Esercizi di Matematica Discreta e Geometria. Parte II

Esercizi di Matematica Discreta e Geometria Parte II 14 gennaio 2010 AVVISO: Sia i testi che gli svolgimenti proposti possono contenere errori e/o ripetizioni Essi sono infatti opera di vari collage e, per ovvie questioni di tempo, non sono stati rivisti Pertanto non intendono sostituire alcun libro di esercizi Gli studenti sono quindi pregati di prestare particolare attenzione Prego infine gli studenti di volermi cortesemente informare sia direttamente che per e-mail (quattrocchi@dmiunictit) di qualunque errore o sospetto di errore notato esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 1

Indice 1 Calcolo combinatorio 3 2 Induzione 15 3 Teoria dei numeri 18 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 2

1 Calcolo combinatorio 1 Quante schedine devo giocare per essere certo di fare sei al superenalotto? E per il 5 + 1? 2 In quanti anagrammi della parola GATTO la lettera O sta tra le due T (anche se le tre lettere non sono consecutive)? Scrivere tutti gli anagrammi che soddisfano tale condizione 3 In una società il consiglio di amministrazione è composto da 5 membri: a, b, c, d, e In quanti modi differenti si può raggiungere una maggioranza che comprenda i due membri a e b? E se c non voterà mai come d? 4 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA che iniziano per M e finiscono per A? 5 Quanti sono i numeri interi positivi aventi 5 cifre e la cui terza cifra è uguale a 2? E se la terza cifra compresa fra 0 e 2? 6 Quanti sono i numeri pari di 5 cifre che risultano uguali leggendoli sia da sinistra verso destra che viceversa? Giustificare la risposta (Esempio: 45154 è valido mentre 05150 e 45152 non sono validi) 7 Per conseguire il diploma in una scuola di specializzazione bisogna superare 7 esami, di cui almeno 3 esami di discipline matematiche Se gli insegnamenti matematici sono 5 ed i rimanenti sono 6, in quanti modi diversi si può presentare il piano di studi? 8 In uno stabilimento un semilavorato è sottoposto a 5 lavorazioni diverse, a, b, c, d, e Se la lavorazione a deve precedere quella b, in quanti modi diversi si possono ordinare le lavorazioni? E se anche la lavorazione c deve precedere quella d? 9 Una prova d esame consiste in 6 domande con risposte del tipo vero o falso Quante sono le possibili sequenze di risposte tali che ci siano almeno tre risposte vere e al più due risposte false? 10 Quanti sono i numeri naturali di sei cifre tali che il prodotto delle prime tre cifre valga 9? 11 Calcolare (x + y) 5 12 Trovare il coefficiente di x 5 y 8 nello sviluppo di (x + y) 13 13 Trovare il coefficiente di x 9 nello sviluppo di (2 x) 19 14 Determinare il numero di parole di lunghezza 5 che si possono formare con al più 4 lettere uguali ad E, 2 uguali a R, 1 uguale a V, 1 uguale a G ed una uguale a N esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 3

15 Dimostrare, per via combinatorica, la seguente uguaglianza: ( ) ( ) n n 1 k = n k k 1 Aiuto: contare il numero di modi in cui si può partizionare un insieme di n elementi in tre sottoinsiemi A 1, A 2, A 3 tali che A 1 = 1, A 2 = k 1 e A 3 = n k 16 Nel piano cartesiano sono consentite le seguenti mosse (una alla volta): (a) avanzare di 1 nella direzione positiva dell asse x; (b) avanzare di 1 nella direzione positiva dell asse y Partendo da O (0, 0) quanti possibili percorsi esistono per raggiungere il punto P (6, 7)? 17 Nello spazio sono consentite le seguenti mosse (una alla volta): (a) avanzare di 1 nella direzione positiva dell asse x; (b) avanzare di 1 nella direzione positiva dell asse y; (c) avanzare di 1 nella direzione positiva dell asse z Partendo da O (0, 0, 0) quanti possibili percorsi esistono per raggiungere il punto P (6, 7, 5)? 18 Quante differenti partite di doppio possono giocare tra loro otto tennisti? (beati loro che hanno questo tempo!) 19 In quanti modi 6 persone possono occupare 3 macchine aventi 6 posti ciascuna supposto che: sia le persone che le auto sono distinguibili?, oppure le persone sono indistinguibili mentre le auto sono distinguibili?, oppure le persone sono distinguibili mentre le auto sono indistinguibili?, oppure sia le persone che le auto sono indistinguibili? (Suggerimento: se siete ricchi e non volete impazzire, regalate ad ogni persona una bella auto nuova!) 20 Determinare in quanti modi differenti 12 libri possono essere ordinati in 4 distinguibili scaffali nel caso in cui i libri sono 12 copie identiche dello stesso libro; i libri sono tutti diversi fra loro esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 4

