Università del Salento. Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I

Università del Salento Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi ESERCIZI DEL CORSO DI ALGEBRA I a.a. 2016/2017

Indice Foglio 1 1 Foglio 2 3 Foglio 3 5 Foglio 4 7 Foglio 5 9 Foglio 6 11 Foglio 7 13 Foglio 8 15 Alcune soluzioni e note 17 Foglio 1A................................ 17 Foglio 2A................................ 21 Foglio 3A................................ 25 Foglio 4A................................ 27 Foglio 5A................................ 29 Foglio 6A................................ 31 Foglio 7A................................ 35 Foglio 8A................................ 38

Foglio 1 Esercizio 1. Dimostrare che (1) z Z 2 z(z + 1), (2) z Z 3 z(z + 1)(z + 2), (3) z Z 6 z(z + 1)(z + 2), (4) z Z 24 z(z + 1)(z + 2)(z + 3). Esercizio 2. (1) Dimostrare che 8 z 2 1, per ogni numero intero dispari z. (2) Dimostrare che 3 4 n + 2, per ogni n N 0. (3) Dimostrare che 4 ( 1) n (2n + 1) 1, per ogni n N 0. Esercizio 3. Dimostrare che, per ogni a, b, c Z, valgono (1) a c = mcd(a, b) mcd(c, b), (2) mcd(a, b) = mcd( a, b) (3) mcd(a, b) = mcd(a, b + ac) (4) mcd(ca, cb) = c mcd(a, b) 1

Esercizio 4. Dimostrare che mcd(ab, a + b) mcd(a 2, b 2 ), per ogni a, b Z. Esercizio 5. Dimostrare che mcd(3z + 4, 4z + 5) = 1, per ogni z Z. Esercizio 6. (1) Dimostrare che per ogni z Z vale mcd(z, z + 2) = { 1 se z è dispari 2 se z è pari (2) Dimostrare che mcd(z + 2, 2z) {1, 2, 4}, per ogni z Z. (3) Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 2, allora mcd(ab, a + b) {2, 4}. Esercizio 7. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(ab, a + b) = 1 Esercizio 8. Dimostrare che, per ogni a, b Z, se mcd(a, b) = 1 allora vale mcd(a b, a + b) {1, 2} Esercizio 9. (Prova scritta del 15 settembre 2016 ) Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(2p + z, 3p + 2z) {1, p}; (2) mcd(2p + z, 3p + 2z) = p p z. 2

Foglio 2 Esercizio 1. Siano b 1, b 2 Z. Dimostrare che esiste un unico multiplo comune m di b 1 e b 2 tale che (1.1) m N 0, (1.2) ogni multiplo comune di b 1 e b 2 è un multiplo di m. Tale m si dice il il minimo comune multiplo di b 1 e b 2 e si indica con il simbolo mcm(b 1, b 2 ). Esercizio 2. Siano b 1, b 2 Z. Dimostrare che mcd(b 1, b 2 ) mcm(b 1, b 2 ) = b 1 b 2. Esercizio 3. (1) Determinare il resto della divisione di 4 100 con 8. (2) Determinare il resto della divisione di 4 100 con 6. (3) Determinare il resto della divisione di 5 999.999 con 7. (4) Verificare che 37 549 79 14. (5) Verificare che 131 76 37 12-3

Esercizio 4. (1) Determinare l ultima cifra di 7 41. (2) Dimostrare che per 7 4n+1 10 7, per ogni n N 0. (3) Per ogni n N 0, determinare le ultime due cifre di 5 n+2. (4) Dimostrare che, per ogni n N, l ultima cifra di 2 4n+3 è 8 (Prova d esonero del 3.11.2003). (5) Per ogni n N, si determini l ultima cifra di 4 n + 9 n (Prova scritta del 13.1.2009). Esercizio 5. (1) Provare che n Z 5 n 17 n. (2) Provare che n N 7 n = 7 n 12 1. (3) Dimostrare che a Z 3 a = 3 a 4 + a 2 + 1(Prova d esonero del 15.11.2005). (4) Sia n N. Provare che 12 divide 5 n + 7 n se e solo n è dispari (Prova scritta del 24.2.2009). (5) Sia n N. Provare che 15 divide 4 n + 11 n se e solo n è dispari (Prova scritta del 8.7.2011). Esercizio 6. (Prova d esonero del 2.12.2004) Dimostrare che per ogni n N vale { 1 se n è pari 10 n 11 1 se n è dispari Esercizio 7. (Prova d esonero del 18.11.2008) Sia z Z. Dimostrare che 3 e 11 dividono z 12 z 2. Esercizio 8. (Prova scritta del 24.9.2008) Sia a, b Z e sia z := 10a + b. Provare che 7 z 4a 7 b 4

Foglio 3 Esercizio 1. (1) Determinare un x Z tale che 7x 23 5. (2) Determinare un x Z tale che 7x 24 28. (2) Determinare un x Z tale che 4x 2 3. Le equazioni dell esercizio 1 prendono il nome di equazioni congruenziali, ossia equazioni nelle quali il simbolo = è sostituito da m, con m numero intero. Non sempre le equazioni congruenziali ammettono soluzioni pertanto è lecito chiedersi: dati a, b Z ed m N 0, quando siamo sicuri che esiste un x Z tale che ax m b? Proposizione 1 Siano a, b Z ed m N 0. Sono equivalenti: (i) esiste un x Z tale che ax m b, (ii) il mcd(a, m) divide b. DIM. Poniamo d := mcd(a, m). (i)= (ii) Sia x Z tale che ax m b. Allora esiste q Z tale che ax b = mq. Poichè d a e d m, si ha che d ax mq, ossia d b. Pertanto vale (ii). (ii)= (i) Poichè d b, esiste q Z tale che b = dq. Sappiamo inoltre che esistono u, v Z tali che d = au + mv. Pertanto si ottiene b = dq = (au + mv)q = a(uq) + m(vq). 5

Da ciò segue che a(uq) b = m( vq), e dunque m a(uq) b. Ma ciò significa che a(uq) m b, per cui x := uq è il numero richiesto dalla (i). Esercizio 2. Determinare tutti gli x Z tali che 7x 24 11. Esercizio 3. (Prova scritta del 27.9.2005) Determinare un intero x tal che { x 11 5 x 15 4 Esercizio 4. (1) Determinare un intero x tal che { x 3 2 x 4 5 (2) Determinare un intero x tal che { x 4 5 x 5 3 Proposizione 2 Siano a, b Z tali che mcd(m, n) = 1. Allora esiste una soluzione del sistema { x m a x n b DIM. Poichè il mcd(m, n) = 1, esistono u, v Z tali che mu + nv = 1. Ne segue che x := anv+bmu è una soluzione del sistema in questione. Infatti x m anv e, poichè nv m 1, si ha che x m a. Analogamente si prova che x n b. Esercizio 5. Determinare un intero x tal che x 3 2 x 4 5 x 5 3 6

