Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica Sezione 7 del Capitolo 2 Alessandro Andretta Dipartimento di Matematica Università di Torino A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 1 / 57

Ordini Ordini L ordini è il linguaggio contenente. (M, M ) è un ordine se soddisfa x (x x) x, y (x y y x x = y) x, y, z (x y y z x z). Se M è connessa su M, cioè (M, M ) soddisfa x, y (x y y x x = y) si ha un ordine totale o lineare. Un ordine lineare con tre elementi è rappresentato dal digrafo A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 2 / 57

Ordini Ordini y è un successore immediato di x ovvero y ricopre x se x M y x y z(x M z z M y z = x z = y). L ordine lineare con tre elementi è descritto dal grafo diretto o dal diagramma di Hasse A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 3 / 57

Ordini Dualità Il duale di una L ordini -struttura M = (M, M ) è la L ordini -struttura M = (M, 1 M ) dove 1 M = M = {(y, x) M M x M y}. Chiaramente M = M. La duale di una formula ϕ del linguaggio L ordini è la formula ϕ ottenuta sostituendo in ϕ ogni sotto-formula atomica del tipo x y con y x. Formalmente la formula duale è definita per induzione sulla complessità, stabilendo che (x y) è y x, ( ϕ) è (ϕ ), (ϕ ψ) è ϕ ψ dove è un connettivo binario, ( xϕ) è xϕ e ( xϕ) è xϕ. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 4 / 57

Ordini Dualità M σ se e solo se M σ per ogni enunciato σ. Le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva sono duali di sé stesse, quindi M è un ordine se e solo se M è un ordine. Riassumendo: Principio di dualità per ordini Se P è un ordine e σ è un enunciato di L ordini allora P σ se e solo se P σ. In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi degli ordini se e solo se σ lo è. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 5 / 57

Ordini Insiemi inferiori Un insieme Q P è un segmento iniziale o insieme inferiore di P se Per esempio, x Q y x y Q Q = {y P x Q(y x)} è un insieme inferiore, per ogni Q P ; infatti Q è un insieme inferiore se e solo se Q = Q. Quando Q è un singoletto {x} scriveremo x invece di {x}. La famiglia dei sottoinsiemi inferiori dell ordine parziale P si denota con Down(P) ed è anch esso un ordine parziale sotto inclusione, con massimo P e minimo. La mappa x x è un immersione di P in Down(P ), quindi ogni ordine parziale è isomorfo ad una famiglia di insiemi ordinati per inclusione. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 6 / 57

Ordini Insiemi superiori Q P è un segmento finale o insieme superiore se è un insieme inferiore dell ordine duale P, e Q = {y P x Q(x y)} è l insieme Q calcolato in P. L insieme dei sottoinsiemi superiori di P si denota con Up(P) ed è ordinato per inclusione. Per il principio di dualità per gli ordini, la mappa Q P \ Q è un isomorfismo tra Down(P) e Up(P ). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 7 / 57

Ordini Estremo superiore Un maggiorante di un sottoinsieme X di P è un elemento a P tale che x X (x a); un sottoinsieme che ammette un maggiorante si dice limitato superiormente. Se a b per ogni maggiorante b di X diremo che a è estremo superiore di X. Le definizioni di minorante, sottoinsieme inferiormente limitato estremo inferiore sono ottenute dualizzando le definizioni precedenti. L estremo superiore di X (se esiste) è unico e verrà indicato con sup X o con X. Quando X = {a, b} scriveremo sup(a, b) o a b. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 8 / 57

Ordini Estremo inferiore Formalizzando l affermazione precedente (quando X è formato da due elementi) si ottiene (P, ) x, y, z, w ( [x z y z z (x z y z z z )] [x w y w w (x w y w w w )] z = w ) per ogni insieme parzialmente ordinato. Per il principio di dualità, (P, ) soddisfa anche l enunciato duale che asserisce che l estremo inferiore di due elementi (se esiste) è unico. L estremo inferiore di X P verrà indicato con inf X, o X, e quando X = {a, b} scriveremo inf(a, b) o a b. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 9 / 57

Ordini Esercizio In un insieme parzialmente ordinato (P, ) sono equivalenti 1 ogni X P superiormente limitato ammette un estremo superiore, 2 ogni X P inferiormente limitato ammette un estremo inferiore. Un insieme parzialmente ordinato (P, ) in cui valga una (e quindi anche l altra) delle due condizioni dell Esercizio si dice Dedekind-completo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 10 / 57

