Corso di Fisica generale Liceo Scientifico Righi, Cesena Anno Scolastico 2014/15 1C Introduzione alla Incertezza della Misura Sperimentale I Riccardo Fabbri 1 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
Errori come Incertezze In scienza la parola errore non ha lo stesso significato delle connotazioni usuali del termine sbaglio Errore nella misurazione scientifica significa l'inevitabile incertezza inerente tutte le misure Come tali, questi errori non sono sbagli; non le possiamo eliminare, neanche prestando la massima attenzione Il massimo che possiamo fare e sperare è assicurarci che siano ragionevolmente piccoli, e di avere una stima attendibile di quanto sono grandi Riccardo Fabbri 2 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
Inevitabilit à della Incertezza Illustriamo l'inevitabile occorrenza delle incertezze: esaminiamo attentamente la vita quotidiana, e consideriamo per esempio un carpentiere che deve misurare l'altezza di un ingresso prima di installarci una porta. Come prima misura rozza, potrebbe semplicemente guardare l'infisso e strimare visualmente la sua altezza come 210 cm. Questa misura rozza è senza dubbio soggetta ad incertezza Se pressato, il carpentiere potrebbe esprimere questa incertezza ammettendo che l'altezza potrebbe essere tra 205 cm e 215 cm Se volesse una misura più accurata, userebbe un metro e potrebbe trovare che l'altezza è 211,3 cm. Questa misura è certamente più precisa della stima di partenza, ma è ovviamente ancora soggetta a della incertezza, perché è impossibile per lui sapere per esempio se l'altezza è 211,3000 cm piuttosto che 211,3001 cm Riccardo Fabbri 3 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
Questa incertezza rimanente ha molte cause. Alcune possono essere rimosse con un pò di impegno. Per esempio, una sorgente di incertezza potrebbe essere la cattiva illuminazione nella lettura del metro; questo problema potrebbe venir corretta con una migliore illuminazione. D'altra parte, alcune sorgenti di incertezza sono intrinseche al pro cesso di misura, e non possono venir mai rimosse interamente. Per esempio, supponiamo che il metro del carpentiere abbia un passo di mezzo centimetro. La parte superiore della porta con probabilità coinciderà con nessuno dei segni della gradazione, ed il carpentiere dovrà stimare in quale punto tra due tacche si trova la superficie superiore della porta. Anche se la superficie coincidesse con una tacca, la stessa tacca potrebbe essere larga un mm, ed il carpentiere dovrebbe stimare la posizione della superficie nella tacca. In ogni caso la stima del carpentiere causa una incertezza nella misurazione. Comprando un metro migliore con passo più fine, il carpentiere può ridurre l'incertezza ma non può eliminarla completamente. Se diventasse ossessionatamente determinato a trovare l'altezza della porta con la migliore precisione tecnicamente possibile, potrebbe comprare un interferometro laser. Ma anche la precisione di questo strumento è limitata (circa 0,5 10 6 m ). Il carpentiere sarebbe capace di misurare l'altezza con fantastica precisione, ma non conoscerebbe comunque l'altezza dell'infisso esattamente. Riccardo Fabbri 4 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
Inoltre, mentre il carpentiere si sforza di avere una precisione maggiore, incontrerà un'altro importante problema di principio. Troverà sicuramente che l'altezza è diversa in punti differenti. Anche nello stesso punto, troverà che il valore dell'altezza varia se la tempreratura e l'uidità variano, o perfino se rimuove un sottile strato di sporco. In altre parole, troverà che non esiste una cosa come l'altezza dell'infisso. Questo tipo di problema è definito come problema di definizione (l'altezza della porta non è una quantità ben definita) ed ha un ruolo importante in molte misure scientifiche. L'esperienza del carpentiere illustra un aspetto fondamentale, che nessuna quantità fisica può essere misurata con precisione completa. Prestando attenzione potremmo essere in grado di ridurre le incertezze fino ad averle estremamente piccole, ma eliminarle completamente è impossibile. Il nostro esempio del carpentiere illustra come le incertezze siano sempre presenti nelle misurazioni. È importante per valutare la precisione di una quantificare quanto grandi siano queste incertezze. Tale calcolo pu ò essere abbastanza complicato; fortunatamente, stime ragionevoli di alcune misurazioni sono facili da fare, spesso usando null'altro che il buon senso. Riccardo Fabbri 5 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
Stima della Incertezza Si indichi con X una generica variabile aleatoria, cioè soggetta soltanto ad errori casuali, e si supponga di effettuare su di essa un numero N di misure. Si possono presentare i seguenti casi: 1 Caso Le misure effettuate danno lo stesso risultato, oppure si esegue una sola misurazione. Il valore più probabile è quello letto sullo strumento e l'incertezza è suggerita dalla sensibilità dello strumento; si parla pertanto di errore di sensibilità. Questo caso si presenta quando la misura è fatta con uno strumento poco sensibile (bassa risoluzione). Si pensi alla misura della larghezza di un foglio eseguita con un righello millimetrato. Con tale strumento l errore di misura non è inferiore a 1.0 mm, corrispondente alla divisione che l operatore può apprezzare (oppure 0,5 mm, mezza tacca, con il metodo dell'interpolazione, qui non trattato). Evidentemente l errore di sensibilit à è un errore massimo che assorbe tutti gli errori casuali. 2 Caso Si eseguono alcune misure e queste danno valori che possono essere diversi tra loro. Questo è il caso in cui la misura è eseguita con uno strumento ad alta sensibilità. Il modo corretto di presentare il risultato di una misura è dare la stima Riccardo Fabbri 6 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)
migliore della quantità e l'intervallo entro cui siamo confidenti che la quantità si trova: (valore misurato di X) = x±ϵ Una assunzione naturale è che la stima migliore della grandezza sia la sua media aritmetica: x= x +x +...+ x 1 2 N N X Inoltre, un'altra assunzione ragionevolmente attendibile è che la vera grandezza si trova tra il suo valore misurato più piccolo e quello più grande. => Ogni volta che ripeteremo la misura diverse volte, la variazione nei valori misurati fornisce una valida indicazione della incertezza delle misure. La semidispersione ϵ max definita come il valore assoluto della semidifferenza tra il valore massimo e il valore minimo fra quelli ottenuti, ϵ max = x max x min 2 è una stima piuttosto conservativa (pessimistica) dell'errore assoluto ϵ. Una miglior stima dell'errore assoluto può essere ottenuta in base considerazioni statistici, affrontati nei prossimi anni. a Per approfondimenti: J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis (Cap. I e II) Riccardo Fabbri 7 (Dispense ed esercizi su www.riccardofabbri.eu)