DINAMICA - FORZE E ATTRITO 1 Un treno viaggia con accelerazione costante in modulo pari ad a. a. In uno dei vagoni, una massa m pende dal soffitto attaccata ad una corda. Trovare l angolo tra la corda e la verticale, e la tensione della corda in funzione di m, a e g. b. Nel caso in cui al corpo sia attaccata invece ad una molla, di costante elastica k = 25 N/m, si determini l allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio. c. Si risolva numericamente nel caso in cui a = 0.3 g m = 1 Kg. d. Si determini il lavoro compiuto dalla fune quando il corpo si sposta di d=50m 2 a. Due corpi di massa m 1 e m 2 sono appesi agli estremi della corda di una carrucola senza attrito. Determinare l accelerazione delle masse e la tensione della corda. b. Nel caso dei sistemi di carrucole indicate nelle figure, si determini l accelerazione della massa m 1 in funzione delle altre. 3 Una persona si trova su una piattaforma orizzontale collegata al soffitto tramite una carrucola come schematizzato in figura. La massa della piattaforma, della persona, e della carrucola sono rispettivamente M, m e µ. La massa della corda è trascurabile. La persona tira la corda in modo tale che il sistema si muove con un accelerazione di modulo a e rivolta verso l alto. Determinare in funzione di a: a. la tensione T della corda; b. la reazione vincolare N tra la piattaforma e la persona; c. la tensione R dell asta che collega la carrucola alla piattaforma. 4 Un corpo di massa m = 1 kg, inizialmente fermo, è soggetto all azione di una forza di direzione costante, ma intensità variabile nel tempo come indicato in figura. a. Si tracci il grafico di velocità e posizione in funzione del tempo. Si calcolino poi: b. l accelerazione massima del corpo; c. la velocità massima raggiunta e la velocità al tempo t = 40 s; d. il lavoro compiuto dalla forza nell intervallo di tempo [0,20]s; e. la potenza sviluppata in funzione del tempo. 5 Una massa M = 1 kg è ferma appoggiata su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico µ S = 0.2 e coefficiente di attrito dinamico µ D = 0.1. Una massa m = 400 g collegata al corpo M mediante un filo ideale. Inizialmente, il filo forma un angolo con la verticale ed il corpo m è mantenuto in quiete da un secondo filo orizzontale, ancorato ad un muro. Ad un certo istante, il filo orizzontale viene tagliato. a) Qual è il minimo valore di (lo chiamiamo 0) per il quale il corpo M non si muove subito dopo il taglio del filo? Nel caso in cui = 1.1 0 determinare la forza di attrito statico F as agente su M.
6 Un corpo viene messo in moto con velocità iniziale v 0 = 10m/s su un piano inclinato di pendenza = 20 o rispetto al piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è pari a µ D = 0.2. Si trovi a. per quanto tempo t up il corpo scorre sul piano prima di fermarsi; b. la distanza percorsa in questo primo tratto; c. 1- il lavoro il lavoro compiuto dalla dalla forza forza peso di attrito e dalla e forza 2- il lavoro d'attrito compiuto per unità dalla di massa forza peso durante sul la corpo salita durante la salita d. quanto tempo t down impiega a tornare al punto di partenza. Esercizio 2.21 pag 329 Due corpi di masse m 1 = 0.48 kg e m 2 = 0.76 kg, collegati da un filo, scendono lungo un piano inclinato ( = 16 o ). Tra m 1 e il piano non c è attrito mentre tra m 2 e il piano c è attrito. Calcolare quale valore deve avere il coefficiente di attrito µ affinché il moto sia uniforme. NB per la figura si veda il libro di testo 8 Un corpo di massa m viene tenuto fermo su un piano, di massa M, inclinato di un angolo rispetto all orizzontale. Il piano inclinato può scivolare sul pavimento. Sul sistema non agisce alcuna forza di attrito. Ad un certo istante, il corpo m viene lasciato libero di muoversi. Calcolare l accelerazione orizzontale del piano inclinato. 9 Una corda omogenea di lunghezza totale pari a l, giace parzialmente su un piano orizzontale, con una parte di lunghezza l 1 che sborda (e quindi pende verticalmente). Sia µ s il coefficiente di attrito statico. Quanto può valere al massimo l 1 perchè la corda non scivoli giù dal piano? Qual è il valore della forza di attrito statico agente sulla corda quando la lunghezza del tratto di corda che sborda è pari a 1/3 l 1? 