GARA DI MATEMATICA ON-LINE (4//07). ENTRÉE DI FATTORIALI [] (0! 9!)(8! 7!)(6! 5!) (!!) 9! (0 ) 7! (8 ) 5! (6 )...! ( ) (0! 9!)(8! 7!)(6! 5!) (!!) 9! (0 ) 7! (8 ) 5! (6 )...! ( ) 9 7... 9 7 5..... ESAEDRI IN AGRODOLCE [] La probabilità che esca un numero diverso da 6 è pari a. 5 0 La probabilità che escano due numeri uguali è: P( numeri uguali) P(6 6) P( uguali diversi da 6) 5 0 0 4 0 0. CROSTINI CON QUOZIENTE E RESTO [4] Sia 00 ax r, 47 bx r e 764 cx r con x il numero cercato. Dalle relazioni del problema, ricaviamo r r e r r 5 r 8. Inseriamo queste informazioni nelle prime tre equazioni e troviamo 00 ax r 44 bx r 756 cx r Sottraendo le equazioni a due a due, otteniamo ( b a) x 4 ( c a) x 456 ( c b) x 4 x è quindi il MCD tra i tre numeri trovati: MCD(4, 456,4) 4. 4. STUZZICHINO DI GEOMETRIA PIANA [6] Tracciamo le altezze dai punti D e C e siano H e K i piedi delle perpendicolari sulla retta che contiene la base AB. Per determinare la misura di AC useremo il Teorema di Pitagora sul triangolo ACK, ma per fare questo, dobbiamo prima di tutto determinare le misure di BK AH e CK DH. Il triangolo ADB è rettangolo e quindi, per il Primo Teorema di Euclide, per comodità di calcolo AH x. DH AH HB x x x x. Per il Secondo Teorema di Euclide A questo punto, per il Teorema di Pitagora AC AK CK ( x) x x 59 x x AC 6 cm. A D H x x 59 AD 49 AH. Sia AB 49 B 676 6. C K
5. ANTIPASTO DI SOLIDI RUSTICI [40] Sviluppando la superficie laterale risulta che la striscia colorata occupa l area di un parallelogramma di base m e altezza 80 m la cui area vale 40 m. 6. VELLUTATA DI LOGICA [4] Le due frasi dette da Bruno e Carlo non possono essere entrambe vere, quindi chi mente è uno dei due. Ne segue che Andrea e Diego stanno dicendo la verità, e quindi Carlo sta mentendo. Il colpevole accusato da Bruno è Diego. La risposta del problema è 004. 7. POLINOMI AGLIO, OLIO E PEPERONCINO [656] Prima soluzione 4 4 4 4 4 ( a ) ( b ) ( c ) ( a )( b )( c ) abc ( ab bc ac) 4( a b c) 8. Sfruttando le relazioni tra radici e coefficienti, possiamo concludere che abc ab bc ac a b c 4 4 4 ( ) 4( ) 8 ( 4) 4( ) 8 9 656. Seconda soluzione Siccome il polinomio è monico, p( x) ( x a)( x b)( x c). Ora p() ( a)( b)( c) e quindi La soluzione cercata è 4 4 p() 9 656. 4 4 4 4 4 p() ( a)( b)( c) ( a ) ( b ) ( c ). 8. RISOTTO IN PROGRESSIONE GEOMETRICA [4] 9 Siano a, ak, ak,, ak i 0 numeri in progressione geometrica. Dal testo del problema, analizzando la prima informazione, scopriamo che 9 9 a ak ak... ak 8, cioè che a( k k... k ) 8 e quindi k k... k. a k k... k La seconda informazione ci dice che... 6, cioè 9 9 a ak ak ak ak 8 quindi, sfruttando quanto appreso dalla prima informazione, a 6 9 ak, cioè 9 ak. Dobbiamo calcolare 5 a ak ak... ak a k a k 4 9 0 45 9 5. 9 8 9 6 e 9. LASAGNA SU FONDO ESAGONALE [400] 00 cm è tre volte la distanza tra due lati paralleli e, quindi, 6 volte l altezza del triangolo equilatero con il lato coincidente con quello dell esagono. Se h 00, h l 400 cm. P
