Corso di Mineralogia

Corso di Mineralogia Scienze Geologiche A.A. 2016 / 2017 Lab # 2 Cristallografia morfologica: le forme dei cristalli (pdf Lab#2)

ALCUNE NOZIONI DI GEOMETRIA ELEMENTARE Un "cristallo" è riconducibile ad un poliedro convesso regolare limitato da FACCE piane (f) che si incontrano originando SPIGOLI (s) che a loro volta convergono in VERTICI (v). Le facce formano tra loro angoli definiti "angoli interfacciali" (devono essere misurati su di un piano normale alle facce) angolo interfacciale = 54,74 (non 60!) splendido ottaedro di spinello-mgal 2 O 4, (Mogok, Birmania. Altezza 1 cm)

VALE LA RELAZIONE DI EULERO f + v = s + 2 f + v - 2 = s cubo (f)acce = 6 (v)ertici = 8 (s)pigoli = 6 + 8 2 = 12 tetraedro: (f)acce = 4 (v)ertici = 4 (s)pigoli = 4 + 4 2 = 6 ottaedro: (f)acce = 8 (v)ertici = 6 (s)pigoli = 6 + 8 2 = 12

LEGGE DELLA COSTANZA DEGLI ANGOLI INTERFACCIALI Tutti i cristalli della stessa specie cristallina, nelle identiche condizioni di temperatura, T e pressione, P, presentano, tra facce corrispondenti, sempre lo stesso valore di angolo diedro. (Stenone, 1669; Romé de L Isle, 1783) A = cristallo modello; B e C = cristalli distorti. Gli angoli interfacciali sono conservati. Un cristallo distorto può sempre essere reso ideale espandendo parallelamente le facce sino ad ottenere per tutte lo stesso sviluppo

MISURA DEGLI ANGOLI INTERFACCIALI Si effettua mediante l uso di goniometri. Attualmente questi strumenti hanno un interesse (quasi) esclusivamente storico; alcuni modelli "antichi" di goniometro a riflessione sono in esposizione nel Museo di Mineralogia. La misura degli angoli interfacciali è alla base della cristallografia "classica" e consentì ai mineralisti di riconoscere le relazioni di simmetria presenti nei cristalli e istituire le classi cristalline. La figura (da Klein, p. 230) mostra come l'angolo da considerare sia l'angolo fra le normali alle facce. Il goniometro per contatto attualmente ha solo interesse didattico

GONIOMETRI A RIFLESSIONE Goniometro di Babinet = angolo fra le normali = supplemento dell angolo interfacciale

LA SIMMETRIA NEI CRISTALLI Un cristallo possiede simmetria quando in esso è presente la ripetizione regolare di parti geometricamente equivalenti ottenuta mediante operazioni (dette) di simmetria. Le operazioni agiscono tramite operatori e possono essere semplici (s) e composte (c) secondo la tabella sottostante operatore Asse Piano Centro Asse + Centro Asse + Piano operazione rotazione (semplice) riflessione (semplice) inversione (semplice) rotoinversione (composta) rotoriflessione (c, meno importante) La tabella nella pagina successiva (Klein, p. 239, tab. 6.1) riporta i simboli per gli operatori di simmetria; noi useremo p per piano (al posto di m, mirror) e c per centro (al posto di i)

ASSE rotazione La mano viene ripetuta n volte (in questo caso 2) per rotazione attorno ad un asse (reale o virtuale). Notare come l'oggetto mantenga il suo "verso" (la mano sinistra rimane sinistra)

Piano riflessione La mano viene riflessa da un piano (m). Notare come l'oggetto inverta il suo verso = la mano sinistra per riflessione diviene destra. Si genera una coppia "enantiomorfa"

Centro inversione La mano viene invertita rispetto ad un centro. Anche questa operazione produce una coppia enantiomorfa.

