Centro di formazione professionale Don Bosco

Centro di forazione professionale Don Bosco Settore elettrico ELETTROTECNICA Eserciziario A.S. 204 205 CIRCUITI ELETTRICI, CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI e MACCHINE ELETTRICHE Fabio PANOZZO

Indice Elettrostatica 2. Grandezze utilizzate................................... 2.2 Forulario......................................... 3.3 Esercizi.......................................... 4 2 Elettroagnetiso 3 2. Grandezze utilizzate................................... 3 2.2 Forulario......................................... 4 2.3 Esercizi.......................................... 6 3 Corrente alternata 40 3. Grandezze utilizzate................................... 40 3.2 Forulario......................................... 4 3.3 Esercizi.......................................... 43

2 Capitolo Elettrostatica. Grandezze utilizzate Sibolo Definizione Unità di isura Sibolo unità di isura Q Carica elettrica coulob C t Tepo secondi s E Capo elettrico newton coulob F Forza newton N d Distanza etro k Costante di Coulob newton etri quadrati coulob quadrati C Capacità farad F V Tensione volt V S Superficie etri quadrati 2 ε Percettività (costante dielettrica) farad etro τ Costante di tepo secondi s R Resistenza oh Ω I Corrente apere A T Tepo di carica / scarica secondi s N C N 2 C 2 F

.2. FORMULARIO 3.2 Forulario Capo elettrico nel vuoto (intensità elettrica) I = Q t t = Q I Q = I t (.) coulob è all incirca 6, 24 0 8 volte la carica di un elettrone (.2) E = F q q = F E F = E q (.3) E = V d d = V E V = E d (.4) Legge di Coulob F = k q q 2 d 2 k = 8, 99 0 9 (.5) Condensatore C = Q V V = Q C Q = C V (.6) C = ε S d d = ε S C S = C d ε (.7) ε 0 = 8, 858 0 2 ε r = ε ε 0 ε = ε r ε 0 (.8) Collegaento in serie C eq = + + + (.9) C C 2 C N Collegaento in serie con 2 condensatori C eq = C C 2 C + C 2 (.0) Collegaento in parallelo C eq = C + C 2 + + C N (.) τ = R C R = τ C C = τ R (.2) T = 5 τ τ = T 5 (.3)

4 CAPITOLO. ELETTROSTATICA Equivalenze tra grandezze Noe Mega Chilo Grandezza Milli Micro Nano Pico Sibolo MF kf F (Farad) F µf nf pf Esponenziale 0 6 0 3 0 0 0 3 0 6 0 9 0 2 Deciale.000.000.000 0, 00 0, 00000 0, 00000000 0, 00000000000.3 Esercizi Esercizio. Capo elettrico nel vuoto (intensità elettrica) Si vuole calcolare l intensità di corrente elettrica che scorre in un filo. Da una osservazione di 30 s si è isurato un passaggio di carica elettrica di 6 C. t = 30 s Q = 6 C I =? Innanzitutto occorre trasforare la carica elettrica da C a C: Esercizio.2 6 C = 6 0 3 C I = Q t = 6 0 3 30 = 0, 2 0 3 A 0, 2 0 3 A = 0, 2 A [I = 0, 2 A] Si vuole calcolare la carica elettrica passata in un filo in 3 inuti sapendo che nel filo scorre una corrente elettrica di 5 A. t = 3 inuti I = 5 A Q =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 3 inuti = 80 s [Q = 900 C]

.3. ESERCIZI 5 Esercizio.3 5 A = 5 0 3 A Q = I t = 5 0 3 80 = 900 0 3 C 900 0 3 C = 900 C Una carica di 3 C è iersa in un capo elettrico e subisce una forza di 6 N. Quanto vale il [ capo elettrico? E = 2 N ] C q = 3 C F = 6 N E =? Innanzitutto occorre trasforare la carica elettrica da C a C: 3 C = 3 0 3 C E = F q = 6 3 0 3 = 2 03 N C 2 0 3 N C = 2 kn C Esercizio.4 In un capo elettrico di 3 N C dal capo sulla carica? viene iersa una carica di 8 C. Quanto vale la forza esercitata [F = 24 N] E = 3 N C q = 8 C F =? Innanzitutto occorre trasforare la carica elettrica da C a C: 8 C = 8 0 3 C F = E q = 3 8 0 3 = 24 0 3 N 24 0 3 N = 24 N Esercizio.5 Calcolare la forza di interazione di due cariche elettriche positive di 2 C e 6 C poste ad una distanza di 3. La forza è attrattiva o repulsiva? [F =, 97 0 9 N; repulsiva]

6 CAPITOLO. ELETTROSTATICA q = 2 C q 2 = 6 C d = 6 F =? F = k q q 2 d 2 = 8, 99 0 9 2 6 3 2 =, 97 0 9 N Condensatore Esercizio.6 Un condensatore a facce piane utilizza coe dielettrico la goa sintetica e presenta le superfici di 3, 5 2 poste alla distanza di 25 µ. Calcolare la capacità del condensatore. [C = 0, 43 µf] Pereabilità elettrica assoluta del vuoto ε 0 = 8, 86 0 2. S = 3, 5 2 d = 25 µ C =? Innanzitutto bisogna trasforare la distanza da µ a : 25 µ = 25 0 6 Dalle tabelle conosciao che la perettività elettrica relativa della goa sintetica è ε r = 3, da cui possiao ricavare la perettività elettrica assoluta ε = ε r ε 0 = 3 8, 86 0 2 = 26, 58 0 2 F Ora è possibile calcolare la capacità del condensatore Esercizio.7 C = ε S d = 26, 58 0 2 3, 5 25 0 6 = 0, 43 0 6 F 0, 43 0 6 F = 0, 43 µf Deterinare la distanza a cui sono poste le arature di un condensatore che isurano 6, 25 d 2 sapendo che tra loro vi è dell aria e la capacità del condensatore è di 2.550 pf. [d = 27 µ]

.3. ESERCIZI 7 Pereabilità elettrica assoluta del vuoto ε = 8, 86 0 2. S = 6, 25 d 2 C = 2.550 pf d =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio.8 d = ε S C 6, 25 d 2 = 6, 25 0 2 2 2550 pf = 2.550 0 2 F = 8, 86 0 2 6, 25 0 2 2.550 0 2 = 0, 027 0 2 0, 027 0 2 = 27 µ Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i orsetti A e B. a C = 2 µf C 2 = 3 µf C 3 = 6 µf C eq =? [C eq = µf] I tre condensatori sono posti in serie, quindi per calcolare l equivalente è necessario usare la seguente forula: Esercizio.9 C eq = + + = C C 2 C 3 2 + 3 + 6 = 3 + 2 + 6 = 6 6 = µf Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i orsetti A e B. a C = 4 µf C 2 = µf C 3 = 5 µf C eq =? [C eq = 0 µf] I tre condensatori sono posti in parallelo, quindi per calcolare l equivalente è necessario usare la seguente forula: C eq = C + C 2 + C 3 = 4 + + 5 = 0 µf

8 CAPITOLO. ELETTROSTATICA Esercizio.0 Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i orsetti A e B. a C = 6 F C 2 = 5 F C 3 = 7 F C 4 = 4 F C eq =? I condensatori C 2 e C 3 sono posti in parallelo: C 2,3 = C 2 + C 3 = 5 + 7 = 2 F I tre condensatori rianenti, C, C 2,3 e C 4, sono in serie: Esercizio. C eq = + + = C C 2,3 C 4 6 + 2 + 4 = 2 F Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i orsetti A e B. a C = 2 µf C 2 = 5 µf C 3 = 2 µf C 4 = 4 µf C 5 = 9 µf C 6 = 9 µf C 7 = 4 µf C 8 = 2 µf C 9 = 2 µf C 0 = 2 µf C = 4 µf C eq =? I condensatori C e C 4 sono in parallelo: I condensatori C 2 e C 5 sono in parallelo: C,4 = C + C 4 = 2 + 4 = 6 µf C 2,5 = C 2 + C 5 = 5 + 9 = 24 µf [C eq = F ] [C eq = 2 µf]