21 In quante maniere diverse possono collocarsi due pedine su una scacchiera, sotto la condizione che le due pedine siano su righe e colonne distinte e che le due pedine hanno lo stesso colore? oppure le due pedine hanno colore differente? 22 Quante sono le targhe automobilistiche di cui si sa che le prime due lettere sono uguali e le ultime due contengono almeno una B? 23 Alberto, Barbara, Chiara e Davide mescolano un mazzo di 40 carte e poi ne distribuiscono 10 a testa Alberto guarda le sue carte ed esclama: Che strano, non ho nessuna carta di picche Sapendo questa informazione, qual è al probabilità che anche Barbara non abbia nessuna carta di picche? (nota: le carte di picche sono 10) 24 La professoressa Scappavia insegna matematica in una scuola in cui si fano 6 ore di lezioni al giorno di lezione, dal lunedì al venerdì Il suo orario settimanale prevede 18 ore di insegnamento ed ella, per ragioni personali, gradirebbe non insegnare mai nell ultima ora di lezione La commissione che fa l orario concede però alla professoressa solo di scegliere la suddivisione giornaliera delle sue ore di lavoro, dopodichè il suo orario verrà sorteggiato a caso Quale delle seguenti disposizioni conviene scegliere alla professoressa per avere la maggior probabilità di non avere mai l ultima ora di lezione? (a) 5-5-4-2-2; (b) 5-4-4-3-2; (c) 4-4-4-4-2; (d) 4-4-4-3-3; (e) sono tutte equivalenti 25 In Italia le targhe automobilistiche sono composte da 2 lettere, seguite da 3 cifre ed altre due lettere Nel paese di Ailati le cose vanno alla rovescia e le targhe sono composte da 2 cifre, seguite da 3 lettere ed altre 2 cifre Supponendo che in entrambi i paesi si usino 10 cifre e 22 lettere (I, O, U, Q non sono utilizzate), determinare la differenza tra il numero di tutte le targhe possibili fra quelle italiane e quelle di Ailati 26 Qual è il numero minimo di carte che bisogna pescare da un ordinario mazzo di 52 carte (formato da 13 carte per ogni seme: cuori, fiori, picche, quadri) per avere almeno il cinquanta per cento di probabilità di estrarre una o più carte di cuori? 27 In una ditta, ogni giorno, vengono assegnate 5 mansioni diverse a 5 impiegati In quanti modi si possono assegnare le mansioni in modo che nessun impiegato abbia la stessa mansione del giorno prima? esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 5

TRACCIA DELLO SVOLGIMENTO Si tratta di una diversa formulazione del problema degli accoppiamenti proibiti risolto a lezione mediante il principio di inclusione esclusione Brevemente, denotato con {I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 } l insieme degli impiegati, il problema equivale a determinare il numero delle permutazioni dell insieme {I 1, I 2, I 3, I 4, I 5 } verificanti la proprietà che I i, per ogni i = 1, 2,, 5, non appare al posto i-esimo 28 (a) Un centro di calcolo ha 9 diversi programmi da far girare Quattro sono scritti in C++ e cinque in BASIC I programmi in C++ sono considerati indistinguibili fra loro e così quelli scritti in BASIC Determinare in quanti modi diversi si possono ordinare i 9 programmi per farli girare se: non vi è alcuna condizione; i programmi in C++ devono girare consecutivamente; sia i programmi in C++ che quelli in BASIC devono girare consecutivamente; i linguaggi devono essere alternati (b) Supponiamo che il costo per passare da un programma in C++ ad uno in BASIC sia di 10 unità, quello per passare da uno in BASIC ad uno in C++ sia di 5 unità e che non vi sia alcun costo per passare fra programmi nello stesso linguaggio Qual è il più efficiente (minor costo) modo di ordinare i programmi prima di farli girare? (c) Ripetere la parte (a) nell ipotesi che sia i programmi in C++ che quelli in BASIC siano distinguibili l uno dall altro 29 In un magazzino si devono etichettare 625 articoli in modo che articoli distinti ricevano etichete distinte Ogni etichetta viene individuata da una parola di k lettere prese da un alfabeto di n distinte lettere (a) Se n = 2 determinare il più piccolo valore di k per cui si possano formare sufficienti parole Quante parole non utilizzate rimangono? (b) Esistono alfabeti con n caratteri che, per una opportuna scelta di k, permettono di formare esattamente 625 parole? Quanti di questi alfabeti esistono? Per ognuno di essi si determinino i valori di n e k SVOLGIMENTO Quesito (a) Le parole di k lettere formate con un alfabeto di n lettere sono n k, cioè le disposizioni con ripetizione delle n lettere prese a k a k Se n = 2 le parole di lunghezza k che si possono formare sono 2 k Avendosi 2 9 = 512 e 2 10 = 1024, ne viene che k = 10 è il più piccolo valore per cui si hanno sufficienti parole per etichettare i 625 articoli Le parole non utilizzate risultano 1024 625 = 399 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 6

Quesito (b) Poiche è 625 = 5 4 = (25) 2 = (625) 1, e dovendo essere 625 = n k, ne viene che esistono esattamente tre alfabeti rispettivamente con 5, 25 e 625 caratteri con i quali si possono etichettare esattamente 625 articoli con parole rispettivamente di 4, 2, 1 caratteri 30 In un magazzino si devono etichettare 343 articoli in modo che articoli distinti ricevano etichete distinte Ogni etichetta viene individuata da una parola di k lettere prese da un alfabeto di n distinte lettere (a) Se n = 2 determinare il più piccolo valore di k per cui si possano formare sufficienti parole Quante parole non utilizzate rimangono? SVOLGIMENTO Le parole di k lettere formate con un alfabeto di n lettere sono n k, cioè le disposizioni con ripetizione delle n lettere prese a k a k Se n = 2 le parole di lunghezza k che si possono formare sono 2 k Avendosi 2 8 = 256 e 2 9 = 512, ne viene che k = 9 è il più piccolo valore per cui si hanno sufficienti parole per etichettare i 625 articoli Le parole non utilizzate risultano 512 343 = 169 (b) Esistono alfabeti con n caratteri che, per una opportuna scelta di k, permettono di formare esattamente 343 parole? Quanti di questi alfabeti esistono? Per ognuno di essi si determinino i valori di n e k SVOLGIMENTO Poiche è 343 = 7 3 = (343) 1, e dovendo essere 343 = n k, ne viene che esistono esattamente due alfabeti rispettivamente con 7 e 343 caratteri con i quali si possono etichettare esattamente 343 articoli con parole rispettivamente di 3 e 1 caratteri 31 In un ospedale sono ricoverate 2000 persone Si possono dimettere solo pazienti che non accusano alcun sintomo di malattia Fra i pazienti: 300 hanno problemi di stomaco, 200 hanno problemi di respirazione, 400 hanno la febbre Inoltre é noto che 25 hanno sia problemi di stomaco che di respirazione, fra quelli che hanno la febbre 100 hanno problemi di stomaco, 20 hanno problemi di respirazione e 15 hanno entrambe le patologie Determinare il numero massimo di persone da dimettere 32 Il direttore di una ditta deve scegliere un gruppo di persone da mandare in un paese avente condizioni climatiche disagiate Pertanto ogni operaio deve avere età minore di 40 anni e nessun problema di salute Il personale a disposizione é di 1000 operai, di cui esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 7

