DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2011/12 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. mercoledí 14 settembre 2011 (2 ore) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421, e perché? Divisibilità fra interi. Proprietà riflessiva e transitiva. Non vale la proprietà simmetrica. Determinazione delle coppie (a, b) tali che a divide b e b divide a. Determinazione delle coppie (x, y) di interi tali che xy = 1. Divisione con resto non negativo. Il caso del dividendo negativo. Unicità di quoziente e resto. Lezione 2. giovedí 15 settembre 2011 (2 ore) Divisione con divisore negativo. Criterio di divisibilità in base all annullarsi del resto. Massimo comun divisore: definizione elementare. Problema: non esiste il MCD di 0 e 0. Modalità di calcolo: l approccio mediante la fattorizzazione fallisce con numeri grandi : provare con numeri dell ordine di grandezza di 10 200, tenendo presente che l Universo ha 13.7 10 9 anni. Definizione ufficiale. Esistenza e costruzione mediante l algoritmo di Euclide (inizio). Lezione 3. lunedí 19 settembre 2011 (2 ore) Algoritmo di Euclide. L algoritmo di Euclide su due numeri grandi all incirca N termina in al più 2 log 2 (N) passi. Il grafico di y = 2 x. Unicità del massimo comun divisore. Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore di due numeri come loro combinazione lineare: un esempio. Lezione 4. martedí 20 settembre 2011 (2 ore) Algoritmo di Euclide esteso per esprimere il massimo comun divisore di due numeri come loro combinazione lineare: i due metodi. Lemmi aritmetici. Date: Trento, A. A. 2011/12.
2 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 Applicazione dei lemmi aritmetici: il minimo comune multiplo (formula (a, b) [a, b] = a b, e interpretazione in termini di fattori comuni e non comuni). Altra applicazione: tutte le combinazioni per esprimere il massimo comun divisore come combinazione lineare. Lezione 5. giovedí 22 settembre 2011 (2 ore) Congruenze. Basta considerare le congruenze modulo numeri non negativi. Le congruenze modulo 0, 1. Essere congrui vuol dire avere lo stesso resto, dunque la congruenza è una relazione di equivalenza. Classi rispetto a una relazione di equivalenza, e loro proprietà. Relazioni di equivalenza e partizioni. Le classi formano una partizione. Lezione 6. lunedí 26 settembre 2011 (2 ore) Classi di congruenza (o resto) modulo un intero n. Le classi modulo 2 e 3. Modulo n ci sono esattamente n classi resto, che sono [0], [1],..., [n 1]. Notazione Z/nZ. Si può calcolare con le classi resto. La prova del nove: inizio. Lezione 7. martedí 27 settembre 2011 (2 ore) La prova del nove. Criteri di divisibilità per 9, 11, 2, 4, 7. Un applicazione: trovare i numeri interi positivi il cui prodotto delle cifre faccia un numero della forma 111... 1. Lezione 8. mercoledí 28 settembre 2011 (2 ore) Criterio di divisibilità per 13. Il problema della buona definizione. Buona definizione della somma fra le classi resto. Inversi in un anello. Inversi in Z/nZ. Calcolo degli inversi in Z/nZ mediante l algoritmo di Euclide esteso. Lezione 9. giovedí 29 settembre 2011 (2 ore) Buona definizione del prodotto fra le classi resto. L unico anello con unità in cui 0 = 1 è l anello { 0 }. Esempio: Z/1Z. Divisori dello zero. Divisori dello zero in Z/nZ. Dunque [a] Z/nZ è invertibile se e solo se (a, n) = 1, e l inverso si trova mediante l algoritmo di Euclide esteso. Se invece (a, n) > 1, allora [a] è un divisore dello zero. Lemma dei cassetti. (Inizio)