.3. ESERCIZI 9 I condensatori C 3 e C 7 sono in serie: I condensatori C 8, C 9 e C 0 sono in serie: C 8,9,0 = I condensatori C 3,7 e C 6 sono in parallelo: I condensatori C 2,5 e C 3,6,7 sono in serie: C 3,7 = C 3 C 7 C 3 + C 7 = 2 4 2 + 4 = 48 6 = 3 µf + + = C 8 C 9 C 0 2 + 2 + 2 C 3,6,7 = C 3,7 + C 6 = 3 + 9 = 2 µf C 2,3,5,6,7 = C 2,5 C 3,6,7 C 2,5 + C 3,6,7 = I condensatori C 2,3,5,6,7 e C 8,9,0 sono in parallelo: 24 2 24 + 2 = 8 µf = 4 µf C 2,3,5,6,7,8,9,0 = C 2,3,5,6,7 + C 8,9,0 = 8 + 4 = 2 µf I condensatori C,4, C 2,3,5,6,7,8,9,0 e C sono in serie: Esercizio.2 C eq = C,4 + + = C 2,3,5,6,7,8,9,0 C 6 + 2 + 4 = 2 µf Le facce piane e parallele di un condensatore hanno una superficie di 4, 5 2 e sono poste ad una distanza di 8. Tra le due arature, coe dielettrico, è utilizzata l aria. Tra le due arature viene posto uno strato di 2 di porcellana. Si calcoli la capacità del condensatore. [C = 6, 3 nf] Pereabilità elettrica assoluta del vuoto ε 0 = 8, 86 0 2. S = 4, 5 2 d = 8 d porcellana = 2 C =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 8 = 8 0 3 2 = 2 0 3

0 CAPITOLO. ELETTROSTATICA L inseriento dello strato di porcellana, porta a dividere la distanza d in due parti: d = d aria + d porcellana Quindi d aria = d d porcellana = 8 0 3 2 0 3 = 6 0 3 Ora calcoliao la capacità dello strato dell aria C aria. S C aria = ε 0 = 8, 86 0 2 4, 5 d aria 6 0 3 = 6, 645 0 9 F Dalle tabelle conosciao che la perettività elettrica relativa della porcellana è ε r = 6, da cui possiao ricavare la perettività elettrica assoluta ε = ε r ε 0 = 6 8, 86 0 2 = 53, 6 0 2 F Ora calcoliao la capacità dello strato di porcellana C porcellana. C porcellana = ε S = 53, 6 0 2 4, 5 d aria 2 0 3 = 9, 6 0 9 F I due strati sono posti in odo da costituire una serie di due condensatori, quindi la capacità totale C sarà calcolabile coe: C = C aria C porcellana = 6, 645 0 9 9, 6 0 9 794, 8 0 8 C aria + C porcellana 6, 645 0 9 = + 9, 6 0 9 26, 255 0 9 = 6, 3 0 9 F 6, 3 0 9 F = 6, 3 nf Esercizio.3 Sia dato il circuito in figura. Calcolare la carica totale accuulata dai condensatori. [Q t = 324 C] V = 8 kv C = 4 µf C 2 = 6 µf C 3 = 8 µf Q t =? I tre condensatori sono posti in parallelo, quindi per calcolare l equivalente è necessario usare la seguente forula: C eq = C + C 2 + C 3 = 4 + 6 + 8 = 8 µf Ora trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 8 µf = 8 0 6 F 8 kv = 8 0 3 V Ora possiao calcolare la carica totale accuulata nel circuito: Q t = C eq V = 8 0 6 8 0 3 = 324 0 3 C 324 0 3 C = 324 C

.3. ESERCIZI Esercizio.4 Sia dato il circuito in figura. Calcolare la carica totale accuulata dai condensatori. [Q t = 72 µc] V = 36 V C = 6 µf C 2 = 2 µf C 3 = 4 µf C 4 = 6 µf Q t =? I condensatori C 2 e C 3 sono posti in parallelo: C 2,3 = C 2 + C 3 = 2 + 4 = 6 F I tre condensatori rianenti, C, C 2,3 e C 4, sono in serie: C eq = Ora trasforiao la capacità da µf a F: + + = C C 2,3 C 4 6 + 6 + 6 2 µf = 2 0 6 F Ora possiao calcolare la carica totale accuulata nel circuito: Esercizio.5 = 2 F Q t = C eq V = 2 0 6 36 = 72 0 6 C 72 0 6 C = 72 µc Un condensatore da 250 pf viene caricato con una tensione costante di 5 V. Tra il condensatore ed il generatore è posta un resistore di 20 kω. Si calcoli il valore della corrente all istante in cui il generatore viene attivato e la costante di tepo del circuito. C = 250 pf V = 5 V R = 20 kω I =? τ =? [I = 750 µa; τ = 5 µs]

2 CAPITOLO. ELETTROSTATICA Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: La corrente I può essere calcolata coe: La costante di tepo τ è uguale a: Esercizio.6 250 pf = 250 0 2 F 20 kω = 20 0 3 Ω I = V R = 5 20 0 3 = 0, 75 0 3 A 0, 75 0 3 A = 750 µa τ = R C = 20 0 3 250 0 2 = 5.000 0 9 s 5.000 0 9 s = 5 µs Un condensatore da 0, 28 µf deve essere sottoposto alla d.d.p. di.300 V e per evitare un forte assorbiento iniziale di corrente si prevede l inserzione di un resistore. Deterinare la resistenza di quest ultio se si desidera che il fenoeno transitorio di inserzione risulti praticaente esaurito in 0, 22 s. Calcolare anche la corrente generata alla chiusura del circuito. [R = 57 kω; I = 8, 3 A] C = 0, 28 µf V =.300 V T = 0, 22 s R =? I =? Innanzitutto occorre trasforare la capacità da µf a F: Conosciao che il tepo T = 5 τ, quindi: T = 5 τ = 5 R C R = La corrente sarà quindi uguale a: 0, 28 µf = 0, 28 0 6 F T 5 C = 0, 22 5 0, 28 0 6 = 0, 57 06 Ω 0, 57 0 6 Ω = 57.000 Ω = 57 kω I = V R =.300 = 0, 0083 A 57.000 0, 0083 A = 8, 3 A

3 Capitolo 2 Elettroagnetiso 2. Grandezze utilizzate Sibolo Definizione Unità di isura Sibolo unità di isura H Capo agnetico apere etro N Nuero di fili o spire r Raggio etro l Lunghezza etro B Induzione agnetica tesla T L Induttanza henry H S Sezione etri quadrati 2 µ Pereabilità agnetica henry etro Φ Flusso agnetico weber Wb N I Tensione agnetica aperspire Asp R Riluttanza henry H v Velocità etri secondo τ Costante di tepo secondi s T Tepo di carica / scarica secondi s A H s