200 hanno problemi di vista, 100 hanno problemi di cuore, 300 superano i 40 anni Inoltre é noto che 20 persone hanno sia problemi di vista che di cuore, fra le persone aventi più di 40 anni 100 hanno problemi di vista, 40 hanno problemi di cuore e 5 hanno entrambe le patologie Determinare il numero massimo di operai idonei 33 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20 x 1 1 x 2 > 0 x 3 0 x 4 > 3 SVOLGIMENTO Il sistema assegnato equivale al seguente x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20 x 1 1 x 2 1 x 3 0 x 4 4 Posto z 1 = x 1 + 1, z 2 = x 2 1, z 3 = x 3 e z 4 = x 4 4, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 16 z 1 0 z 2 0 z 3 0 z 4 0 Se con S denotiamo l insieme delle sue soluzioni intere, si ha S = ( ) 16+4 1 3 = 19! 3! 16! 34 Determinare le cardinalità degli insiemi di soluzioni intere dei due seguenti sistemi: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x x 1 3 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x (a) x 2 > 0, (b) 1 0 x x 3 0 2 0 x x 4 > 2 4 0 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 8

SVOLGIMENTO Sia S b l insieme di soluzioni del sistema (b) La cardinalità di S b non è finita Infatti si verifica facilmente che (15, 0, n, n) è soluzione per ogni n N Poichè la cardinalità di Z Z Z Z coincide con quella di N, si ha S b = N Il sistema (a) equivale al seguente x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 15 x 1 3 x 2 1 x 3 0 x 4 3 Posto z 1 = x 1 3, z 2 = x 2 1, z 3 = x 3 e z 4 = x 4 3, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 8 z 1 0 z 2 0 z 3 0 z 4 0 Se S a denota l insieme delle soluzioni del sistema (a), si ha S a = ( ) 11 3 = 11! 3! 8! 35 Determinare le cardinalità degli insiemi di soluzioni intere dei due seguenti sistemi: (a) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 0 x 2 0 x 3 0, (b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 > 2 x 2 0 x 3 > 4 x 4 1 SVOLGIMENTO Sia S a l insieme di soluzioni del sistema (a) La cardinalità di S a non è finita Infatti si verifica facilmente che (14, 0, n, n) è soluzione per ogni n N Poichè la cardinalità di Z Z Z Z coincide con quella di N, si ha S a = N Il sistema (b) equivale al seguente x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 3 x 2 0 x 3 5 x 4 1 Posto z 1 = x 1 3, z 2 = x 2, z 3 = x 3 5 e z 4 = x 4 1, esso diventa esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 9

z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 5 z 1 0 z 2 0 z 3 0 z 4 0 Se S b denota l insieme delle soluzioni del sistema (b), si ha S b = ( ) 5+4 1 3 = 8! 3! 5! 36 Determinare le cardinalità degli insiemi di soluzioni intere dei due seguenti sistemi: (a) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 > 0 x 2 > 0 x 3 > 0, (b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14 x 1 > 2 x 2 > 0 x 3 4 x 4 > 1 37 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 17 x 1 > 2 x (a) 2 1 x 3 > 0 x 4 > 2 x 5 2 38 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 2 < x 1 3 1 x 2 4 0 < x 3 < 4 x 4 > 2 x 5 2 TRACCIA DELLO SVOLGIMENTO Si considerino i seguenti sistemi: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 > 2 x 1 4 x (a) 2 1 x (b) 2 1 x 3 > 0 x 3 > 0 x 4 > 2 x 4 > 2 x 5 2 x 5 2 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 10

(c) (e) (g) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 > 2 x 2 5 x 3 > 0 x 4 > 2 x 5 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 4 x 2 5 x 3 > 0 x 4 > 2 x 5 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 > 2 x 2 5 x 3 4 x 4 > 2 x 5 2 (d) (f) (h) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 > 2 x 2 1 x 3 4 x 4 > 2 x 5 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 4 x 2 1 x 3 4 x 4 > 2 x 5 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 30 x 1 4 x 2 5 x 3 4 x 4 > 2 x 5 2 Per ogni i {a, b, c, d, e, f, g, h} si indichi con (i) il numero delle soluzioni intere del sistema (i) Per il principio di inclusione esclusione, il numero di soluzioni intere del sistema assegnato è dato da (a) (b) (c) (d) + (e) + (f) + (g) (h) Il numero di soluzioni intere di ogni sistema (i) si può determinare come negli esercizi precedenti 39 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 = 12 1 x 1 2 x 2 0 0 x 3 2 SVOLGIMENTO Si considerino i seguenti sistemi: (a) x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 1 x 2 0 x 3 0, (b) x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 3 x 2 0 x 3 0, esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 11