Asse giroide rotazione + inversione Questa operazione combinata in questo caso particolare (asse 2) equivale ad un piano. Negli altri casi (assi 3, 4, 6) si ha la ripetizione di n volte del motivo (vedi ad es. il romboedro con le sue 6 facce generate da un asse 3)

ASSI (DI SIMMETRIA) SEMPLICE rotazione GIROIDE rotoinversione BIPOLARE POLARE

BINARIO: ripetizione elemento mediante rotazione di 180 TERNARIO: ripetizione elemento mediante rotazione di 120 QUATERNARIO: ripetizione elemento mediante rotazione di 90 SENARIO: ripetizione elemento mediante rotazione di 60

NON POSSONO ESISTERE ASSI DI ORDINE DIVERSO DA 2, 3, 4, 6 SI NO Perché? Notate come motivi con assi 5, 8, 9 (anche 7, 10, 11 ecc.) non riempiono completamente il piano ossia lasciano spazi vuoti. (La spiegazione quantitativa la trovate nel del pdf relativo alla cristallografia strutturale).

RICERCA DEGLI ELEMENTI DI SIMMETRIA REGOLE DI COESISTENZA Asse di ordine pari, piano (di simmetria) perpendicolare e centro coesistono (dato un piano e l'asse normale, il punto di intersezione è il centro) Se perpendicolarmente ad un asse di ordine n esiste un piano che contiene un asse di ordine pari (2, 4, 6) allora, nel piano, esistono in tutto un numero di assi di ordine pari uguale ad n. Esempio: se perpendicolarmente ad un asse quaternario (4) esiste un piano che contiene un asse binario (2), allora nel piano sono contenuti in tutto 4 assi di ordine pari (2)

Per descrivere la morfologia di un cristallo (un solido geometrico) è necessario definire la giacitura delle sue facce e dei suoi spigoli riferendoli ad una TERNA CARTESIANA DI ASSI Gli assi cristallografici vengono orientati nello spazio secondo una terna cartesiana X,Y,Z a X b Y c Z assi cristallografici a, b, c sono scelti paralleli a spigoli reali o possibili del cristallo. Gli assi non sono sempre ortogonali. Per ragioni pratiche è possibile scegliere assi di riferimento alternativi, in particolare un sistema di riferimento con 4 assi. a b c "distanza" lungo l'asse a "distanza" lungo l'asse b "distanza" lungo l'asse c (notare il grassetto) b c a a c b angoli (dal verso +) a b g

CROCI ASSIALI Combinando i parametri a, b, c ("che definiscono la "giacitura" di una faccia") con gli angoli a, b, g si arriva alla definizione di croce assiale e di sistema cristallino. I sistemi cristallini riconosciuti sono sette* e vengono riferiti alle seguenti croci assiali: CROCE A 3 ASSI: Sistema triclino Sistema monoclino Sistema rombico Sistema tetragonale Sistema cubico CROCE A 4** ASSI: Sistema esagonale Sistema trigonale * Secondo l'uso americano i sistemi cristallini sono 6, accorpando esagonale e trigonale ** E' comunque possibile utilizzare una croce a 3 assi

LE CROCI ASSIALI DEI SETTE SISTEMI CRISTALLINI GRUPPO MONOMETRICO monometrico = solo una misura ossia i parametri metrici a, b, c sono uguali In questo gruppo abbiamo un solo sistema Sistema cubico a = b = c a = b = g = 90

GRUPPO DIMETRICO (2 parametri metrici) In questo gruppo abbiamo 3 sistemi Sistema tetragonale a = b c a = b = g = 90 Sistema esagonale Sistema trigonale a = b = c d a = b = g = 120 d = 90 in questi due sistemi viene comunemente utilizzata una croce a 4 assi e i parametri sono modificati come sopra. E' comunque possibile utilizzare l'usuale croce a 3 assi

GRUPPO TRIMETRICO (3 parametri metrici) In questo gruppo abbiamo 3 sistemi Sistema (orto)rombico a b c a = b = g = 90 Sistema monoclino a b c a = g = 90 ; b > 90 Sistema triclino a b c a b g 90

Schema riassuntivo dei sette sistemi cristallini gruppo monometrico Sistema cubico a = b = c a = b = g = 90 gruppo dimetrico Sistema tetragonale a = b c a = b = g = 90 Sistema esagonale Sistema trigonale a = b = c d a = b = g = 120 d = 90 gruppo trimetrico Sistema (orto)rombico a b c a = b = g = 90 Sistema monoclino a b c a = g = 90 ; b > 90 Sistema triclino a b c a b g 90