4 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO 2.2 Forulario Capo agnetico nel vuoto (intensità agnetica) Filo rettilineo H = I 2 π r Insiee di fili rettilinei paralleli I = 2 π r H r = I 2 π H (2.) H = N I 2 l I = 2 l H N l = N I 2 H N = 2 l H I (2.2) Solenoide rettilineo H = N I l I = l H N l = N I H N = l H I N I = H l (2.3) Solenoide toroidale H = N I 2 π r I = 2 π r H N r = N I 2 π H N = 2 π r H I (2.4) Induzione agnetica B = µ H H = B µ µ = B H (2.5) µ 0 = 4 π 0 7 µ r = µ µ 0 µ = µ r µ 0 (2.6) Circuiti agnetici Φ = B S B = Φ S S = Φ B (2.7) R = l µ S µ = l R S S = l µ R l = µ S R (2.8) Legge di Hopkinson (legge di Oh agnetica) N I = Φ R Φ = N I R R = N I Φ I = Φ R N N = Φ R I (2.9)

2.2. FORMULARIO 5 Azioni fra correnti e capi agnetici F = B l I B = F l I l = F B I I = F B l (2.0) V = B l v B = V l v l = V B v v = V B l (2.) Legge di Faraday Neuann Lenz V = Φ t = Φ 2 Φ t 2 t (2.2) Φ c = N Φ N = Φ c Φ Φ c N (2.3) V = N Φ t = Φ c t (2.4) Induttore L = Φ c I I = Φ c L Φ c = L I (2.5) Collegaento in serie L eq = L + L 2 + + L N (2.6) Collegaento in parallelo L eq = + + + (2.7) L L 2 L N Collegaento in parallelo con 2 induttori L eq = L L 2 L + L 2 (2.8) τ = L R R = L τ L = R τ (2.9) T = 5 τ τ = T 5 (2.20)

6 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO 2.3 Esercizi Esercizio 2. Capo agnetico nel vuoto (intensità agnetica) Si vuole calcolare l intensità agnetica generata da un filo rettilineo percorso da una corrente [ elettrica di 8, 3 A ad una distanza di 6. H = 220 A ] I = 8, 3 A r = 6 H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.2 H = 8, 3 A = 8, 3 0 3 A I 2 π r 6 = 6 0 3 = 8, 3 0 3 2 π 6 0 3 = 0, 22 A 0, 22 A = 220 A Si vuole calcolare l intensità di corrente che scorre in un un filo rettilineo sapendo che ad una distanza di 5 è stata rilevata un intensità agnetica di 4, 3 A. [I = 35 A] r = 5 H = 4, 3 A I =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.3 5 = 5 0 3 I = 2 π r H = 2 π 5 0 3 4, 3 = 35 A Si vuole calcolare a quale distanza un filo rettilineo percorso da una corrente di 3, 5 A si rileva un intensità agnetica di 8, 8 A. [r = 63 µ] I = 3, 5 A

2.3. ESERCIZI 7 H = 8, 8 A r =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.4 r = I 2 π H 3, 5 A = 3, 5 0 3 A = 3, 5 0 3 2 π 8, 8 = 0, 063 0 3 0, 063 0 3 = 63 µ Si vuole calcolare l intensità agnetica generata da un insiee di 9 fili rettilinei lungo 5 c percorsi [ dalla stessa corrente elettrica di 5, 4 µa. H = 486 µa ] N = 9 l = 5 c I = 5, 4 µa H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.5 H = N I 2 l 5 c = 5 0 2 5, 4 µa = 5, 4 0 6 A = 9 5, 4 0 6 2 5 0 2 = 4, 86 0 4 A 4, 86 0 4 A = 486 µa Si vuole calcolare l intensità di corrente che scorre in ogni filo di un insiee di fili 5 rettilinei sapendo che sono disposti parallelaente per una distanza di 0 c e circondati da un intensità agnetica di 3, 7 A. [I = 49, 3 µa] N = 5 l = 0 c H = 3, 7 A I =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 3, 7 A = 3, 7 0 3 A

8 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO I = 2 l H N 0 c = 0 0 2 = 2 0 0 2 3, 7 0 3 = 4, 93 0 5 A 5 4, 93 0 5 A = 49, 3 µa Esercizio 2.6 Si vuole calcolare la lunghezza di un insiee di 3 fili paralleli percorsi da una corrente di 5 A sapendo che generano un intensità agnetica di 7, 5 ka. [l = 8, 7 ] N = 3 I = 5 A H = 7, 5 ka l =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.7 7, 5 ka = 7, 5 03 A l = N I 2 H = 3 5 2 7, 5 0 3 = 8, 7 0 3 8, 7 0 3 = 8, 7 Si vuole calcolare il nuero di fili rettilinei disposti in parallelo, sapendo che sono disposti per una lunghezza di 8 c, generano un intensità agnetica di 6, 25 A elettrica. e in essi scorrono 4 A di corrente [N = 250] l = 8 c H = 6, 25 A I = 4 A N =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.8 N = 2 l H I 8 c = 8 0 2 4 A = 4 0 3 A = 2 8 0 2 6, 25 4 0 3 = 25 0 = 250 Si vuole calcolare l intensità agnetica generata da un solenoide rettilineo lungo 4 c forato [ da 45 spire percorse da 7, 2 A di corrente elettrica. H = 2, 3 A ]

2.3. ESERCIZI 9 N = 45 l = 4 c I = 7, 2 A H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 4 c = 4 0 2 H = N I l 7, 2 A = 7, 2 0 3 A = 45 7, 2 0 3 4 0 2 = 23, 4 0 A Esercizio 2.9 23, 4 0 A = 2, 3 A Si vuole calcolare l intensità di corrente che scorre in un solenoide rettilineo lungo 8 c e forato da 25 spire, sapendo che all interno delle spire è presente un intensità agnetica di 68 A. a [I = 489, 6 µa] N = 25 l = 8 c H = 68 A I =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 68 A = 68 0 3 A I = l H N 8 c = 8 0 2 = 8 0 2 68 0 3 25 48, 96 0 5 A = 489, 6 µa = 48, 96 0 5 A Esercizio 2.0 Si vuole calcolare la lunghezza di un solenoide rettilineo coposto da 27 spire percorso da una corrente di 5, 5 A sapendo che genera un intensità agnetica di 5, 2 A. [l = 8 ] N = 27 I = 5, 5 A

20 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO H = 5, 5 A l =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2. 5, 5 A = 5, 5 0 3 A l = N I H = 27 5 7, 5 0 3 = 8 0 3 8 0 3 = 8 Si vuole calcolare il nuero di spire di un solenoide rettilineo, sapendo che è lungo 4, generano un intensità agnetica di 0, 5 A ed è percorso da 3, 5 µa di corrente elettrica. [N = 42] l = 4 H = 0, 5 A I = 3, 5 µa N =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.2 N = l H I 4 = 4 0 3 3, 5 µa = 4 0 6 A 0, 5 A = 0, 5 0 3 A = 4 0 3 0, 5 0 3 3, 5 0 6 = 42 Si vuole calcolare l intensità agnetica generata da un solenoide toroidale di raggio 23 forato [ da 50 spire percorse da 4, 2 A di corrente elettrica. H = 4, 36 A ] N = 50 r = 23 I = 4, 2 A H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 23 = 23 0 3

2.3. ESERCIZI 2 Esercizio 2.3 H = N I 2 π r 4, 2 A = 4, 2 0 3 A = 50 4, 2 0 3 2 π 23 0 3 = 4, 36 A Si vuole calcolare l intensità di corrente che scorre in un solenoide toroidale di raggio 4, 5 c e forato da 00 spire, sapendo che all interno delle spire è presente un intensità agnetica di 43 A. [I = 2, 5 µa] N = 00 l = 4, 5 c H = 43 A I =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.4 I = 2 π r H N 43 A = 43 0 3 A 4, 5 c = 4, 5 0 2 = 2 π 4, 5 0 2 43 0 3 = 2, 5 0 5 A 00 2, 5 0 5 A = 2, 5 µa Si vuole calcolare il raggio di un solenoide toroidale coposto da 30 spire percorso da una corrente di 6, 5 µa sapendo che genera un intensità agnetica di 5 A. [r = 26, 9 µ] N = 30 I = 6, 5 µa H = 5 A l =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: Esercizio 2.5 6, 5 µa = 6, 5 0 6 A r = N I 30 6, 5 0 6 = = 26, 9 0 6 2 π H 2 π 5 26, 9 0 6 = 26, 9 µ Si vuole calcolare il nuero di spire di un solenoide toroidale, sapendo che il suo raggio isura 2 c, generano un intensità agnetica di 5 A [N = 20] ed è percorso da 3, 4 A di corrente elettrica.a

