Combinazione operatori di simmetria senza componenti traslazionali

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1 Combinazione operatori di simmetria senza componenti traslazionali E possibile combinare diversi operatori di simmetria per ottenere modelli tridimensionali. La combinazione non deve portare alla formazione di un nuomero infinito di elementi di simmetria. Se ad esempio combino due assi quaternari inclinati con un angolo acuto ciascuno opererà sull altro portando alla creazione di infini elementi di simmetria. Per evitare ciò gli assi devono essere orientati a 90 l uno rispetto all altro. Tutti gli operatori di simmetria inoltre devono intersecarsi in un unico punto. y Asse quaternario verticale conbinato con asse binario orientato secondo Est-Ovest. Dalla combinazione dei due (in blu) si generano altri tre assi binari (in nero). Asse senario verticale conbinato con asse binario orientato secondo Est-Ovest. Dalla combinazione dei due (in blu) si generano altri cinque assi binari (in nero).

2 Combinazione operatori di simmetria senza componenti traslazionali Operatori ed elementi di simmetria possono interagire per dar luogo alla formazione di nuovi elementi e operatori di simmetria. Infatti : si assuma che ci sia un operatore di simmetria che converta l oggetto X nell oggetto X 1 si assuma che ci sia un secondo operatore di simmetria che converta l oggetto X1 nell oggetto X2 Allora poichè l oggetto X1 è simmetricamente equivalente a X e anche l oggetto X2 è simmetricamente equivalente a X gli oggetti X e X2 devono anche essere simemtricamente equivalenti. Deve esistere un operatore e un elemento di simmetria che converte l oggetto X in X2. Per esempio: Se A può essere convertito in B dall asse 2 Se B può essere convertito in C dal centro di simmetria (i = 1) Allora: A può essere convertito in C dal piano di simmetria (m)

3 Combinazione operatori di simmetria senza componenti traslazionali Il piano di simmetria quindi deriva dalla combinazione di un asse binario (2) e un centro di simmetria (i) posizionato su di esso. La relazione può essere scritta in forma di equazione usando la notazione internazionale dei corrispondenti elementi di simmetria: 2 1 on 2 = 1 on 2 2 = m ( 2 attraverso 1) Dove simboleggia l interazione tra gli elementi di simmetria. Lo stesso risultato si ottiene se parto da una qualunque combinazione di due dei tre elementi di simmetria considerati. Posso cioè scrivere le seguenti equazioni: 2 m 2 = m 2 2 = 1 (su m 2) m 1 on m = 1 on m m = 2 ( m attraverso 1)

4 Gruppi puntuali Come mostrato l interazione tra due elementi di simmetria porta alla generazione di un terzo elemento di simmetria. Quest ultimo può essere un nuovo elemento di simmetria o uno già esistente. Se nessun nuovo elemento di simmetria compare e quando tutte le interazioni tra gli elementi di simmetria sono state considerate la generazione di nuovi elementi di simmetria è completa. La somma totale di tutti gli elementi di simmetria è chiamato gruppo puntuale. Il termine puntuale si riferisce al fatto che tutti gli elementi di simmetria del gruppo si intersecano in un punto. Elemento di simmetria m m m m 1 1 m m Elementi di simmetria risultanti dalla combinazionendi m. Nessun ulteriore elemento di simmetria può essere generato dalla combianzione degli elementi di simmetria considerati. Gruppo puntuale 2/m.

5 Classi di simmetria Le combinazioni di assi propri e impropri senza componente traslazionale che si incontrano in un punto sono dette classi di simmetria o gruppi puntuali dal momento che gli operatori formano un gruppo e lasciano fisso un punto. Nei cristalli tridimensionali esistono 32 classi puntuali di simmetria che ne descrivono la morfologia Esistono 13 classi di simmetria ad un asse che può essere semplice d inversione o contemporaneamente semplice e d inversione

6 Derivazione della classi di simmetria Poniamoci il problema di derivare quali sono tutte le combinazioni di operatori di simemtria compatibili con la periodicità di un cristallo. Consideremo solo quelle combinazioni di operatori di simmetria senza componente traslazionale cioè combinazioni di assi proprio o impropri che si intersecano in un punto (classi di simmetria o gruppi puntuali). Le più semplici combinazioni di operatori sono quelle caratterizzate dalla presenza di un solo asse che può essere proprio (P) improprio (I) o contemporaneamente proprio e improprio (P/I). P I P/I (= m) (= 3 3 (= 1) 2 m) (= 3) 4 4 (= 4 m) 6 6 (= 3/m) 6 6 (= 6 m) Totale

7 Derivazione della classi di simmetria Il problema della coesistenza di più elementi di simmetria passanti per un punto fu risolto per la prima volta da Eulero. Teorema di Eulero: Supponiamo che esistanto due assi propri l 1 e l 2 che si intersacano in un punto O. L asse l 1 ripete in Q l oggetto originariamente in P l asse l 2 ripete in R l oggetto in Q. Essendo P direttamente congruente a Q e R direttamente congruente a Q allora anche P sarà direttamente congruente a R e cioè deve esistere un altro operatore proprio l 3 che ripete l oggetto P direttamente in R. l 1 Q P R O Classi caratterizzanti dalla coesistenza di più assi: PPP PII IPI IIP P I P P I I l2 Se l asse l 1 è di rotazione proprio (P) mentre l asse l 2 è improprio (I) allora gli oggetto P e Q sono direttamente congruenti mentre l oggetto R è enantiomorfo rispetto ad essi (ovvero legato da congruenza opposta). Per tanto il terzo operatore di simmetria l 3 che relazione P a R sarà anch esso improprio. Si conclude che di tre operatori di simmetria se uno è di inversione lo è almeno un altro. Quindi avremo altri gruppi puntuali caratterizzati da combinazioni del tipo PII IPI IIP. Inoltre possimao P P considerare anche gruppi del tipi P. Inoltre se due I I I dei tre assi sono equivalenti per simmetria non possono essere uno proprio e uno improprio.

