La Cristallografia. 1: la traslazione

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1 La Cristallografia 1: la traslazione Spiega: Perché i cristalli hanno le facce Come le chiamiamo Come si dividono le celle elementari (e i cristalli macroscopici)

2 La traslazione Reticolo unidimensionale Vettore traslatore STRUTTURA

3 La traslazione Secondo vettore traslatore (non parallelo) b Vettore traslatore a

4 Reticolo (e struttura) bidimensionale b Cella elementare a

5 Reticolo Cartesiano e Cristallografico b a

6 Reticoli e non

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8 Reticolo obliquo

9 Reticolo esagonale

10 Reticolo centrato

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12 Reticoli di Bravais

13 Possiamo dare un nome ai piani reticolari? h,k,l Indici di Miller a0, b0, c0 scalare di a, b,c a b

14 d d d = d b a d d d d

15 Immaginiamo che a0 = 1nm, b0= 3nm h= a0/a= 1/ = 0 (l intersezione della faccia lungo l asse a avviene infatti all infinito: è parallela ad a) k = b0/b= 3/3= 1 (la faccia interseca l asse b giusto al valore b0) b a Il nome della faccia è (0, 1)

16 b a Il nome della faccia è (1,1)

17 b a Il nome della faccia è (2,1)!

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19 Come si passa dal microscopico al microscopico, ovvero perché i cristalli hanno le facce c a b

20 Costanza degli angoli diedri 120o 120o 120o 120o 120o 120o 120o Romé De L Isle

21 Approccio macroscopico: cristallografia morfologica Mancava prova del esistenza del reticolo (solo nel 1912) Nome alle facce definito in base a tre assi cristallografici a, b, c scelti opportunamente e a una faccia definita faccia parametrica Definisco degli indici di Miller h, k, l come h = a0/a, k = b0/b e c = c0/c dove a0, b0 e c0 è la distanza tra l origine e l intercetta sugli assi nella faccia di riferimento parametrica e a, b e c la stessa distanza in una faccia qualunque.

22 Esempio in 2 dimensioni Scelgo la faccia rossa come riferimento: rispetto agli assi cristallografici intercetta a e b alle distanze a0 e b0, la nostra unità di misura b a

23 Sposto l altro piano Gli indici di Miller della faccia parametrica sono: h= a0/a e k = b0/b. Siccome a= a0 e b=b0 h=1, k=1, ovvero (1,1). Quali sono gli indici dell altra faccia? b b b = b = b0 a a a = a 0 /2

24 In realtà si misuravano gli angoli tra le facce! h = a0/a = 2 b b 58o 148o tan 39 = a/b0 = tan 58 = a0/b0 = x 39o y 141o a a

25 Cristallografia morfologica

26 Razionalità degli indici Legge di Hauy I rapporti dei parametri ottenuti da due facce qualsiasi del cristallo stanno tra loro come tre numeri razionali, interi, primi tra loro e generalmente piccoli

27 b La frequenza con cui una faccia compare è legata alla densità dei punti reticolari { { b0 a0 a Esercizio per casa: date il nome alle facce (c perpendicolare al piano) Come si chiama la faccia che comparirà più spesso?

28 Primo riassunto Abbiamo imparato (dovremmo aver imparato) che cosa sono i cristalli e perché hanno facce geometriche una classificazione dei cristalli in base al tipo di reticolo (Bravais meno centratura) a dare un nome alle facce la differenza profonda tra cristalli e organismi viventi

29 La Cristallografia 2: la simmetria Spiega: La forma esterna dei minerali Come si dividono i cristalli (dai 6 sistemi alle 32 classi cristalline) Le proprietà fisiche dei minerali (più avanti nel corso)