22 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO r = 2 c H = 5 A I = 3, 4 A N =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 2 c = 2 0 2 3, 4 A = 3, 4 0 3 A N = 2 π r H I = 2 π 2 0 2 5 3, 4 0 3 = 2 0 = 20 Esercizio 2.6 Induzione agnetica Si vuole calcolare il valore dell induzione agnetica in un traferro ierso ad un capo agnetico di 4, 5 A conoscendo la sua pereabilità relativa di 4.500. [B = 25, 43 T] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. H = 4, 5 A µ r = 4.500 B =? Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: µ = µ r µ 0 = 4.500 4 π 0 7 = 56.520 0 7 H Ora è possibile calcolare l induzione agnetica: B = µ H = 56.520 0 7 4, 5 = 254.340 0 7 T Esercizio 2.7 254.340 0 7 T = 25, 43 T Si vuole calcolare il valore dell intensità agnetica in un traferro sapendo che ha un induzione [ agnetica di 2 T e una pereabilità relativa di 8.000. H =.202 A ]

2.3. ESERCIZI 23 Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. B = 2 T µ r = 8.000 H =? Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: Ora è possibile calcolare l intensità agnetica: µ = µ r µ 0 = 8.000 4 π 0 7 = 99.840 0 7 H H = B µ = 2 99.840 0 7 = 0, 000202 07 A 0, 000202 0 7 A =.202 A Esercizio 2.8 Si vuole calcolare l induzione agnetica presente in un cilindro etallico lungo 6 c posto all interno di un solenoide rettilineo coposto da 00 spire percorse da 3, 6 A di corrente elettrica, sapendo che ha una pereabilità relativa di 6.500. [B = 8, 37 T] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. N = 00 l = 6 c I = 3, 6 A µ r = 6.500 B =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 6 c = 6 0 2 3, 6 A = 3, 6 0 3 A Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: µ = µ r µ 0 = 6.500 4 π 0 7 = 8.640 0 7 H Ora calcoliao l intensità agnetica all interno del cilindro etallico: H = N I l Infine possiao calcolare l induzione agnetica: = 00 3, 6 0 3 6 0 2 = 22, 5 0 A B = µ H = 8.640 0 7 22, 5 0 =.836.900 0 8 T.836.900 0 8 T = 8, 37 T

24 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Esercizio 2.9 Si vuole calcolare l induzione agnetica presente in un toro etallico di raggio 55 posto all interno di un solenoide toroidale coposto da 200 spire percorse da 4, 5 A di corrente elettrica, sapendo che ha una pereabilità relativa di 7.000. [B = 22, 9 T] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. N = 200 r = 55 I = 4, 5 A µ r = 7.000 B =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 55 = 55 0 3 4, 5 A = 4, 5 0 3 A Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: µ = µ r µ 0 = 7.000 4 π 0 7 = 87.920 0 7 H Ora calcoliao l intensità agnetica all interno del cilindro etallico H = N I 2 π r Infine possiao calcolare l induzione agnetica: Esercizio 2.20 = 200 4, 5 0 3 2 π 55 0 3 = 2, 606 A B = µ H = 87.920 0 7 2, 606 = 229.090 0 7 T 229.090 0 7 T = 22, 9 T Si vuole calcolare la lunghezza di un solenoide rettilineo coposto da 45 spire percorso da una corrente di 5 A sapendo che al suo interno è posto un cilindro etallico con una pereabilità relativa di 9.000 e attraversato da un induzione agnetica di 6 T. Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. N = 45 I = 5 A B = 6 T µ r = 9.000 l =? [l = 5, 89 c]

2.3. ESERCIZI 25 Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 5 A = 5 0 3 A Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: µ = µ r µ 0 = 9.000 4 π 0 7 = 3.040 0 7 H Ora calcoliao l intensità agnetica all interno del cilindro etallico: Esercizio 2.2 H = B µ = 6 3.040 0 7 =.45, 43 A l = N I H = 45 5 = 0, 589.45, 43 0, 589 = 5, 89 c Si vuole calcolare il raggio di un solenoide toroidale coposto da 50 spire percorso da una corrente di 5, 6 A sapendo che al suo interno è posto un toro etallico con una pereabilità relativa di 8.500 e attraversato da un induzione agnetica di 8, 5 T. [r = 6, 8 c] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. N = 50 I = 5, 6 A B = 8, 5 T µ r = 8.500 r =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 5, 6 A = 5, 6 0 3 A Conoscendo la pereabilità relativa è possibile calcolare la pereabilità assoluta: µ = µ r µ 0 = 8.500 4 π 0 7 = 06.760 0 7 H Ora calcoliao l intensità agnetica all interno del cilindro etallico: H = B µ = 8, 5 06.760 0 7 = 796, 8 A r = N I 2 π H 50 5, 6 = = 0, 68 2 π 796, 8 0, 68 = 6, 8 c

26 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Esercizio 2.22 In un solenoide rettilineo lungo 8 c e forato da 60 spire percorse da 4, 8 A viene inserito un cilindro di un ateriale sconosciuto. Sapendo che all interno del cilindro si ha un induzione agnetica di 56 T, calcolare la pereabilità relativa del cilindro e dire se il cilindro è coposto da un ateriale diaagnetico, paraagnetico o ferroagnetico. [µ r = 27.866; ferroagnetico] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. N = 60 I = 4, 8 A B = 56 T l = 8 c µ r =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 4, 8 A = 4, 8 0 3 A 56 T = 56 0 3 T 8 c = 8 0 2 Con i dati a disposizione possiao calcolare l intensità agnetica: H = N I l = 60 4, 8 0 3 8 0 2 =, 6 0 A Ora è possibile calcolare la pereabilità agnetica assoluta: µ = B H = 56 0 3, 6 = 35 0 3 H Infine è ora possibile calcolare la pereabilità agnetica relativa: µ r = µ µ 0 = 35 0 3 = 2, 7866 04 4 π 0 7 2, 7866 0 4 = 27.866

2.3. ESERCIZI 27 Circuiti agnetici Esercizio 2.23 Un solenoide toroidale ha un diaetro di 8 c e una sezione cilindrica di diaetro 5. Sapendo che la sua pereabilità relativa è di 20.000, calcolare la riluttanza agnetica del circuito. [ a R = 509.554 H ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. d = 8 c d 2 = 5 µ r = 20.000 R =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 5 = 5 0 3 8 c = 8 0 2 Per calcolare la riluttanza agnetica dobbiao usare la seguente forula: R = l µ S Ma al oento non conosciao nessuna delle tre grandezze µ, l, S. Per questo le calcoliao: µ = µ r µ 0 = 20.000 4 π 0 7 = 25.200 0 7 H l = d π = 8 0 2 π = 25, 2 0 2 r 2 = d 2 2 = 5 0 3 2 = 2, 5 0 3 S = r 2 2 π = ( 2, 5 0 3) 2 π = 9, 625 0 6 2 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica: Esercizio 2.24 R = l µ S = 25, 2 0 2 25.200 0 7 = 509.554 H 9, 625 0 6 Un solenoide toroidale ha un diaetro di 0 c e una sezione rettangolare i cui lati isurano rispettivaente 3 e 4. Il toroide è avvolto da 50 spire percorse da 3, 5 A di corrente. Sapendo che la sua pereabilità relativa è di 5.000, calcolare il capo agnetico, l induzione agnetica, il flusso agnetico e la riluttanza agnetica del circuito. a [H =, 67 A ] ; B = 3, 5 T; Φ = 378 nwb; R =.388.867 H