8 Teorema di Eulero Se due assi A e B di ordine e si incontrano in un punto si genererà un terzo asse C di ordine. L angolo fra i due assi iniziali A e B deve soddisfare la relazione: cos AB cos cos cos 2 2 sin sin Non tutte le combinazioni di assi propri sono possibili. Fra quelle possibili esistono relazioni angolari ben precise

9 Possibili combinazioni di assi propri

10 Possibili combinazioni di assi propri

11 Possibili combinazioni di assi propri

12 Derivazione della classi di simmetria Ritornando al teorema di Eulero si può facilmente capire che se uno dei due assi l 1 e l 2 è improprio lo è almeno un altro per cui le combinazioni possibili sono: PPP PII IPI IIP Si ricordi che: se due assi sono equivalenti per simmetria non possono essere uno proprio e l altro improprio se un asse di ordine pari e un centro di inversione (o un piano m) coesistono esisterà anche un piano m (o un centro di inversione) normale all asse e passante per il punto d intersezione

13 Derivazione della classi di simmetria PPP PII IPI IIP P I (= 2mm) 222 (= m2m) 2 2 2(= mm2) (= 3mm) 322 (= 3 2 m 2 m ) 3 2 2(= 3 2 m (= 4mm) 422 (= 42m) 4 2 2(= 4m2) P I P I (= m 2 ) m (= 6mm) 622 (= 3 m 2m) 6 2 2(= 3 m m2) (= 3 2 m (= 4 2 m 2 2 (= 6 m 2 2 ) m m 2 ) m 2 2 ) m m 2 2 ) m m (= 2 m 3 3) 233 (= 2 3 3) m 2 3 3(= 2 m 3 3) (= 2 m 3 3) (= 4 m 3 2 m ) 432 (= 43m) (= 4 m 3 2 m ) (= 4 m 3 2 m ) Tot Abbiamo generato 19 classi di simmetria che sommate alle 13 aventi un solo asse prima ricavate fa un totale di 32 classi di simmetria (o gruppi puntuali) compatibili con la periodicità cristallina.

14 Gruppi puntuali Considerando le combinazioni che portano solo alla formazioni di gruppi puntuali con un numero finito di elementi di simmetria si ottengono solo 32 gruppi puntuali. I cristalli afferiranno ad uno di essi. Affinchè le interazioni diano un numero finito di elementi di simmetria solo le combinazioni riportate in tabella sono permesse. Primo elemento Secondo elemento Elemento generato 1 Asse di ordine N Piano di simmetria per N pari perpendicolare all asse Asse di rotoinversione di ordine N per N dispari. 2 2 a f o 90 m m a f o 90 Asse di rotazione di ordine N con N=180/f. Asse di rotazione di ordine N con N=180/f. Commenti o esempi = 4/m = 3 643o 2 assi perpendicolari al 1 e 2 asse 643o 2 assi lungo la linea comune m 2 a 90 Centro di simmetria. 1 all intersezione tra m e 2

15 Gruppi puntuali In modo equivalente alla tabella precedente le regole di combinazione degli elementi di simmetria possono essere definite nel modo seguente: a) Un asse di rotazione di ordine pari un piano di simmetria perpendicolare ad esso ed il centro di simmetria sono elementi di simmetria tali per cui la presenza di due di essi implica la presenza del terzo. b) Se esiste un asse binario normale ad un asse di ordine n allora esistono altri n-1 assi binari ad angoli pari a 2p\n. c) Se su di un piano di riflessione giace un asse di ordine n allora esistono altri n-1 piani ad angoli 2p\n. d) Le combinazioni di assi diverse da quelle stabilite al punto b) sono solo di due tipi ed entrambi implicano la presenza di quattro assi ternari disposti ad angoli di ; in un caso essi sono combinati con tre assi binari tra loro perpendicolari e nell altro con tre assi quaternari tra loro perpendicolari e sei assi binari.

16 Esempio: asse binario inclinato a 45 rispetto ad un piano di simmetria L interazione tra un asse binario e un piano di simmetria inclinati a 45 porta alla formazione di una asse di rotazione di ordine 4 (4 per esatezza). Sappiamo che il piano m coincide con un asse 2 (asse di rotoinversione di ordine 2) perpendicolare ad esso. Questo sarò ancora inclinato a 45 rispetto alla asse 2 della figura. Dalla tabella precedente si ricava che si formerà un asse di ordine 180 /45 = 4. Gli altri elementi di simmetria vengono generati di conseguenza dalle interazioni di questi e tre.

17 Esempio: asse binario inclinato a 45 rispetto ad un piano di simmetria B A L asse 2 trasforma A in B A B C A D Il piano m rifletterà anche l asse binario infatti C e D sono relazionati da una rotazione binaria.

18 Esempio: asse binario inclinato a 45 rispetto ad un piano di simmetria B C B C A D Il nuovo asse 2 trasforma A e B in E e F rispettivamente A D m E F A e C C e E E e H H e A sono relazionati da un asse 4 così come B e D D ef F e G e G e B. A G B C D m E Il secondo asse binario ruoterà anche il piano di simmetria infatti D ed E e C e F sono relazionati da una riflessione. Si avrà quindi un secondo piano di simmetria m H F

19 Gruppi puntuali La simmetria cristallina si conforma ai 32 gruppi puntuali 32 classi cristalline in 7 sistemi cristallini Sistema Cristallino Acentrico Centrato Triclino 1 1 Monoclino 2 2 (= m) 2/m Ortorombico 222 2mm 2/m 2/m 2/m Tetragonale mm 42m 4/m 4/m 2/m 2/m Trigonale Esagonale m 3 3 2/m mm 62m 6/m 6/m 2/m 2/m Cubico m 2/m 3 4/m 3 2/m Cristallo con simmetria morfologica afferente al gruppo puntuale 2 I gruppi puntuali indicano il numero minimo di elementi di simmetria che devo opportunamente combinare per ricostruire l intera simmetria morfologica del cristallo. I termini triclino monclino etc. saranno spieghati nelle prossime slide.

20 Gruppi puntuali Sistema cristallino N. di gruppi puntuali Notazione Herman- Mauguin Notazione Schoenflies Triclino C 1 C i Monoclino 3 2 m 2/m C 2 C s C 2h Orthorhombico mm2 mmm D 2 C 2v D 2h Trigonale 5 Esagonale 7 Tetragonale 7 Cubico m 3m 6 6 6/m 622 6mm 62m 6mm 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm 23 m m 3m C 3 S 6 D 3 C 3v D 3d C 6 C 3h C 4h D 6 C 6v D 3h D 6h C 4 S 4 C 4h D 4 C 4v D 2d D 4h T T h O T d O h Il sistema Hermann-Mauguin noto anche come sistema internazionale è una notazione utilizzata in cristallografia per descrivere i diversi gruppi puntuali. Deve il suo nome al cristallografo tedesco Carl Hermann e al mineralogista francese Charles Victor Mauguin. Il numero indica l'ordine dell'asse di simmetria n-ario la lettera "m" un piano speculare la barra indica che il piano speculare è perpendicolare all'asse di simmetria mentre la lineetta sopra il numero indica che l'elemento di simmetria e combinato con una inversione. Il sistema Schoenflies rappresenta una notazione utilizzata in alternativa e che in genere si usa per classificare la simmetria delle molecole.

21 Notazione Schoenflies Cn Un asse di simmetria di ordine n; Sn Un asse di rotorifelssione di ordine n; Dn Un asse di simmetria di ordine n avente n assi binari ortogonali; Cnh Un asse di simmetria di ordine n normale a un piano di simmetria; Dnh Un asse di simmetria di ordine n aventi n assi binari giacenti in un piano di simmetria ortogonale; Cnv Un asse di simmetria di ordine n giacente in n piani di simmetria verticali; Dnd Un asse di simmetria di ordine n aventi n assi binari ortogonali e n piani diagonali; T Quattro assi ternari combinati con tre assi binari mutualmente ortogonali; O Quattro assi ternari combinati con tre assi quaternari mutualmente ortogonali e sei assi binari ciascuno dei quali giacenti tra due di loro; Th Quattro assi ternari combinati cone tre assi binari mutualmente ortogonali ciascuno avente un piano di simmetria normale a esso; Td Quattro assi ternari combinati con tra assi binari mutualmente ortogonali e piani di simmetria diagonali; Oh Quattro assi ternari combinati con tre assi quaternari mutualmente ortogonali e sei assi binari ciascuno dei quali giacenti tra due di loro con un piano di simmetria normale a ciascun asse binario e quaternario.