(c) x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 1 x 2 0 x 3 3, (d) x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 3 x 2 0 x 3 3, Per il principio di inclusione esclusione, il numero di soluzioni intere del sistema assegnato è dato dal numero di soluzioni del sistema (a) meno il numero di soluzioni del sistema (b), meno il numero di soluzioni del sistema (c), più il numero di soluzioni del sistema (d) Il sistema (a) è equivalente al seguente x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 + 1 0 x 2 0 x 3 0 Posto z 1 = x 1 + 1, z 2 = x 2 e z 3 = x 3, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 = 13 z 1 0 z 2 0 z 3 0 Se con N (a) denotiamo l insieme delle sue soluzioni intere, si ha N (a) = ( 13+3 1 2 Il sistema (b) è equivalente al seguente x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 3 0 x 2 0 x 3 0 Posto z 1 = x 1 3, z 2 = x 2 e z 3 = x 3, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 = 9 z 1 0 z 2 0 z 3 0 Se con N (b) denotiamo l insieme delle sue soluzioni intere, si ha N (b) = ( 9+3 1 2 Il sistema (c) è equivalente al seguente x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 + 1 0 x 2 0 x 3 3 0 ) ) esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 12

Posto z 1 = x 1 + 1, z 2 = x 2 e z 3 = x 3 3, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 = 10 z 1 0 z 2 0 z 3 0 Se con N (c) denotiamo l insieme delle sue soluzioni intere, si ha N (c) = ( ) 10+3 1 2 Il sistema (d) è equivalente al seguente x 1 + x 2 + x 3 = 12 x 1 3 0 x 2 0 x 3 3 0 Posto z 1 = x 1 3, z 2 = x 2 e z 3 = x 3 3, esso diventa z 1 + z 2 + z 3 = 6 z 1 0 z 2 0 z 3 0 Se con N (d) denotiamo l insieme delle sue soluzioni intere, si ha N (d) = ( ) 6+3 1 2 In conclusione il numero di soluzioni intere del sistema assegnato è dato da N (a) N (b) N (c) + N (d) 40 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 = 12 1 < x 1 < 2 x 2 > 0 0 < x 3 < 2 41 Si deve eleggere il presidente di un consiglio di amministrazione di un azienda I candidati sono tre (A, B e C) ed i votanti 20 Quante sono le possibili distribuzioni dei voti tali che il candidato A abbia la maggioranza assoluta (cioè maggiore del 50%) dei voti? 42 Siano date due liste di candidati: lista A (composta da 10 membri) e lista B (composta da 6 membri) Quante diverse composizioni può avere un organo elettivo di 5 membri, sotto la condizione che almeno 3 provengano dalla lista A e al più 2 dalla B? esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 13

43 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 = 12 1 x 1 < 2 x 2 > 1 0 < x 3 2 44 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 = 12 1 x 1 < 2 0 < x 3 2 45 Determinare la cardinalità dell insieme di soluzioni intere del sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 12 1 x 1 < 2 0 < x 3 2 46 Si vogliono riempire quattro differenti recipienti R i, i = 1, 2, 3, 4, con quattro differenti liquidi L i Si tenga inoltre presente che in ogni recipiente si può versare un solo liquido e che il recipiente R i non può contenere il liquido L i Determinare in quanti modi distinti sia possibile riempire i recipienti dati rispettando le condizioni imposte SVOLGIMENTO Questo esercizio si risolve ricorrendo al principio di inclusione esclusione (esso è del tutto equivalente al ben noto problema degli accoppiamenti proibiti) Sia S il numero di tutti i possibili accoppiamenti fra L 1, L 2, L 3, L 4 e R 1, R 2, R 3, R 4 È evidente che S = 4! Sia ora S i il numero di tutti gli accoppiamenti liquido-recipiente in cui accade che il liquido L i viene versato nel recipiente R i Si ha, per ogni i, S i = (4 1)! = 3! Per ogni i, j {1, 2, 3, 4}, con i j, indichiamo con S ij il numero degli accoppiamenti in cui accade sia il liquido L i viene versato nel recipiente R i che quello L j viene versato in R j Si ha S ij = (4 2)! = 2! Per ogni i, j, t {1, 2, 3, 4}, con i, j e t a due a due distinti fra loro, indichiamo con S ijt il numero degli accoppiamenti in cui accade che i liquidi L i, L j e L t vengono rispettivamente versati nei recipiente R i, R j e R t Si ha S ijt = (4 3)! = 1 Sia infine S 1234 il numero degli accoppiamenti in cui il liquido L i viene versato nel recipiente R i Ovviamente S 1234 = 1 Denotiamo con ρ il valore cercato Per il principio di inclusione esclusione, si ha ρ = S 4 S i + ij i=1 S ij ijt S ijt + S 1234 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 14