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 3 Lezione 10. lunedí 3 ottobre 2011 (2 ore) Lemma dei cassetti. In un anello finito (commutativo, con unità) gli elementi sono o invertibili o divisori dello zero. Domini: un dominio è un anello in cui l unico divisore dello zero è 0. Gruppi: notazione neutra, additiva e moltiplicativa. Monoidi, lemma sugli inversi, gli elementi invertibili di un monoide formano un gruppo. (Inizio) Esempi. Lezione 11. mercoledí 5 ottobre 2011 (2 ore) Il gruppo U(Z/nZ) delle classi invertibili modulo n. Funzione di Eulero. Valore della funzione di Eulero per la potenze di un primo. Potenze, regole delle potenze. Il caso in cui tutte le potenze sono distinte. Lezione 12. giovedí 6 ottobre 2011 (3 ore) Principio del minimo intero. Periodo (o ordine) di un elemento in un gruppo. Eguaglianza di due potenze. Periodi dello sviluppo di frazioni come numeri decimali. Il periodo di un elemento divide l ordine del gruppo. (Dimostrazione solo nel caso commutativo.) Lezione 13. lunedí 10 ottobre 2011 (2 ore) Il gioco del tris. Il primo teorema di isomorfismo fra insiemi. Un applicazione: potenze in un gruppo. Il logaritmo come esempio di isomorfismo. Sistemi di due congruenze (inizio). Lezione 14. martedí 11 ottobre 2011 (2 ore) Sistemi di due congruenze. Come trovare una soluzione. Come trovare tutte le soluzioni. Se un sistema di due congruenze ha soluzione, allora esso equivale a una singola congruenza. Sistemi di più congruenze. La funzione ϕ : Z Z/mZ Z/nZ data da ϕ(x) = ([x] m, [x] n ). La sua immagine è la diagonale, che se (m, n) = 1 occupa tutto il codominio. Primo teorema di isomorfismo per insiemi, anelli e gruppi Lezione 15. mercoledí 12 ottobre 2011 (2 ore) Primo teorema di isomorfismo per insiemi, anelli e gruppi Un prodotto cartesiano di anelli come anello. Teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero è moltiplicativa nel senso della teoria dei numeri. Lezione 16. giovedí 13 ottobre 2011 (3 ore) Prima provetta intermedia.
4 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 Lezione 17. lunedí 17 ottobre 2011 (2 ore) Ancora sul teorema cinese: versione elementare della moltiplicatività della funzione di Eulero. Formula per la funzione di Eulero. Sviluppi decimali periodici di 1/n, con (10, n) = 1. Il calcolo della funzione di Eulero richiede la fattorizzazione: il caso n = pq, con p, q primi distinti. Teorema di Eulero Fermat, numeri di Carmichael, e criteri probabilistici di primalità. Lezione 18. mercoledí 19 ottobre 2011 (2 ore) Crittografia simmetrica, cifrario di Cesare. RSA. Calcolo delle potenze (inizio). Rappresentazione dei numeri interi non negativi rispetto a una base B > 1 arbitraria. (inizio) Lezione 19. giovedí 20 ottobre 2011 (3 ore) Rappresentazione dei numeri interi non negativi rispetto a una base B > 1 arbitraria. Calcolo delle potenze. Rappresentazione in base 2 e albergo di Hilbert. Esempi di RSA. La necessità di cifrare blocchi di testo grandi. Lezione 20. lunedí 24 ottobre 2011 (2 ore) Esempi di RSA con GAP. Polinomi a coefficienti in un campo o in un anello. Grado: grado della somma e del prodotto. Divisibilità fra polinomi. Polinomi invertibili. Divisione fra polinomi. (Inizio) Lezione 21. martedí 25 ottobre 2011 (2 ore) Divisione fra polinomi. Criterio di divisibilità fra polinomi. Radici di un polinomio. Regola di Ruffini. Massimo comun divisore fra polinomi, e razionalizzazione. Un polinomio di grado n a coefficienti in un dominio A ha al più n radici in A. Lezione 22. mercoledí 26 ottobre 2011 (2 ore) Quadrati in F = Z/pZ. Se p è dispari, ci sono (p 1)/2 quadrati non nulli in F. I quadrati non nulli in F = Z/pZ, con p dispari, sono le radici del polinomio x (p 1)/2 1.