22 Notazione Hermann- Mauguin n/m Un asse di simmetria di ordine n normale (/) a un piano di simmetria; nm Un asse di simmetria di ordine n giacente in un piano di simmetria verticale; n n Un asse di simmetria di ordine n combinato con un n assi ortogonali se n = 2 (e n > n ) altrimenti si tratta del caso di una simmetria cubica (n = 3).

23 Classi di Laue Radiazioni e particelle (es. raggi-x e neutroni) interagiscono con un cristallo in modo che il pattern di diffrazione risultante sia sempre centrosimmetrico a dispetto se il centro di simmetria sia o meno realmente presente. Questi patterns di diffrazione così ottenuti afferiscono a gruppi puntuali speciali chiamati classi di Laue. La classe di Laue può essere facilmente ottenuta a partire da un gruppo puntuale aggiungendo ad esso un centro di simmetria. Per esempio il sistema cristallino monoclino è caratterizzato dalla presenza di un solo asse binario. I gruppi puntuali di questo sistema sono 2 m (= 2) e 2/m ma la classe di Laue di questo sistema è sempre 2/m. Se ad esempio abbiamo un cristallo monoclino afferente al gruppo puntuale 2. Per ricavare la sua classe di Laue devo aggiungere un centro di simmetria ma dall interazione dell asse 2 con il centro di simmetria si viene a creare un piano di simmetria perpendicolare all asse 2 quindi la classe di Laue e 2/m. Un risultato analogo è ottenuto se si considera il piano di simmetria.

24 La scelta della maglia unitaria In linea di principio soddisfatto il criterio di rispettare la periodicità traslazionale del cristallo e quindi non lasciare «spazi vuoti» tra una cella unitaria e quelle attigue la scelta della cella elementare (maglia unitaria nel piano) è arbitraria. Tuttavia da un punto di vista matematico qualora nella struttura cristallina fossere presenti elementi di simmetria conviene scegliere la cella elementare in modo che gli assi di questa siano rispettivamente coincidenti o perpendicolari agli assi di rotazione e piani di simmetria presenti. Anche qualora si rispettino tale direttive talvolta è possibile scegliere comunque celle diverse. Tutte le celle rappresentate in figura sono caratterizzate dalla presenza di un asse binario. La due celle superiori sono primitive le due inferiori sono centrate ovvero vi un nodo al centro di una faccia (ma nelle 3D questo può anche essere al centro del corpo della cella).tutte le celle sono compatibili con il sistema monoclino.

25 I reticoli piani Se consideriamo i reticoli di traslazione bidimensionali abbiamo 5 reticoli di Bravais: 1) Obliquo: c è solo un asse di rotazione binario. 2) Rettangolare: due piani di riflessione perpendicolari e un asse di rotazione binario 3) Quadrato: un asse quaternario e quattro piani 4) Esagonale: un asse di ordine sei e sei piani Auguste Bravais ( )

26 Maglie non primitive La maglia obliqua nella figura di sinistra è elementare ma non è rappresentativa della simmetria del reticolo di Bravais (a=b). La maglia che descrive la simmetria del reticolo è quella di destra che però non è primitiva

27 Maglie non primitive La traslazione = (ma/2 + nb/2) con n e m interi è una nuova operazione di simmetria chiamata centratura della cella. Nello spazio bidimensionale questo è l unico caso in cui l operazione di centratura origina un nuovo reticolo. In totale quindi nel caso bidimensionale ho 5 possibili reticoli di Bravais. Nel caso di reticoli tridimensionali la situazione è più complessa e si possono avere diversi tipi di centratura.

28 I reticoli piani Reticolo quadrato primitivo Reticolo retto primitivo Reticolo retto centrato Reticolo esagonale primitivo

29 I reticoli di Bravais Le celle elementari illustrare in Figura sono le celle convenzionali dei 14 reticoli di Bravais. Esse hanno le caratteristiche richieste convenzionalmente per una cella: il minore volume possibile compatibilmente con la massima simmetria del sistema cristallino.

30 Reticoli 3D Cella elementare primitiva Celle elementari centrate. Presentano nodi reticolari addizionali sulle facce o nel baricentro della cella. Cella primitiva (P). Non ha nodi reticolari addizionali sulle facce o nel baricentro della cella. Cella elementare a corpo centrato (I) Cella elementare a basi centrate (A B o C) Cella elementare con tutte le facce centrate (F)

31 Reticoli 3D

32 Celle non primitive Nel caso di reticoli tridimensionali si possono avere diversi tipi di centratura: Simbolo Tipo traslazione Punti reticolari\ celle P Primitiva Nessuna 1 A Faccia centrata-a A = (½nb + ½pc) 2 B Faccia centrata-b B = (½ma + ½pc) 2 C Faccia centrata-c C = (½ma + ½nb) 2 F Tutte facce centrate A ; B ; C ; 4 I Corpo centrato I = (½ma + ½nb + ½pc) 2 R Romboedrica R1 = (⅓ma + ⅔nb + ⅔pc); R2 = (⅔ma + ⅓nb + ⅓pc) 3

33 I reticoli di Bravais Ricordare: tutti i nodi reticolari sono equivalenti; in un reticolo filari paralleli devono avere lo stesso periodo di ripetizione Una cella che ha due facce centrate deve essere di tipo F Infatti se ad es. la cella ha centratura contemporaneamente A e B avrà dei nodi addizionali a (0 ½ ½) e a (½ 0 ½). Applicando una dopo l altra queste traslazioni si ottiene che deve esistere necessariamente un nodo a (½ ½ 0). Una cella contemporaneamente a corpo centrato e a faccia centrata si può sempre ricondurre ad una cella con centratura convenzionale. Ad es. cella con centratura I + A ha nodi a (½ ½ ½ ) e (0 ½ ½). Di conseguenza sarà presente un altro nodo a (½00). Il reticolo potrà essere descritto con una cella A con assi a = a/2 b =b c =c

34 Cella romboedrica R I reticoli di Bravais a R = b R = c R R = R = R Asse ternario lungo a R + b R + c R Cella primitiva R (detta anch essa romboedrica) Cella romboedrica R h ; compatibile con l asse ternario disposto lungo c è definita come una cella centrata con nodi addizionali nella posizioni: (2/3 1/3 1/3) e (1/3 2/3 2/3)

35 Cella romboedrica I reticoli di Bravais La cella R H è una cella tripla: a H = a R - b R b H = b R - c R c H = a R + b R + c R