dove ij ( ijt ) indica la somma degli S ij estesa a tutti i sottoinsiemi distinti {i, j} {1, 2, 3, 4} (degli S ijt estesa a tutti i sottoinsiemi distinti {i, j, t} {1, 2, 3, 4}) Quindi ( ) ( ) ( ) 4 4 4 ρ = 4! 3! + 2! 1 + 1 = 9 1 2 3 2 Induzione 1 Usando il principio di induzione, si dimostri che per ogni n N valgono le seguenti uguaglianze: 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1) 2 ; 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 ; 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ( n(n+1) 2 ) 2 ; 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n 2 ; 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n (n+1) = n n+1 2 Provare che per ogni n N si ha 2 n > n 2 n SVOLGIMENTO Per induzione 2 0 > 0 Supposta vera la disuguaglianza 2 n > n 2 n, proviamo che vale 2 n+1 > (n + 1) 2 (n + 1) Si ha 2 n+1 = 2 2 n > 2(n 2 n) Per n 3 si ha 2n 2 2n (n + 1) 2 (n + 1) Inoltre si verifica facilmente che 2 2 > 2 2 2 e 2 3 > 3 2 3 3 Provare che per ogni x R, x 0, e per ogni n N vale la disuguaglianza (1 + x) n 1 + nx 4 Provare che per ogni x R, x 1, e per ogni n N si ha 1 xn+1 1 x = 1+x+x 2 + +x n 5 Provare che n 3 n é divisibile per 3 per ogni n N 6 Provare che 5 n 1 é divisibile per 4 per ogni n N 7 Verificare che per ogni n N vale la disuguaglianza 4 n n2 n+1 SVOLGIMENTO Dimostriamo la disuguaglianza per induzione Sicuramente essa vale per n = 0, 1 Bisogna quindi dimostrare che se essa è vera per n = m allora lo è anche per n = m + 1 Avendo supposto per ipotesi che 4 m m2, si ha m+1 4 m+1 4 m2 m2 Si verifica facilmente che 4 m2 +2m+1 Da cui la tesi m+1 m+1 m+2 8 Provare che la seguente disequazione log 2 (n + 1) n 2 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 15

vale per ogni n N SVOLGIMENTO Si proceda per induzione Sia P (n) la proposizione log 2 (n + 1) n 2 P (0) diventa log 2 1 0, la quale é vera essendo log 2 1 = 0 Supposta vera P (n) proviamo che P (n + 1) é vera Dobbiamo quindi provare che log 2 ((n + 1) + 1) (n + 1) 2 o la disuguaglianza equivalente 2 (n+1)2 n + 2 Si ha 2 (n+1)2 = 2 n2 +2n+1 = 2 n2 2 2n+1 Poiché P (n) é vera, 2 n2 n + 1, quindi 2 (n+1)2 = 2 n2 2 2n+1 (n + 1)2 2n+1 (n + 1)2 n + 2 9 Verificare che per ogni n N vale la disuguaglianza 3 n n2 +1 n+2 10 Verificare che per ogni n N vale la disuguaglianza 2 n n 2 + 1 11 Determinare il più piccolo n 0 N tale che 3 n > 4n 2 + n + 2 per ogni n n 0, n N TRACCIA DELLO SVOLGIMENTO: Si verifica facilmente che per n = 0, 1, 2, 3, si ha 3 n < 4n 2 + n + 2 Invece, per n = 4, otteniamo 3 4 = 81 > 4 4 2 + 4 + 2 = 70 Pertanto è possibile supporre che possa essere n 0 = 4 Dimostriamo per induzione che, per ogni n 4, 3 n > 4n 2 + n + 2 A tale scopo basta provare che supposta vera la disuguaglianza per n = m 4, essa vale anche per n = m + 1 Sia allora 3 m > 4m 2 + m + 2 Moltiplicando entrambi i membri per 3 otteniamo 3 m+1 > 12m 2 + 3m + 6 Per completare la dimostrazione è sufficiente verificare che, per ogni m 4, vale la disuguaglianza 12m 2 + 3m + 6 4(m + 1) 2 + (m + 1) + 2 Si lascia allo studente la verifica di quest ultima disuguaglianza 12 Determinare il più piccolo n 0 N tale che n! > 2 n+1 per ogni n n 0, n N SVOLGIMENTO Si verifica facilmente che per n = 0, 1, 2, 3, 4, si ha n! < 2 n+1 Invece, per n = 5, otteniamo 5! = 120 > 2 5+1 = 64 Pertanto è possibile supporre che possa essere n 0 = 5 Dimostriamo per induzione che, per ogni n 5, n! > 2 n+1 A tale scopo basta provare che supposta vera la disuguaglianza per n = m 5, essa vale anche per n = m + 1 Sia allora m! > 2 m+1 Moltiplicando entrambi i membri per m + 1 otteniamo m!(m + 1) > 2 m+1 (m + 1) Poichè, per ogni m 5, 2 m+1 (m + 1) > 2 m+1 2, otteniamo (m + 1)! = m!(m + 1) > 2 m+1 (m + 1) > 2 m+1 2 > 2 m+2 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 16

