POLITECNICO DI BARI I FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E GESTIONALE TESI DI LAUREA IN MECCANICA DEI MATERIALI DESIGN OTTIMO DI UN ANTENNA RELATORE Dr. Luciano LAMBERTI LAUREANDO Bruno DE STASIO ANNO ACCADEMICO 2009-2010
L Ottimizzazione Strutturale trova la configurazione di massima efficienza in termini di resistenza, rigidezza, costo, etc. Il primo esempio sistematico di Sintesi Strutturale è il famoso studio sul design ottimo delle travi pubblicato da Michell nel 1905. A partire dal 1960 sono stati proposti moltissimi nuovi algoritmi per trovare sempre più velocemente l ottimo globale favorendo così la diffusione dei metodi di ottimizzazione in tutti i campi della moderna ingegneria. I codici di Ottimizzazione Strutturale, inizialmente sviluppati per applicazioni avanzate in campo aerospaziale, sono stati progressivamente integrati in codici ad elementi finiti di tipo general-purpose e si trovano comunemente implementati nei vari software commerciali. L obiettivo del lavoro di tesi é quello di minimizzare il peso strutturale di un antenna alta oltre 60 metri. La struttura viene modellata come una travatura reticolare spaziale in alluminio con 720 elementi collegati da 164 nodi. L antenna deve sopportare carichi concentrati di 2.27 tonnellate agenti nella direzione Y-negativa in corrispondenza dei quattro nodi di sommità e altri carichi concentrati di 45.4 kg agenti sempre nella direzione Y-negativa in corrispondenza degli altri nodi liberi. L ottimizzazione di peso dell antenna viene condotta in presenza di limitazioni imposte sugli spostamenti nodali e sulle tensioni agenti negli elementi. Le variabili di design scelte nel processo di ottimizzazione sono le aree delle sezioni trasversali di ciascun elemento. Sfruttando la simmetria strutturale, gli elementi dell antenna possono essere suddivisi in 20 gruppi ciascuno dei quali comprende 36 aste. Il problema di ottimizzazione affrontato nella tesi include quindi 20 variabili di sizing ciascuna delle quali corrisponde all area della sezione trasversale di un gruppo di elementi. 4
Le travature reticolari sono strutture più o meno complesse formate da un insieme di aste connesse da nodi. Tale costruzione conferisce alla struttura elevata capacità di carico e notevole resistenza alla deformazione. Ogni asta può essere soggetta a sole forze assiali che si bilanciano ai nodi di ciascuna di esse risultando così uguali in modulo e in direzione e discordi in verso. I carichi sono applicati ai nodi della travatura. La struttura è di solito progettata in modo che il suo peso sia trascurabile in confronto ai carichi applicati. È possibile ridurre il numero delle aste al minimo strettamente necessario e disporle in triangolature semplici con lati e angoli simili per garantire una regolare distribuzione degli sforzi. Il materiale di uso più comune nelle travature reticolari è l'acciaio anche se si stanno sempre più diffondendo le costruzioni in alluminio grazie alle caratteristiche di resistenza, leggerezza e semplicità di giunzione di questo materiale. Tutte le operazioni di modellazione, analisi ed ottimizzazione strutturale dell antenna sono eseguite con il software commerciale ad elementi finiti ANSYS Versione 11.0. I risultati dell ottimizzazione indicano che il peso strutturale trovato da ANSYS non dipende dal design iniziale. Il peso ottimizzato dell antenna è considerevolmente inferiore al carico complessivo applicato alla struttura. La tesi comprende cinque capitoli oltre alla presente sezione introduttiva. Il Capitolo 2 descrive brevemente la teoria alla base del metodo FEM illustrando le principali fasi dell analisi statica in campo lineare elastico. Il Capitolo 3 espone i concetti basilari dell ottimizzazione strutturale focalizzando poi la trattazione sulle strutture skeletal. Il Capitolo 4 illustra i vari passi della modellazione, analisi FEM ed ottimizzazione della travatura in ambiente ANSYS. I risultati dello studio di 5
ottimizzazione sono presentati e discussi nel Capitolo 5. Infine, il Capitolo 6 riassume le principali conclusioni a cui si è arrivati nella tesi. 6
CAPITOLO 2 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI 7
2.1. Il metodo degli elementi finiti per le strutture linearmente elastiche Il Metodo degli Elementi Finiti (Finite Element Method, FEM) risolve in maniera approssimata problemi complessi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali. Tali equazioni sono discretizzate e trasformate in un sistema risolvente di equazioni algebriche. Se in una data regione dello spazio (dominio spaziale) ha luogo un particolare fenomeno da studiare, le variabili che lo descrivono (p.e. spostamento, pressione, velocità, temperatura, densità) si possono esprimere in funzione dei corrispondenti valori assunti in un certo numero di punti base del dominio. Poiché il problema presenterebbe un numero infinito di incognite, il dominio in esame viene discretizzato in un numero finito di sottodomini detti elementi. Il problema originario diviene quindi un problema approssimato descritto da un numero finito di incognite. Il processo FEM comprende quattro fasi principali. La prima fase consiste nel discretizzare in elementi il dominio spaziale di indagine. Si possono usare elementi di varie forme e dimensioni, caratterizzati da una serie di punti base detti nodi in cui viene calcolata la risposta del sistema analizzato. Nella seconda fase, si scelgono delle funzioni di interpolazione per esprimere la risposta del sistema in un qualsiasi punto del dominio di indagine, distinto dai nodi, in funzione delle grandezze nodali. Nella terza fase, si assemblano rispetto al sistema di riferimento globale le proprietà locali di ciascun elemento per ottenere le equazioni risolventi in funzione delle grandezze nodali. Si combinano quindi le equazioni matriciali che descrivono il comportamento di ciascun elemento per formulare l equazione matriciale che rappresenta il comportamento dell intero dominio. Si ottiene così un sistema di 8
equazioni algebriche che, una volta risolte, forniscono i valori nodali incogniti della variabile in esame. Il quarto ed ultimo passo consiste nel risolvere le equazioni agli elementi finiti ottenendo così le grandezze nodali cercate. L analisi FEM trova numerose applicazioni nella Meccanica dei Solidi e delle Strutture per risolvere problemi di elasticità lineare e non lineare, instabilità, plasticità, viscoplasticità, dinamica, etc. Nel caso di una travatura reticolare piana ci sono solo due componenti di spostamento incognite (gradi di libertà) per nodo. Nel caso di un telaio piano ci sono invece tre gradi di libertà: due componenti spostamenti ed una componente di rotazione. Le forze nodali vanno collegate alle componenti di spostamento scelte per avere una forza associata ad ogni spostamento elementare di un dato nodo. Nel caso strutturale, se la variabile cercata è il vettore degli spostamenti si utilizza il metodo dei coefficienti di rigidezza ove la matrice del sistema risolvente è proprio la matrice di rigidezza della struttura. Se le variabili cercate sono le forze nodali, si utilizza invece il metodo dei coefficienti di flessibilità. Nel caso di strutture linearmente elastiche tutti gli spostamenti nodali dipendono linearmente dai carichi applicati. Per tali strutture è allora valida la Legge di Hooke. L obiettivo finale è scrivere, per ogni elemento risultante dalla discretizzazione della struttura in esame, la seguente equazione matriciale: {F}= [K] {f} (2.1) 9