36 I reticoli di Bravais Esistono due tipi di reticoli trigonali uno descritto da una cella esagonale (o trigonale) primitiva P e l altro descritto da una cella primitiva romboedrica (non esagonale) R o da una cella esagonale (o trigonale) non primitiva R h. Nei due casi si parla rispettivamente di «reticolo esagonale» e di «reticolo romboedrico». Il reticolo esagonale è quello in cui le maglie primitive esagonali nei vari piani dell asse ternario si dispongono esattamente l una sull altra. Il reticolo romboedrico è quello in cui le maglie saranno traslate l una rispetto all altro di (2/3)a h e (1/3)b h. Reticolo romboedrico{ Cella romboedrica primitiva (R) Cella esagonale non primitiva (R h ) Reticolo esagonale { Cella romboedrica non primitiva Cella esagonale primitiva (P)

37 Condizioni per i sette sistemi cristallini La presenza di certi assi vincola la geometria del reticolo. Queste restrizioni danno origine ai sette sistemi cristallini.e infatti conveniente raggruppare classi di simmetria che hanno delle somiglianze: in tal modo i cristalli corrispondenti potranno essere descritti con uno stesso tipo di cella elementare. Questa a sua volta potrà essere scelta in modo da evidenziare la simmetria presente. Ad esempio nei gruppi 1 e 1 non è definito alcun asse di simmetria e quindi non c è vincolo per la cella elementare.i rapporti a:b:c e gli angoli potranno essere liberi. Si dice che le due classi fanno parte del sistema triclino. I gruppi 2 m 2/m sono riferibili ad un reticolo che presenta solo un asse 2e una cella elementare con due angoli di 90. I tre gruppi appartengono al sistema monoclino. Assi di simmetria che definiscono il sistema e la loro orientazione E o i 1 o 1 C 2 o σ 2 o 2 (lungo b o c) tre C 2 o σ tre 2 o 2 (perpendicolari) C 4 o S 4 o 4 C 6 o S 3 3 o 3 C 6 o S 3 6 o 6 quattro assi 3 o 3 lungo la diagonle del cubo Sistema cristallino Trimetrici Triclino Monoclino Ortorombico Dimetrici Tetragonale Trigonale (Romboedrico) Esagonale Monometrico Cubico Parametri del reticolo a b c α β γ a b c α = γ = 90 β (1 setting) α = β = 90 γ (2 setting) a b c α = β = γ = 90 a = b c α = β = γ = 90 a = b c α = β = 90 γ = 120 a = b c α = β = 90 γ = 120 a = b = c α = β = γ = 90

38 Vincoli della periodicità sulla simmetria e viceversa I 7 SISTEMI CRISTALLINI Ogni sistema cristallino ha degli elementi di simmetria caratteristici Cubico: 4 assi ternari orientati lungo le diagonali principali del cubo Tetragonale Esagonale Trigonale: un solo asse di ordine 4 o 6 o 3 semplice e/o di inversione orientato lungo c Ortorombico: 3 assi binari semplici e/o di inversione tra loro perpendicolari Monoclino: un asse binario semplice e/o di inversione Triclino: Un asse di ordine 1 e/o un centro si simmetria

39 CLASSI DI SIMMETRIA

40 CLASSI DI SIMMETRIA

41 Condizioni per i sette sistemi cristallini Per esempio se nel sistema monoclino si dispone l asse 2 lungo l asse a si avrebbe che... a Simbolo per l asse binario parallelo alla pagina c Per il sistema monoclino: a b c α = γ = 90 β Una rotazione di 180º attorno all asse a risulta incompatibile con la periodicità della traslazione del reticolo monoclino.

42 Condizioni per i sette sistemi cristallini Se invece si dispone l asse binario coincidente con l asse b si avrebbe che... b a = 90 Per il sistema monoclino: a b c α = γ = 90 β Una rotazione di 180º attorno all asse b risulta compatibile con la periodicità della traslazione del reticolo monoclino. Risultati analoghi si sarebbero ottenuti se si fosse disposto l asse binario lungo c utilizzandole relazioni geometriche a b c e α = β = 90 γ

43 Sistema triclino Assi caraterizzanti: 1 1 a b c α β γ Cella primitiva P

44 Sistema monoclino Assi caraterizzanti: un solo asse binario a b c e α = γ = 90 β Cella primitiva P Cella a faccia centrata C

45 Sistema ortorombico Assi caraterizzanti: tre assi binari a b c α = β = γ = 90 Cella primitiva P Cella a faccia centrata C Cella a corpo centrato I Cella a facce centrate F

46 Sistema tetragonale Assi caraterizzanti: un solo asse quaternario a = b c α = β = γ = 90 Cella primitiva P Cella a corpo centrato I

47 Sistema esagonale Assi caraterizzanti: un solo asse sernario a = b c α = β = 90 γ = 120 Sistema trigonale Assi caraterizzanti: un solo asse ternario Cella romboedrica R: a = b = c; α = β = γ Cella esagonale R h : a = b c; α = β = 90 γ = 120 Cella primitiva P Cella romboedrica R

48 Sistema cubico a = b = c α = β = γ = 90 Assi caraterizzanti: quattro assi ternari Cella primitiva P Cella a facce centrate F Cella a corpo centrato I

49 I reticoli di Bravais In definitiva i tipi di reticolo (di Bravais) non riconducibili fra loro per ciascun sistema cristallino sono: Triclino P Monoclino P C Ortorombico P C I F Tetragonale P I Cubico P I Esagonale P Trigonale P R Essendo il reticolo trigonale P equivalente a quello esagonale P avremo 14 tipi di reticolo ovvero 14 RETICOLI BRAVAISIANI

50 Tabella dei gruppi puntuali e dei loro elementi di simmetria Nella tabella di fianco sono riportati i gruppi puntuali afferenti ai sette sistemi cristallini con gli elementi di simmetria che li contradistinguono e le loro orientazioni rispetto agli assi cristallografici del sistema cristallino. Esistono due notazioni diverse per indicare convenzionalmente i vari tipi di simmetria: la notazione di Hermann-Mauguin (colonna H-M in tabella) che è usata prevalentemente in campo cristallografico e quella di Schönflies usata in campo molecolare. Il pedice p vicino al simbolo di un asse indica che quell asse è un asse polare. Gli assi che incontrano alle due estremità del cristallo elementi geometrici non equivalenti tra loro o proprietà fisiche diverse si dicono polari (Es. i quattro assi ternari che congiungono i vertici di un tetraedro con il centro della facce opposte).

