dell approssimazione normale...... 327 7.2.3 Dimostrazione del teorema limite centrale.... 333 7.2.4 Un teorema limite locale per variabili esponenziali... 338 7.3 Esercizidiriepilogo... 340 7.4 Notebibliografiche... 343 8 Applicazioni alla statistica matematica... 345 8.1 Modellistatisticiparametrici... 345 8.2 Intervallidiconfidenzapercampioninormali... 350 8.3 Proprietàasintotiche... 354 8.4 Stimatoridimassimaverosimiglianza... 358 8.5 Notebibliografiche... 372 Appendice... 373 A.1 Sommeinfinite... 373 A.2 Una misura finitamente additiva (ma non σ-additiva) su N... 378 A.3 Il principio fondamentale del calcolo combinatorio... 382 Tavola della distribuzione normale... 385 Principali distribuzioni notevoli su R... 387 Riferimenti bibliografici... 389 Indice analitico... 393