Giochi matematici 2001/2002 Gara del 24 gennaio 2002 Tempo concesso: 3 ore Il concorrente non è tenuto a rispondere ad ogni quesito, né, per i quesiti che prevedono più risposte, a fornirle tutte. Le risposte ai singoli quesiti, corredate da giustificazioni concise ed esaurienti, vanno fornite su fogli separati, ciascuno intestato con cognome, nome e numero del quesito cui si riferisce. I fogli vanno raccolti in un unico foglio doppio, con l indicazione di cognome e nome del concorrente e dell elenco dei quesiti cui è stata data risposta (anche solo parziale). I punteggi riportati accanto ad ogni singolo quesito hanno lo scopo di indicare il criterio in base al quale verrà stilata la graduatoria, riflettendo la valutazione di difficoltà formulata dalla commissione. Il tempo di consegna risulterà discriminante solo a parità di punteggio. Quesiti proposti Quesito 1 Un allevatore si accorge di avere munto del latte molto denso e decide così di annacquarlo. Avendo a disposizione due bidoni, uno contenente il latte fresco, l altro contenente acqua pura, procede nel seguente modo. 1) Travasa dal bidone A al bidone B tanto liquido da raddoppiare il volume del liquido contenuto in B. 2) Poi travasa da B in A in modo da raddoppiare il volume del liquido ora contenuto in A. 3) Infine versa ancora il liquido da A a B raddoppiando il volume del liquido al momento contenuto in B. Alla fine i due bidoni contengono la stessa quantità di liquido e in B l acqua è 1 litro in più del latte. Osservando che non sappiamo se il latte fosse inizialmente in A oppure in B, sapreste dire quanta acqua e quanto latte si avevano inizialmente e in che quantità i due liquidi sono presenti nei due bidoni alla fine? (Si supponga che i liquidi si mescolino sempre perfettamente.) (2 punti) Quesito 2 Due battelli collegano due approdi sulle rive opposte di un fiume muovendosi in linea retta ciascuno alla propria velocità costante e partendo allo stesso istante dagli opposti approdi. Si incrociano a 720 metri dalla riva più vicina e proseguono ognuno per la propria strada. Una volta giunto a destinazione, ciascun battello si ferma 10 minuti per le operazioni di carico e scarico e poi riparte verso la sponda da cui 1
era partito. I due battelli si incrociano stavolta a 400 metri dalla riva ora più vicina. Quanto è largo il fiume? (3 punti) Quesito 3 Dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vengono estratti a caso sette numeri distinti. Mostrare che, fra i sette numeri estratti, ve ne sono sempre tre la cui somma è 15. (5 punti) Quesito 4 Determinare il numero minimo di caselle che possiamo segnare su una scacchiera 4 4 in modo tale che se eliminiamo 2 righe e 2 colonne qualsiasi rimane necessariamente almeno una casella tra quelle segnate. (7 punti) Quesito 5 Stabilire se è possibile colorare di bianco o di nero ogni casella di una tabella quadrata 2002 2002 in modo che siano soddisfatte le seguenti proprietà: (a) caselle simmetriche rispetto al centro della tabella hanno colori diversi; (b) in ogni colonna e in ogni riga le caselle bianche sono esattamente la metà. (8 punti) Quesito 6 Mostrare che un cubo può essere decomposto in 5 tetraedri (cioè piramidi formate da 4 facce triangolari) mentre non può essere decomposto in 4 tetraedri. (4 + 8 = 12 punti) Quesito 7 Siano n e k interi positivi e si definisca D(n, k) come il numero dei divisori interi positivi d di n tali che d k e n k. d Dimostrare che, per ogni k fissato, i numeri D(n, k) non nulli sono soltanto in numero finito e che la loro somma vale k 2. S k = D(1, k) + D(2, k) + D(3, k) + (13 punti) [ seguono soluzioni ]
Sulle pagine successive troverete SOLUZIONI dei quesiti proposti nella gara. Prima di leggerle, VI CONSIGLIAMO di cercare soluzioni VOSTRE. Altrimenti vi perderete quasi tutto il divertimento.
Soluzioni Soluzione 1 (latte-acqua). a) Seguiamo dapprima solo i travasi e non i due tipi di liquido e chiamiamo A la quantità di liquido nel primo bidone, B la quantità di liquido nel secondo bidone. Quantità nel primo bidone Quantità nel secondo bidone Primo travaso A B 2B Secondo travaso 2(A-B) 3B-A Terzo travaso 3A-5B 2(3B-A) Da questa tabella deduciamo anche che, affinché tutti i travasi siano fattibili, deve essere che tutte le espressioni presenti siano positive, quindi A > B, 3B > A, 3A > 5B. Uguagliando le due quantità presenti nei due bidoni dopo il terzo travaso e risolvendo l equazione ottenuta si ha che A = 11 5 B. Percio usando B come unità di misura le quantità la tabella si riscrive come Quantità nel primo bidone Quantità nel secondo bidone Primo travaso 6/5 B 2B Secondo travaso 12/5 B 4/5 B Terzo travaso 8/5 B 8/5 B b) Seguiamo ora i due tipi di liquido e supponiamo che in A ci sia l acqua. (Se i risultati non fossero coerenti coi dati del problema, non faremo altro che scambiare i ruoli di acqua e latte nella soluzione). Quantità nel primo bidone Quantità nel secondo bidone (1) 6/5 B acqua B acqua, B latte (2) 9/5 B acqua (=3/4 totale), 3/5 B latte (=1/4) 2/5 B acqua, 2/5 B latte (3) 6/5 B acqua, 2/5 B latte B acqua, 3/5 B latte Dall ultima espressione deduciamo che 2/5 B = 1 L e quindi B = 2.5 L e A = 5.5 L. Pertanto i due bidoni, che all inizio contenevano rispettivamente 5.5 L di acqua e 2.5 L di latte, alla fine contengono 4 L ciascuno: nel primo contenitore vi sono 3 L di acqua e 1 L di latte, nel secondo 2.5 L di acqua e 1.5 L di latte.