LEGGE DI HAÜY - RAZIONALITA DEGLI INDICI Scelti per un cristallo tre assi di riferimento (a, b, c) paralleli a tre suoi spigoli, reali o possibili, e scelta, come faccia fondamentale, una sua faccia che intercetti tutti e tre gli assi secondo segmenti a, b, c, ogni altra faccia del cristallo taglierà sui tre assi dei segmenti a, b, c che, rapportati a quelli della faccia fondamentale, risultano essere numeri razionali, interi e generalmente piccoli, incluso lo zero. Questi numeri sono chiamati Indici di Miller OA = a OB = b OC = c OA = a OB = b OC = c a a : b b : c c = h: k: l a a : b b : c c = 1: 1: 1 per la faccia fondamentale a a : b : c = 1: 0: 0 a 1/2a : b b : c 1/3c = 2: 1: 3

ESEMPI DI INDICIZZAZIONE DEI PIANI piano (a): (a) intercette sugli assi: a otteniamo: 1 a reciproci: 0 0; eliminiamo il denominatore moltiplicando per a e otteniamo (100), indice di Miller del piano che taglia l'asse a ed è parallelo agli assi b, c. Possiamo ripetere lo stesso ragionamento per gli altri due piani ottenendo gli indici (001) e (010) 1 a 1 1 piano (b): (b) intercette sugli assi: a b reciproci: 1 a b 1 1 otteniamo: 0; eliminiamo il denominatore a b moltiplicando per il m.c.m e otteniamo (h k 0), indice di Miller del piano che taglia gli assi a, b ed è parallelo a c. Un piano di questo tipo viene indicizzato genericamente come (hk0). Disponendo dei dati cristallografici possiamo indicizzare il piano come (210) oppure (110) 1 1

CROCE A QUATTRO ASSI Nei sistemi esagonale e trigonale si usa tradizionalmente una croce a 4 assi con 3 assi nel piano orizzontale che formano fra di loro angoli di 120 e un quarto asse verticale. I parametri cristallografici per questa croce sono: a b c d; a b g 120, d 90 Le facce vengono indicizzate con 4 valori (hkil) e vale sempre la condizione: h + k + i = 0 (h + k = -i). Questi indici vengono chiamati indici di Miller-Bravais. Notare come l'indice i sia sempre negativo (viene scritto con un trattino ( ) sopra. Ricordiamo sempre che per indicizzare una faccia si parte dalla intercetta che la faccia stacca sui 4 assi cristallografici. Le intercette vengono chiamate rispettivamente a, b, c, (d). Gli indici di Miller (o Miller-Bravais) sono invece rapporti e per una faccia generica valgono (hkl) oppure (hkil). Nella pagina successiva viene mostrato perché si ricorre a questa modalità di indicizzazione. Per questo esempio si è sempre scelto di indicizzare facce verticali (per semplificare gli indici). La croce a 4 assi equivale ad una croce a 3 assi con angoli di 120 fra gli assi orizzontali. Per passare da 4 indici a 3 basta omettere i.

FORME CRISTALLINE FORMA SEMPLICE: è costituita dal ripetersi di una faccia per la presenza degli elementi di simmetria presenti. E quindi l insieme delle facce equivalenti. Può essere: positiva: la faccia di riferimento taglia l asse Z nel semiasse positivo negativa: la faccia di riferimento taglia l asse Z nel semiasse negativo aperta: non racchiude lo spazio chiusa: racchiude lo spazio composta: è la combinazione di più forme semplici. FORME APERTE: PEDIONE (1 faccia) PINACOIDE (2 facce) DOMA (2 facce non parallele) PRISMI (3, 4, 6, 8, 12 facce) PIRAMIDI (3, 4, 6, 8, 12 facce) FORME CHIUSE: BIPIRAMIDI (6, 8, 12, 16, 24 facce) TRAPEZOEDRI (6, 8, 12 facce) SCALENOEDRI (8, 12) ROMBOEDRO (6 facce) TETRAEDRO (4 facce) TUTTE LE FORME DEL SISTEMA CUBICO (tetraedro, cubo, ottaedro, rombododecaedro, pentagonododecaedro ecc.)

esempi di minerali e forme tipiche calcite romboedro e scalenoedro

QUARZO-a cristallo sinistro e destro la faccina rossa è quella del trapezoedro trigonale (6 facce). Nel trapezoedro manca il centro (di simmetria) e ha 3 assi binari polari. Questo implica che il quarzo ha una simmetria inferiore a quella apparente ed è piezoelettrico (non è facile da osservare).