51 Operazioni di simmetria con componente traslazionale ELICOGIRE: Associano un operazione di traslazione ad una rotazione. La traslazione avviene parallelamente all asse di rotazione; l entità della traslazione è sempre una frazione del periodo di traslazione del reticolo. Il simbolo di un elicogira è del tipo: N K dove N indica l ordine dell asse di rotazione e K la lunghezza della traslazione ( = K/N). es. elicodigira (n = 2): p = 1 / 2 (si indica con 2 1 ) elicotrigira (n = 3): p = 1 2 / 3 (3 1 ); 2 / 3 (3 2 )

52 Operazioni di simmetria con componente traslazionale Elicogira. Simmetria di tipo N k : Esegue una rotazione di ordine N (360 /N) e una traslazione di k/n. Per esempio: 2 1 rotazione di ordine 2 (180 ) e traslazione di 1/2 lungo l asse 3 1 rotazione di 120 e traslazione di 1/3 lungo l asse (destrorsa) 3 2 rotazione di 120 e traslazione di 2/3 lungo l asse (sinistrorsa) Traslazione pari a ½ del periodo di ripetizione dell asse Asse binario Elicogira 2 1 Perchè l elicogira 2 1 trasla solo di ½ non potrebbe traslare di un valore x qualunque?

53 b ( x1 y z) c a La rotazione è destro-gira ( x1 2 y z) ( x y z) Asse di Rototraslazione 2 1

54 Restrizioni alle simmetrie possibili dovute alla periodicità del reticolo cristallino 2 0 = = = 2 1 = 3/2 T = ½ T = 2/2 T T = ½ T T T Non ha senso considerare elicogiore N k con K > N perchè esse sono equivalenti per traslazione reticolare a quelli per K < N.

55 Elicogira: Restrizioni alle simmetrie possibili dovute alla periodicità del reticolo cristallino Sia τ la componente traslazionale di un asse elicogira se l'asse di rototraslazione è di ordine N si deve avere che applicandolo N volte esso deve produrre una posizione equivalente a quella che otterei per un multiplo intero di T (periodo di traslazione) : Nτ = mt dove T è la periodicità del vettore reticolo e m = Dunque: τ = T m N Per esempio: Se N =2 m= 1 τ = T 1/2 con [m = (N-1)]. I valori di m sono limitati a 0 < m < (N-1) perchè per m > N si ottengono movimenti equivalenti per traslazione reticolare a quelli per m < N T Per ogni rotazione di 120 si ha una traslazione di 1/3 del vettore di cella elementare (3 1 ) Se N = 3 m = 1 o m = 2 τ = T m n T Per ogni rotazione di 120 si ha una traslazione di 2/3 del vettore di cella elementare (3 2 )

56 Elicogire 3 1 e 3 2 Traslazione di 1/3 della lunghezza dell asse Asse di rotazione ternario Eligorira 3 1 Se si uniscono gli oggetti generati dalla simmetria 3 1 si ottiene un elica sinistrorsa; Se si uniscono gli oggetti generati dalla simmetria 3 2 si ottiene un elica destrorsa. Le due eliche sono enantiomorfe. Le altre copie di elicogire enantiomorfe sono: 4 1 e e e /3 1/3 0 Elicogira 3 1 4/3 (1/3) Elicogira 3 2 2/3

57 Enantiomorfismo: Semantica Con il termine enantiomorfo si descrivono gruppi spaziali che possono contenere molecole di un singolo enantiometro. Per esempio i gruppi spaziali che contengono un elicogira come il P2 1. Superato il sistema ortorombico incontreremo assi roto-traslazionali a ordine più elevato quali: P3 1 P3 2 P4 1 P4 2 P4 3 P6 1 P6 2 P6 3 P6 4 and P6 5. Certe coppie di queste elicogire sono chiamate enantiomorfe poiché esse differiscono solo per il segno della rotazione. Queste sono: (P3 1 P3 2 ) (P4 1 P4 3 ) (P6 1 P6 5 ) and (P6 2 P6 4 ).

58 Il caso della talidomide La talidomide è un farmaco che fu venduto negli anni cinquanta e sessanta come sedativo anti-nausea e ipnotico rivolto in particolar modo alle donne in gravidanza. Si trattava di un farmaco che aveva un bilancio rischi/benefici estremamente favorevole rispetto agli altri medicinali disponibili all'epoca per lo stesso scopo (i barbiturici). Venne ritirato dal commercio alla fine del 1961 dopo essere stato diffuso in 50 paesi sotto quaranta nomi commerciali diversi fra cui il Contergan. Nome IUPAC: (RS)-2-(26-diossopiperidin-3-il)-1Hisoindol-13(2H)-dione Gruppo spaziale: P2 1 /n a= (1) b= (2) c= (2)Å β= (2) Prodotto in forma di racemo fu ritirato dal commercio in seguito alla scoperta della teratogenicità di uno dei suoi enantiometri: le donne trattate con talidomide davano alla luce neonati con gravi alterazioni congenite dello sviluppo degli arti ovvero amelia (assenza degli arti) o vari gradi di focomelia (riduzione delle ossa lunghe degli arti) generalmente più a carico degli arti superiori che quelli inferiori e quasi sempre bilateralmente pur con gradi differenti.

59 Coppie Enantiomorfe nei Gruppi Spaziali Alcuni gruppi spaziali che contengono i seguenti assi sono chiamati coppie enantiomorfe. Sono i 22 gruppi spaziale che possono essere elencati in questa categoria. Le undici coppie di gruppi spaziali enantiomorfi sono: P3 1 P3 2 P6 1 P6 5 P P P6 2 P6 4 P P P P P4 1 P4 3 P P P P P P P P

60 Coppie Enantiomorfe nei Gruppi Spaziali Diamo alcuni esempi di come queste operazioni di simmetria enantiomorfe lavorano! Consideriamo l elicogira 4 1. L asse esegue una rotazione di +90 seguita da una traslazione di ¼ lungo la direzione c. Come si può vedere dopo quattro volte che l asse opera l oggetto originale viene restituito traslato di una unità di cella elementare lungo c quindi si riottiene l oggetto a (x y 1 + z).

61 c a b Elicogira 4 1

62 c a b La rotazione è destrogira ( x y z) Elicogira 4 1

63 c a b ( y x 1 4 z) ( x y z) Elicogira 4 1

64 c a b ( x y 1 2 z) ( y x 1 4 z) ( x y z) Elicogira 4 1

65 c a b ( y x 3 4 z) ( x y 1 2 z) ( y x 1 4 z) ( x y z) Elicogira 4 1

66 c ( x y1 z) a b ( y x 3 4 z) ( x y 1 2 z) ( y x 1 4 z) ( x y z)

67 Coppie Enantiomorfe nei Gruppi Spaziali Nella prossima slide si confronterà l elicogira 4 1 (vista prima) con la sua controparte enantiomorfa l asse roto-traslazionale 4 3. Formalmente un elicogira 4 3 ruota di +90 l oggetto e lo sposta di ¾ lungo la direzione c. Comunque è totalmente equivalente considerare l operazione come una rotazione di -90 seguita da una traslazione di ¼ lungo la direzione c. Si noti che questa rotazione ha verso opposto rispetto alla rotazione dell elicogira 4 1.