28 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. d = 0 c b = 3 h = 4 N = 50 I = 3, 5 A µ r = 5.000 H =? B =? Φ =? R =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 0 c = 0 0 2 3 = 3 0 3 4 = 4 0 3 3, 5 A = 3, 5 0 3 A Con i dati a disposizione possiao calcolare l intensità agnetica. Essendo d = 2 r: H = N I 2 π r = N I d π = 50 3, 5 0 3 0 0 2 π = 6, 72 0 =, 67 A Per calcolare l induzione agnetica B è necessario calcolare la pereabilità agnetica assoluta µ: µ = µ r µ 0 = 5.000 4 π 0 7 = 88.400 0 7 H B = µ H = 88.400 0 7 6, 72 0 = 3.50.048 0 8 T 3.50.048 0 8 T = 3, 5 T Per calcolare il flusso agnetico Φ è necessario calcolare la sezione del toroide S. rettangolo: S = b h = 3 0 3 4 0 3 = 2 0 6 2 Essendo un Φ = B S = 3.50.048 0 8 2 0 6 = 37.800.576 0 4 Wb 37.800.576 0 4 Wb = 378 nwb Per calcolare la riluttanza agnetica R utilizziao la legge di Hopkinson: R = N I Φ 50 3, 5 0 3 = =.388.867 H 37.800.576 0 4

2.3. ESERCIZI 29 Esercizio 2.25 Un solenoide toroidale ha una sezione quadrata di lato 5. Il toroide è avvolto da 250 spire percorse da 3, 5 A di corrente. Sapendo che la sua pereabilità relativa è di 0.000 e il capo agnetico isura 6, 5 A, calcolare il diaetro del solenoide, l induzione agnetica, il flusso agnetico e la riluttanza agnetica del circuito. [ a d = 4, 3 c; B = 8, 6 T; Φ = 2 µwb; R = 428.7 H ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. l s = 5 N = 250 I = 3, 5 A µ r = 0.000 H = 6, 5 A d =? B =? Φ =? R =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 5 = 5 0 3 3, 5 A = 3, 5 0 3 A Con i dati a disposizione possiao calcolare il diaetro. Essendo d = 2 r: d = 2 r = N I π H = 250 3, 5 0 3 π 6, 5 = 42, 87 0 3 42, 87 0 3 = 4, 3 c Per calcolare l induzione agnetica B è necessario calcolare la pereabilità agnetica assoluta µ: µ = µ r µ 0 = 0.000 4 π 0 7 = 25.600 0 7 H B = µ H = 25.600 0 7 6, 5 = 86.400 0 7 T 86.400 0 7 T = 8, 6 T Per calcolare il flusso agnetico Φ è necessario calcolare la sezione del toroide S. rettangolo: S = l 2 s = ( 5 0 3) 2 = 25 0 6 2 Essendo un Φ = B S = 86.400 0 7 25 0 6 = 20.40.000 0 3 Wb 20.40.000 0 3 Wb = 2 µwb

30 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Per calcolare la riluttanza agnetica R utilizziao la legge di Hopkinson: R = N I Φ 250 3, 5 0 3 = = 428.7 H 20.40.000 0 3 Esercizio 2.26 Sia dato il nucleo etallico in ferro fucinato rappresentato in figura (le isure sono da intendersi espresse in illietri). Conoscendo la sua pereabilità relativa di 25.000 e volendo ottenere un flusso agnetico di 6, 5 Wb, calcolare la riluttanza agnetica del circuito, la tensione agnetica per avere il flusso richiesto, la corrente da iniettare nelle 750 spire per ottenere la tensione agnetica calcolata, l induzione [ agnetica e il capo agnetico in ogni tratto del nucleo etallico. a R = 0.9 H ; N I = 662, 4 Asp; I = 0, 88 A; B = 30 T; H = 4.40 A ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. µ r = 25.000 Φ = 6, 5 Wb N = 750 R =? N I =? I =? B =? H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 6, 5 Wb = 6, 5 0 3 Wb Per calcolare la riluttanza agnetica possiao utilizzare la seguente forula: R = l µ S Ma al oento non conosciao nessuna delle tre grandezze µ, l, S. Per questo le calcoliao: µ = µ r µ 0 = 25.000 4 π 0 7 = 34.000 0 7 H Essendo quadrato, il nucleo etallico avrà una lunghezza data da: l = lato 4 = 40 0 3 4 = 60 0 3 Essendo rettangolare la sezione è calcolabile coe: S = lato lato 2 = 5 0 3 0 0 3 = 50 0 6 2

2.3. ESERCIZI 3 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica: R = l µ S = 60 0 3 34.200 0 7 = 0.9 H 50 0 6 Avendo riluttanza e flusso è possibile calcolare la tensione agnetica con la legge di Hopkinson: N I = Φ R = 6, 5 0 3 0.9 = 662, 4 Asp Ora possiao calcolare la corrente che scorre nei fili coe: I = N I N = 662, 4 = 0, 88 A 750 Essendo la sezione uguale in tutto il nucleo etallico, l induzione agnetica avrà lo stesso valore in ogni punto del circuito agnetico, calcolabile coe: B = Φ S 6, 5 0 3 = = 30 T 50 0 6 Il circuito agnetico è coposto solo dal nucleo etallico, quindi il capo agnetico sarà uguale in ogni suo punto: H = B µ = 30 34.000 0 7 = 4.40 A

32 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Esercizio 2.27 Sia dato il nucleo etallico in ferro fucinato rappresentato in figura (le isure sono da intendersi espresse in illietri). Conoscendo la sua pereabilità relativa di 35.000 e volendo ottenere un flusso agnetico di 8 Wb, calcolare la riluttanza agnetica del circuito, la tensione agnetica per avere il flusso richiesto, la corrente da iniettare nelle 2.500 spire per ottenere la tensione agnetica calcolata, l induzione agnetica e il capo agnetico in ogni tratto del nucleo etallico. [ a R = 7.997.952 H ; N I = 63.984 Asp; I = 25, 6 A; a B = 80 T; H etallo =.820 A ; Haria = 63.694.268 A ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. µ r = 35.000 Φ = 8 Wb N = 2.500 R =? N I =? I =? B =? H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 8 Wb = 8 0 3 Wb Per calcolare la riluttanza agnetica totale dobbiao considerare le due parti da cui è coposto il circuito agnetico: la parte del nucleo etallico e la parte di aria. La riluttanza totale sarà data dalla soa di queste due coponenti: R = R etallo + R aria Per calcolare la riluttanza agnetica del nucleo etallico possiao utilizzare la seguente forula: R etallo = l µ S Ma al oento non conosciao nessuna delle tre grandezze µ, l, S. Per questo le calcoliao: µ = µ r µ 0 = 35.000 4 π 0 7 = 439.600 0 7 H La lunghezza del nucleo etallico sarà data dalla soa dei suoi lati etallici: l = 40 0 3 + 40 0 3 + 40 0 3 + 9, 5 0 3 + 9, 5 0 3 = 59 0 3

