UNITEXT for Physics. For further volumes:

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1 UNITEXT for Physics Series editors Michele Cini, Roma, Italy Attilio Ferrari, Torino, Italy Stefano Forte, Milano, Italy Inguscio Massimo, Firenze, Italy G. Montagna, Pavia, Italy Oreste Nicrosini, Pavia, Italy Luca Peliti, Napoli, Italy Alberto Rotondi, Pavia, Italy For further volumes:

2 Giuseppe Ciullo Introduzione al Laboratorio di Fisica Misure e Teoria delle Incertezze 123

3 Giuseppe Ciullo Università degli Studi e INFN di Ferrara Italy ISSN ISSN (electronic) ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Ó Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica)rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (

4 Ad Anna per la sua pazienza come compagna di viaggio. Per le speranze presenti e future, che rispecchiano in ogni studente quelle a me care: Marta, Rocco, Porzia, Antonio, Giovanna, Cosimo e Manila, riverberi di tutti i miei cari.

5 Prefazione Leggendo il libro di G. Ciullo Introduzione al Laboratorio di Fisica ho pensato che sarei stato felice di disporre di un testo così amichevole all epoca, in cui ho iniziato gli studi di Fisica. Nella prima parte si spiega molto chiaramente cosa significa misurare, cosa si intende per incertezze statistiche e sistematiche e come presentare i dati. Nella seconda parte si espone una trattazione matematica chiara delle basi della teoria della misura. Si introducono i concetti di probabilità e statistica, partendo dalle basi elementari, cosa insolita per un testo di questo tipo. Di solito, infatti, si danno per conosciute le basi matematiche. In seguito si introducono le problematiche della verosimiglianza e della ricerca delle funzioni matematiche più compatibili con i dati con il metodo dei minimi quadrati. Ogni capitolo è corredato di una serie di esercizi e problemi, che trovano le soluzioni nelle ultime pagine. E come ogni moderno libro dà un apertura all uso di internet. Spesso c è un certo malessere nella formazione dei fisici per l introduzione di tutti i concetti della teoria della misura e degli errori nei primi mesi del primo anno. Infatti sono concetti di una certa difficoltà, che richiedono una formazione matematica, che gli studenti riceveranno in seguito. Inoltre gli apparecchi di misura disponibili nei laboratori del primo anno sono per forza molto semplici. Portare esperimenti complessi al primo anno può sembrare allettante, ma didatticamente non è conveniente, in particolare se ci si avvale di fenomeni non ancora studiati. Penso che la seconda parete del libro potrebbe essere molto utilmente sfruttata nei laboratori degli anni successivi al primo. Di solito, in questi laboratori, si danno per scontati i concetti, trattati in questa seconda parte, ed è raro che uno studente del primo anno li maturi a sufficienza. Onestamente penso che il libro di G. Ciullo costituisca un passo avanti nel panorama internazionale dei libri di questo tipo. Ferrara 24 febbraio 2014 Pietro Dalpiaz (n.d.a. Prof. Emerito)

6 Introduzione Questo libro è orientato allo studio delle misure e della teoria delle incertezze per il laboratorio, per chi si affaccia al primo anno di un corso di laurea scientifico. Si è cercato, pertanto, di rendere la materia fruibile ad uno studente, che per la prima volta affronta tali argomenti. L approccio dei corsi di laurea, che propongono tale studio già al primo anno, è molto stimolante sia per i docenti che per gli studenti: per noi docenti: in quanto si deve trovare un modo di indirizzare gli studenti ad avere una visione pragmatica della fisica e quindi limare l acquisizione degli strumenti matematici necessari, per gli studenti: in quanto avranno modo di capire praticamente il senso delle leggi proposte nei corsi teorici e degli strumenti matematici, in parte già a loro disposizione e che avranno modo di approfondire durante il corso e nel proseguimento degli studi universitari. Tale lavoro si è reso necessario per l esperienza acquisita dall autore, da diversi anni, sia come docente per corsi di laboratorio introduttivo, che per laboratori specialistici, per la magistrale ed il dottorato, osservando una tendenza all utilizzo improprio della statistica nell ambito dell analisi delle incertezze nelle misure, con una confusione imbarazzante. Da un lato perché molti testi introduttivi, per semplificare la vita, non forniscono indicazioni precise, o sono solo scritte fra le righe, trascurando soprattutto le incertezze sistematiche, con la scusa che un laboratorio introduttivo sia attrezzato con apparati poco precisi, percui l approccio sperimentale risulta un tanto a spanna. Questo approccio formativo, sulla base dell esperienza dell autore, induce una giovane mente a prendere una brutta piega. La tecnologia odierna permette di utilizzare strumenti precisi, percui bisogna sapere affrontare opportunamente le tematiche di discussione delle incertezze, mettendo in evidenza anche la distinzione tra precisione ed accuratezza, inganno diffuso negli strumenti digitali alla portata di tutti. Dall altro lato i testi specialistici partono da un formalismo matematico spinto e risultano spesso inaccessibili o incomprensibili nella loro fruizione in laboratorio. Percui si è cercato di colmare questo gap, tra testi troppo approssimativi e testi trop-