68 c La rotazione è destro-gira a La rotazione è sinistro-gira b Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

69 ) ( z y x ) 4 1 ( z x y ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x ) ( z y x Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

70 ) ( z y x ) ( z y x ) 4 1 ( z x y ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x ) 4 1 ( z x y Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

71 ) ( z y x ) 4 1 ( z x y ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x ) 4 1 ( z x y ) ( z y x ) 2 1 ( z y x Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

72 ) ( z y x ) 4 1 ( z x y ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x ) 4 1 ( z x y ) ( z y x ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

73 ) ( z y x ) 4 1 ( z x y ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x ) 4 1 ( z x y ) ( z y x ) 2 1 ( z y x ) 4 3 ( z x y ) 1 ( z y x Elicogira 4 1 Elicogira 4 3

74 Asse 4 e Elicogire e 4 3 Asse 4 Elicogire 4 1 Elicogire 4 2 Elicogire 4 3

75 Asse 6 e Elicogire e 6 5 Asse 6 Elicogira 6 1 Elicogira 6 2 Elicogira 6 3 Elicogira 6 4 Elicogira 6 5

76 Elicogire enantiomorfe Elicogire enantiomorfe

77 Rotazione Simboli internazionali assi rototraslazionali Ordine Simbolo Simbolo grafico Traslazione lungo l asse * * Dato come frazione di una traslazione completa nella direzione positiva assumendo un verso di rotazione antioraria lungo l asse stesso. Vettore di traslazione b Elicogira 2 1 orizzontale parallela a b. La piramide tratteggiata indica la posizione intermedia dove la prima piramide è ruotata prima di essere traslata lungo l asse di shift di b/2. Elicogira 2 1 parallela a c.

78 Slittopiano SLITTOPIANI: Associano un operazione di traslazione ad una riflessione Le traslazioni associate agli slittopiani avvengono in direzioni parallele ai piani stessi. Poiché le celle elementari che si assumono per descrivere una struttura sono generalmente orientate in maniera semplice rispetto ai piani di simmetria ne consegue che le traslazioni dovute agli slittopiani hanno luogo in direzioni corrispondenti ai lati o alle diagonali delle facce o della cella stessa a b c sono i simboli degli slittopiani con componente traslazionale di mezzo periodo lungo i corrispondenti lati della cella elementare n si riferisce agli slittopiani con componente traslazionale di mezza diagonale di una faccia o della cella d si riferisce agli slittopiani con componente traslazionale di un quarto di diagonale di una faccia o della cella

79 Riflessione Piani di riflessione con scorrimento slittopiani La combinazione di una riflessione con una traslazione sempre parallela al piano porta alla definizione di un totale di cinque slittopiani cristallografici. Simbolo Ordine Simbolo grafico Vettore traslazione Vettore di traslazione b b d è il vettore diagonale. Es. a+b a-b a+b+c. Slitto piano b perpendicolare ad a con una traslazione di b/2 Slitto piano c perpendicolare ad a con una traslazione di c/2

80 Slittopiano Limiti della periodicità del cristallo sulla componente di traslazione di uno slittopiano. Uno slittopiano opera nello spazio effettuano prima una riflessione rispetto al piano e successivamente una traslazione in una delle infinite direzioni parallele al piano stesse. Applicando due volte questo operatore il movimento risultante sarà una traslazione pari a 2 e in un cristallo tale traslazione sarà necessariamente un multiplo intero delle periodo di traslazione T relativo alla direzione in cui è stato effettuato la traslazione quindi: 2τ = pt p N τ = p T (p = 0 1) 2 All intero p facciamo assumere solo due valori 0 1 in quanto al variare di p sugli interi si ottengono traslazioni a 0 (1/2) 1 (3/2 ) di cui solo le prime due sono distinte infatti la traslazione = 1 è equivalente alla traslazione = 0 così la = (3/2) è equivalente alla = (1/2) e così via. Per p = 0 lo slittopiano si riduce ad un piano di simmetria m.

81 Slittopiano Per i vari slittopiani si adottano la seguenti notazione: a slittopiano con componente traslazionale pari a = a/2. b slittopiano con componente traslazionale pari a = b/2. c slittopiano con componente traslazionale pari a = c/2. n slittopiano con componente traslazionale pari a = (a + b + c)/2 oppure = (a + b)/2 oppure = (a + c)/2 oppure = (b + c)/2. Slittopiano n con componente traslazionale pari a = (a + b)/2

82 Slittopiano d se la cella non è primitiva la condizione 2 = pt dovrà essere ancora valida ma questa volta può essere un vettore reticolare con componenti razionali. In questo caso indicheremo con la lettera d slittopiano con componente traslazionale pari a = (a + b + c)/4 oppure = (a + b)/4 oppure = (a + c)/4 oppure = (b + c)/4. Se per esempio consideriamo una cella C centrata questo avrà un nodo reticolare addizionale in (a+b)/2. Per questa cella p può essere il vettore ( a 2 + b 2 ). In termini assoluti possiamo scrivere: 2 = pt = ½T = ¼ o meglio =(a+b)/4 a c Cella elementare a base C centrata b a c Slittopiano d con componente traslazionale pari a = (a + b)/4 per una cella C centrata.

83 b a

84 Gruppi Spaziali I 7 sistemi cristallini i 14 reticoli di Bravais e le 32 classi cristalline ci consentono di classificare la geometria reticolare e la simmetria di un cristallo. Tuttavia per comprendere a pieno una struttura cristallina dobbiamo esaminare la distribuzione spaziale della densità elettronica (la disposizione spaziale degli atomi). E necessario descrivere questa distribuzione solo nell ambito della cella elementare perchè le operazioni traslazionali reticolari generano l intero cristallo. Una descrizione della distribuzione elettronica dal punto di vista della simmetria richiede l uso dei gruppi Formalmente un gruppo spaziale è il gruppo che contiene tutte le operazioni di simmetria spaziale degli atomi nel cristallo. Per la presenza di operazioni di simmetria traslazionali non varrà più ovviamente che tutti gli elementi di simmetria devono passare per un punto. Vi sono 230 gruppi spaziali (non magnetici). L associazione dei reticoli di Bravais con le combinazioni di elementi di simmetria senza componente traslazionale dà luogo a 73 gruppi spaziali che vengono chiamati simmorfici.