Foglio 4 Esercizio 1. (Prova scritta del 19 giugno 2013) Sia a Z, a 0. Definiamo in Z la seguente operazione ponendo, per ogni x, y Z, x y = xy + a(x + y + 1). Dimostrare che la funzione f : Z Z, (Z, ) in (Z, ) se e solo se a = 2. x x + a è un omomorfismo da Esercizio 2. Definiamo in S := Z Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) := (a + c, ac + b + d) Ora, definiamo su S la seguente relazione ponendo, per ogni a, b, c, d Z, (a, b) (c, d) : a = c. (1) Dimostrare che è una congruenza di (S, ). (2) Dimostrare che (S/,ˆ ) è isomorfa a (Z, +). Esercizio 3. (Esonero del 18 dicembre 2013) Definiamo in S := Z Q la seguente operazione ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) = (z 1 z 2, z 1 q 2 + z 2 q 1 + q 1 q 2 ) 7

Ora, definiamo su S la seguente relazione definita ponendo, per ogni z 1, z 2 Z e q 1, q 2 Q, (z 1, q 1 ) (z 2, q 2 ) z 1 z 2 = q 2 q 1. (1) Dimostrare che è una congruenza di (S, ). (2) Dimostrare che (S/,ˆ ) è isomorfa a (Q, ). Esercizio 4. (Prova scritta del 25 febbraio 2014) Definiamo in M := N Z la seguente operazione ponendo, per ogni a, b N e u, v Z, (a, u) (b, v) := (ab, u + v + uv), Consideriamo su M la seguente relazione ponendo per ogni a, b N e u, v Z. (a, u) (b, v) : a(v + 1) = b(u + 1), (1) Dimostrare che è una congruenza di (M, ). (2) Dimostrare che la struttura quoziente (M/, ˆ ) è isomorfa a (Q, ). 8

Foglio 5 Esercizio 1. Definiamo sull insieme M := {(a, b) a, b R} la seguente operazione ponendo, per ogni a 1, a 2, b 1, b 2 R, (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (2a 1 a 2, 2a 1 b 2 + 2b 1 a 2 b 1 b 2 ) (1) Dimostrare che (M, ) è un monoide; (2) Determinare gli elementi invertibili di (M, ). Esercizio 2. Dimostrare che il seguente sottoinsieme di Q T := { m m Z, i {0, 1}} 3i è un sottogruppo additivo di Q che contiene Z. Esercizio 3. Sia p P e siano S := {q q Q j N 0 p j q Z} T := {q q Q r N mcd(r, p) = 1 rq Z} Dimostrare che S e T sono sottogruppi di (Q, +). 9

Esercizio 4. Sia G un gruppo abeliano e sia e l elemento neutro di G. Provare che l insieme è un sottogruppo di G. T (G) := {g g G, n N g n = e} Esercizio 5. Siano G un gruppo, H G e g G. Provare che l insieme è un sottogruppo di G. K := {x x G, h H x = g 1 hg} Esercizio 6. Sia G un gruppo e sia f un endomorfismo di G. Provare che l insieme H := {x x G, (xf)f = xf} è un sottogruppo di G. Esercizio 7. Siano G un gruppo abeliano e f Aut (G) tale che f 2 = id G. (1) Dimostrare che A := {x x G, xf = x} e B := {x x G, xf = x 1 } sono sottogruppi di G. (2) Dimostrare che (x 1 f)x B per ogni x G. (3) Dimostrare che {x 2 x G} AB. Esercizio 8. Sia G un gruppo, e il suo elemento neutro ed a G. Poniamo B(a) := {x x G, xa = a 1 x}, C(a) := {x x G, xa = ax}. Dimostrare che sono equivalenti (i) B(a) G, (ii) a 2 = e, (iii) B(a) = C(a) 10

Foglio 6 Esercizio 1. Siano G un gruppo e H G. Poniamo C G (H) := {x x G, h H xh = hx}. (1) Dimostrare che C G (H) G. (2) Dimostrare che, se H è un sottogruppo normale di G, allora C G (H) è un sottogruppo normale di G. Esercizio 2. Siano G un gruppo e H G. affermazioni sono equivalenti: Dimostrare che le seguenti (i) H G, (ii) x, y G xy H = yx H. Esercizio 3. Siano G un gruppo, N G e H G. Dimostrare che, se N è abeliano, allora N H è un sottogruppo normale di NH. Esercizio 4. Poniamo Q := Q \ {0}, G := {( a b 0 d ) b Q, a, d Q } e N := {( 1 b 0 1 ) b Q } Dimostrare che G è un gruppo rispetto all usuale prodotto tra matrici e che N è un sottogruppo normale di G tale che 11

(1) G/N è isomorfo al prodotto diretto Q Q, (2) N è isomorfo a (Q, +). Esercizio 5. Sia G := Q Q e sia N := {(0, b) b Q}. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, b, c, d Q, Provare che (1) (G, ) è un gruppo. (a, b) (c, d) = (a + c, ac + b + d) (2) N è un sottogruppo normale di G. (3) (G/N, ) è isomorfo a (Q, +). Esercizio 6. Sia G := R \ {0} R. Definiamo su G la seguente operazione ponendo, per ogni a, c R \ {0} e b, d R, (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Dimostrare che (1) (G, ) è un gruppo, (2) N := {(1, d) d R} è un sottogruppo normale di G, (3) (G/N, ) è isomorfo al gruppo moltiplicativo dei numeri reali non nulli. Esercizio 7. Siano G un gruppo e D := {(a, a) a G}. Dimostrare che (1) D è un sottogruppo del prodotto G G, (2) se D è un sottogruppo normale di G G, allora G è abeliano e (G G)/D = G. 12

