Politecnico di Milano Dipartimento di matematica Università Bocconi Istituto di Metodi Quantitativi Università degli Studi di Milano Dipartimento di matematica F. Enriques Corso di Perfezionamento in MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Curve Celebri Relatrice: Professoressa Laura Citrini Docente di "Matematica discreta" Università degli Studi di Milano Tesi di: Professoressa Maria Grazia Grandi Docente di "Matematica e Fisica PNI" Liceo Scientifico Statale V. Veneto, Milano Milano Anno Accademico 1998-1999
I. Prefazione Nella stesura di questa Tesina mi sono ispirata ad un recente testo di Luciano Cresci, (luglio 1998), intitolato Le Curve Celebri, edito da Muzzio Scienza (1), in cui si ripercorre la "storia della matematica attraverso le curve piane più affascinanti". Il testo, ricco di curiosità, citazioni letterarie e notizie storiche ben documentate presenta l'argomento in una forma piacevole e divertente. Le figure del libro sono state ottenute al calcolatore con il programma Mathematica. In questa tesina, le curve rappresentate sono state ottenute con il programma Cabri II, utilizzando prevalentemente la definizione di luogo geometrico e l'apposito strumento di Cabri: "Luogo". Le figure sono state rielaborate più volte, superando alcune difficoltà tecniche intrinseche al programma con artifici e piccoli "trucchi" e migliorando di volta in volta la qualità dell'immagine. Ogni figura ottenuta con Cabri è stata salvata in un file con un nome che ricorda le caratteristiche della curva, del tipo nome.fig. Quelle presentate sono state selezionate tra le migliori ottenute. 1
II. La cicloide. La cicloide fu oggetto delle meditazioni notturne di Blaise Pascal (1623-1662) che la descrisse nel suo trattato Histoire de la roulette (1658) e fu definita la "bella Elena" della geometria per le dispute che nacquero intorno ad essa (gare matematiche a premi, com'era nell'usanza dei tempi). La cicloide, in francese roulette, dal latino cycloidis o trochoidis, che significano "ruota", è la curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola senza strisciare su una retta. La retta viene detta direttrice e la circonferenza, generatrice. La distanza tra due punti di contatto consecutivi della circonferenza generatrice con la direttrice è pari alla lunghezza della circonferenza. Cicloidef.fig Ho utilizzato gli strumenti "Distanza di due punti" e "Trasporto di una misura" per riportare la lunghezza del segmento AC sull'arco di circonferenza CB. Poiché Cabri considera come verso positivo della circonferenza quello antiorario, ho disegnato il punto simmetrico P di B rispetto alla normale alla direttrice, in modo che sia: AC = CB = CP. I punti di contatto della cicloide con la direttrice sono delle cuspidi e sono detti punti di regressione, poiché si inverte il verso del moto. Cicloidevoluta.fig di curvatura. Posso costruire anche l'evoluta di una cicloide quale luogo geometrico dei centri 2
Per la costruzione dell evoluta della cicloide utilizzo una sua proprietà notevole. La normale alla curva in un suo punto P passa per il punto di contatto C della circonferenza generatrice con la direttrice. Quindi la tangente alla curva nel punto P è la perpendicolare alla normale n. Ora posso costruire la sua evoluta mediante lo strumento di Cabri luogo delle normali ai punti della cicloide al variare del punto di contatto C. L'inviluppo di tali rette descrive l'evoluta della cicloide, che è ancora una cicloide traslata di metà base AB lungo la direttrice ed abbassata di una distanza pari all'altezza della cicloide lungo la verticale. Per costruzione, la normale alla cicloide è tangente alla sua evoluta. 3
Cicloideassi.fig In questa figura la cicloide è riferita agli assi cartesiani. L'equazione parametrica è: x = r rsen y = r r cos pendolocicloidale.fig Quest'ultima figura ricorda un'altra curva celebre: il "pendolo di Huygens". Il pendolo cicloidale è l'unico perfettamente isocrono (il periodo di oscillazione non dipende dall'ampiezza dell'angolo). Infatti, il pendolo circolare è isocrono solo per piccole oscillazioni, per cui l'arco circolare coincide con un arco di cicloide. La figura con Cabri si ottiene costruendo la circonferenza simmetrica della circonferenza generatrice rispetto alla direttrice e ripetendo la costruzione della cicloide e della sua evoluta mediante lo strumento "Luogo". 4