SALGEMMA PIRITE cubo FLUORITE

SPINELLO NOBILE ottaedro MAGNETITE PIRITE FLUORITE

GRANATI icositetraedro rombododecaedro

ATTRIBUZIONE DELLA CLASSE CRISTALLINA E INDICIZZAZIONE DELLE FACCE Tramite esame visuale dei modelli di cristalli è possibile individuare la classe cristallina. La prima operazione consiste nella individuazione degli elementi di simmetria, del tipo di croce assiale, dei parametri della croce assiale. Questo consente di individuare la classe cristallina. Successivamente di indicizzano le facce e, utilizzando le tabelle allegate alla fine di questo documento, si individuano le forme presenti nei modelli di cristalli. La simbologia utilizzata è riportata sotto: ( ) SIMBOLO DELLA FACCIA { } FORMA SEMPLICE {hkl} DA IL NOME ALLA CLASSE Esempio per il sistema rombico (hkl) {hkl} bipiramide ortorombica CLASSE BIPIRAMIDALE ORTOROMBICA

CLASSI CRISTALLINE GRUPPO MONOMETRICO: SISTEMA CUBICO 5 CLASSI GRUPPO DIMETRICO: SISTEMA TETRAGONALE SISTEMA ESAGONALE SISTEMA TRIGONALE GRUPPO TRIMETRICO: SISTEMA ROMBICO SISTEMA MONOCLINO SISTEMA TRICLINO 7 CLASSI 7 CLASSI 5 CLASSI 3 CLASSI 3 CLASSI 2 CLASSI IN TOTALE 32 CLASSI CLASSE OLOEDRICA: è la classe di ciascun sistema caratterizzata dalla massima combinazione di elementi di simmetria. La sua forma generale {hkl} ha il numero più alto di facce. CLASSI MEROEDRICHE: tutte le classi del sistema che hanno combinazioni di elementi di simmetria inferiori al numero massimo possibile.

SCHEMA PER DESCRIVERE E CLASSIFICARE UN CRISTALLO 1. Ricerca degli elementi di simmetria 2. Individuazione della croce assiale e orientamento 3. Caratteristiche croce assiale a = b = g = a.. b.. c.. 4. Gruppo, Sistema e Classe cristallina 5. Simbolo della faccia di riferimento di ogni forma cristallina ed elenco del simbolo e del nome di ogni forma semplice. ( ) { } = nome (della forma) 6. Proiezione stereografica

I esempio Seguendo lo schema della slide precente 1 - A 2 A 2 A 2 (3 assi ortogonali) C (centro*) P P P (3 piani) Osservando il modello di cristallo si individuano: il centro (c), gli assi (2), i piani (in azzurro). 2 - Croce a 3 assi: X // A 2, Y // A 2, Z // A 2 La croce assiale si assegna sulla base degli elementi di simmetria. Qui abbiamo 3 assi ortogonali e paralleli a spigoli reali del cristallo. La croce scelta ha assi ortogonali. 3 - α = β = γ = 90 a b c Questi parametri si assegnano sulla base delle osservazioni (o di misure). Gli angoli sono evidenti, i parametri metrici meno. * Il centro si individua osservando la presenza di coppie di facce parallele fra loro. 4 - Gruppo trimetrico Sistema rombico Classe bipiramidale ortorombica L'insieme dei parametri individuati consente di attribuire il cristallo ad una classe; in questo caso la classe bipiramidale ortorombica (n. 8 tabelle in coda)

I esempio 5 - Indicizzazione delle facce Esaminiamo la faccia anteriore (verde). Questa faccia taglia l'asse X, è parallela a Y e Z. Le sue intercette sono quindi a sull'asse X e sugli assi Y, Z. Seguendo la procedura descritta nella slide 25 possiamo attribuire a questa faccia l'indice di Miller (100). Ripetendo il ragionamento per le facce laterale (grigia) e superiore (rossa) attribuiamo rispettivamente gli indici (010) e (001). La procedura prevede quindi di scrivere l'indice della faccia fra parentesi (), una freccia, l'indice della forma fra parentesi {}, il nome della forma. (100) {010} pinacoide anteriore (010) {010} pinacoide laterale (001) {001} pinacoide basale I nomi delle forme si trovano nella parte alta delle tabelle riportate in coda.