Foglio 7 Esercizio 1. (Prova scritta del 4 luglio 2014). Sia G un gruppo tale che (ab) 3 = a 3 b 3, per ogni a, b G. [1]. Dimostrare che a 2 b 2 = (ba) 2, per ogni a, b G. [2]. Dimostrare che l insieme è un sottogruppo normale di G. N := {a a G x G a = x 2 } Esercizio 2. (Prova scritta del 22 settembre 2014). L insieme G := {(a, b) a, b Q, a 0} munito della seguente operazione (a, b), (c, d) G (a, b) (c, d) := (ac, ad + b c ) è un gruppo con elemento neutro (1, 0). Siano H := {(1, b) b Q} e K := {(1, z) z Z}. Provare che [1]. H è un sottogruppo normale di G, [2]. K è un sottogruppo normale di H, ma non è un sottogruppo normale di G. Esercizio 3. Siano m, n Z. Poniamo d := mcd(m, n) e c := mcm(m, n). Provare che valgono le seguenti affermazioni: 13

(1) Zm + Zn Z e Zm + Zn = Zd; (2) Zm Zn Z e Zm Zn = Zc; (3) Zm Zn = Zm + Zn. Esercizio 4. Sia (G, ) un gruppo. Dimostrare che, per ogni H, K G, valgono le seguenti affermazioni: (1) H K G H K o K H; (2) H K G H K = K H. Esercizio 5. Sia G un gruppo finito e siano x, y G tali che xy = yx. Dimostrare le seguenti affermazioni: (1) o(xy) o(x)o(y); (2) se mcd(o(x), o(y)) = 1 allora o(xy) = o(x)o(y). Esercizio 6. Sia G un gruppo abeliano finito e siano x, y G tali che mcd(o(x), o(y)) = 1. Dimostrare che x y = xy. Esercizio 7. Siano G e H gruppi finiti e f un omomorfismo da G in H. Dimostrare che (1) o(xf) divide o(x) per ogni x G, (2) se o(xf) = o(x) per ogni x G, allora f è iniettivo. Esercizio 8. Sia G un gruppo tale che G = p con p P. Dimostrare che G è ciclico. Esercizio 9. Sia G un gruppo, e il suo elemento neutro, a G e m, n Z primi tra loro. Provare che, se a m = e, allora esiste b G tale che a = b n. 14

Foglio 8 Esercizio 1. Siano ψ 1 := ( 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 7 6 4 ( 1 2 3 4 5 6 7 ψ 2 := 1 2 3 5 6 4 7 ( 1 2 3 4 5 6 7 ψ 3 := 2 1 7 4 5 6 3 ), ), ). (1) Dare ψ := ψ 1 ψ 2 ψ 3 nella scrittura standard. (2) Determinare le orbite di ψ. (3) Decomporre ψ nel prodotto di cicli disgiunti non banali. Esercizio 2. Sia X = 7 e sia ( ) 1 2 3 4 5 6 7 ϕ := 1 3 5 4 7 6 2 (1) Mostrare che ϕ è un ciclo. (2) Dare ϕ 2 e ϕ 3 nella scrittura standard e determinarne le orbite. (3) Verificare che ϕ 4 = id X. 15

Esercizio 3. Sia ζ := (1) Verificare che ζ è un ciclo. ( 1 2 3 4 5 6 7 5 2 4 7 3 6 1 (2) Per ogni n N, si scriva ζ n come prodotto di trasposizioni. ) Esercizio 4. Sia π := ( 1 2 3 4 5 6 7 5 2 6 4 7 3 1 (1) Decomporre π nel prodotto di cicli disgiunti. (2) Determinare π. ) Esercizio 5. (Prova d esonero del 17.12.2008) Sia ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 ψ := 7 5 1 2 4 6 3 8 (1) Determinare le orbite e la decomposizione in cicli disgiunti di ψ. (2) Scrivere ψ 2 come prodotto di trasposizioni. (3) Determinare ψ. (4) Trovare una trasposizione τ S 8 tale che ψτ = τψ. Esercizio 6. (Prova scritta del 3.2.2009) Siano α := (1 2 3 4) e β := (1 6 7) elementi di S 7. (1) Dimostrare che αβ e βα sono entrambi cicli e αβ βα. (2) Determinare una trasposizione τ S 7 tale che ατβ sia un ciclo di lunghezza 7. 16

Alcune soluzioni e note Foglio 1A Esercizio n.1 (3) Sia z Z. Per il punto (1), 2 z(z + 1) e quindi 2 z(z + 1)(z + 2). Inoltre, per il punto (2), 3 z(z + 1)(z + 2). Quindi, esistono q 1, q 2 Z tali che z(z + 1)(z + 2) = 2q 1 = 3q 2. Ne segue che q 2 = 2(q 1 q 2 ) e Pertanto 6 divide z(z + 1)(z + 2). z(z + 1)(z + 2) = 3q 2 = 3 2(q 1 q 2 ). Esercizio n.2 (1) Sia z un numero intero dispari. Allora esiste k Z tale che z = 2k + 1. Ne segue che z 2 1 = (z 1)(z + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1). Poichè 2 k(k + 1), esiste q Z tale che k(k + 1) = 2q e quindi z 2 1 = 8q. Pertanto 8 divide z 2 1. (2) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P(n) : 3 4 n + 2. I. Vale che 3 3 e 3 = 4 0 + 2. Quindi è vera P(0). II. Sia k N 0 tale che 3 4 k + 2. Allora 4 k+1 + 2 = 4 4 k + 2 = (3 + 1)4 k + 2 = 3 4 k + 4 k + 2. 17

Ora, 3 3 4 k e, per l ipotesi induttiva, 3 4 k + 2. Ne segue, per I.2.2, che 3 3 4 k + 4 k + 2. Pertanto vale P(k + 1). Un altra dimostrazione. Sia n N 0. Vale che n ( ) n 4 n + 2 = (1 + 3) n + 2 = 1 n k 3 k + 2 = 1 + k k=0 ( n ( ) n = 3 1 + )3 k 1. k k=1 Pertanto 3 divide 4 n + 2. Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P n : 4 ( 1) n (2n + 1) 1. I. Vale che 4 0 e cioè 4 ( 1) 0 (2 0 + 1) 1. Quindi è vera P 0. II. Sia k N 0 tale che 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Allora n k=1 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1 = [( 1) k (2k + 2 + 1)] 1 = [( 1) k (2k + 1) + ( 1) k 2] 1 ( ) n 3 k + 2 k = [( 1) k (2k + 1) 1 + 1 + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1] 1 + ( 1) k 2 1 Ora, 4 1 + ( 1) k 2 1 perché quest ultimo assume valore 0 o 4. Inoltre, per l ipotesi induttiva, 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Ne segue, per I.2.2, che 4 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1. Pertanto vale P k+1. Dimostrazione di una studentessa. Sia n N 0. Allora, 4 n + 2 = 4 n + 3 1 = (4 n 1) + 3 = ((2 n ) 2 1) + 3 = (2 n 1)(2 n + 1) + 3. Dall Esercizio 1(2) vale che 3 (2 n 1)(2 n )(2 n + 1). Quindi, per il Lemma di Euclide, 3 2 n o 3 (2 n 1)(2 n + 1). Chiaramente 3 2 n e quindi 3 (2 n 1)(2 n + 1). Ne segue che esiste q Z tale che (2 n 1)(2 n + 1) = 3q da cui si ottiene che 4 n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1). 18

