Analisi Matematica (A L) Polinomi e serie di Taylor

a.a. 2015/2016 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A L) Polinomi e serie di Taylor Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione.

Polinomio di Taylor Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile n volte in A (n N ). Sia x 0 A. La funzione polinomiale n f (k) (x 0 ) T n (x) := k! k=0 (x x 0 ) k = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) n! si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n e centro x 0. (x x 0 ) n 1

Casi particolari Il polinomio di Taylor di ordine 0 è T 0 (x) = f (x 0 ); il suo grafico è la retta orizzontale passante per il punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 1 è T 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ); il suo grafico è la retta tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )). Il polinomio di Taylor di ordine 2 è T 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 ; 2 se f (x 0 ) 0, il suo grafico è una parabola che è tangente al grafico di f nel punto (x 0, f (x 0 )). 2

Osservazione Per ogni k {0, 1,..., n} si ha T (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ). k n + 1? Nota Questa proprietà caratterizza T n tra tutti i polinomi di centro x 0 e ordine n. 3

Polinomio di Taylor di alcune funzioni elementari Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T n (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! +... + x n n! Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 2n+1 (x) = T 2n+2 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +... + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! Funzione coseno: f (x) = cos(x), x 0 = 0 T 2n (x) = T 2n+1 (x) = 1 x 2 2 + x 4 4! x 6 x 2n +... + ( 1)n 6! (2n)! 4

Funzione logaritmo: f (x) = ln(x), x 0 = 1 T n (x) = (x 1) (x 1)2 2 + (x 1)3 3 Equivalentemente: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T n (x) = x x 2 2 + x 3 3... + x n ( 1)n 1 n n 1 (x 1)n... + ( 1) n Guardiamo qualche grafico... 5

Commenti Per ogni n fissato: la differenza tra f e T n è uguale a zero in x 0, piccola vicino a x 0, grande lontano da x 0. Per x fissato (arbitrariamente per exp, sin; in (0, 2) per ln): al crescere di n, la differenza tra f (x) e T n (x) tende a zero. 6

Resto di Taylor Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile n volte in A. Sia x 0 A. Definiamo la funzione resto di Taylor di ordine n e centro x 0 R n (x) := f (x) T n (x) per ogni x A. ponendo Osservazione R n è derivabile n volte in A e R n (k) (x 0 ) = 0 per k {0,..., n}. 7

Teorema Con le stesse notazioni della pagina precedente: 1 R n (x) = o ( (x x 0 ) n) per x x 0. resto di Peano 2 Se f è derivabile n + 1 volte in A, allora per ogni x A esiste un punto c x, compreso tra x e x 0, tale che Verifica di 1... Per n = 0: 2 R n (x) = f (n+1) (c x ) (n + 1)! (x x 0 ) n+1. resto di Lagrange = teorema del valor medio di Lagrange 8

Formula di Taylor con il resto di Peano Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile n volte in A. Sia x 0 A. Allora: per ogni x A si ha f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! polinomio di Taylor (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ). resto di Peano Esempio Scrivere la FTRP di centro x 0 = 0 e ordine n = 2 della funzione f (x) = (1 + x) α. (α R \ N) Applicazione della FTRP Interpretazione geometrica della derivata seconda... 9

Formula di Taylor con resto di Peano per alcune funzioni elementari (centro x 0 = 0) e x = n k=0 x k k! + o(x n ) sin(x) = n k=0 ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x 2n+2 ) cos(x) = ln(1 + x) = n ( 1) k k=0 x 2k (2k)! n ( 1) k 1 x k k=1 k + o(x 2n+1 ) + o(x n ) Ritroviamo le equivalenze asintotiche... 10

Applicazione della FTRP: risoluzione di alcune forme di indecisione e x 1 x lim x 0 x 2 lim x 0 sin(x 2 ) ln(1 + x 2 ) 3x 4 sin(x) x lim x 0 x 5 arctan(ln(x)) x + 1 lim x 1 (x 1) 2 lim x 0 x ln(1 x) + tan(x 2 ) x(cos(2x) 1) 11

Formula di Taylor con il resto di Lagrange Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile n + 1 volte in A. Sia x 0 A. Allora: per ogni x A esiste un punto c x, compreso tra x e x 0, tale che f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! polinomio di Taylor (x x 0 ) k + f (n+1) (c x ) (n + 1)! resto di Lagrange valore incognito valore noto errore (x x 0 ) n+1. 12