Cicloidetracc.fig Immaginiamo una ruota del treno che rotola sul binario senza strisciare, tranne quando il treno frena. Un punto solidale con la ruota descrive una cicloide. La ruota del treno ha anche una flangia interna di raggio maggiore, che garantisce l'aderenza della ruota al binario. I punti sulla flangia descrivono una cicloide allungata (d > r). Il mozzo della ruota è anch'esso solidale ad un cerchio di raggio inferiore a quello della ruota (d < r). Esso descrive una cicloide accorciata. Tramite gli strumenti "Traccia" del punto P ed "Animazione" del punto di contatto C posso rappresentare per punti questi luoghi geometrici. 5
Cicloidegen.fig Se il punto P si trova su una circonferenza con raggio d < r, raggio della circonferenza generatrice, il luogo geometrico descritto è la cicloide accorciata. Tale curva ci rimanda ad un paradosso di Aristotele: se il punto P si trova sulla circonferenza generatrice che rotola senza strisciare sulla direttrice, la distanza tra i punti A e B rappresenta la lunghezza della circonferenza generatrice. Se il punto L si trova all'interno del cerchio generatore, nello stesso intervallo di tempo, la distanza tra le normali ai punti A e B rappresenta la lunghezza della circonferenza minore. "Le due circonferenze, quella grande e quella piccola, avrebbero dunque la stessa lunghezza!". In realtà, il punto L compie un moto composto rototraslatorio. Il centro del cerchio generatore compie un moto traslatorio puro. 6
Se "prendo" la semiretta di origine O anziché il segmento OP, posso far variare il raggio della circonferenza concentrica alla circonferenza generatrice, in modo che sia: d > r. Si ottiene così la cicloide allungata. Tale curva forma dei cappi in corrispondenza alle cuspidi della cicloide ordinaria (d = r). Un altro paradosso: in un breve arco del cappio, il moto dei suoi punti è di verso opposto al moto della ruota. 7
brachistocrona.fig La brachistocrona (dal latino, linea celerrimi descensus) è la curva lungo la quale un grave cade nel più breve tempo possibile raggiungendo un punto più basso non sulla verticale. Si occuparono della soluzione del problema Jacques Bernoulli e suo fratello Jean e, più tardi, anche Leibniz e Newton. La brachistocrona di Jacques Bernoulli è la cicloide. Cabri offre una possibilità divertente di verificare tale proprietà mediante lo strumento "Animazione multipla", che applica delle molle (ovvero delle forze) ai punti A e B, che cadono, rispettivamente lungo una cicloide ed una retta, fino a raggiungere il punto d'incontro D. In ogni caso, A raggiunge sempre per primo il traguardo. 8
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III.Epicicloidi. Oggi, si dà una definizione più generale di roulette, vale a dire di una curva descritta da un punto solidale con una curva, detta generatrice, la quale rotoli senza strisciare su un'altra curva, detta direttrice. La cicloide è un caso particolare di roulette, dove la curva generatrice è un cerchio e la direttrice una retta. Se la direttrice è una circonferenza e la curva generatrice un'altra circonferenza di raggio minore (r < R), che rotola all'esterno della circonferenza fissa, si ha l'epicicloide, mentre se la circonferenza generatrice rotola all'interno, si ha l'ipocicloide. epicicloide.fig Per disegnare l'epicicloide con Cabri, utilizzo lo strumento "Luogo" del punto C', solidale alla circonferenza generatrice, al variare di un punto C su un segmento. Il problema da risolvere è come far ruotare di 360 un punto sulla circonferenza fissa dell'epicicloide, dato che Cabri misura solo angoli minori di un angolo piatto. Vediamo la "Costruzione passo a passo". Dato un segmento di lunghezza 2R, costruisco il punto medio e la circonferenza