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 5 Come calcolare le radici quadrate modulo p, se p 3 (mod 4). 1 è un quadrato modulo il numero primo dispari p se e solo se p 1 (mod p). Lezione 23. giovedí 27 ottobre 2011 (2 ore) Testa o croce per telefono: radici quadrate modulo il prodotto di due numeri primi dispari distinti. Un altro modo di giocare, prendendo il prodotto di due numeri primi, uno congruo a 1 e l altro a 3 modulo 4. Lezione 24. mercoledí 2 novembre 2011 (2 ore) Costruzione formale dei polinomi come funzioni sui naturali quasi ovunque nulle, con la somma per componenti, e il prodotto di convoluzione. La valutazione è un morfismo di anelli. Lezione 25. giovedí 3 novembre 2011 (3 ore) Seconda provetta intermedia. Lezione 26. lunedí 7 novembre 2011 (2 ore) Sottoanelli, estensioni. Il più piccolo sottoanello F [α] che contiene F e α: esistenza e forma. Descrizione generale come immagine della valutazione. Casi particolari di estensioni quadratiche di Z e Q. Aritmetica in un dominio. Divisibilità. Elementi primi e irriducibili. Elementi associati. Un primo è anche irriducibile. Lezione 27. mercoledí 9 novembre 2011 (2 ore) Caratterizzazione degli elementi irriducibili. Norme su un dominio. Esempi: Z, B[x] con B un dominio, Z[i], Z[i 5]. La norma di un invertibile è 1, mentre in generale non vale il viceversa: esempio in Z[x]. In Z[i 5] si ha 6 = 2 3 = (1 + i 5) (1 i 5). Gli elementi 2, 3, 1 + i 5 e 1 i 5 sono irriducibili, ma non primi (inizio). Lezione 28. giovedí 10 novembre 2011 (2 ore) In Z[i 5] gli elementi 2, 3, 1 + i 5 e 1 i 5 sono irriducibili, ma non primi. Domini euclidei. In un dominio euclideo si può fare l algoritmo di Euclide esteso, e valgono i lemmi aritmetici. In un dominio euclideo vale che un elemento è invertibile se e solo se ha norma 1, e gli irriducibili sono primi.
6 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 Lezione 29. lunedí 14 ottobre 2011 (2 ore) In un dominio con una norma speciale (cioè in cui N(a) = 1 impica a invertibile) ogni elemento si scirve come prodotto di irriducibili. In un dominio in cui gli irridicibili sono primi, la scrittura di un elemento come prodotto di irriducibili, se c è, è essenzialmente unica. Dunque in un dominio euclideo ogni elemento si scrive in modo essenzialmente unico come prodotto di irriducibili. Primi come somma di due quadrati, e irriducibili in Z[i]. Il caso 2 = 1 2 + 1 2 = (1 + i)(1 i) = i(1 i) 2. Gli invertibili in Z[i] sono 1, 1, i, i. Se p è un primo dispari, ed è somma di due quadrati, allora p 1 (mod 4). Lezione 30. martedí 15 novembre 2011 (2 ore) I numeri primi p 3 (mod 4) restano irriducibili in Z[i]. I numeri primi p 1 (mod 4) si scrivono come prodotto di due irriducibili, ovvero p si scrive come somma di due quadrati: algoritmo. Lezione 31. mercoledí 16 novembre 2011 (2 ore) Fattorizzazione dei primi p 1 (mod 4) in Z[i], ovvero, come scriverli come somma di due quadrati. Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive, formula. Lezione 32. giovedí 17 novembre 2011 (2 ore) Estensioni semplici di un campo. Elementi trascendenti e algebrici. Primo teorema di isomorfismo fra anelli. Polinomio minimo. Isomorfismo fra l estensione semplice F [α] e l anello F [x]/r, ove R è la congruenza modulo il polinomio minimo di α su F. Lezione 33. lunedí 21 novembre 2011 (2 ore) Elementi invertibili, elementi fra loro associati, elementi irriducibili e riducibili in F [x], con F campo. Irriducibilità e radici: il caso di polinomi di grado 2, 3 e 4. Congruenze nei polinomi, classi di congruenza come classi resto. Un esempio: i complessi attraverso l isomorfismo con l anello R[x] modulo la congruenza modulo x 2 + 1. Se un polinomio monico ha α per radice, ed è irriducibile, allora è il suo polinomio minimo. Lezione 34. mercoledí 23 novembre 2011 (2 ore) Un esempio di polinomio minimo non irriducibile. Se siamo in un dominio, i polinomi minimi sono irriducibili, e F [α] è un campo. Il polinomio minimo di 2 su Q è x 2 2. Il polinomio minimo di 3 2 su Q è x 3 2. Il polinomio x 4 10x 2 + 1 Q[x] ha per radice 2 + 3.