Applicazione della FTRL: calcolo approssimato di valori di funzioni Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione f (x) = e x per calcolare un valore approssimato di e. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione e determinare un intervallo che contiene e. Idem con ordine 6. Utilizzare il polinomio di Taylor di centro 9 e ordine 3 della funzione f (x) = x per calcolare un valore approssimato di 11. Fornire una stima dell errore commesso nell approssimazione e determinare un intervallo che contiene 11. 13

Serie di Taylor Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile indefinitamente in A. Sia x 0 A. La serie di potenze f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n=0 si chiama serie di Taylor di f di centro x 0. Osservazioni Qual è la somma parziale n-esima? Per x = x 0, la serie di Taylor di f converge e la sua somma è f (x 0 ). Se la serie converge per qualche x x 0, la sua somma è f (x)? In generale: no! Esempio... Se esiste un intorno U di x 0 tale che per ogni x U la serie di Taylor di f converge in x e la sua somma è f (x), diciamo che f è sviluppabile in serie di Taylor di centro x 0 (anche: analitica in x 0 ). 14

Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari Le funzioni esponenziale, coseno e seno sono sviluppabili in serie di Taylor di centro 0. Precisamente: per ogni x R si ha e x x n = Irrazionalità del numero di Nepero... n! sin(x) = n=0 n=0 ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! Verifica per la funzione seno... cos(x) = ( 1) n x 2n (2n)! n=0 La funzione logaritmo naturale è sviluppabile in serie di Taylor di centro 1. Precisamente: per ogni x ( 1, 1] si ha ln(1 + x) = ( 1) n 1 x n n Verifica... già fatta! n=1 15

Applicazione delle SdT: calcolo approssimato di valori di funzioni con grado di precisione arbitrariamente fissato Procedimento: sviluppo in serie (di Taylor) della funzione considerata espressione del valore desiderato come somma di una serie numerica calcolo approssimato della somma della serie numerica Esempi Determinare valori approssimati a meno di 10 4 di sin(0.5) cos( 1) 1 5 e ln(1.1) ln(0.7) ln(10) 16

Esercizio Provare che arctan(x) = ( 1) n x 2n+1 per ogni x [ 1, 1]. 2n + 1 n=0 [Procedere come nella verifica della sviluppabilità della funzione logaritmo, 1 esprimendo la funzione come somma di una serie di potenze.] 1 + x 2 Utilizzare il punto precedente per determinare un valore approssimato di arctan(1/2) con un errore inferiore a 10 2 ; specificare se si tratta di una approssimazione per eccesso o per difetto. 17

Integrazione approssimata (utile quando non si può utilizzare la FFCI) Procedimento: sviluppo in serie (di Taylor) della funzione integranda sviluppo in serie (numerica) dell integrale definito calcolo approssimato della somma della serie numerica Esempi Calcolare un valore approssimato dell integrale definito con un errore inferiore a 10 4. Approssimare l integrale definito inferiore a 10 3. 2 0 sin(x) x 1 0 dx con un errore e x2 dx 18

G R A F I C I D I A L C U N I P O L I N O M I D I T A Y L O R 19

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 20

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 0 (x) = 1 21

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 1 (x) = 1 + x 22

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 2 (x) = 1 + x + x 2 2 23

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 3 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! 24

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 4 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! 25

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 5 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! 26

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 6 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + x 6 6! 27

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 7 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + x 6 6! + x 7 7! 28

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 9 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + + x 9 9! 29

Funzione esponenziale: f (x) = e x, x 0 = 0 T 12 (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + + x 12 12! 30

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 31

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 0 (x) = 0 32

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 1 (x) = T 2 (x) = x 33

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 3 (x) = T 4 (x) = x x 3 3! 34

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 5 (x) = T 6 (x) = x x 3 3! + x 5 5! 35

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 7 (x) = T 8 (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! 36

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 17 (x) = T 18 (x) = x x 3 3! + + x 17 17! 37

Funzione seno: f (x) = sin(x), x 0 = 0 T 33 (x) = T 34 (x) = x x 3 3! + + x 33 33! 39

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 42

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 0 (x) = 0 43

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 1 (x) = x 44

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 2 (x) = x x 2 2 45

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 3 (x) = x x 2 2 + x 3 3 46

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 4 (x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 47

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 5 (x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 48

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 6 (x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5 x 6 6 49

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 T 9 (x) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + + x 9 9 50

Funzione logaritmo: f (x) = ln(1 + x), x 0 = 0 Cosa succede per x = 1? 55