di raggio R. Con lo strumento "Punto su un oggetto" fisso un punto C sul diametro, mando la perpendicolare per C al segmento, che interseca la circonferenza in P. Misuro l'angolo AOP, nel verso antiorario, in radianti (CTR+U). Con lo strumento "Calcolatrice", misuro l'arco di circonferenza AP mediante la relazione: (*) L = 2 x angolo x raggio R. Con "Trasporto di una misura", riporto la lunghezza dell'arco, a partire da un punto fissato sulla circonferenza, direttrice dell'epicicloide. Dopo aver fissato un punto S sul segmento OA, con lo strumento "Compasso" riporto il raggio OS della circonferenza generatrice tangente esternamente alla direttrice. La costruzione per determinare il punto C', luogo dell'epicicloide, è analoga a quella fatta per la cicloide. Con questa costruzione, al variare di C sul segmento AB, il punto di contatto E del cerchio generatore con la direttrice compie un giro completo. In generale, se nella formula (*) per il calcolo dell'arco di circonferenza percorso dal punto E, si moltiplica per un fattore 2n, il punto E compie n giri completi della circonferenza fissa. 10
Variando il raggio della circonferenza generatrice, si osserva che l'epicicloide non sempre si chiude. epiciclo.fig Considerando che la base di una cicloide è uguale alla lunghezza della circonferenza generatrice tangente alla direttrice, osservo che l'epicicloide si chiude solo se la lunghezza della circonferenza piccola (r) sta nella lunghezza della circonferenza grande (R) un numero intero di volte. Ciò significa che il rapporto tra i raggi, R / r, dev'essere un numero naturale. Se divido il segmento OA in 8 parti uguali e considero il rapporto R : r = m : 1, posso costruire epicicloidi chiuse a m petali. Con una rotazione di un angolo 2k r/r, l'epicicloide coincide con se stessa. Ad esempio, se R=3r, l'epicicloide a 3 rami si sovrappone a se stessa ruotando di un angolo multiplo di 120. 11
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Epiciclompet.MAC Cabri permette di costruire delle macro per disegnare rapidamente epicicloidi a m petali. Dati iniziali: segmento AB, centro dell'epicicloide. Dati finali: luogo. fiore.fig E' divertente disegnare simpatici fiori con le macro costruite. epicicloreale.fig Sul segmento OA, diviso in otto parti uguali, scelgo due punti corrispondenti alle misure del raggio r del cerchio generatore ed R della direttrice. Muovendo C sul segmento AB, il punto di contatto E compie quattro giri completi sulla direttrice. Al variare del rapporto, R : r = m: q, si hanno epicicloidi con diverse caratteristiche. a) Se q=1 e m è un numero intero: R =mr, si hanno epicicloidi chiuse a m petali. b) Se il rapporto R/r è un numero razionale, si hanno ancora epicicloidi chiuse a m petali, ma per vederle occorre che il punto di contatto E percorra la circonferenza fissa (m-1) volte. c) Se il rapporto R/r è un numero irrazionale, l'epicicloide non si chiude ed ha infiniti rami. 13
Epicicloraz.fig Sono bellissime le epicicloidi con il rapporto R / r pari a 3/2 (3 petali) e a 5/4 (5 petali). 14
Epicicloacc-all.fig Come per la cicloide ordinaria (d = r), scelgo un nuovo punto sul segmento OA, corrispondente al raggio, d, della circonferenza concentrica alla circonferenza generatrice. Solo se il rapporto tra i raggi della direttrice e della generatrice è intero, la curva si chiude. Se il rapporto tra i raggi della circonferenza direttrice e della generatrice è irrazionale la curva non si chiude, dando luogo ad una epicicloide allungata, se d > r, o accorciata, se d < r. 15
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Se d > r, il luogo è l'epicicloide allungata con m cappi; se d < r, il luogo è l'epicicloide accorciata. 17