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 7 Struttura di F [α]. Estensioni come spazi vettoriali. La dimensione di F [α], con α algebrico su F, è il grado del polinomio minimo di α su F. Lezione 35. giovedí 24 novembre 2011 (3 ore) Terza provetta intermedia. Lezione 36. lunedí 28 novembre 2011 (2 ore) Calcolo del polinomio minimo di 2 + 3 su Q. Formula dei gradi. Cenni alle costruzioni mediante riga e compasso. Lezione 37. martedí 29 novembre 2011 (2 ore) Come trovare una estensione in cui esiste una radice di un polinomio dato. Campo di spezzamento di un polinomio. Cenni all esistenza. Esempi di campi finiti di ordine 9 e 4. Lezione 38. mercoledí 30 novembre 2011 (2 ore) Un campo finito di ordine 8. Caratteristica di un anello. La caratteristica di un dominio è zero, o un numero primo. Un campo finito ha ordine una potenza di un numero primo. Lezione 39. giovedí 1 dicembre 2011 (2 ore) Un campo finito ha ordine una potenza q = p n di un numero primo p, e i suoi elementi sono le radici del polinomio x q x. Esistenza di un campo finito di ogni ordine p n, come insieme della radici del polinomio x pn x nel suo campo di spezzamento. Lemmi: numeri primi e coefficienti binomiali, criterio della derivata per le radici multiple. Ogni campo finito è estensione semplice di un campo Z/pZ, con p primo. Lezione 40. lunedí 5 dicembre 2011 (2 ore) Costruzione di un campo finito di ordine p n come estensione F p [α] del campo F p con p elementi mediante una radice α di un polinomio monico, di grado n, irriducibile in F p [x]. Esempi: campi di ordine 4, 8, 16. Radici del polinomio usato per la costruzione, e radici degli altri polinomi irriducibili. Lezione 41. mercoledí 7 dicembre 2011 (2 ore) Se E/F è un estensione di grado finito n, allora ogni elemento di E è algebrico su F, con polinomio minimo di grado un divisore di n. Un applicazione: polinomi minimi su F 2 = Z/2Z degli elementi del campo con 16 elementi. Codici a rivelazione e correzione d errore. Il codice fiscale. Il codice ISBN-10.
8 DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 Codici lineari binari. Distanza di Hamming: proprietà. Codici a ripetzione. RIP-2 rivela un errore e RIP-3 ne corregge uno. Lezione 42. lunedí 12 dicembre 2011 (2 ore) Il codice a controllo di parità per n = 2. Matrice C di un codice C, e matrice H di controllo di parità H. Legame C H t = 0. C e H per il codice RIP-3 a ripetizione tre volte. Un codice rivela un errore se ha distanza minima > 1, ovvero se le colonne di H sono tutte diverse da zero. Lezione 43. martedí 13 dicembre 2011 (2 ore) Notazione matriciale per i sistemi di equazioni lineari. Un codice corregge un errore se ha distanza minima > 2, ovvero se le colonne della matrice H di controllo di parità sono distinte, e diverse da zero. Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x 3 + x + 1. Lezione 44. mercoledí 14 dicembre 2011 (2 ore) I codici di Hamming basati sul polinomio irriducibile x 3 + x + 1 e sul polinomio irriducibile x 3 + x 2 + 1. Codifica e decodifica. I codici di Hamming sono ciclici. Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x 2 + x + 1 è il codice RIP-3. Codici di Hamming come generalizzazioni del codice a controllo di parità. Lezione 45. giovedí 15 dicembre 2011 (2 ore) Il codice di Hamming basato sul polinomio irriducibile x 4 + x + 1. Il codice di Hamming generale. Cenni ai codici BCH: correzione di due errori. Lezione 46. 19 dicembre Teorema di Lagrange (inizio). Sottogruppi. Partizione in classi laterali di un sottogruppo. 2011 (1 ora) Lezione 47. martedí 20 dicembre 2011 (2 ore) Teorema di Lagrange (fine). L ordine di un elemento divide l ordine del gruppo (finito). Relazioni compatibili con le operazioni, ideali e primo teorema di isomorfismo fra anelli. Lezione 48. mercoledí 21 dicembre 2011 (2 ore) Sottogruppi normali, e primo teorema di isomorfismo fra gruppi. Sette domande, una menzogna.
DIARIO DEL CORSO ALGEBRA 2011/12 9 Lezione 49. mercoledí 21 dicembre 2011 (3 ore) Quarta provetta intermedia. Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Trento, via Sommarive 14, 38123 Trento E-mail address: caranti@science.unitn.it URL: http://science.unitn.it/~caranti/