Pertanto 3 4 n + 2. (3) Procediamo per induzione su n. Per ogni n N 0, poniamo P n : 4 ( 1) n (2n + 1) 1. I. Vale che 4 0 e cioè 4 ( 1) 0 (2 0 + 1) 1. Quindi è vera P 0. II. Sia k N 0 tale che 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Allora ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1 = [( 1) k (2k + 2 + 1)] 1 = [( 1) k (2k + 1) + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1 + 1 + ( 1) k 2] 1 = [( 1) k (2k + 1) 1] 1 + ( 1) k 2 1 Ora, 4 1 + ( 1) k 2 1 perché quest ultimo assume valore 0 o 4. Inoltre, per l ipotesi induttiva, 4 ( 1) k (2k + 1) 1. Ne segue, per II.2.1, che 4 ( 1) k+1 (2(k + 1) + 1) 1. Pertanto vale P k+1. Esercizio n.3 (4) Poniamo d := mcd(a, b) e proviamo che c d = mcd(ca, cb). Evidentemente c d N 0. Inoltre, poiché d a e d b, si ha che c d ca e c d cb. Infine, sia v Z tale che v ca e v cb. Quindi v c a e v c b. È noto che esistono x, y Z tali che d = ax + by. Quindi c d = c ax + c by. Ne segue che v c d. Pertanto c d = mcd(ca, cb). Esercizio n.4 Siano a, b Z e poniamo d := mcd(ab, a + b). Allora, siccome d a + b si ha che d a 2 + ab. Ora, poiché per ipotesi d ab, si ottiene che d a 2. Analogamente si prova che d b 2 e pertanto d mcd(a 2, b 2 ). Esercizio n.6 (1) Sia z Z e poniamo d := mcd(z, z + 2). Allora d z e d z + 2. Ne segue che d 2 e quindi d {1, 2}. Ora, se z dispari, allora d 2, in quanto d z. Pertanto d = 1. Se z è pari, 2 z e 2 z + 2. Ne segue che 2 mcd(z, z + 2), cioè 2 d. 19

Pertanto d = 2. (2) Sia z Z e poniamo d := mcd(z + 2, 2z). Allora d z + 2 e d 2z. Ne segue che d 2(z + 2) 2z, cioè d 4. Pertanto d {1, 2, 4}, in quanto d N 0. (3) Siano a, b Z tali che mcd(a, b) = 2. Allora esistono u, v Z tali che 2 = au+bv. Ne segue che 4 = a 2 u 2 +b 2 v 2 +2abuv. Ora, posto d := mcd(ab, a+b), si ha che d a 2 e d b 2, come nell Esercizio 4. Ne segue, per I.2.2, che d 4. Inoltre, poiché 2 a e 2 b, per I.2.2, 2 ab e 2 a + b. Quindi 2 d e così d 1. Pertanto d {2, 4}. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 7. (1) Per ogni a Z e per ogni n N, dimostrare che a 1 a n 1. (2) Per ogni a Z e per ogni numero naturale dispari n, dimostrare che a + 1 a n + 1. (3) Per ogni a Z e per ogni m, n N, dimostrare che m n = a m 1 a n 1. Esercizio 8. (Prova scritta del 26 giugno 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(a 1, 2a + 1) {1, 3}, (2) mcd(a 2 1, 2a + 1) {1, 3}. Esercizio 9. (Prova scritta del 20 luglio 2015) Dimostrare che, per ogni a Z, valgono: (1) mcd(2a 1, 2a + 1) = 1, (2) mcd(3a 1, 3a + 1) = 1 a è pari. 20

Foglio 2A Esercizio n.1 Supponiamo dapprima che b 1 = 0 oppure b 2 = 0. Allora m = 0 è un multiplo comune di b 1 e b 2 e chiaramente vale (1.1). Vale banalmente anche (1.2). Proviamo l unicità. Sia m N 0 tale che b 1 m e b 2 m e soddisfi (1.1) e (1.2). Allora da 0 m si ottiene che m = 0. Supponiamo ora b 1, b 2 0 e poniamo X := { x x Z, b 1 x, b 2 x }. Poiché b 1, b 2 Z \ {0}, b 1 b 2 0 e quindi X {0}. Segue che M := { x x X, x > 0 }. Sia m := minm. Proviamo che m = mcm(b 1, b 2 ). Poiché m X, la condizione (1.1) è verificata. Sia ora n Z tale che b 1 n e b 2 n e dimostriamo che m n. Allora, per la proprietà euclidea degli interi, esistono q Z e r N 0 tali che n = mq + r con 0 r < m. Da b 1 m e b 1 n, per (2.1) si ottiene che b 1 n mq ossia b 1 r. Analogamente si ottiene che b 2 r. Ne segue che r X e quindi, per la minimalità di m si deve avere che r = 0. Ne segue che n = mq e quindi la (1.2) è verificata. Dimostriamo ora l unicità di m. Sia m un multiplo comune di b 1 e b 2 tale che soddisfi (1.1) e (1.2). Quindi, da (1.2) applicata a m si ottiene che m m e da (1.2) applicata a m si ottiene che m m. Pertanto m = m. Esercizio n.2 Poniamo a := mcd(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 b 2, esiste q N tale che b 1 b 2 = aq. Dimostriamo che q = mcm(b 1, b 2 ). Poiché a b 1 e q b 2, esistono q 1, q 2 Z tali che b 1 = aq 1 e b 2 = aq 2. Allora aq = b 1 b 2 = aq 1 b 2 e quindi a(q q 1 b 2 ) = 0. Poiché a 0, q = q 1 b 2 e quindi b 2 q. Analogamente si ottiene che q = q 2 b 1 e quindi b 1 q. Sia ora n N tale che b 1 n e b 2 n. Allora esistono k 1, k 2 Z tali che n = b 1 k 1 e n = b 2 k 2. Ne segue che aq 1 k 1 = b 1 k 1 = n = b 2 k 2 = aq 2 k 2 e quindi q 1 k 1 = q 2 k 2, da cui si ottiene che q 1 q 2 k 2. Osserviamo che mcd(q 1, q 2 ) = 1. 21

