Destagionalizzazione Scomposizione della serie in Ciclo-Trend, Stagionalità e Accidentalità. Scomposizione addittiva X t = CT t + S t + A t : per serie la cui variabilità della stagionalità rimane costante al variare del livello. Scomposizione moltiplicativa X t = CT t S t A t : per serie la cui variabilità della stagionalità cresce al crescere del livello. 1
Metodi di destagionalizzazione usati Metodi basati sulle medie mobili. X-11-ARIMA, X-12-ARIMA (U.S. Bureau Census, Statistics Canada). SABL (Bell Laboratories) Metodi basati su regressioni su intervalli mobili. BV4 (Technische Universität Berlin) DAINTIES (UE) Metodi basati su modelli stocastici. TRAMO-SEATS (Banca di Spagna, Maravall) Modelli Strutturali, software STAMP (Harvey) 2
Le medie mobili ponderate Le medie mobili (ponderate e centrate) possono essere utilizzate per approssimare localmente polinomi. Fissata l ampiezza 2m + 1 della media e il grado p del polinomio che si vuole adattare alla serie, i pesi della media mobile possono essere ricavati con il metodo dei minimi quadrati. X t = β 0 + β 1 t +... + β p t p t = m,..., 0,..., m o in forma matriciale x = Tβ + ε. La soluzione dei minimi quadrati rispetto ai parametri β è, come noto ˆβ = (T T) 1 T x 3
ed i valori fittati sono dati da ˆx = Tˆβ = T(T T) 1 T x, dove la t-esima riga data da ˆx t = (1, t,..., t p )ˆβ = (1, t,..., t p )(T T) 1 T x che è una combinazione lineare delle osservazioni x m,..., x m. 4
Le medie mobili di Henderson Sono medie mobili di 9, 13 o 23 termini, i cui pesi sono calcolati (nel modo visto nelle due slides precedenti) per un polinomio di terzo grado. La lunghezza (9, 13, 23 termini) della madia mobile è scelta in base al rapporto tra la variabilità di una stima preliminare di A t e la variabilità di una stima preliminare di CT t. Più tale rapporto è alto, più lunga deve essere la media mobile. 5
Il metodo X12-ARIMA Step 1. Linearizzazione della serie e stima del modello ARIMA Working days Trading days Festività mobili Identificazione e stima del modello ARIMA 6
Il metodo X12-ARIMA Step 2. Destagionalizzazione Utilizzando i modelli ARIMA si prevede in avanti e all indietro in modo che le medie mobili simmetriche possano essere applicate dal primo all ultimo dato della serie. Calcolo di un CT preliminare tramite MMc(12). S t + A t = X t CT t. Calcolo di una S (e quindi di un A) preliminare applicando una MM sulle serie risp. di gennaio, febbraio, ecc., S t+12i + A t+12i. Si centra la componente S provvisoria in modo che sommi a zero su 12 mesi (si sottare ai valori di S una MMc(12)) 7
Individuazione di valori anomali e riponderazione degli stessi in base al loro valore rispetto alla loro variabilit (A t Ā)/σ A. Prima stima della serie desatgionalizzata: (CT t + A t ) = X t S t Stima finale del CT per mezzo di una MM di Henderson su C t + A t. Seconda stima della componente stagionale lorda: S t + A t = X t CT t. Calcolo della S (e quindi della A) applicando una MMc(7) sulle serie risp. di gennaio, febbraio, ecc., S t+12i + A t+12i. Si centra la componente S in modo che sommi a zero su 12 mesi. Stima finale della serie destagionalizzata: CT t + A t = X t S t 8
125 IP Adjusted 100 75 50 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 125 IP Trend 100 75 50 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 9
Gli exponential smoothing Metodo di previsione basato su medie mobili (asimmetriche) con pesi esponenzialmente decrescenti nel passato: più un osservazione è vicina nel tempo, più essa conta nella previsione. L exponential smoothing (ES) semplice è dato dalla formula di previsione F t+1 t = αx t + (1 α)f t t 1 α [0, 1]. Sostituendo la formula ricorsivamente a se stessa si ottiene F t+1 t = α (1 α) i X t i i=0 che è una media mobile a pesi esponenzialmente decrescenti. L ES semplice non ha una grande performance previsiva per le serie storiche economiche, tuttavia versioni più elaborate danno buoni risultati. 10
L ES di Holt e Winters ES che incorporano un trend lineare locale, ed una stagionalità evolutiva (additiva o moltiplicativa). F t+m t = (a t + b t m)i t s+m a t = αx t /I t s + (1 α)(a t 1 + b t 1 ) b t = β(a t a t 1 ) + (1 β)b t 1 I t = γx t /a t + (1 β)i t s previsione livello incremento indice di stagionalità. I valori dei parametri α, β e γ vengono solitamente calcolati per mezzo dei minimi quadrati: [X t F t t 1 (α, β, γ)] 2 = min. 11
1.1 IP ES 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 12