2.3. ESERCIZI 33 Essendo quadrata la sezione è calcolabile coe: S = lato 2 = ( 0 0 3) 2 = 00 0 6 2 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica del etallo: R etallo = l µ S = 59 0 3 439.600 0 7 = 36.69 H 00 0 6 Per calcolare la riluttanza agnetica della parte di aria possiao usare la seguente forula: R aria = l µ S Ma al oento conosciao solo la sezione S in quanto uguale a quella della parte etallica e la pereabilità agnetica dell aria in quanto è µ 0, quindi dobbiao calcolare la lunghezza l: l = 0 3 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica dell aria: R aria = l µ 0 S = 0 3 4 π 0 7 = 7.96.783 H 00 0 6 Ora possiao calcolare la riluttanza agnetica totale del circuito: R = R etallo + R aria = 36.69 + 7.96.783 = 7.997.952 H Avendo riluttanza e flusso è possibile calcolare la tensione agnetica con la legge di Hopkinson: N I = Φ R = 8 0 3 7.997.952 = 63.984 Asp Ora possiao calcolare la corrente che scorre nei fili coe: I = N I N = 63.984 2.500 = 25, 6 A Essendo la sezione uguale in tutto il nucleo etallico, l induzione agnetica avrà lo stesso valore in ogni punto del circuito agnetico, calcolabile coe: B = Φ S = 8 0 3 = 80 T 00 0 6 Il circuito agnetico è coposto da due parti, una etallica ed una di aria, quindi avreo due diversi capi agnetici nei due ateriali: H etallo = B µ = 80 439.600 0 7 =.820 A H aria = B µ 0 = 80 4 π 0 7 = 63.694.268 A

34 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Esercizio 2.28 Sia dato il nucleo etallico in ferro fucinato rappresentato in figura (le isure sono da intendersi espresse in illietri). Conoscendo la sua pereabilità relativa di 5.000 e volendo ottenere un flusso agnetico di 3, 5 Wb, calcolare la riluttanza agnetica del circuito, la tensione agnetica per avere il flusso richiesto, la corrente da iniettare nelle 5.000 spire per ottenere la tensione agnetica calcolata, l induzione agnetica e il capo agnetico in ogni tratto del nucleo etallico. [ a R = 32.057.326 H ; N I = 2.20 Asp; I = 22, 44 A; B DABC = 70 T; a B DC = 40 T; H DABC = 3.75 A ; HDC = 7.430 A ; Haria =.464.968 A ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. µ r = 5.000 Φ = 3, 5 Wb N = 5.000 R =? N I =? I =? B =? H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 3, 5 Wb = 3, 5 0 3 Wb Per calcolare la riluttanza agnetica totale dobbiao considerare le diverse parti di cui è coposto il circuito. Ad ogni variazione di sezione o ateriale dovreo calcolare una diversa riluttanza agnetica. In particolare nel circuito considerato avreo una pria riluttanza R DABC tratto DABC, in cui la sezione e il ateriale sono gli stessi, una seconda riluttanza R DC tratto DC di etallo ed una terza riluttanza R aria per il tratto d aria. R = R DABC + R DC + R aria Per calcolare la riluttanza del tratto DABC possiao utilizzare la seguente forula: R DABC = l µ S Ma al oento non conosciao nessuna delle tre grandezze µ, l, S. Per questo le calcoliao: per il per il µ = µ r µ 0 = 5.000 4 π 0 7 = 88.400 0 7 H La lunghezza del tratto DABC sarà data dalla soa delle sue coponenti: l = 60 0 3 + 40 0 3 + 60 0 3 = 20 0 3

2.3. ESERCIZI 35 Essendo rettangolare la sezione è calcolabile coe: S = lato lato 2 = 5 0 3 0 0 3 = 50 0 6 2 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica del tratto DABC: R DABC = l µ S = 20 0 3 88.400 0 7 = 27.389 H 50 0 6 Per calcolare la riluttanza del tratto DC possiao utilizzare la seguente forula: R DC = l µ S Ma al oento conosciao solo µ in quanto è la stessa del etallo precedenteente calcolata. Dobbiao calcolare l e S. La lunghezza del tratto DC sarà data dalla soa delle sue coponenti: Essendo quadrata la sezione è calcolabile coe: l = 9, 5 0 3 + 9, 5 0 3 = 39 0 3 S = lato 2 = ( 5 0 3) 2 = 25 0 6 2 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica del tratto DC: R DC = l µ S = 39 0 3 88.400 0 7 = 82.803 H 25 0 6 Per calcolare la riluttanza agnetica della parte di aria possiao usare la seguente forula: R aria = l µ S Ma al oento conosciao solo la sezione S in quanto uguale a quella del tratto DC e la pereabilità agnetica dell aria in quanto è µ 0, quindi dobbiao calcolare la lunghezza l: l = 0 3 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica dell aria: R aria = l µ 0 S = 0 3 4 π 0 7 = 3.847.34 H 25 0 6 Ora possiao calcolare la riluttanza agnetica totale del circuito: R = R DABC + R DC + R aria = 27.389 + 82.803 + 3.847.34 = 32.057.326 H Avendo riluttanza e flusso è possibile calcolare la tensione agnetica con la legge di Hopkinson: N I = Φ R = 3, 5 0 3 32.057.326 = 2.20 Asp Ora possiao calcolare la corrente che scorre nei fili coe: I = N I N = 2.20 = 22, 44 A 5.000

36 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Avendo due diverse sezioni nel circuito, una per il tratto DABC e una per il tratto DC, avreo due induzioni agnetiche: B DABC = Φ S B DC = Φ S 3, 5 0 3 = = 70 T 50 0 6 3, 5 0 3 = = 40 T 25 0 6 Il tratto DABC è coposto unicaente da etallo, quindi il capo sarà uguale in ogni suo punto, entre il tratto DC è coposto da due diversi ateriali, etallo e aria, quindi avreo due capi diversi lungo questo tratto. In totale, quindi, avreo tre capi agnetici: H DABC = BDABC µ = 70 88.400 0 7 = 3.75 A H DC = BDC µ = 40 88.400 0 7 = 7.430 A H aria = BDC µ 0 = 40 4 π 0 7 =.464.968 A

2.3. ESERCIZI 37 Esercizio 2.29 Sia dato il nucleo etallico in ferro fucinato rappresentato in figura (le isure sono da intendersi espresse in illietri). Conoscendo la sua pereabilità relativa di 20.000 e volendo ottenere un flusso agnetico di 5, 5 Wb, calcolare la riluttanza agnetica del circuito, la tensione agnetica per avere il flusso richiesto, la corrente da iniettare nei due avvolgienti (la corrente è uguale in entrabi gli avvolgienti), sapendo che il prio ha 500 e il secondo.000 spire per ottenere la tensione agnetica calcolata, l induzione agnetica e il capo agnetico in ogni tratto del nucleo [ etallico. R = 8.025.079 H ; N I = 44.38 Asp; I = 29, 43 A; a B = 55 T; H etallo = 2.89 A ; Haria = 43.789.809 A ] Pereabilità agnetica assoluta del vuoto µ 0 = 4 π 0 7. µ r = 20.000 Φ = 5, 5 Wb N = 500 N 2 =.000 R =? N I =? I =? B =? H =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 8 Wb = 5, 5 0 3 Wb Per calcolare la riluttanza agnetica totale dobbiao considerare le due parti da cui è coposto il circuito agnetico: la parte del nucleo etallico e la parte di aria. La riluttanza totale sarà data dalla soa di queste due coponenti: R = R etallo + R aria Per calcolare la riluttanza agnetica del nucleo etallico possiao utilizzare la seguente forula: R etallo = l µ S Ma al oento non conosciao nessuna delle tre grandezze µ, l, S. Per questo le calcoliao: µ = µ r µ 0 = 20.000 4 π 0 7 = 25.200 0 7 H La lunghezza del nucleo etallico sarà data dalla soa dei suoi lati etallici: l = 40 0 3 + 40 0 3 + 40 0 3 + 9, 5 0 3 + 9, 5 0 3 = 59 0 3