Di conseguenza, per 3.5(1), q 1 k 2. Allora esiste k N tale che k 2 = q 1 k da cui segue che an = ab 2 k 2 = ab 2 q 1 k = (aq 1 )b 2 k = b 1 b 2 k = aqk. Pertanto n = qk e quindi q n. Esercizio n.3 (3) Il resto della divisione di 5 999.999 con 7 è 6. Infatti, per il piccolo teorema di Fermat si ha che 5 6 7 1 e quindi (5 6 ) 166.666 7 1. Inoltre, 5 2 7 4 e quindi 5 3 7 4 5 = 20. Dato che 20 7 6, per la proprietà transitiva di 7 segue che 5 3 7 6. Pertanto 5 999.999 = (5 6 ) 166.666 5 3 7 6. (5) Per il piccolo teorema di Fermat vale che 131 36 37 1 e quindi (131 36 ) 2 37 1. Poiché 131 37 20, risulta che 131 2 37 400. Dato che 400 37 30, si ha che 131 2 37 30. Segue che 131 4 37 900 e, dato che 900 37 12, vale che 131 4 37 12. Pertanto 131 76 = 131 4 (131 36 ) 2 37 12. Esercizio n.5 (5) Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 4 2k+1 = (4 2 ) k 4 15 4 e che 11 2k+1 = (11 2 ) k 11 15 11. Pertanto 4 n +11 n 15 0 e così 15 4 n + 11 n. Viceversa, assumiamo che 15 4 n + 11 n, cioè 4 n + 11 n 15 0. Supponiamo per assurdo che n sia pari. Allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 4 2k + 11 2k 15 2, avendo così 0 15 2, che è evidentemente una contraddizione. Pertanto n è dispari. Esercizio n.6 Sia n N. Se n è pari, allora esiste k N tale che n = 2k. Ne segue che 10 2k = 100 k 11 1, poiché 100 11 1. Se n è dispari, allora esiste k N tale che n = 2k + 1. Ne segue che 10 2k+1 = 100 k 10 11 1, poiché 100 k 11 1 e 10 11 1. 22

Esercizio n.7 Sia z Z. Dimostriamo dapprima che 3 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z 3 3 z. Per la compatibilità di 3 rispetto al prodotto segue che z 4 3 z 2 e quindi z 12 = (z 3 ) 4 3 z 4. Di conseguenza, per la proprietà transitiva di 3, segue che z 12 3 z 2. Pertanto 3 z 12 z 2. Dimostriamo ora che 11 z 12 z 2. Per il piccolo teorema di Fermat segue che z 11 11 z. Ne segue che z 12 = z 11 z 11 z 2. Pertanto 11 z 12 z 2. Esercizio n.8 Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Osserviamo che 6(10a + b) 7 0 ossia 60a + 6b 7 0. Poiché 60 7 4 e 6a 7 1, vale che 4a b 7 0 e quindi 4a 7 b. Viceversa, supponiamo 4a 7 b. Allora, dato che b 7 6b, vale che 4a + 6b 7 0. Ne segue che 6(4a + 6b) 7 0 e quindi 24a + 36b 7 0. Poiché 24 7 10 e 36 7 1, risulta che z = 10a + b 7 0. Pertanto 7 z. Dimostrazione di una studentessa Supponiamo dapprima che 7 z e dimostriamo che 4a 7 b. Dato che chiaramente 7 14a, per (2.1) vale che 7 (10a + b) + 14a ossia 7 4a b. Pertanto 4a 7 b. Supponiamo ora che 4a 7 b. Allora 7 4a b. Per (2.1) vale che 7 14a (4a b) ossia 7 10a + b. Pertanto 7 z. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 10. Siano a, n, m N. Dimostrare che (1) a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 +... + a + 1), (2) se m n, allora a m 1 divide a n 1, (3) se 2 n 1 P, allora n P, (4) se a n 1 P e n > 1, allora a = 2 e n P. 23

NOTA: Per ogni n N, i numeri M n := 2 n 1 sono noti come i numeri di Mersenne. Il numero di Mersenne 2 74207281 1 è il più grande numero primo noto. Tale numero ha oltre 22 milioni di cifre. Esercizio 11. (1) Senza utilizzare il teorema di Euclide dimostrare che esistono infiniti numeri primi dispari. (2) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 3k + 2 k N 0 }. (3) Dimostrare che esistono infiniti numeri primi nell insieme { 4k + 1 k N }. Esercizio 12. Sia p un numero primo. Dimostrare che, per ogni z Z, valgono (1) mcd(pz, p + z) {1, p, p 2 } (2) se mcd(p, z) = 1, allora mcd(pz, p + z) = 1. 24

Foglio 3A Teorema 1. (Teorema cinese del resto) Siano m 1, m 2, m n numeri naturali maggiori di 1 a due a due coprimi e siano a 1, a 2, a n Z. Allora il sistema di congruenze x m1 a 1 x m2 a 2...... x mn a n ha soluzioni. Dimostrazione Sia M := m 1 m 2 m n e poniamo M i := M m i. Allora, dall ipotesi e dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi) esiste una soluzione dell equazione congruenziale M i y mi 1 e la indichiamo con y i. Pertanto, una soluzione x del sistema di equazioni congruenziali è data da x = a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y 2 +... + a n M n y n. (Si lascia per esercizio la verifica che x sia una soluzione del sistema). Esercizio n.5 Seguiamo l istruttiva dimostrazione del Teorema cinese del resto per trovare una soluzione del sistema. Il mcd(3, 4) = mcd(4, 5) = mcd(3, 5) = 1, pertanto il sistema ammette soluzioni. Quindi M = 3 4 5 = 60 e siano M 1 = 20, M 2 = 15 ed M 3 = 12. Allora, l equazione 20y 3 1 ammette soluzione. Dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi), una soluzione dell equazione è y 1 = 1. Analogamente troviamo una soluzione delle equazioni 15y 4 1 e 12y 5 1. Siano rispettivamente y 2 = 1 e y 3 = 2 una soluzione delle equazioni. Allora x = 2 20 ( 1) + 5 15 ( 1) + 3 12 ( 2) = 187 è una soluzione del sistema di equazioni congruenziali. 25

ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 13. (1) Determinare un intero x tale che 259x 11 16. (2) Determinare un intero x tale che 73x 35 101. (3) Determinare un intero x tale che { x 5 2 x 7 18 Esercizio 14. Determinare un intero x tale che x 3 2 x 5 3 x 7 2 Esercizio 15. Determinare un intero x tale che { x 4 1 3x 5 2 Esercizio 16. Determinare, se esiste, un intero x tale che x 4 3 5x 3 4 6x 7 1 Esercizio 17. Determinare tutte le soluzioni del sistema di congruenze x 9 3 x 8 5 x 7 2 26

Foglio 4A Esercizio n.4 Sia f : M Q (a, u) { a u+1 se u 1 0 se u = 1 Siano (a, u), (b, v) M si ha se u 1 e v 1 Se u = 1 e v 1 si ha (a, u) f (b, v) u + 1 = v + 1 a b a(v + 1) = b(u + 1) (a, u) (b, v) (a, 1) f (b, v) 0 = v + 1 v = 1 b v + 1 = 0 a(v + 1) = 0 a(v + 1) = b( 1 + 1) (a, 1) (b, v) Analogamente per u 1 e v = 1. Banalmente per u = v = 1. f è un omomorfismo. Infatti, siano (a, u), (b, v) M: se u 1 e v 1, allora ((a, u) (b, v))f = (ab, u + v + uv)f ab = u + v + uv + 1 ab = (u + 1)(v + 1) = a u + 1 b = (a, u)f (b, v)f v + 1 se u = 1 e v 1,allora ((a, 1) (b, v))f = (ab, 1 + v v)f = 0 = 0 (b, v)f = (a, 1)f (b, v)f 27

Analogamente per u 1 e v = 1. Banalmente per u = v = 1. Sia q Q. Allora esistono y N, x Z tali che q = x. y Allora (y, x 1) M e (y, x 1)f = x 1++1 = x = q. y y Pertanto f è suriettiva. Dal teorema di omomorfismo per strutture, f = è una congruenza ed (M/, ) = (Q, ). ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 18. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b := a + b + k. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è una congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m, ˆ+). Esercizio 19. Sia k Z. Definiamo la seguente operazione in Z ponendo, per ogni a, b Z, a b = ab + (a b 1)k, dove è l operazione in Z del precedente esercizio. Per ogni m Z, dimostrare che (1) m è congruenza di (Z, ), (2) la struttura (Z/ m, ˆ ) è isomorfa a (Z/ m,ˆ ). 28

Foglio 5A Esercizio n.6 Sia e l elemento neutro di G. Allora (ef)f = ef. Ne segue che e H. Ora, siano x, y H. Allora ((xy)f)f = ((xf)(yf))f = (xf)f (yf)f = (xf)(yf) = (xy)f. Ne segue che (xy) H. Inoltre risulta che x 1 f = (xf) 1 = ((xf)f) 1 = ((xf) 1 )f = (x 1 f)f e quindi x 1 H. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, H è un sottogruppo di G. Esercizio n.7 (2) Sia x G. Allora ((x 1 f)x)f = x 1 f 2 (xf) = x 1 xf = ((xf) 1 x) 1 = ((x 1 f)x) 1. Pertanto (x 1 f)x B. (3) Per ogni x G, vale che (x(xf))f = (xf)(xf 2 ) = (xf)x = x(xf), poiché G è abeliano. Ne segue che x(xf) A. Pertanto, dal punto (2), x 2 = xex = x(xf)(x 1 )fx AB. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 20. Sia (M, ) un monoide tale che a, b, c M a b = a c = b = c. Dimostrare che, se M è finito, allora (M, ) è un gruppo. 29

Esercizio 21. (Prova scritta del 27 novembre 2014). Provare che ciascuno degli insiemi { 1 + 2m } H = { 2 n n Z } e K = m, n Z 1 + 2n è un sottogruppo di (Q \ {0}, ). Esercizio 22. Dimostrare che l insieme {( ) a 0 G = a, b R, a 0} b 1 è un sottogruppo del gruppo GL(2, R) delle matrici quadrate invertibili di ordine 2 su R. 30

Foglio 6A Esercizio n.1 Osserviamo che C G (H). Infatti, indicato con e l elemento neutro di G, vale che eh = he per ogni h H e quindi e C G (H). Siano ora x, y C G (H) e sia h H. Allora, xh = hx e yh = hy e quindi xyh = xhy = hxy. Segue così che xy C G (H). Osserviamo poi che per ogni x C G (H), da xh = hx segue che hx 1 = x 1 h. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo si ha che C G (H) G. (2) Siano g G e dimostriamo che g 1 C G (H)g C G (H). Sia allora x C G (H) e sia h H. Poiché per la normalità di H vale che ghg 1 H, abbiamo che (g 1 xg)h = g 1 xghe = g 1 xghg 1 g = g 1 x(ghg 1 )g = g 1 (ghg 1 )xg = ehg 1 xg = h(g 1 xg). Pertanto, (g 1 xg) C G (H) e quindi, per la caratterizzazione dei sottogruppi normali di un gruppo, si ha che C G (H) G. Esercizio n.2 (i) = (ii) Siano x, y G tali che xy H. Poiché per ipotesi H è normale, g 1 Hg H. In particolare, x 1 (xy)x H, cioè yx H. (ii) = (i) Proviamo che x 1 Hx H, per ogni x G (otteniamo la tesi per la caratterizzazione dei sottogruppi normali). Sia x G e sia h H. Allora x(x 1 h) = h H e quindi, per l ipotesi, x 1 hx H. Esercizio n.3 Proviamo che NH è un sottogruppo di G. NH. Sia x, y NH, allora esistono n 1, n 2 N e h 1, h 2 H tali che x = n 1 h 1 e y = n 2 h 2. Allora xy = (n 1 h 1 )(n 2 h 2 ) = n 1 (h 1 n 2 h 1 1 )h 1 h 2 ora, (h 1 n 2 h 1 1 ) N perchè N è normale, pertanto xy NH. Sia x NH, allora esistono n N ed h H tale che x = nh. Pertanto x 1 = h 1 n 1 = 31