7 x Introduzione po specialistici. Si dà un approccio pragmatico eppoi ci si inoltra nel formalismo, fornendo soprattutto indicazioni operative. Questo lavoro è diviso di due parti: Parte I Premesse introduttive: concetti e convenzioni: vi si trattano argomenti basilari sulle misure, la propagazione delle incertezze ed i metodi di organizzazione dei dati, piuttosto che l analisi approfondita dei dati per fornire la misura. Questa parte, per alcuni punti non formalmente rigorosa, è necessaria, per prendere confidenza con gli strumenti matematici e formali, ed è la base, sulla quale poi approfondire l approccio statistico della II parte. Vengono fornite le direttive appropriate, per trattare i tipi di incertezze più diffusi e combinarli secondo le indicazioni statistiche. Questa I parte può essere utilizzata in corsi di laurea scientifici con approccio al laboratorio nei primi anni, o in vari corsi di introduzione al laboratorio persino nelle scuole superiori, o come testo di approfondimento o guida per i docenti. Parte II Statistica e Teoria delle incertezze: vi si trattano argomenti formali, che sono necessari per l utilizzo cosciente della statistica nella teoria delle incertezze e per giustificare, quanto introdotto nella I parte. Si dedica ampio spazio alla distribuzione gaussiana, sulla quale ruotano le misure sperimentali, ed alla regressione lineare, cercando di indicare in modo appropriato come operare nelle situazioni reali. Senza tali strumenti la comprensione della teoria delle incertezze risulterebbe piuttosto aleatoria. Quindi gli ingredienti sono: argomenti già noti, sui quali si forniranno chiarimenti, argomenti che saranno approfonditi durante il corso ed infine argomenti forniti con giustificazione rigorosa, e altri necessari, ma solo presentati ed usati appropriatamente. Tutti sono importanti nella formazione scientifica, e saranno sicuramente di stimolo ad approfondimenti e agganci successivi. A questo documento si agganciano informazioni reperibili sul sito dell autore [5] sia su esperimenti da utilizzare per uso didattico, come fatto nel corso di questo testo, sia su una serie di esperimenti, per come condurli e come discutere le incertezze. Sono proposti alcuni problemi, per i quali sono state fornite le soluzioni. Alcuni di questi richiedono una discussione grafica, percui sul sito dell autore sono disponibili anche alcune soluzioni o fogli elettronici [6] Ferrara, gennaio 2014 Giuseppe Ciullo

8 Indice Prefazione Introduzione Parte I Premesse introduttive: concetti e convenzioni 1 Il metodo scientifico e la misura Il metodo scientifico Le grandezze fisiche e la loro misurazione La misura di una grandezza Sistemi di unità di misura L analisi dimensionale Problemi Le incertezze nelle misure Incertezza nella misura di una grandezza Misure dirette ed incertezze: misura singola Incertezze casuali: misure ripetute Catalogazione delle incertezze Precisione ed accuratezza Strumenti di misura e loro proprietà Problemi Presentazione e confronto di misure Misura: stima migliore ± incertezza Misura, incertezza e cifre significative Confronto tra misura e valore atteso, e tra misure Problemi

9 xii Indice 4 Propagazione delle incertezze Operazioni tra grandezze Incertezze indipendenti e (casuali): somma in quadratura Misura da una relazione funzionale Misura da una relazione funzionale di più grandezze Derivazione parziale per prodotti e frazioni Problemi Media e deviazione standard Misure ripetute e stimatori Deviazione standard della media Media pesata Problemi Organizzazione e presentazione dei dati Presentazione dei dati Tabelle statistiche e istogrammi Tabelle funzionali e loro presentazione grafica Problemi Premesse sulla probabilità Definizioni di probabilità Frequenza e probabilità Probabilità assiomatica Parte II Statistica e Teoria delle Incertezze 8 La distribuzione gaussiana Dall osservazione all idealizzazione: la distribuzione limite Variabili discrete e continue: frequenza e probabilità La distribuzione di Gauss e la variabile standardizzata Valore massimo (più probabile) e deviazione standard Valore di aspettazione e varianza di una gaussiana Probabilità di ottenere un risultato Principio di massima verosimiglianza: x migliore stima di X Densità di probabilità: costante e triangolare Il teorema del limite centrale Presentazione del risultato di una misura e intervalli di fiducia Verifica di ipotesi e di significatività Massima verosimiglianza: media pesata Problemi

10 Indice xiii 9 La regressione lineare: il metodo dei minimi quadrati Adattamento ad una relazione lineare Il principio di massima verosimiglianza: la regressione lineare Incertezze sui parametri A e B della retta y = A + Bx Andamento al limite per la regressione lineare Metodo dei minimi quadrati pesati: δy i differenti Stima dell incertezza su un valore y interpolato Estensione ad altre funzioni Problemi Dalla correlazione alla covarianza Coefficiente di correlazione lineare Derivazione del coefficiente di correlazione lineare Probabilità di ottenere r r O per variabili non correlate Covarianza e correlazione: somma lineare o in quadratura? Problemi La verifica del χ Verifica del χ 2 su una relazione funzionale Cenni sulla deduzione formale per il chi-quadro Probabilità di ottenere un determinato χ Verifica del χ 2 per le distribuzioni: gaussiana Verifica χ 2 : conseguenze sulla stima dell incertezza Problemi Distribuzione binomiale Probabilità nel gioco dei dadi Cenni sul calcolo combinatorio Proprietà della distribuzione binomiale La verifica del χ 2 per una binomiale Problemi La distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson Dalla binomiale alla poissoniana Verifica del χ 2 per una poissoniana Problemi Appendice A Integrale normale Appendice B Coefficiente di correlazione Appendice C Tabelle del χ Appendice D Derivate più comuni di interesse per la teoria delle incertezze...233

11 xiv Indice Soluzioni dei problemi Bibliografia Indice analitico...249