13 Provare che per ogni n N si ha n 3 n 0 (mod 6) 14 Dimostrare, utilizzando il principio di induzione, che 3 2n 2 3 n 3 (mod 4), n N 15 Dimostrare, utilizzando il principio di induzione, che n (3i 2) = i=1 n(3n 1), n 1 2 16 Dimostrare, utilizzando il principio di induzione, che 2 3 + n 2 i = 2 n+1, n 3 i=3 17 Dimostrare, utilizzando il principio di induzione, che 4 2n 3 4 n 4 (mod 3), n N 18 Sia a n, la successione di numeri reali così definita: Provare che (a) 0 < a n < 3 per ogni n N (b) a n < a n+1 per ogni n N SVOLGIMENTO a 0 = 1, a n+1 = 3a n, n N La (a) si prova per induzione Evidentemente 0 < a 0 = 1 < 3 Supposto vero che 0 < a n < 3 provo che 0 < a n+1 < 3 Infatti 0 < a n+1 = 3a n < 3 è vera se e solo se è vera 0 < 3a n < 9 Quest ultima catena di disuguaglianze è vera per l ipotesi induttiva Proviamo la (b) Si ha che a n < a n+1 se e solo se a n < 3a n Elevando al quadrato (operazione lecita in quanto abbiamo già provato che a n > 0 per ogni n) l ultima disuguaglianza risulta equivalente a a 2 n < 3a n la quale è vera se e solo se a n < 3 Quest ultima disuguaglianza è stata provata vera nel punto precedente 19 Sia a n, la successione di numeri reali così definita: Provare che a 0 = 1, a n+1 = 5a n, n N esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 17

(a) 0 < a n < 5 per ogni n N SVOLGIMENTO L asserto si prova per induzione Evidentemente 0 < a 0 = 1 < 5 Supposto vero che 0 < a n < 5 provo che 0 < a n+1 < 5 Infatti 0 < a n+1 = 5a n < 5 è vera se e solo se è vera 0 < 5a n < 25 Quest ultima catena di disuguaglianze è vera per l ipotesi induttiva (b) a n < a n+1 per ogni n N SVOLGIMENTO Si ha che a n < a n+1 se e solo se a n < 5a n Elevando al quadrato (operazione lecita in quanto abbiamo già provato che a n > 0 per ogni n) l ultima disuguaglianza risulta equivalente a a 2 n < 5a n la quale è vera se e solo se a n < 5 Quest ultima disuguaglianza è stata provata vera nel punto precedente 20 Sia a n la successione (di Fibonacci) cosí definita a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1 Provare che comunque fissato k N esiste un n 0 N tale che a n > k per ogni n > n 0 21 Siano date n 2 rette nel piano tali che due rette qualsiasi si intersecano in un punto ma tre qualsiasi non hanno un punto in comune Sia p(n) il numero di parti in cui viene suddiviso il piano Dimostrare che: p(n + 1) = n + 1 + p(n); p(n) = n2 +n+2 2 3 Teoria dei numeri 1 Calcolare i MCD fra le seguenti coppie di numeri e scrivere la relativa identità di Bézout: (421, 90), (572, 364), (5992, 322), (5982, 621), (7341, 522) 2 Dire, giustificando le risposte, se le seguenti equazioni hanno soluzioni: (a) 2x 3 (mod 6); (b) 2x 4 (mod 6); (c) 2x 3 (mod 5) L equazione ax b (mod n) ha soluzioni se e solo se (a, n) b Quindi (a) non ha soluzioni mentre (b) e (c) hanno soluzioni 3 Dire, giustificando le risposte, se le seguenti equazioni hanno soluzioni: (a) 2x 4 (mod 8); (b) 2x 5 (mod 8); (c) 2x 3 (mod 7) SVOLGIMENTO L equazione ax b (mod n) ha soluzioni se e solo se (a, n) b Quindi (b) non ha soluzioni mentre (a) e (c) hanno soluzioni esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 18

4 Dire se ha soluzioni ed eventualmente risolvere la seguente equazione 2x 5 (mod 6) SVOLGIMENTO L equazione ax b (mod n) ha soluzioni se e solo se (a, n) b Poichè (2, 6) = 2, l equazione data non ha soluzioni 5 Dire se ha soluzioni ed eventualmente risolvere l equazione 18x 12 (mod 30) SVOLGIMENTO Si ha (18, 30) = 6 Poichè 6 12, l equazione ha soluzioni Determiniamo tali soluzioni L equazione data equivale alla seguente 18x 30k = 12 L identità di Bézout per 6 = (18, 30) è 6 = 2 18+( 1) 30 Quindi 12 = 4 18 2 30 Quindi una soluzione è x = 4 Tutte le soluzioni sono date da x = 4 + ρ 30 6, cioè x 4 (mod 5) 6 Dire se ha soluzioni ed eventualmente risolvere l equazione 6x 9 (mod 5) SVOLGIMENTO Si ha (6, 5) = 1 Quindi l equazione ha soluzioni Essa equivale alla 6x 5k = 9 L identità di Bézout per 1 = (6, 5) è 1 = 6 1 + ( 1) 5 Quindi 9 = 6 9 5 9 Quindi una soluzione è x = 9 Tutte le soluzioni sono date da x = 9 + 5ρ, cioè x 9 (mod 5) 7 Dire se ha soluzioni ed eventualmente risolvere l equazione 9x 16 (mod 27) 8 Risolvere le seguenti equazioni: 2x 7 (mod 6), 12x 16 (mod 14), 9x 4 (mod 7) 9 Dire, giustificando la risposta, se i seguenti sistemi hanno soluzioni: (a) x 4 (mod 5) x 3 (mod 4) x 9 (mod 21), (b) 2x 4 (mod 6) 2x 3 (mod 5) 2x 7 (mod 4) SVOLGIMENTO Il sistema (a) verifica le ipotesi del teorema cinese del resto, quindi ha soluzioni Mentre il sistema (b) non ha soluzioni in quanto la terza equazione non ha soluzioni 10 Dire, giustificando la risposta, se i seguenti sistemi hanno soluzioni: (a) 3x 9 (mod 18) 3x 3 (mod 4) 3x 8 (mod 6), (b) x 4 (mod 7) x 3 (mod 5) x 7 (mod 4) SVOLGIMENTO Il sistema (b) verifica le ipotesi del teorema cinese del resto, quindi ha soluzioni Mentre il sistema (a) non ha soluzioni in quanto la terza equazione non ha soluzioni esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 19