(h 1 n 1 h)h 1 NH dalla normalità di N. Pertanto dallla caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo NH G e quindi in particolare è un gruppo. N H è un sottogruppo di G, in particolare è un sottogruppo di NH. Sia x NH, allora esistono n N ed h H tale che x = nh e sia a N H. Ne segue che x 1 ax = (nh) 1 a(nh) = h 1 n 1 anh = h 1 n 1 nah perché N è abeliani = h 1 ah H perché a H Inoltre x 1 ax = (nh) 1 a(nh) = h 1 n 1 anh perchè a N ed N è normale Quindi x 1 ax H N, dalla caratterizzazione dei sottogruppi normali segue che (N H) NH. Esercizio n.4 (cenni) (1) Considerare l applicazione f : G Q Q, ( a b 0 d ) (a, b) e dimostrare che f è un epimorfismo tale che ker f = N. (2) Considerare la funzione ( ) 1 b α : N Q, b 0 1 e dimostrare che α è un isomorfismo. Esercizio n.5 (1) Vale che (0, 0) è l elemento neutro di G e, per ogni (a, b) G, (a, b) 1 = ( a, a 2 b). 32

(2), (3) Sia f : G Q, (a, b) a. Allora f è un omomorfismo da (G, ) in (Q, +). Infatti, per ogni a, b, c, d Q, si ha che ((a, b) (c, d))f = (a + c, ac + b + d)f = a + c = (a, b)f + (c, d)f Inoltre, f è suriettiva. Infatti, se a Q, allora (a, 0)f = a. Infine, proviamo che ker f = N. Per ogni a, b Q si ha che (a, b) ker f (a, b)f = 0 a = 0 (a, b) N. Per il teorema di omomorfismo dei gruppi, N è un sottogruppo normale di G e G/N è isomorfo a Q. Esercizio n.6 (1) Vale che (1, 0) è l elemento neutro di G e, per ogni (a, b) G, (a, b) 1 = (a 1, ba 1 ). (2), (3) Sia f : G R \ {0}, (a, b) a. Allora f è un omomorfismo da (G, ) in (R \ {0}, ). Infatti, per ogni a, b, c, d Q, si ha che ((a, b) (c, d))f = (ac, ad + b)f = ac = (a, b)f (c, d)f Inoltre, f è suriettiva. Infatti, se a R \ {0}, allora (a, 0)f = a. Infine, proviamo che ker f = N. Per ogni (a, b) G si ha che (a, b) ker f (a, b)f = 1 a = 1 (a, b) N. Per il teorema di omomorfismo dei gruppi, N è un sottogruppo normale di G e (G/N, ) è isomorfo a (R \ {0}, ). Esercizio n.7 (1) Sia e l elemento neutro di G. Allora (e, e) D e quindi D. Siano a, b G. Allora (a, a) 1 = (a 1, a 1 ), perché G G è il prodotto diretto di G con se stesso. Ne segue che (a, a) 1 (b, b) = (a 1, a 1 )(b, b) = (a 1 b, a 1 b) D Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, D è un sottogruppo del prodotto diretto G G. 33

(2) Assumiamo che D G G. Allora, per ogni a, b G esiste g G tale che (a, b)(b, b) = (g, g)(a, b). Ne segue che ab = ga e bb = gb e quindi g = b e ab = ba. Pertanto G è abeliano. Ora, sia f : G G G, (a, b) ab 1 (per determinare f può essere utile esplicitare la relazione D relativa al sottogruppo normale D di G). Evidentemente, f è suriettiva. Infatti, se g G, allora (g, e)f = g. Inoltre, per ogni a, b, c, d G, si ha che ((a, b)(c, d))f = (ac, bd)f = ac(bd) 1 = acd 1 b 1 Infine, per ogni a, b G vale che = ab 1 cd 1 poiché G è abeliano = (a, b)f (c, d)f (a, b) ker f (a, b)f = e ab 1 = e a = b (a, b) D Ne segue che ker f = D. Pertanto, per il teorema di omomorfismo per i gruppi, (G G)/D = G. ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 23. (Prova scritta del 19 gennaio 2015). Siano G ed H gruppi e f : G H un epimorfismo. Dimostrare che se N è un sottogruppo di H, allora N è un sottogruppo normale di H se e solo se f (N) è un sottogruppo normale di G. 34

Foglio 7A Esercizion n.2(cenni) (1) Provare con la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo che H è un sottogruppo di G. Quindi, siano (a, b) G e (1, x) H, allora (a, b) 1 (1, x)(a, b) = (a 1, b)(1, x)(a, b) = (a 1, a 1 x b)(a, b) = (a 1 a, a 1 b + a 1 x b ) a = (1, a 1 b + x b 1 ) = (1, x) H Dalla caratterizzazione dei sottogruppi normali di un gruppo segue la tesi. (2) Analogamente a quanto visto in (1) si prova che K è un sottogruppo normale di H. Proviamo che K non è un sottogruppo normale di G. Dalla definizione di sottogruppo normale sappiamo che K è un sottogruppo normale se per ogni x G, x 1 Kx = K. Pertanto per provare che K non è un sottogruppo normale di G basta trovare un elemento di G per cui x 1 Kx = K non vale. Ad esempio, sia (2, 2) G e sia (1, 2) K, allora (2, 2) 1 (1, 2)(2, 2) = ( 1 2, 2)(1, 2)(2, 2) = (1 2, 1)(2, 2) = (1, 1 2 ) / K Esercizio n.4 (1) = Siano H, K G tali che H K G e sia H non contenuto in K. Proviamo che K H. Sia k K. Poiché H non è contenuto in K, esiste h 0 H tale che h 0 / K. Allora h 0 k H K, in quanto h 0, k H K e H K G. Ma h 0 k / K, altrimenti h 0 kk 1 K e avremmo h 0 K. Così h 0 k H e pertanto k = h 1 0 h 0 k H. = Supponiamo che H K. Allora H K = K e pertanto H K G. Analogamente se K H. (2) = Sia x HK. Poiché HK G, esistono h H e k K tale che x 1 = hk. Ne segue che x = (x 1 ) 1 = k 1 h 1 KH. Pertanto HK KH. Analogamente si prova che KH HK. = Innanzitutto l elemento neutro e di G appartiene a HK. Ne segue che HK. Ora, siano x, y HK. Allora esistono h 1, h 2 H e k 1, k 2 K 35