10 Si esegue un esperimento per determinare il valore dell accelerazione gravitazionale g in prossimità della superficie terrestre tramite una macchina di Atwood. Due corpi di ugual massa M sono appesi in equilibrio ai capi di una corda disposta lungo una carrucola priva di attrito (si veda la figura). La massa della carrucola e della corda sia trascurabile. Una massa m = 0.01M viene appoggiata su una delle due masse M. Il sistema si mette in movimento e dopo che le masse M hanno percorso uno spazio h = 1m la massa m viene rimossa. Il sistema continua a muoversi, e in 1 secondo le due masse percorrono una distanza pari a 0.312m. a. Trovare il modulo g dell accelerazione di gravità. b. Disegnare il grafico di velocità e spazio percorso dalle masse M, a partire dal momento in cui la massa m rompe l equilibrio del sistema e per un intervallo di tempo pari a 3 s. 11 Due masse A (m A = 15kg) e B (m B = 5kg) sono disposte come in figura e i coefficienti di attrito tra A e il piano sono µ S = 0.3 e µ D = 0.2. a. Trovare il valore minimo m C,min della massa di C per impedire il moto di A. F agente su A quando la massa di C vale m C =1.5m C,min b. Calcolare la forza di attrito statico as Calcolare il modulo dell accelerazione del sistema quando C viene tolto. 12 Due masse m 1 ed m 2 giacciono sui due lati di un piano inclinato e sono collegate da una corda che passa sopra una carrucola senza attrito. Gli angoli di inclinazione del piano sono 1 = 53 o e 2 = 37 o rispetto al piano orizzontale. Se il piano è liscio, a. quale valore deve avere il rapporto tra le due masse, m 2 /m 1 in modo tale che il sistema sia stazionario? b. Quanto vale il modulo T della tensione della corda? (in funzione di m 1 ed m 2.) Se il piano è ruvido, e m 1 = m 2. quanto deve valere µ D in modo tale che i due corpi si muovano con velocità costante?
DINAMICA - ATTRITO MOTORE 13 Esercizio 5.7 MNV Elementi Un corpo di massa m A = 2 kg è posto su un carrello che può scorrere sul piano orizzontale, ad una distanza d=1m dal bordo destro. La massa del carrello è m B = 8 kg. Il carrello viene messo in moto tramite una forza di modulo F = 30 N applicata orizzontalmente (vedi figura). Il coefficiente di attrito tra il corpo ed il carrello è µ d =0.2. Calcolare quanto tempo impiega il corpo a toccare la parete del carrello. 14 Esercizio 3 - Scritto del 14 febbraio 2011 - Molto simile a Esercizio 2.9 pag 327 Un corpo di massa m = 2 kg è appoggiato ad un altro corpo di massa M = 3 kg fermo su un piano liscio. La massa M attaccata ad una molla di costante elastica k = 100 N/m attaccata ad un muro. a. Sia µ S = 0.15 il coefficiente di attrito statico tra le due masse. Determinare la compressione massima L max della molla tale che il corpo m non scivoli rispetto ad M quando la molla viene lasciata libera di oscillare. b. Qual è la forza di attrito statico as L=1/4L max? F agente su M quando 15 Due blocchetti di massa m 1 = 1kg e m 2 = 2kg sono sovrapposti ed appoggiati su un piano inclinato di = 20. Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocchetto inferiore e il piano vale µ d =0.1; il coefficiente statico tra i blocchetti vale µ S =0.5. a. Al blocchetto inferiore viene applicata una forza F = 15N parallela al piano, e si constata che i blocchi si muovono insieme. Calcolare l accelerazione dei due blocchetti e la forza di attrito statico agente su m 2. b. Calcolare la massima forza che si può applicare, parallelamente al piano, al blocchetto inferiore senza che il blocco superiore scivoli all indietro. 16 Esercizio 2 - Scritto del 22 novembre 2013 Un libro di massa M=2 kg lungo h=30 cm giace su un tavolo appoggiato sopra un foglio di cartoncino di massa m = 0.01M, come rappresentato in figura. I coefficienti di attrito, uguali fra tutte le superfici, sono µ S = 0.15 e µ D =0.10. Sul foglio di carta viene applicata una forza orizzontale F (si veda la figura). a. Qual è il valore minimo di F (la chiamiamo F 1 ) in grado di causare un moto dei due corpi? b. Qual è il valore minimo di F (la chiamiamo F 2 ) in grado di estrarre il cartoncino da sotto il libro? Sia t 0 = 0 l istante in cui una forza F = 2F 2 inizia ad agire sul sistema. c. Determinare l'istante t 1 in cui il cartoncino è completamente estratto da sotto libro. d. Si tracci il grafico della posizione del bordo sinistro di m ed M nell intervallo [0, t 1 ] nel sistema di riferimento indicato in figura.