Epicicloall.MAC Posso costruire una macro per disegnare epicicloidi allungate utilizzando la precedente costruzione. I dati iniziali della macro sono solamente il segmento ausiliario, i punti che indicano rispettivamente le misure dei raggi r, d, R ed il centro dell'epicicloide. Unico dato finale è il luogo ottenuto nella costruzione. GeoTolomeo.fig La teoria geocentrica di Claudio Tolomeo di Alessandria (II sec. d.c.) spiega i moti retrogradi dei pianeti ipotizzando delle traiettorie epicicloidali allungate. Nel modello tolemaico la Terra è posta al centro del sistema e solo la Luna ed il Sole compiono delle orbite circolari attorno ad essa, mentre gli altri pianeti percorrono delle epicicloidi, in modo che lungo il cappio il pianeta sembri invertire il proprio moto. Ho costruito il modello geocentrico con la macro Epicicloall1.MAC scegliendo opportunamente i punti corrispondenti ai raggi r, d, R sul segmento ausiliario. 18
Nefroide.fig La nefroide è un'epicicloide a due cuspidi. Il nome le fu attribuito da Proctor nel 1878 per la somiglianza con il rene umano. Si ottiene quando il raggio della circonferenza generatrice è metà del raggio della direttrice (R/ r=2). Nefroidevol.fig L'evoluta di una nefroide è ancora una nefroide ridotta della metà. 19
EPIcardioidevol.fig L'epicicloide ad una cuspide (R/r=1) è una particolarissima curva: la Cardioide. Il nome, che ricorda un cuore, le fu dato soltanto nel 1741 da de Castillon nelle Philosophical Transactions of the Royal Society. La sua evoluta è ancora una cardioide ridotta di un terzo. EPIClumacaPasc.fig Quando il rapporto tra i raggi della direttrice e della circonferenza generatrice è uguale ad uno (R/r=1), ogni epicicloide allungata (d>r) od accorciata (d<r) diventa una Lumaca di Pascal. La lumaca, o chiocciola, fu scoperta da Etienne Pascal, padre del famoso scienziato Blaise Pascal (1623-1662), anche se era già comparsa al termine del Medioevo quando ci fu la ripresa degli studi matematici. 20
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IV. Ipocicloidi. La roulette ipocicloidale è il luogo geometrico di un punto su una circonferenza generatrice che rotola senza strisciare all'interno di una circonferenza fissa. Ipocicloide.fig La costruzione geometrica è analoga a quella eseguita per l'epicicloide con l'accortezza, però, di trasportare sulla circonferenza generatrice la lunghezza dell'arco AE in verso orario, mediante una simmetria assiale riferita alla semiretta OE. In questa figura posso variare lentamente la misura del raggio OP della circonferenza generatrice "cliccando" due volte sul numero prefissato. Infatti, ho riportato la misura del segmento OP scegliendo gli strumenti "Numero" e "Trasporto di una misura" sulla semiretta con origine O. Al variare di C sul segmento ausiliario, il punto L descrive l'ipocicloide con le seguenti caratteristiche, al variare del rapporto tra i raggi, R: r = m: q a) Se q=1 e m è un numero intero: R =mr, si hanno ipocicloidi chiuse a m punte. b) Se il rapporto R/r è un numero razionale, si hanno ancora ipocicloidi chiuse a m punte, ma per vederle occorre che il punto di contatto E percorra la circonferenza fissa (m-1) volte. c) Se il rapporto R/r è un numero irrazionale, l'ipocicloide non si chiude ed ha infiniti rami. Ipocicloacc-all.fig Fisso tre punti: R, d, r, liberi di muoversi sulla seconda metà del segmento ausiliario a cui corrispondono i raggi delle circonferenze direttrice, R, generatrice, d, e di contatto, r, costruite con lo strumento "Compasso". Ad esempio, se il rapporto tra i raggi è R : r = m : 1, ottengo l'ipocicloide ordinaria se d = r, l'ipocicloide allungata a m cappi se d > r, 22
oppure l'ipocicloide accorciata per d < r. 23
Ipocicl4ASTER.fig Fanno parte della famiglia delle ipocicloidi alcune curve celebri. Ad esempio, l'asteroide, detta anche cubocicloide o paraciclo, curva a quattro cuspidi, studiata da Leibniz. deltoide.fig Un'altra ipocicloide con un nome celebre è la deltoide, che si ottiene quando il rapporto tra i raggi della circonferenza direttrice e di quella tangente sono in rapporto 3:1 oppure 3 : 2. 24
ipocicloidegenere.fig Un caso interessante si ha quando il rapporto R : r = 2 : 1. L'ipocicloide allungata (d>r) e quella accorciata (d<r) degenerano in un'ellisse con centro in O, rispettivamente esterna o interna alla direttrice. Il semiasse maggiore dell'ellisse è: a = r + d ; mentre, il semiasse minore è: b= r - d. Per d che tende ad r, il semiasse maggiore tende ad R, mentre il semiasse minore tenda a zero, l'ipocicloide ordinaria (d=r) degenera nel diametro 2R della direttrice. 25