tali che x = h 1 k 1 e y = h 2 k 2. Inoltre, k 1 h 2 HK e quindi esistono h H e k K tali che k 1 h 2 = hk. Ne segue che xy = h 1 k 1 h 2 k 2 = h 1 hkk 2 HK, x 1 = (h 1 k 1 ) 1 = k 1 1 h 1 1 KH = HK. Pertanto, per la caratterizzazione dei sottogruppi di un gruppo, si ha la tesi. Esercizio n.5 Sia G un gruppo finito e siano x, y G tali che xy = yx. (1) Allora (xy) o(x) o(y) = (x o(x) ) o(y) (y o(y) ) o(x) poiché xy = yx = e o(y) e o(x) = e. Ne segue che o(xy) o(x)o(y). (2) Per (1) resta da dimostrare che o(x)o(y) o(xy). Poiché mcd(o(x), o(y)) = 1, esistono u, v Z tali che o(x)u + o(y)v = 1. Allora x o(y) = x o(y) y o(y) = (xy) o(y) < xy >. Ne segue che (x o(y) ) o(xy) = e. Quindi x o(xy) = x o(x)o(xy)u+o(y)o(xy)v = x o(x)o(xy)u x o(y)o(xy)v = (x o(x) ) o(xy)u (x o(y)o(xy) ) v = e Così o(x) o(xy). Analogamente o(y) o(xy). Pertanto o(x)o(y) o(xy), in quanto o(x) e o(y) sono primi tra loro. Esercizio n.6 Poichè G è abeliano < x >< y >=< y >< x >, allora dall esercizio 4 < x >< y > G. il numero di elementi di < x >< y > non supera o(x)o(y). Ma, dall esercizio 5, o(xy) = o(x)o(y). Pertanto < xy >=< x >< y >. Esercizio n.7 Siano G, H due gruppi finiti ed f : G H un omomorfismo. (1) Sia n := o(x). Allora (xf) n = (x n )f = ef = e. Pertanto o(xf) o(x) 36

(2) Proviamo che f è iniettiva. Siano x, y G tali che xf = yf. Allora (xy 1 )f = (xf)(y 1 f) = (xf)(yf) 1 = e Allora, dall ipotesi o(xy 1 ) = o((xy 1 )f) = o(e) = 1, pertanto xy 1 = e, cioè x = y. Esercizio n.8 Sia x G con x e. Consideriamo < x > il sottogruppo generato da x. Allora, per il teorema di Lagrange < x > G. Ma, dall ipotesi G = p. Pertanto < x > = p (non può essere uguale ad 1 perchè x e). Quindi < x >= G, cioè G è ciclico. Esercizio n.9 Siano m, n Z primi tra loro. Allora esistono x, y Z tali che mx + ny = 1. Posto b := a y si ha a = a 1 = a mx+ny = a mx a ny = e b n = b n. 37

Foglio 8A Esercizio n.1 (1) La permutazione è ψ = ( 1 2 3 4 5 6 7 1 7 2 6 3 4 5 (2) Le orbite di ψ sono i seguenti sottoinsiemi di 7: (3) ψ = (2 7 5 3)(4 6) {1}, {2, 3, 5, 7}, {4, 6}. Esercizio n.2 (1) La permutazione ϕ è un ciclo perché l insieme {2, 3, 5, 7} è la sua orbita non banale. (2) ) ( ) 1 2 3 4 5 6 7 ϕ 2 = 1 5 7 4 2 6 3 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 ϕ 3 = 1 7 2 4 3 6 5 Le orbite di ϕ 2 sono {1}, {2, 5}, {3, 7}, {4}, {6} e le orbite di ϕ 3 sono {1}, {2, 3, 5, 7}, {4}, {6}. (3) Con una verifica diretta si prova che ϕ 4 = id X. Esercizio n.3 (1) La permutazione ζ è un ciclo perché l insieme {1, 3, 4, 5, 7} è la sua orbita non banale. (2) ζ = (1 5 3 4 7) = (1 5)(1 3)(1 4)(1 7), ζ 2 = (1 3 7 5 4) = (1 3)(1 7)(1 5)(1 4), ζ 3 = (1 4 5 7 3) = (1 4)(1 5)(1 7)(1 3), 38

ζ 4 = (1 7 4 3 5) = (1 7)(1 4)(1 3)(1 5), ζ 5 = id X Inoltre, poiché ζ 5 = id X, la permutazione ζ n è uguale a ζ r, dove r è il resto della divisione di n per 5. Esercizio n.4 (1) π = (1 5 7)(3 6). (2) π = (1 7 5)(3 6). (Osserviamo che π = π 5 ). Esercizio n.5 (1) Le orbite di ψ sono {1, 3, 7}, {2, 5, 4} {6} {8} e ψ = (1 7 3)(2 5 4). (2) ψ 2 = (1 3)(1 7)(2 4)(2 5). (3) ψ = ψ 2 = (1 3 7)(2 4 5). (4) Sia τ = (6 8). Poiché la trasposizione τ è disgiunta da (1 7 3) e (2 5 4), si ha che τψ = (6 8)(1 7 3)(2 5 4) = (1 7 3)(2 5 4)(6 8) = ψτ Esercizio n.6 (1) Vale αβ = (1 2 3 4 6 7) e βα = (1 6 7 2 3 4)) ed inoltre 1αβ 1βα e così αβ βα. (2) Sia τ = (4 5). Allora è un ciclo di lunghezza 7. ατβ = (1 2 3 4 5 6 7) ALCUNI ESERCIZI PROPOSTI Esercizio 24. Siano ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α := 5 8 1 9 6 3 2 4 7 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 β := 3 2 5 7 6 1 8 4 9 ), ). 39

(1) Si scriva σ := αβ come prodotto di trasposizioni. (2) Se esiste una permutazione τ tale che στ = τσ = id 9, si scriva τ come prodotto di cicli disgiunti. Esercizio 25. (Prova scritta del 24.2.2009) Siano α := (2 5 6 8)(2 8 7)(1 3 4) e β := (2 7 5 6)(2 6 8)(1 3 4) elementi di S 8. (1) Mostrare che α e β hanno la stessa struttura ciclica. (2) Determinare τ S 8 tale che ατ = β 2. Esercizio 26. Sia α := ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 3 5 6 2 9 1 ) (1) Scrivere α come prodotto di cicli disgiunti; (2) Determinare la struttura ciclica di α; (3) Si calcoli sgn(α). 40