Soluzione 2 (battelli). Chiamiamo A il battello più lento e la sua velocità sia v A ; allo stesso modo sia B il battello più veloce con velocità v B. Sia inoltre 0 l istante della partenza (simultanea), t 1 il tempo trascorso dalla partenza al primo incontro e t 2 il tempo trascorso dalla partenza al secondo incontro, meno i 10 minuti di sosta (che non sono influenti). Allora poiché il moto è rettilineo uniforme lo spazio percorso da A nel tempo t 1 è pari a v A t 1, quello percorso da B è pari a v B t 1, da cui v A t 1 = 720m, v B t 1 = x 720m, dove x è la larghezza del fiume. Similmente calcolando lo spazio percorso nel tempo t 2 si ha v A t 2 = x + 400m, v B t 2 = 2x 400m. Sommando queste equazioni a due a due otteniamo (v A + v B )t 1 = x, (v a + v B )t 2 = 3x, da cui si deduce che t 2 = 3t 1. Allora ricaviamo che e v A t 1 = 720m, v A 3t 1 = x + 400m, x + 400m = 3 720m = x = 1760m. Soluzione 3 (somma 15). Dividiamo i nove numeri in tre gruppi in modo tale che la somma in ogni gruppo sia 15, per esempio: {1, 5, 9}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}. Estrarre 7 numeri dai nove equivale a cancellare 2 numeri fra i nove. Comunque sia fatta tale cancellazione, essa coinvolge al più due dei tre gruppi. Un altra soluzione (molto più laboriosa e noiosa) sarebbe quella di esaminare tutte e 36 le possibili estrazioni dei 7 numeri.
Soluzione 4 (scacchiera 4 4). Vediamo che possiamo segnare 7 caselle delle 16 in modo che non é possibile ricoprirle tutte e 7 con solo 2 righe e due colonne: consideriamo questa configurazione: Scegliendo comunque due righe (orrizzontali) rimangono sempre 3 caselle disposte su 3 colonne diverse e quindi non é possibile ricoprire l intera configurazione selezionando 2 righe e 2 colonne. Se le caselle segnate fossero 6 (e ancora meglio se fossero meno) consideriamo questi due casi: se troviamo una riga contenente 3 caselle segnate allora rimangono al massimo 3 caselle e ovviamente possiamo ricoprirle con una riga e due colonne. Se ogni riga invece contiene al massimo 2 caselle, scelgo una riga contenente 2 caselle, rimangono 4 caselle nelle tre righe parallele alla precedente: allora una di queste contiene due caselle e rimangono allora solo due caselle che possiamo ricoprire con le due colonne a nostra disposizione. Soluzione 5 (tabella 2002 2002). Dividiamo la tabella in quattro sottotabelle quadrate di uguali dimensioni (cioè 1000 1000) secondo lo schema [ ] 1 2 3 4 Denotiamo con b j e n j rispettivamente il numero delle caselle bianche e quelle nere nella sottotabella j (j = 1, 2, 3, 4). Applicando le proprietà (a) e (b), otteniamo n 1 (a) (b) = b 4 = 1001 2 (b) b 2 = 1001 2 (1001 2 b 1 ) = b 1, cioè, nella sottotabella 1, esattamente metà delle caselle sono bianche (e l altra metà nere). Ma questo non è possibile in quanto il numero delle caselle della sottotabella è dispari. Soluzione 6 (cubo). Mostriamo intanto come decomporre un cubo in 5 tetraedri: consideriamo 4 vertici del cubo a 2 a 2 non collegati con uno spigolo: questi 4 vertici determinano un tetraedro. Ognuno degli altri 4 vertici del cubo risulta un vertice di un tetraedro che ha per
base una faccia del tetraedro precedentemente considerato. La unione di questi 4 tetredri forma il cubo originario. Vediamo che non è possibile decomporre un cubo in meno di 5 tetraedri: abbiamo 6 facce quadrate che devono essere ricoperte dalle facce dei 4 tetredri, ogni faccia corrisponde ad almeno 2 tetraedri per cui abbiamo 12 facce triangolari da completare e ogni tetraedro al massimo riesce a completare 3 di queste 12 facce dato che non é possibile che un tetraedro occupi due facce triangolari poste su una coppia di piani paralleli. Questo ci dice che non é possibile decomporre un cubo con meno di 4 tetraedri. Supponiamo che il lato del cubo sia unitario. Se il numero di tetraedri fosse esattamente 4, allora ognuno di questi avrebbe un volume che non supera 1 2 1 3 = 1 6 ciascuno (la base misurerebbe al massimo 1 e l altezza al massimo varrebbe 1). Allora la somma dei 4 volumi risulta necessariamente inferiore 2 al volume del cubo. Soluzione 7 (D(n, k)). Avendo fissato k, si ha che D(n, k) 0 se e solo se esiste un divisore d di n tale che d k e n k; ne segue che d n kd k 2 ; quindi D(n, k) 0 solo se n k 2. Per determinare il valore di S k, notiamo che S k è uguale al numero delle coppie di interi positivi (n, d) tali che d divide n, d k e n k; d in siffatte coppie n è uguale a ld, con l k, quindi S k è il numero delle coppie del tipo (ld, d), con 1 l, d k, cioè S k = k 2.