38 CAPITOLO 2. ELETTROMAGNETISMO Essendo quadrata la sezione è calcolabile coe: S = lato 2 = ( 0 0 3) 2 = 00 0 6 2 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica del etallo: R etallo = l µ S = 59 0 3 25.200 0 7 = 63.296 H 00 0 6 Per calcolare la riluttanza agnetica della parte di aria possiao usare la seguente forula: R aria = l µ S Ma al oento conosciao solo la sezione S in quanto uguale a quella della parte etallica e la pereabilità agnetica dell aria in quanto è µ 0, quindi dobbiao calcolare la lunghezza l: l = 0 3 Ora è possibile calcolare la riluttanza agnetica dell aria: R aria = l µ 0 S = 0 3 4 π 0 7 = 7.96.783 H 00 0 6 Ora possiao calcolare la riluttanza agnetica totale del circuito: R = R etallo + R aria = 63.296 + 7.96.783 = 8.025.079 H Avendo riluttanza e flusso è possibile calcolare la tensione agnetica con la legge di Hopkinson: N I = Φ R = 5, 5 0 3 8.025.079 = 44.38 Asp La tensione agnetica totale N I è data dal contributo delle due singole tensioni agnetiche N I e N 2 I secondo la seconda legge di Kirchhoff: N I = N I + N 2 I = (N + N 2 ) I Da cui ricaviao: N = N + N 2 = 500 +.000 =.500 Ora possiao calcolare la corrente che scorre nei fili coe: I = N I N = 44.38 = 29, 43 A.500 Essendo la sezione uguale in tutto il nucleo etallico, l induzione agnetica avrà lo stesso valore in ogni punto del circuito agnetico, calcolabile coe: B = Φ S 5, 5 0 3 = = 55 T 00 0 6

2.3. ESERCIZI 39 Il circuito agnetico è coposto da due parti, una etallica ed una di aria, quindi avreo due diversi capi agnetici nei due ateriali: H etallo = B µ = 55 25.200 0 7 = 2.89 A H aria = B µ 0 = 55 4 π 0 7 = 43.789.809 A Sezione in scrittura... Induttore

40 Capitolo 3 Corrente alternata 3. Grandezze utilizzate Sibolo Definizione Unità di isura Sibolo unità di isura I Corrente apere A V Tensione volt V R Resistenza oh Ω C Capacità farad F L Induttanza henry H X L Reattanza induttiva oh Ω X C Reattanza capacitiva oh Ω X Reattanza oh Ω Z Ipedenza oh Ω f Frequenza hertz Hz t tepo secondi s T Periodo secondi s φ Sfasaento gradi

3.2. FORMULARIO 4 Sibolo Definizione Unità di isura Sibolo unità di isura p Potenza istantanea watt W P Potenza attiva watt W Q Potenza reattiva voltapere reattivi VAr A Potenza apparente voltapere VA 3.2 Forulario Grandezze alternate (è riportato coe esepio il caso della corrente): Sibolo i I M I I Definizione Valore istantaneo Valore assio Valore edio Valore efficace i = I M sin (2 π f t) (3.) I = IM 2 I M = 2 I (3.2) Reattanze ed ipedenza X C = X L = 2 π f L f = X L 2 π L 2 π f C f = 2 π X C C L = C = X L 2 π f (3.3) 2 π f X C (3.4) X = X L X C X L = X + X C X C = X L X (3.5) Z = R 2 + X 2 = R 2 + (X L X C ) 2 R = Z 2 X 2 X = Z 2 R 2 Legge di Oh V = Z I I = V Z Z = V I (3.6) (3.7) V R = R I I = V R R R = V R I (3.8) V L = X L I I = V L X L X L = V L I (3.9)

42 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Sfasaento V C = X C I ( ) X φ = sin Z I = V C X C X C = V C I φ = cos ( R Z ) (3.0) (3.) Potenze A = V I I = A V V = A I (3.2) A = P 2 + Q 2 P = A 2 Q 2 Q = A 2 P 2 (3.3) P = V I cos φ Q = V I sin φ (3.4)

3.3. ESERCIZI 43 3.3 Esercizi Esercizio 3. Grandezze alternate Sia data una grandezza alternata (per seplicità si assua la corrente). Sapendo che il suo valore assio è di 0 e la frequenza di 30 Hz, calcolare il valor edio, il valor inio, il valore efficace e il valore istantaneo dopo 5 s. [I Min = 0; I = 0; I = 7, 07; i = 8, 09] I M = 0 f = 30 Hz I Min =? I =? I =? i =? a t = 5 s Il valor inio è l opposto del valor assio: I Min = I M = 0 In una grandezza alternata il valor edio è nullo: Il valor efficace si calcola dal valor assio: Il valore istantaneo a t = 5 s: Esercizio 3.2 I = 0 I = IM 2 = 0 2 = 7, 07 i = I M sin (2 π f t) = 0 sin (2 3, 4 30 5) = 8, 09 Sia data una grandezza alternata (per seplicità si assua la tensione). Sapendo che il suo valore efficace è di 4, 4 e la frequenza di 50 Hz, calcolare il valor edio, il valor assio, il valore inio e il valore istantaneo dopo 2 s. [V M = 20; V Min = 20; V = 0; v = 4, 6] V = 4,4 f = 50 Hz V M =? V Min =? V =? v =? a t = 2 s

44 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Il valor assio si ricava dal valore efficace: V M = 2 V = 2 4, 4 = 20 Il valor inio è l opposto del valore assio: V Min = V M = 20 In una grandezza alternata il valor edio è nullo: V = 0 Il valore istantaneo a t = 2 s: v = V M sin (2 π f t) = 20 sin (2 3, 4 50 2) = 4, 6 Esercizio 3.3 Reattanze ed ipedenze Calcolare l induttanza di un induttore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la sua reattanza vale 35 Ω. [L = H] f = 50 Hz X L = 35 Ω L =? L = X L 2 π f = 35 = 0, H 2 3, 4 50 0, H = H Esercizio 3.4 Calcolare la capacità di un condensatore sapendo che, inserito in un circuito operante a 50 Hz, la sua reattanza vale 35 Ω. [C = 9 µf] f = 50 Hz X C = 35 Ω C =? C = 2 π f X C = 2 3, 4 50 35 = 9 0 6 F

3.3. ESERCIZI 45 9 0 6 F = 9 µf i = I M sin (2 π f t) (3.5) Analisi di circuiti Esercizio 3.5 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, l induttore un induttanza L da 25 H, scorre una corrente di 8 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l ipedenza equivalente, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X L = 7, 85 Ω; Z = 6, 9 Ω; V R = 20 V; V L = 62, 8 V; V = 35, 2 V anticipo; φ = 27, 68 ] R R = 5 Ω L = 25 H I = 8 A V G f = 50 Hz X L =? Z =? V R =? V L =? V =? φ =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: L 25 H = 25 0 3 H Per calcolare la reattanza induttiva, usiao l induttanza e la frequenza: X L = 2 π f L = 2 3, 4 50 25 0 3 = 7, 85 Ω L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 L = 5 2 + 7, 85 2 = 225 + 6, 62 = 286, 62 = 6, 9 Ω Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Oh: V R = R I = 5 8 = 20 V