DINAMICA - MOLLE 17 Esercizio 2.6 MNV pag 327 Un punto materiale di massa m è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla di costante elastica k = 70 N/m, che è in condizione di riposo; la tensione del filo è T = 4.9 N. Si taglia il filo. Calcolare: 1) la massima distanza percorsa dal punto; 2) la posizione in cui la velocità del punto è massima; 3) il valore massimo della velocità. 18 Un uomo scivola lungo un piano inclinato liscio, che forma un angolo = 30 con il piano orizzontale. L uomo tiene in mano una bilancia a molla con il piatto mantenuto orizzontale, su cui poggia un corpo di massa m = 3 kg, fermo rispetto al piatto della bilancia. Calcolare il valore letto sulla bilancia. 19 Esercizio 3 - Scritto del 3 dicembre 2010 Un corpo di massa m = 2.0 kg viene spinto contro una molla di massa trascurabile e costante elastica k=400n/m comprimendola di x= 0.22 m. Quando il corpo viene lasciato, si muove lungo un piano orizzontale senza attrito lungo d=1.1 m e poi lungo un piano inclinato di un angolo = 37.0 o. a. Qual è il lavoro compiuto dalla forza elastica su m dall'istante del rilascio a quello in cui la molla torna alla posizione di equilibrio? b. Con quale velocità il corpo arriva alla base del piano inclinato? c. Se il piano inclinato è privo di attrito, quale distanza massima percorre il corpo lungo il piano inclinato? d. Si ripete l esperimento nelle stesse condizioni, salvo che il piano inclinato è scabro. Si constata che il corpo si ferma a 1/2 della distanza determinata al punto b.: trovare il coefficiente di attrito dinamico del piano in questo caso. 20 Esercizio 2.8 MNV pag 329 Due punti di masse m 1 = 1.5 kg e m 2 = 1.8 kg sono collegati da una molla di costante elastica k = 50 N/m; la molla è a riposo. Supponendo che il coefficiente di attrito statico tra m 1 e il piano di appoggio sia µ 1 = 0.4 e che l analogo per m 2 sia µ 2 =0.3, calcolare l'allungamento massimo x max della molla perchè il sistema sia in equilibrio statico. Calcolare la forza di attrito statico agente su m 1 quando x =0.1 x max 21 Esercizio 2.23 MNV pag 329 Un punto materiale di massa m = 0.02 kg scende lungo un piano inclinato liscio. Alla fine del piano inclinato scorre su un tratto orizzontale scabro (µ = 0.1) andando ad urtare una molla, di massa trascurabile, fissata ad un vincolo verticale. La molla ha una lunghezza a riposo l 0 = 10 cm e una costante elastica k = 2 N/m. La distanza tra la fine del piano inclinato e il vincolo è d = 40 cm. Se il punto all istante iniziale è fermo, determinare l altezza h da cui deve scendere affinché, dopo aver urtato la molla, possa toccare la parete del vincolo. Si determinino inoltre il lavoro compiuto dalla forza peso su m durante la discesa dal piano inclinato e il lavoro compiuto dalla forza elastica su m durante la compressione della molla.