11 Trovare le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze x 3 (mod 7) x 4 (mod 6) x 2 (mod 5) SVOLGIMENTO Poichè i moduli sono a due a due coprimi, il sistema può risolversi o uguagliando a due a due le congruenze oppure mediante il teorema cinese del resto Primo metodo Si risolva il sistema { x 3 (mod 7) x 4 (mod 6) Si ha 3 + 7k = 4 + 6h e quindi 1 = 7k 6h Da cui k = h = 1 Le soluzioni sono cosí x 10 (mod 42) Si risolva ora il sistema { x 10 (mod 42) x 4 (mod 6) Si ha 10 + 42ρ = 4 + 6µ Da cui 8 = 5µ + 42( ρ) Essendo 1 = (42, 5), per l identità di Bézout si ha 1 = 42( 2) + 5 9 e quindi 8 = 42( 2)8 + 5 9 8 Da cui µ = 72 e una soluzione particolare é 682 Tutte le soluzioni del sistema assegnato sono quindi x 52 (mod 210) Secondo metodo (teorema cinese del resto) Le tre congruenze di cui si cerca una soluzione particolare sono 30y 1 1 (mod 7), 35y 2 1 (mod 6), e 42y 3 1 (mod 5) Per l identità di Bézout si ha 1 = (7, 5 6) = 7 13 + 30( 3), quindi y 1 = 3; 1 = (6, 7 5) = 6 6 + 35( 1), quindi y 2 = 1; 1 = (5, 7 6) = 5 17 + 42( 2), quindi y 3 = 2 Una soluzione particolare é cosí x = 3 30 ( 3) + 4 35 ( 1) + 2 42 ( 2) = 578 Tutte le soluzioni sono x 52 (mod 210) 12 Risolvere i sistemi (a) x 4 (mod 9) x 3 (mod 4) x 2 (mod 5) e (b) x 4 (mod 5) x 3 (mod 4) x 2 (mod 9) esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 20

SVOLGIMENTO Poichè i moduli sono a due a due coprimi, entrambi i sistemi possono risolversi o uguagliando a due a due le congruenze oppure mediante il teorema cinese del resto Primo metodo (uguagliare a due a due le congruenze) Il sistema (a) equivale al seguente x = 4 + 9k x = 3 + 4m x = 2 + 5n Risolviamo il sistema (1) { x = 4 + 9k x = 3 + 4m Si ha 4 + 9k = 3 + 4m, 1 = 4m 9k, m = 2 e k = 1 Una soluzione di (1) è quindi x = 5 Tutte le soluzioni di (1) sono 5 + 36t Risolviamo il sistema (2) { x = 5 + 36t x = 2 + 5n Si ha 5+36t = 2+5n da cui 7 = 36t 5n Poichè 1 = 36 7 5 si ha 7 = 36 7 49 5 Quindi t = 7 e quindi una soluzione di (2) è x = 5+36 7 = 247 Tutte le soluzioni del sistema (a) sono così x = 247 + 180ρ, cioè x 67 (mod 180) Risolviamo ora il sistema (b) sempre uguagliando a due a due le congruenze Esso equivale al seguente x = 4 + 5k x = 3 + 4m x = 2 + 9n Risolviamo il sistema (1) { x = 4 + 5k x = 3 + 4m Si ha 4 + 5k = 3 + 4m, 1 = 4m + 5( k) Essendo (5, 4) = 1, l identità di Bézout è 1 = 5 1 + 4 ( 1) e quindi k = 1, m = 1 Una soluzione particolare di (1) è x = 1 Perciò tutte le soluzioni di (1) sono x = 1 + 20t Risolviamo il sistema (2) { x = 1 + 20k x = 2 + 9n Si ha 1 + 20t = 2 + 9n, 3 = 20t + 9( n) Essendo (20, 9) = 1, ricaviamo l identità di Bézout tramite il metodo delle divisioni successive: 20 = 9 2 + 2, 9 = 2 4 + 1 esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 21