0. CRESPELLE DI NUMERI GOLOSI [79] I cubi di tre cifre sono 5 5, 6 6, 7 4, 8 5 e 9 79. Abbiamo 9 possibilità di scegliere una cifra da posizionare al posto delle migliaia (infatti lo 0 non è permesso), 9 possibilità per inserire una cifra tra le centinaia e le decine (infatti non possiamo usare la cifra delle centinaia in quanto ricadiamo in un caso già contato) e via di seguito. Per ciascun numero abbiamo 6 possibilità per un totale di 65 80 casi. Osserviamo, però che 5 e 5 hanno la sequenza in comune e quindi il numero 55 è stato contato due volte. I numeri golosi sono quindi 79.. PERCORSI ALLA GRIGLIA [5] Dividiamo il calcolo in casi. Primo caso: usiamo solo tratti diagonali. Il problema è risolto dal terzo numero di Catalan C 5. È facile verificare anche a mano che le soluzioni sono solamente ///\\\ //\/\\ //\\/\ /\//\\ e /\/\/\. A B Secondo caso: usiamo 4 tratti diagonali ( per tipo) e orizzontali. Preoccupiamoci prima di tutto dei tratti diagonali che possiamo organizzare in C modi diversi ( //\\ oppure /\/\ ). A questo punto ci rimane da inserire opportunamente i tratti orizzontali. Indichiamo con D la posizione di un tratto diagonale, qualunque sia e con O un tratto orizzontatale, il 6! numero di possibilità è dato dall anagramma della stringa DDDDOO che è pari a 4!! 5 per un totale di 5 0 percorsi diversi. Terzo caso: usiamo tratti diagonali e 4 orizzontali. Ragionando come sopra, le possibilità sono pari all anagramma della stringa DDOOOO e sono 5. Resta un ultimo caso, in cui usiamo tutti i tratti orizzontali. In totale abbiamo 50 5 5 percorsi possibili.. POLPETTE DI ZUCCA [900] Una piramide a base quadrata che ha per facce laterali quattro triangoli equilateri ha in totale 8 spigoli. Aggiungendo un tetraedro su una delle facce triangolari si dovrebbero aggiungere spigoli. Resta il dubbio se una delle facce della piramide ed una delle facce del tetraedro siano complanari e quindi si debba togliere dal conto totale degli spigoli. Per accertarlo, immaginiamo di affiancare due piramidi congruenti tra loro, come nella figura a lato. Si osserva immediatamente che BMV ' e BCV sono complanari (per costruzione) e che tra le due piramidi si forma proprio un tetraedro ABVV ' in quanto VV ' BC. La soluzione del problema è data, quindi, dalla somma delle lunghezze di 9 spigoli e quindi 900 cm.. INVOLTINI DI CARNE ALLA T.D.N. [] Osserviamo che, 5 e 600 sono divisibili per, quindi anche z deve esserlo: sia z c. L equazione semplificata diventa 4x 5y 0c 400. Osserviamo che 4, 0 e 00 sono divisibili per 4, quindi anche y deve esserlo: sia y 4b. L equazione semplificata diventa x 5b 5c 00. Osserviamo che 5 e 50 sono divisibili per 5, quindi anche x deve esserlo: sia x 5a. L equazione semplificata diventa ab c 0. Sfruttando le combinazioni con ripetizione, l ultima equazione ha un numero di soluzioni pari a 0. 0 0
4. POLINOMI AL NATURALE [57] n n Sia p( x) anx an x... ax a0 il polinomio cercato, con ai. p(0) 60 ci dice che a0 60 e p() 6 ci dice che la somma di tutti gli a i vale 6. Per quanto appena detto, la somma di tutti gli a i a parte a 0 vale. L informazione p(4) ci assicura che la potenza di px ( ) è al massimo 5. p( x) a x a x a x a x a x 60. 5 4 5 4 Sfruttando p (4) e che a a a a 4 a 5 si determina il polinomio 5 p() 60 57. p x x x. 5 ( ) 60 5. PALINDROMI GRATINATI [7] I palindromi di due cifre sono i soli multipli di e quindi la loro somma vale (.. 