DINAMICA - VINCOLI CURVILINEI 22 Una massa m compie un moto circolare di raggio R su un piano orizzontale privo di attrito, connessa, tramite una corda inestensibile e di massa trascurabile che passa attraverso un buco al centro del tavolo, ad una seconda massa M sospesa e ferma all altro capo della corda. Determinare a. la tensione della corda; b. il periodo del moto circolare. 23 Un punto materiale scivola lungo un emisfero liscio partendo da fermo sulla sommità. A quale angolo avviene il distacco? 24 Esercizio 2.40 MNV pag 331 (v. disegno sul testo) Un blocco di massa m = 0.3 kg si trova alla sommità di una guida circolare di raggio R = 2.2 m. Nell istante t = 0 il blocco ha velocità v 0 = 5.8 m/s e comincia a scendere lungo la guida, a cui è vincolato. Nella prima metà la guida oppone al moto una forza tangenziale di attrito con modulo costante F = 3.1 N, nella seconda metà la guida è liscia. Calcolare la reazione della guida nell istante in cui il blocco passa nella posizione individuata dall angolo = 30 o. 25 Un corpo di massa m = 1kg è attaccato all estremo di una corda lunga r=1m. L'altro estremo della corda è fissato al muro e m è fatto ruotare verticalmente a velocità costante (per effetto di un'ulteriore forza tangenziale). a. A quale velocità è necessario far ruotare la corda per mantenerla sempre tesa? b. Assumendo che all'istante t 1 =2s il corpo si trovi in posizione angolare 1 =4, si determini l'istante nel quale il corpo passa per la posizione angolare 2 =130. c. La corda si rompe quando la massa si trova nel punto più basso della sua traiettoria: in quale direzione e con quale velocità il corpo inizia a muoversi? 26 Esercizio 2- Compitino del 30 novembre 2009 Una biglia di massa m e dimensioni trascurabili si muove senza attrito in un piano verticale all interno di un anello di raggio R = 130 cm. La sua velocità nel punto più basso è v 0. a. Determinare il minimo valore della velocità, v m, affinchè la biglia sia in grado di compiere un giro completo senza perdere contatto con la superficie interna dell anello. b. Supponendo ora che v 0 = 0.775 v m, la biglia si stacca dall anello nel punto P. Calcolare la posizione angolare alla quale avviene il distacco. Commentare la soluzione algebrica trovata 27 Esercizio 2.37 MNV pag 330 Un pendolo semplice di lunghezza L viene abbandonato con velocità nulla da una posizione che forma un angolo 0 rispetto alla verticale. Quando passa per la posizione di equilibrio statico (corrispondente a = 0) il filo urta un piolo distante h dal punto di sospensione. a. Dimostrare che la massa raggiunge la stessa altezza che avrebbe raggiunto in assenza del piolo; b. calcolare l angolo 0 che il filo forma con la verticale in questo punto di massimo. Discutere gli estremi di validità della soluzione. 28 Esercizio 2.31 MNV pag 330 Due punti materiali, di masse m 1 = 8.4 kg e m 2 = 10 kg sono collegati tra loro come in figura (cfr il libro di testo) con d 1 = 0.21 m e d 2 = 0.16 m. Il sistema, che sta in un piano orizzontale, ruota con velocità angolare costante = 3 rad/s attorno al punto O. Calcolare le tensioni dei fili. Assumendo ora che all'istante t 1 =4s i corpi si trovino in posizione angolare 1 =16, si determini la posizione angolare dei corpi all'istante t 2 =15s
29 Prova intermedia del 03.12.2010, Esercizio n. 2 Un punto materiale di massa m è connesso ad un asse verticale in rotazione tramite due corde inestensibili e di massa trascurabile di lunghezza l 1 = l 2 = 0.9 m (si veda la figura). L angolo formato dalle corde con l asse di rotazione `e = 40 o. L asse di rotazione e il punto materiale ruotano entrambi con velocità angolare = 12 rad/s. La quota della massa m non varia durante il moto. Trovare il modulo delle tensioni T 1 e T 2 delle corde in funzione di m. Per risolvere il problema ricordarsi di disegnare chiaramente tutte le forze che agiscono sulla massa m. inclinata