30 Cristallo: simmetria interna ed esterna Organismo: solo simmetria esterna!

31 Il piano di riflessione (m dall inglese mirror - specchio)

32 Il piano di riflessione (m dall inglese mirror - specchio) d d d d

33 Oltre a elementi di simmetria di riflessione, esistono anche gli assi di ROTAZIONE L angolo di rotazione α è dato da: α = 2π / n Dove n è l ordine di rotazione. Per oggetti finiti α può essere qualsiasi. Vedremo che quando sono accoppiati a vettori traslatori, gli unici valori di n permessi sono 1,2,3,4,6. Questi corrispondono agli assi di rotazione che vedremo ora:

34 n α Nome Identità Digira Trigira 4 90 Tetragira 6 60 Esagira

35 DIGIRA α = 2π / n n=2 (rotazione di 180 ) La Mano Sinistra rimane tale

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37 α = 2π / n TRIGIRA n=3 (rotazione di 120 ) 120

38 P3

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40 Tormalina BO3 OH OH Mg OH OH Mg Mg OH Na OH BO3 Mg Mg OH Mg Mg Na OH BO3 BO3 BO3 OH Mg Mg BO3 BO3 BO3 OH Mg OH BO3 Na OH Na BO3 Mg OH BO3 OH OH OH BO3 Mg

41 BO3 OH OH Mg Mg OH Na OH Tormalina OH OH Mg Mg BO3 Mg Mg OH Mg Mg Na OH BO3 BO3 BO3 OH Mg Mg BO3 BO3 BO3 BO3 OH OH Mg Na OH Na BO3 Mg OH BO3 OH OH OH BO3

42 α = 2π / n TETRAGIRA n=4 (rotazione di 90 ) 90

43 soldati

44 Fluorite CaF2 S S Fe S S Fe Fe S Fe Fe S S S S S S Fe S Fe S Pirite FeS S Fe S Fe S S S S S Fe S S Fe Fe S Fe Fe S S S

45 PENTAGIRA n=5 (rotazione di 360/5 =72 ) Oggetti singoli possono avere simmetria 5

46 Pirite FeS Oggetti singoli possono avere simmetria 5 anche se sono cristalli ma: solo all aspetto esteriore!

47 Gli assi di rotazione compatibili con un reticolo sono solamente cinque: Identità Digira Trigira a t en Tetragira p Esagira a L r i g n o n a è c

48 Assi di rotazione di ordine 5 (pentagira 72 ), o di ordine superiore a 6: presenti in natura, ma non compatibili con il reticolo cristallino

49 α = 2π / n ESAGIRA n=6 (rotazione di 60 ) 60

50 Berillo

51 Fiocchi di neve

52 1 Centro di inversione i = 1 6 6

53 Combinazione centro di inversione e assi di simmetria _ Solo 4 è un nuovo elemento di simmetria _ 1_ i 2_ m 3 3+i (separatamente) _ 6 3/m (asse 3 perpendicolare ad m)

54 Simmetrie nei reticoli bidimensionali

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57 Combinazioni tra assi, piani e centro di inversione Prima regola: tutti gli elementi di simmetria passano per un punto (il centro del cristallo), nei disegni di prima non valeva Seconda regola: devono essere compatibili con un reticolo e tra loro: non tutte le combinazioni sono possibili e solo per certe orientazioni (p.es due assi 6 non sono possibili) Risultato: i 32 gruppi puntuali (o classi di simmetria)

58 Combinazioni possibili degli elementi di simmetria nel tridimensionale

59 Come rappresentarli? La proiezione stereografica Proiezione di elementi di simmetria e facce Le forme caratteristiche delle varie classi

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61 Polo Nord di proiezione Piano equatoriale o di proiezione Polo Sud di proiezione

62 Proiezione dei piani

63 Il prodotto finale (quasi)

64 Mancano: Il nome delle forme, cioè degli insiemi di facce uguali per simmetria (una faccia in parentesi grafa) La molteplicità: quante facce per ogni forma E soprattutto il riconoscimento del gruppo puntuale (o classe di simmetria)!

65 triclino monoclino ortorombico tetragonale trigonale - esagonale cubico

66 Elementi di simmetria presenti _ Comprende anche l asse 4