85 Classificazione dei gruppi spaziali Le convenzioni più rilevanti in accordo con la notazione di Hermann-Mauguin sono: Al primo posto appare sempre il simbolo del reticolo di Bravais. Dopo di questo: a) nei gruppi monoclini appare il simbolo dell'asse di simmetria e se presente dopo una barra appare il simbolo del piano o slittopiano normale ad esso; b) nei gruppi ortorombici i simboli degli elementi di simmetria si riferiscono alle direzioni a b c nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se assi propri perpendicolari se piani); c) nei gruppi afferenti al sistema tetragonale appare per primo il simbolo dell'asse quaternario e quando presente dopo una barra appare il simbolo del piano o slittopiano normale ad esso. Subito dopo appare il simbolo dell'elemento di simmetria che si riferisce alla direzione a (e quindi b) e poi quello dell elemento relativo alle diagonali della maglia normale all asse quaternario; d) nei gruppi afferenti al sistema trigonale ed esagonale appare per primo il simbolo dell asse ternario o senario. Nei gruppi esagonali quando presente appare dopo una barra il simbolo del piano normale ad esso. Il primo dei simboli successivi si riferisce all'asse a (e quindi a b e quindi alla diagonale corta della maglia normale all'asse ternario) il secondo alla diagonale lunga della maglia; e) nei gruppi del sistema cubico i simboli degli elementi di simmetria si riferiscono nell'ordine ad a (e quindi a b e a c) alle diagonali principali della cella (asse ternario) alle diagonali delle facce della cella. I 230 gruppi spaziali furono determinati alla fine del secolo scorso attraverso i lavori matematici di Fedorov (1891) e Schoenflies (1891). Tutte le informazioni sui gruppi spaziali sono contenute nelle International Tables for X-Ray Crystallography.

86 Classificazione dei gruppi spaziali Osserviamo che guardando il simbolo del gruppo spaziale in base alla posizione relative dei simboli degli elementi di simmetria possiamo immediatamente risalire al sistema cristallino: Centratura 3 Simbolo Gruppo spaziale: X x x x a posizione 1 a posizione 2 a posizione 1 a posizione: Asse di ordine 1 o 1 Triclino 1 a posizione: Asse di ordine 2 o piano Monoclino 1 a 2 a e 3 a posizione: Assi di ordine 2 e/o piani Ortorombico 1 a posizione: Asse di ordine 3 Trigonale 1 a posizione: Asse di ordine 6 Esagonale 2 a posizione: Asse di ordine 3 Cubico

87 Piani cristallografici direzioni e indici I nodi di un reticolo t m = m 1 a + m 2 b + m 3 c sono caratterizzati da numeri razionali (interi se la cella elementare è primitiva). Le proprietà dei reticoli connesse ai nodi sono quindi dette razionali.si parlerà di direzioni razionali per intendere direzioni definite da due nodi reticolari e di piani razionali per intendere piani definiti da tre nodi reticolari. Direzioni cristallografiche.come abbiamo visto i cristalli sono anisotropi: sarà quindi necessario specificare in modo semplice le direzioni nelle quali si manifestano determinate proprietà fisiche. In un reticolo esistono infiniti filari paralleli ciascuno definito da due punti nodali che sono caratterizzati da uno stesso periodo di ripetizione. I filari definiscono una direzione cristallografica. Se un filare passa per l origine la sua direzione sarà definita dai valori m i di uno qualunque dei nodi del filare. La direzione viene indicata con [m 1 m 2 m 3 ]. La stessa direzione è indicata anche da un multiplo del tipo [nm 1 nm 2 nm 3 ].

88 Direzioni cristallografiche Per una cella primitiva la direzione [222] è quella della diagonale di corpo ma lo è anche [111]. Per convenzione si dividono i valori m i per il massimo comune divisore ottenendo così sempre il set più piccolo. La direzione [936] diventa quindi [312]. Filari che non passano per l origine hanno sempre un filare parallelo centrale passante cioè per l origine. Se la cella non è primitiva i valori m i sono numeri razionali esprimibili cioè come rapporti di numeri interi. La direzione corrispondente ad una diagonale di faccia in un reticolo F può essere [½½0].

89 Direzioni cristallografiche Per determinare gli indici di direzione [???] relativi ad una direzione cristallografica nota è sufficiente: Coordinate di origine: Coordinate di arrivo: Sottraendo le coordinate di arrivo da quelle di origine : = Moltiplicando per 4 (il mcm) per convertire tutte le frazioni in numeri interi: = Quindi gli indici di direzione sono: Sottrarre le coordinate frazionarie di arrivo del vettore che individua la direzione cristallografica da quelle di origine. Le coordinate tutte relative ai parametri di cella a b e c variano tra 0 ed 1. Rimuovere le frazioni moltiplicano per il minimo comune multiplo (mcm) ed eventualmente ridurre ai minimi interi. Racchiudere i tre numeri tra parentesi quadre.

90 Famiglie di direzioni equivalenti [101] Direzioni equivalenti hanno gli stessi indici di direzione Causa la simmetria dei reticoli esistono direzioni equivalenti (indistinguibili) dal punto di vista cristallografico. Queste direzioni avranno le stesse proprietà razionali (ad esempio la distanza tra gli atomi lungo di esse). [110] L insieme delle direzioni equivalenti per simmetria si chiamano FAMIGLIA DI DIREZIONI e si indicano con la notazione hkl : [100] indica una sola direzione 100 indica una famiglia di direzione: [100] [010] 001 [ 100] [0 10]

91 Direzioni cristallografiche Data una cella cubica indicare le direzioni: e [ 2 2 2].

92 Direzioni cristallografiche Data una cella cubica indicare le direzioni: e [ 2 2 2]. z Svolgimento x y 11 2 Per una cella cubica: 112 [ ] [ 1 1 1] [ 2 2 2] [ 1 1 1] 111 In una cella cubica gli indici di una direzione cristallografica sono le componenti scomposte del vettore di direzione lungo ognuno degli assi coordinati ridotte agli interi più piccoli.

93 Piani cristallografici L orientazione di un piano cristallografico è definita in termini di indici di Miller (hkl). Tre nodi individuano un piano cristallografico. Se un piano incontra i tre assi cristallografici nei tre nodi (m 1 0 0) (0 m 2 0) e (0 0 m 3 ) gli indici (m 1 m 2 m 3 ) forniscono l orientazione del piano. Si preferiscono però gli indici di Miller del piano che sono numeri interi e primi fra loro inversamente proporzionali alle intercette del piano con gli assi cioè: h : k : l = m 1-1 : m 2-1 : m 3-1 Esempi di famiglie di piani cristallografici Spesso con la terna di Miller si indica una famiglia di piani. I piani di una stessa famiglia sono: 1. Paralleli tra lori 2. Equalmente spazialti

94 INDICIZZAZIONE DELLE FACCE E possibile definire gli indici delle facce di un cristallo come un rapporto di rapporti parametrici. Essi saranno una terna di numeri (h k l) primi fra loro (generalmente piccoli). Le convenzioni internazionali impongono che: non ci siano virgole tra i numeri I valori negativi sono indicati con un barra posta sopra al simbolo (es. h è indicato come h) La terna hkl è racchiusa tra parentesi tonde (hkl) quando si indica l orientazione di una faccia tra parentesi quadre si indica una direzione cristallografica [hkl].

95 a b c a A C A c C B B 1 2 b : 1 3 : A A' 1 4 : B B' 6: : C C' 4 :3 h : h : k : l 3 Se ad esempio come in figura A =2 B =3 e C =4 allora avremo: Si preferisce però usare numeri interi ottenibili tramite il minimo comune multiplo. INDICIZZAZIONE di Miller Siano A B e C le intercette staccate dalla faccia fondamentale o parametrica mentre A B e C siano i parametri staccati da una qualunque altra faccia dello stesso cristallo. E allora possibile definire la giacitura di una faccia generica come: 1 2 : 1 3 : 1 4 6: 4 : a b c k : l Quindi gli indici saranno inversamente proporzionali alle intercette della faccia (o piano cristallografico) con gli assi.