46 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA V L = X L I = 7, 85 8 = 62, 8 V V = Z I = 6, 9 8 = 35, 2 V Per calcolare lo sfasaento possiao utilizzare la reattanza e l ipedenza: ( ) ( ) φ = sin XL 7, 85 = sin = 27, 68 Z 6, 9 Esercizio 3.6 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, l induttore un induttanza L da 8 H, la tensione assia erogata dal generatore è 325 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l ipedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X L = 2, 5 Ω; Z = 5, 6 Ω; I = 4 A ritardo; V R = 205 V; V L = 02, 5 V; φ = 26, 5 ] R R = 5 Ω L = 8 H V M = 325 V V G f = 50 Hz X L =? Z =? I =? V R =? V L =? φ =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: L 8 H = 8 0 3 H Per calcolare la reattanza induttiva, usiao l induttanza e la frequenza: X L = 2 π f L = 2 3, 4 50 8 0 3 = 2, 5 Ω L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 L = 5 2 + 2, 5 2 = 25 + 6, 25 = 3, 25 = 5, 6 Ω La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Oh dopo aver calcolato il valore efficace della tensione: V = VM 2 = 325 2 = 230 V

3.3. ESERCIZI 47 I = V Z = 230 5, 6 = 4 A Conoscendo ora la corrente possiao calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in serie sono attraversati dalla stessa corrente: V R = R I = 5 4 = 205 V V L = X L I = 2, 5 4 = 02, 5 V Per calcolare lo sfasaento possiao utilizzare la reattanza e l ipedenza: ( ) ( ) φ = sin XL 2, 5 = sin = 26, 5 Z 5, 6 Esercizio 3.7 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, il condensatore una capacità C da F, scorre una corrente di 4 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza del condensatore, l ipedenza equivalente, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X C = 3, 2 Ω; Z = 5, 94 Ω; V R = 20 V; V C = 2, 8 V; V = 23, 76 V ritardo; φ = 32, 6 ] R R = 5 Ω C = F I = 4 A V G f = 50 Hz X C =? Z =? V R =? V C =? V =? φ =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: C F = 0 3 F Per calcolare la reattanza induttiva, usiao l induttanza e la frequenza: X C = 2 π f C = = 3, 2 Ω 2 3, 4 50 0 3 L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 C = 5 2 + 3, 2 2 = 25 + 0, 24 = 35, 24 = 5, 94 Ω

48 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Oh: V R = R I = 5 4 = 20 V V C = X C I = 3, 2 4 = 2, 8 V V = Z I = 5, 94 4 = 23, 76 V Per calcolare lo sfasaento possiao utilizzare la reattanza e l ipedenza: ( ) ( ) φ = sin XC 3, 2 = sin = 32, 6 Z 5, 94 Esercizio 3.8 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 30 Ω, il condensatore una capacità C da 2 µf, la tensione assia erogata dal generatore è 325 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l ipedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X C = 265, 4 Ω; Z = 295, 5 Ω; I = 0, 78 A anticipo; V R = 0, 4 V; V C = 207 V; φ = 63, 9 ] R R = 30 Ω C = 2 µf V M = 325 V V G f = 50 Hz X C =? Z =? I =? V R =? V C =? φ =? Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: C 2 µf = 2 0 6 F Per calcolare la reattanza capacitiva, usiao la capacità e la frequenza: X C = 2 π f C = = 265, 4 Ω 2 3, 4 50 2 0 6 L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 C = 30 2 + 265, 4 2 = 6.900 + 65.74 = 82.64 = 295, 5 Ω

3.3. ESERCIZI 49 La corrente nel circuito è calcolabile con la legge di Oh dopo aver calcolato il valore efficace della tensione: V = VM 2 = 325 2 = 230 V I = V Z = 230 = 0, 78 A 295, 5 Conoscendo ora la corrente possiao calcolare le tensioni dei diversi utilizzatori perché essendo in serie sono attraversati dalla stessa corrente: V R = R I = 30 0, 78 = 0, 4 V V C = X C I = 265, 4 0, 78 = 207 V Per calcolare lo sfasaento possiao utilizzare la reattanza e l ipedenza: Esercizio 3.9 ( ) ( ) φ = sin XC 265, 4 = sin = 63, 9 Z 295, 5 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 5 Ω, l induttore un induttanza L da 5 H, il condensatore una capacità C da 300 µf, scorre una corrente di 3 A alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l ipedenza equivalente, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la tensione totale è in anticipo o ritardo rispetto alla corrente. a [X L = 4, 7 Ω; X C = 0, 6 Ω; X = 5, 9 Ω; Z = 7, 7 Ω; V R = 5 V; a V L = 4, V; V C = 3, 8 V; V = 23, V ritardo; φ = 50 ] R = 5 Ω R L = 5 H C = 300 µf I = 3 A f = 50 Hz X L =? X C =? V G C L X =? Z =? V R =? V L =? V C =? V =? φ =?

50 CAPITOLO 3. CORRENTE ALTERNATA Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: 5 H = 5 0 3 H 300 µf = 300 0 6 F Per calcolare la reattanza induttiva, usiao l induttanza e la frequenza: X L = 2 π f L = 2 3, 4 50 5 0 3 = 4, 7 Ω Per calcolare la reattanza capacitiva, usiao la capacità e la frequenza: X C = 2 π f C = = 0, 6 Ω 2 3, 4 50 300 0 6 La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze: X = X L X C = 4, 7 0, 6 = 5, 9 Ω L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 = 5 2 + ( 5, 9) 2 = 25 + 34, 8 = 62, 2 = 7, 7 Ω Le diverse tensioni sono calcolabili utilizzando la legge di Oh: V R = R I = 5 3 = 5 V V L = X L I = 4, 7 3 = 4, V V C = X C I = 0, 6 3 = 3, 8 V V = Z I = 7, 7 3 = 23, V Per calcolare lo sfasaento possiao utilizzare la reattanza e l ipedenza: ( ) ( ) X 5, 9 φ = sin = sin = 50 Z 7, 7 La tensione è in ritardo rispetto alla corrente perché: X C > X L X < 0 φ<0 (calcolato utilizzando la reattanza e sin )

3.3. ESERCIZI 5 Esercizio 3.0 Sia dato il circuito rappresentato in figura. Sapendo che il resistore ha una resistenza R da 00 Ω, l induttore un induttanza L da H, il condensatore una capacità C da 20 µf, la tensione assia erogata dal generatore è 325 V alternata a 50 Hz, calcolare la reattanza dell induttore, l ipedenza equivalente, la corrente del circuito, la tensione in ogni eleento e lo sfasaento tra tensione e corrente. Indicare inoltre se la corrente è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione. a [X L = 34 Ω; X C = 59, 2 Ω; X = 54, 8 Ω; Z = 84, 3 Ω; I =, 25 A ritardo; a V R = 25 V; V L = 392, 5 V; V C = 99 V; φ = 57, ] R R = 00 Ω L = H C = 20 µf V M = 325 V f = 50 Hz X L =? X C =? X =? Z =? I =? V R =? V L =? V C =? φ =? V G C Innanzitutto trasforiao le grandezze in unità di isura del Sistea Internazionale: L 20 µf = 20 0 6 F Per calcolare la reattanza induttiva, usiao l induttanza e la frequenza: X L = 2 π f L = 2 3, 4 50 = 34 Ω Per calcolare la reattanza capacitiva, usiao la capacità e la frequenza: X C = 2 π f C = = 59, 2 Ω 2 3, 4 50 20 0 6 La reattanza totale è data dalla differenze tra le reattanze: X = X L X C = 34 59, 2 = 54, 8 Ω L ipedenza totale è ricavabile da resistenza e reattanza: Z = R 2 + X2 C = 00 2 + 54, 8 2 = 0.000 + 23.963 = 33.963 = 84, 3 Ω