II esempio: modello riproducente un cristallo di olivina Seguendo lo schema: 1 - A 2 A 2 A 2 C P P P 2 - Croce a 3 assi: X // A 2, Y // A 2, Z // A 2 3 - α = β = γ = 90 a b c 4 - Gruppo trimetrico Sistema rombico Classe bipiramidale ortorombica In questo caso, più complesso del precedente, molte facce hanno indici in cui si utilizzano le lettere hkl; in mancanza dei dati cristallografici non è possibile attribuire un indice numerico per cui si utilizzano le lettere per indicare indici generici. Ad es. la faccia (hk0) taglia gli assi X, Y a distanze diverse mentre è parallela a Z. Notate come possano esistere più facce con indici simili 5 - (hk0) {hk0} prisma verticale (hk0) {hk0} prisma verticale (h0l) {h0l} prisma laterale (hkl) {hkl} bipiramide ortorombica (010) {010} pinacoide laterale (0kl) {0kl} prisma anteriore (0kl) {0kl} prisma anteriore (001) {001} pinacoide basale

In proiezione stereografica: i poli delle facce dell emisfero nord sono indicati con X i poli delle facce dell emisfero sud sono indicati con gli assi sono indicati con rette a tratteggio o con punti i piani sono indicati con linee a tratto intero (rette, diametro o circoli massimi) il centro di simmetria è indicato con un punto al centro del cerchio di proiezione gli assi binari, ternari, quaternari e senari rispettivamente con:

RETICOLO DI WULFF La proiezione delle facce è agevolata dall'utilizzo del Reticolo di Wulff che consente il posizionamento esatto delle facce quando sono disponibili le misure angolari (angoli interfacciali) Linee sottili: intervalli di 2 Linee grosse: intervalli di 10

I esempio: modello riproducente un cristallo di olivina Seguendo lo schema: 1 - A 2 A 2 A 2 C P P P 2 - Croce a 3 assi: X // A 2, Y // A 2, Z // A 2 3 - α = β = γ = 90 a b c 4 - Gruppo trimetrico Sistema rombico Classe bipiramidale ortorombica 5 - (hk0) {hk0} prisma verticale (hk0) {hk0} prisma verticale (h0l) {h0l} prisma laterale (hkl) {hkl} bipiramide ortorombica (010) {010} pinacoide laterale (0kl) {0kl} prisma anteriore (0kl) {0kl} prisma anteriore (001) {001} pinacoide basale

II esempio: modello riproducente un cristallo di zircone Seguendo lo schema: 1 - A 4 2A 2 2A 2 C P 2P 2P 2 - Croce a 3 assi: X // A 2, Y // A 2, Z // A 4 3 - α = β = γ = 90 a = b c 4 - Gruppo dimetrico Sistema tetragonale Classe bipiramidale ditetragonale 5 - (hkl) {hkl} bipiramide ditetragonale (h0l) {h0l} bipiramide tetragonale II (110) {110} prisma tetragonale I (100) {100} prisma tetragonale II

Nota importante: le tavole successive sono state scannerizzate da: Mottana A. (1988). Fondamenti di mineralogia geologica. Zanichelli. Durante il laboratorio di cristallografia utilizzaremo modelli di cartone di cristalli della collezione didattica del Dipartimento. La tabella iniziale ("tabella condensata ") riporta solamente le classi oloedriche ossia quelle che posseggono tutti gli elementi di simmetria per quel sistema cristallino. Negli esercizi useremo solo modelli di questo tipo con qualche eccezione importante per il minerale che rappresentano (ad es. il modello dei cristalli pentagonododecaedrici di pirite).

cubico trigonale esagonale tetragonale rombico monoclino triclino