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V. La spirale di Archimede. Archimede visse a Siracusa dal 287 al 212 a.c., eccellente stratega nell'arte militare, fu geniale nella speculazione matematica. "In tutta la geometria non è dato incontrare argomenti più difficili e profondi di quelli affrontati da Archimede, espressi in termini più semplici e puri" (da Vite parallele, vita di Marcello). Un punto che si muove uniformemente su una semiretta mentre questa ruota uniformemente attorno al suo punto di origine, descrive una spirale di Archimede. Spirale.fig Mediante la relazione (*) e gli strumenti "Calcolatrice" e "Trasporto di una misura", riporto la lunghezza dell'arco AOP sulla circonferenza fissa, moltiplicata per dieci (2n), in modo che la semiretta di origine O compie cinque (n) giri completi, e trasporto la stessa misura dell'arco, moltiplicata per tre, anche sulla semiretta rotante, a partire dall'origine. In questo modo, al variare di C sul segmento ausiliario, il punto L si muove sulla semiretta più lentamente del moto di rotazione, in verso antiorario, della semiretta attorno al polo O. Ottengo una spirale di Archimede di senso diretto. 27
Spiraleorario.fig Costruisco il punto simmetrico di L rispetto alla retta fissa passante per il polo O e con lo strumento "Luogo" ottengo la spirale di Archimede di senso indiretto, con la semiretta OL' che ruota in verso orario. 28
SpiraleFermat.fig Costruisco il punto simmetrico di L con lo strumento "Simmetria centrale", rispetto al polo O. I due punti, L ed L', descrivono la spirale di Fermat (1601-1665). I due bracci della spirale si sviluppano in verso opposto senza mai intersecarsi. 29
VI...E per finire... Alcune curve portano nomi curiosi che si ispirano ad utensili dell'attività lavorativa dell'antichità o ricordano forme particolari di piante e fiori. Drepanoide.fig La drepanoide, dal greco a "forma di falce", è un triangolo mistilineo equivalente al parallelogramma che come lati due raggi paralleli di due circonferenze uguali tangenti esternamente e i segmenti congiungenti i centri delle circonferenze e gli estremi dei raggi. Pelecoide.fig La pelecoide, dal greco a "forma di scure". Sul diametro AB di una circonferenza, fisso due punti C e D, e disegno quattro archi di circonferenza, due di diametro AC e AD e due, da parte opposta, di diametro BC e BD. Il perimetro della pelecoide è uguale alla lunghezza della circonferenza grande. 30
Saliera.fig Dalla pelecoide, muovendo il punto D all'esterno del diametro AB, raffiguro il Salinon, la saliera di Archimede (AC = BD). 31
Trifoglio.fig Partendo da un "poligono regolare" di tre lati, costruisco tre archi di circonferenza con diametro sui lati del triangolo equilatero. L'area del trifoglio si calcola come differenza tra la somma delle aree dei tre settori circolari e l'area del triangolo. 32
Elenco delle figure e delle macro Cicloidef.Fig Cicloideassi.Fig Cicloidevoluta.Fig Cicloidescodella.Fig Cicloidescodella.MAC Pendolocicloidale.Fig Cicloidetracc.Fig Cicloidegen.Fig Brachistocrona.Fig Epicicloide.Fig Epiciclo.Fig Epiciclompet.MAC Fiore.Fig Epicicloreale.Fig Epicicloraz.Fig Epicicloacc-All.Fig Epicicloall.MAC Geotolomeo.Fig Nefroide.Fig Nefroidevol.Fig Epicardioidevol.Fig Epiclumacapasc.Fig Ipocicloide.Fig Ipocicloacc-All.Fig Ipocicl4ASTER.Fig Deltoide.Fig Ipocicloidegenere.Fig Spirale.fig Spiraleorario.fig SpiraleFermat.fig Drepanoide.fig Pelecoide.fig Saliera.fig Trifoglio.fig 33
Riferimenti bibliografici 1) Boyer, C.B. (1976) Storia della matematica Milano, A. Mondadori 2) Bergamaschini M.E., Marazzini P., Mazzoni L. (1996) Fisica 1, Milano, C. Signorelli 3) Cresci, L. (1998) Le Curve Celebri Padova, Muzzio Scienza 4) DeLong, H. (1971) Problemi non risolti dell aritmetica, Le Scienze n 34 5) Vigodshij, M. J. (1963) Manuale di Matematica Superiore, Mir 34