Quindi 1 = 9 2 4 = 9 (20 9 2) 4, e l dentitá di Bézout è Ne segue 1 = 9 9 + 20 ( 4) 3 = 9 27 + 20 ( 12), e quindi t = 12, n = 27 In conclusione una soluzione particolare di (2) è x = 1 + 20 ( 12) = 241 e tutte le soluzioni di (2), e quindi del sistema (b), sono x = 241 + 180ρ o, equivalentemente, x 119 (mod 180) Secondo metodo (teorema cinese del resto) Risolviamo (a) Le tre congruenze di cui si cerca una soluzione particolare sono 20y 1 1 (mod 9), 45y 2 1 (mod 4), e 36y 3 1 (mod 5) Si scrivono le identità di Bézout per 1 = (9, 20), 1 = (4, 45), 1 = (5, 36) Esse sono rispettivamente 1 = 20 ( 4) + 9 9, 1 = 45 1 + 4 ( 11) e 1 = 36 1 + 5 ( 7) Le ultime due sono immediate, per ricavare la prima usiamo il metodo delle divisioni successive: 20 = 9 2 + 2, 9 = 2 4 + 1, 2 = 2 1 + 0 Quindi 1 = 9 2 4 = 9 (20 9 2) 4 = ( 4) 20 + 9 9 Abbiamo quindi y 1 = 4, y 2 = 1, y 3 = 1 e una soluzione particolare del sistema assegnato è data da x = 4 20 ( 4)+3 45 1+2 36 1 = 113 Tutte le soluzioni sono quindi x = 113 + 9 4 5 k, per ogni k Z Cioè x 67 (mod 180) Risolviamo (b) mediante il teorema cinese del resto Si osservi che (a parte l ordine) i moduli di (b) coincidono con quelli di (a) Pertanto, riscrivendo il sistema nel modo seguente, x 2 (mod 9) (b) x 3 (mod 4), x 4 (mod 5) le congruenze di cui bisogna cercare le soluzioni particolare coincidono con quelle di (a): 20y 1 1 (mod 9), 45y 2 1 (mod 4), e 36y 3 1 (mod 5) Abbiamo quindi y 1 = 4, y 2 = 1, y 3 = 1 e una soluzione particolare del sistema assegnato è data da x = 2 20 ( 4) + 3 45 1 + 4 36 1 = 119 Tutte le soluzioni sono quindi x = 119 + 180ρ, per ogni ρ Z Cioè x 119 (mod 180) 13 Trovare le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze { x 1 (mod 3) 2x 6 (mod 4) SVOLGIMENTO Il sistema assegnato equivale al seguente { x 1 (mod 3) x 3 (mod 2) esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 22

Sia α una soluzione particolare di quest ultimo sistema Tutte le sue soluzioni sono x = α + [3, 2]ρ per ogni ρ Z, ([3, 2] denota il minimo comune multiplo fra 3 e 2, cioé 6) Quindi é sufficiente determinare α L intero α é soluzione se e solo se esistono h, k Z tali che { α 1 = 3k α 3 = 2h Da cui si ha 2 = 3k 2h Si vede facilmente che k = h = 2 Quindi α = 7 14 Trovare le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze { 2x 4 (mod 6) 3x 5 (mod 4) SVOLGIMENTO Il sistema assegnato equvale al seguente { 3x 6 (mod 9) 3x 5 (mod 4) Posto y = 3x, risolviamo il sistema { y = 6 + 9h y = 5 + 4k Si ha 6 + 9h = 5 + 4k, 1 = 4k + 9( h) Essendo 1 = 9 + 4 ( 2), si ha k = 2, h = 1 Poichè soluzione particolare dell ultimo sistema è y = 6+9h = 3, tutte le soluzioni sono y = 3+36ρ al variare di ρ Z Da cui 3x = 3+36ρ Quindi tutte le soluzioni del sistema assegnato sono x = 1 + 12ρ o, equivalentemente, x 11 (mod 12) 15 Risolvere i seguenti sistemi di congruenze: { x 3 (mod 4) x 5 (mod 6), { x 2 (mod 4) x 5 (mod 6), { x 3 (mod 4) 2x 5 (mod 6), { 5x 6 (mod 7) 2x 5 (mod 3), x 3 (mod 5) x 5 (mod 6) x 4 (mod 7), x 3 (mod 4) 2x 4 (mod 5) x 2 (mod 3), 5x 6 (mod 8) 2x 5 (mod 6) x 4 (mod 9), x 0 (mod 3) x 0 (mod 6) x 0 (mod 5), x 4 (mod 5) x 3 (mod 4) x 2 (mod 9) 16 I seguenti quattro esercizi sono stati presi dal libro: Algebra di Lindsay Childs, ETS editrice (1989) esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 23

(a) Ecco un antico problema cinese Tre contadini coltivavano insieme il riso, e al tempo del raccolto lo dividevano in parti uguali Un anno ciascuno andò ad un mercato differente per vendere la sua quota di riso In ciascuno dei tre mercati si trattava il riso in multipli di un certo peso base, che era differente in ciascuno dei tre Il primo contadino vendette il suo riso ad un mercato in cui il peso base era di 87 libbre Vendette tutto quello che potè, e ritornò con 18 libbre di riso Il secondo contadino vendette il suo riso ad un mercato in cui il peso base era di 170 libbre Vendette tutto quello che potè, e ritornò con 58 libbre di riso Il terzo contadino vendette il suo riso ad un mercato in cui il peso base era di 143 libbre Vendette tutto quello che potè, e ritornò contemporaneamente agli altri due con 40 libbre di riso Quanto riso avevano raccolto in totale? (b) È dato un cesto di uova Si sa che se si levano le uova 2 alla volta, resta un uovo, se si levano 3 alla volta restano 2 uova, se si levano 4 alla volta restano 3 uova, se si levano 5 alla volta restano 4 uova, se si levano 7 alla volta non ne restano Quante uova c erano nel cesto? (c) Due problemi di Gauss: i Trovare un numero che sia congruo a 17 (mod 9), a 4 (mod 5), a 4 (mod 7) ed a 33 (mod 16) ii L indizione, numero d oro e ciclo solare degli anni si ripetono ogni 15, 19 e 28 anni, rispettivamente Ogni quanto tempo si ripetono anni con la stessa indizione, numero d oro e ciclo solare? (d) Un problema di Yih-hing, 717 DC Risolvere x 1 (mod 2) x 2 (mod 5) x 5 (mod 6) x 5 (mod 12) 17 Trovare le soluzioni intere del seguente sistema di congruenze: x 3 (mod 7) x 2 (mod 5) x 3 (mod 4) esercizi proposti agli studenti di matematica discreta e geometria (aa 2009-10) dal prof g quattrocchi 24