96 Piani cristallografici c 00r a c b 0q0 b p00 a pqr interi e primi tra loro Equazione del piano x' pa y' qb z' rc 1

97 Piani cristallografici Introducendo coordinate frazionarie: x=x /a y=y /b z=z /c x p y q z r 1 hx + ky + lz = m dove h=qr k= pr l= pq e m=pqr. h k l sono primi fra loro e m è il minimo comune multiplo di pqr Moltiplicando entrambi i membri per pqr e riarrangiando

98 Piani cristallografici hx + ky + lz = m Al variare di m fra - e + la precedente equazione definisce una famiglia di piani cristallografici identici egualmente distanziati. Gli indici h k l sono detti indici di Miller e sono indicati fra parentesi tonde: (hkl) Piani cristallografici paralleli all asse XY o Z sono indicati da indici come (0kl) (h0l) e (hk0). Piani paralleli alle facce AB e C della cella elementare sono indicati dagli indici (100) (010) (001) rispettivamente.

99 L equazione zonale hx + ky + lz = m Il piano di equazione: hx + ky + lz = 0 E un piano (hkl) che passa per l origine. Poiché ogni tripla xyz è un punto del piano nel caso del piano passante per l origine la tripla xyz descriverà un direzione cristallografica che posso indicare con la simbologia: [u v w] L equazione: hu + kv + lw = 0 è detta equazione zonale

100 L equazione zonale Date due direzioni cristallografiche [u 1 v 1 w 1 ] e [u 2 v 2 w 2 ] quali sono gli indici di Miller del piano compreso? Es.[10-1] e [-12-1] E chiaro che gli indici devono soddisfare contemporaneamente le due equazioni zonali hu 1 +kv 1 +lw 1 = 0 hu 2 +kv 2 +lw 2 = 0

101 L equazione zonale La soluzione è h:k:l = (v 1 w 2 -v 2 w 1 ) : (w 1 u 2 -w 2 u 1 ) : (u 1 v 2 -u 2 v 1 ) u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 w 2 h k l Ci sono due soluzioni possibili: (hkl) e ( h k k)

102 L equazione zonale Come la giacitura di una faccia può essere definita per mezzo di un tripletto di numeri anche quella di uno spigolo può rappresentarsi con un tripletto di numeri interi che per convenzione scriviamo tra parentesi quadre: ad esempio [u v w]. Uno spigolo secondo il quale si incontrano due face è l equivalente della retta intersezione di due piani paralleli alle facce stesse.

103 L equazione zonale Dati due piani cristallografici (h 1 k 1 l 1 ) e (h 2 k 2 l 2 ) quali sono gli indici della direzione cristallografica [uvw] di intersezione? Possiamo scrivere l equazione dei due piani: h a x + k b y + l c z = 0 e h a x + k b y + l c z = 0 Avendo posto le equazioni uguali a zero i due piani passeranno per l origine e quindi anche la retta da essi determinata. Ponendo a sistema le due equazioni e risolvendo: x y: z = a(kl lk ) b(lh hl ) c(hk kh ) = au bc c w o anche: x a : y b : z c = u v w u = (kl lk ); v = (lh hl ); w = (hk kh )

104 L equazione zonale Data il simbolo di due facce o piane cristallogtrafici (hkl) e (h k l ) una regola pratica permette il calcolo immediato dello spigolo o direzione cristallografica [uvw]: h h k l h k k l h k u v w l l Per esempio se i simboli delle facce sono: (322) e (10 2) u = (kl lk ); v = (lh hl ); w = (hk kh ) Se avessimo invertito la scrittura dei i simboli delle facce prima (10 2) e poi (322) avremmo ottenuto 2 41 il vettore centrosimmetrico rispetto a [ 24 1] ma con stessa direzione.

105 Piani cristallografici Esiste una interpretazione semplice degli indici di Miller h k e l. I piani della famiglia (hkl) dividono i lati della cella elementare: a in h parti uguali b in k parti uguali e c in l parti uguali. L equazione della famiglia di piani è h(x/a) + k(y/b) + l(z/c) = n. Gli indici di Miller (hkl) specificano l orientazione del piano ed n la sua posizione rispetto all origine. Famiglia di piani (2 3 6) a è diviso in 2 parti uguali b è diviso in 3 parti uguali c è diviso in 6 parti uguali Famiglia di piani (100) Famiglia di piani (200)

106 Piani cristallografici (2-30) (210) b G F E D C B A a H La tripletta (hkl) rappresenta non un singolo piano reticolare ma un insieme infinito di piani paralleli caratterizzati da una distanza interplanare caratteristica d hkl

107 Piani cristallografici Se = 90 = 90 e = 90 la distanza interplanare per un famiglia di piani può essere espressa dall equazione seguente: 1 = h2 k2 l2 + + d hkl a2 b2 c 2 L equazione diventa più complessa nl caso di sistemi non ortonormali

108 Piani e direzioni nelle celle elementari esagonali Per determinare i piani cristallografici nelle celle elementari esagonali si utilizzano quattro indici detti Indici di Miller-Bravais (hkil). Questi indici a quattro cifre sono basati su un sistema di coordinate a quattro assi. I reciproci delle intersezioni del piano cristallino con a 1 a 2 e a 3 fornisce gli indici h k e i. Poiché l asse a 3 è la combinazione lineare: (a 1 +a 2 ) si deriva la relazione: i = -(h +k). Il reciproco dell intersezione con l asse c fornisce l indice l.

109 Procedura per la determinazione degli indici (hkl) di Miller Gli indici di Miller di un piano cristallino sono definiti come i reciproci delle intersezioni frazionarie (con le frazioni normalizzate a numeri interi) del piano con gli assi cristallografici x y z. 1. Scegliere un piano che non passa per l origine (000) 2. Determinare le intersezioni del piano rispetto agli assi cristallografici tali intersezioni potrebbero essere anche delle frazioni. 3. Fare i reciproci di queste intersezioni 4. Normalizzare le frazioni agli interi e determinare gli interi più piccoli

110 Famiglia di Piani Piani paralleli hanno gli stessi indici di Miller. Questi piani saranno separati dalla stessa distanza interplanare. A causa della simmetria del reticolo due o più piani possono essere cristallograficamente equivalenti (indistinguibili). Im questo caso la densità atomica planare su di essi sarà la stessa. asse 3 (001) (010) Come per le direzioni cristallografiche anche per i piani vengono usate parentesi diverse: le tonde (hkl) indicano i piani singoli le graffe {hkl} per le intere famiglie: (100) Per esempio nel caso di un reticolo cubico: (hkl) piano cristallografico (UNO SOLO) hkl famigli di piani cristallografici.