9) 495. I palindromi di tre cifre sono della forma ABA dove A ha 9 possibili scelte e B ne ha 0. Possiamo calcolare la loro somma dividendo il calcolo in due parti: La somma di tutti gli A0A vale 00 (... 9) 45450 mentre la somma di tutti i B 0 vale 90 (... 9) 4050. La somma dei numeri palindromi di tre cifre è 49500 e aggiungendo anche quella dei palindromi di due cifre otteniamo 49995. Togliendo il valore ottenuto da Alberto, si ha la somma dei due palindromi dimenticati e cioè 49995 494 654. La loro media è 654 7. Per completezza osserviamo che 654 555 99. 6. PUREA DI NUMERI NATURALI [0] Eseguendo il minimo comune multiplo otteniamo: ab ac bc abc 5. Sommiamo tra loro la relazione ottenuta con ab c 8 ed otteniamo: abc ab ac bc a b c 560. Aggiungendo ad ambo i membri, a destra si ottiene un polinomio fattorizzabile: abc ab ac bc a b c 56 ( a)( b)( c) 56 e siccome 56 7, a meno di permutazioni, otteniamo a, b 0 e c 6 il cui prodotto vale abc 0. 7. CIOCCOLATINI ASSORTITI [8] Sia x il numero totale dei cioccolatini e y il numero di quelli al latte. La probabilità di estrarre due cioccolatini dello stesso tipo è quindi y y x y x y P( uguali) P( al latte) P( fondenti). x x x x Eseguiamo i calcoli algebrici sull ultima uguaglianza scritta: y y x xy x xy y y xx ( ) 4 4 y x xy x x x 4 4 y x xy x y x x Ora x deve essere un numero vicino a 50 e deve essere contemporaneamente un quadrato perfetto. L unica possibilità è x 49 e di conseguenza y 8. La soluzione richiesta è 8.
8. BUDINO DI POLINOMI AI TRE COEFFICIENTI [8] Il problema è quello di trovare il massimo valore possibile per abcd sapendo che a b c d. Sfruttando la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica possiamo scrivere che: a b c d 4 abcd e quindi che 4 abcd 8. 4 Il valore 8 è ottenuto quando a b c d. 9. MOUSSE DI GIOCHI DI CARTE [9] Il gioco è simmetrico e quindi, tolta la probabilità di pareggio, i due giocatori hanno la stessa probabilità di vittoria. 0 Osserviamo prima di tutto che il primo giocatore ha 45 possibili scelte, mentre al 8 secondo giocatore restano solamente 8. Realizziamo una tabella che ci aiuti nel calcolo. 4 5 6 7 8 9 0-4 5 6 7 8 9 0 - - 5 6 7 8 9 0 - - - 7 8 9 0 4 - - - - 9 0 4 5 - - - - - 4 5 6 - - - - - - 4 5 6 7 - - - - - - - 5 6 7 8 - - - - - - - - 7 8 9 - - - - - - - - - 9 0 - - - - - - - - - - 0 P(pareggio con 9) ; 45 8 P(pareggio con 7) ; 45 8 P(pareggio con 7) ; 45 8 0 P(pareggio con 8) ; 45 8 P(pareggio con 6) ; 45 8 P(pareggio con 5) ; eccetera. 45 8 In definitiva avremo che 0 0 6 6 0 6 6 0 0 00 5 P(pareggio). 458 458 6 5 6 9 P(vince Alberto). 6
0. BROWNIES DI NUMERI NATURALI [6] Da ab bc ac abc possiamo scrivere, raccogliendo abc che. a b c abc abc e quindi che a b c Dalla condizione ab c si ottiene Con quanto abbiamo appena ottenuto, deve a b c risultare che a e cioè a. Valutiamo le due possibilità. Da a si ottiene che b c ma ciò non è possibile in quanto c b Da a si ottiene che b c. Ma e quindi b c b cioè b 4 e maggiore di a. Ne segue che c 6. Si deduce che la terna (;;6) è l unica soluzione possibile. La soluzione richiesta dal problema è 6 6.