Ordini Teorema di punto fisso per ordini parziali Teorema Sia (P, ) un ordine parziale tale che X esiste per ogni X P, e sia f : P P una funzione crescente. Allora c è un punto fisso per f, vale a dire a P (f(a) = a). Dimostrazione. Sia A = {x P x f(x)} e sia a = A. Se x A, allora x a e x f(x) da cui x f(x) f(a). Quindi f(a) è un maggiorante di A. Da questo segue che a f(a) e quindi f(a) f(f(a)), per la crescenza di f. Ne segue che f(a) A, da cui f(a) a. Quindi a = f(a). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 11 / 57

Reticoli Reticoli Un semi-reticolo superiore è un ordine (M, ) in cui due elementi hanno sempre un estremo superiore, cioè (M, ) soddisfa x, y z (x z y z w (x w y w z w)). Un semi-reticolo inferiore è un ordine il cui duale è un semi-reticolo superiore, cioè è un ordine che soddisfa x, y z (z x z y w (w x w y w z)). Un reticolo è un ordine che è simultaneamente semi-reticolo superiore e semi-reticolo inferiore. In un reticolo ordinato il massimo e il minimo (se esistono) si denotano con e, e in questo caso parleremo di reticolo limitato. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 12 / 57

Reticoli Esempi Ogni ordine lineare è un reticolo, ma la nozione di reticolo è molto più generale. I seguenti due esempi di reticoli sono importanti: N 5 M 3 A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 13 / 57

Reticoli Sottoreticoli Se (M, ) è un reticolo, un sotto-reticolo è un sottoinsieme non vuoto M M tale che sup(a, b), inf(a, b) M per ogni a, b M, dove gli estremi superiore ed inferiore sono calcolati in M. È facile verificare che M è un reticolo e che i valori di sup(a, b) e inf(a, b), calcolati in M o M, coincidono. Un reticolo M è generato da a 1,..., a n M se ogni sotto-reticolo di M che contiene a 1,..., a n coincide con M. In un reticolo valgono la proprietà associativa e commutativa per e, e le leggi di assorbimento, cioè x, y ((x y) y = y) e x, y ((x y) y = y). Queste sono formulate nel linguaggio L reticoli contenente due simboli di operazione binaria: e. Una L reticoli - struttura che soddisfi assorbimento e commutatività si dice algebra reticolare. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 14 / 57

Reticoli Equivalenza tra reticoli e algebre reticolari Esercizio Sia M = (M,, ) un algebra reticolare. Verificare che: 1 M soddisfa le proprietà di idempotenza, cioè x(x = x x) x(x = x x) 2 M x, y (x y = y x y = x), 3 la relazione definita su M da a b a b = b a b = a è un ordinamento su M e la struttura M = (M, ) è un reticolo tale che sup(a, b) = a b e inf(a, b) = a b, 4 M soddisfa la proprietà associativa per e. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 15 / 57

Reticoli Dualità Il duale di un termine t di L reticoli è il termine t ottenuto scambiando tra loro i simboli e. La duale di una formula ϕ è la formula ϕ ottenuta rimpiazzando ogni termine con il suo duale. La struttura duale di M = (M,, ) è la struttura M = (M,, ) dove = e =. Il duale del duale è la struttura di partenza, cioè M = M. Se σ è un enunciato, allora M σ se e solo se M σ. Poiché gli assiomi per le algebre reticolari sono duali di sé stessi, il duale di un reticolo è un reticolo. Principio di dualità per i reticoli Se M è reticolo e σ è un enunciato, allora M σ se e solo se M σ. In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi dei reticoli se e solo se σ lo è. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 16 / 57

Reticoli Osservazioni 1 Il principio di dualità non dice che se un reticolo soddisfa σ allora soddisfa anche σ per esempio ci sono reticoli che hanno il minimo, ma non il massimo (o viceversa) e che quindi soddisfano x y (x y = x) ma non x y (x y = x). 2 Similmente, non dice che un reticolo soddisfa ogni enunciato autoduale un enunciato è autoduale se è logicamente equivalente al duale di sé stesso. Per esempio, un reticolo privo di massimo e minimo non soddisfa l enunciato autoduale x y (x y = x) x y (x y = x) che asserisce l esistenza di massimo e minimo. 3 Vedremo che se in un reticolo vale l identità (x y) z = (x z) (y z), allora vale anche l identità (x y) z = (x z) (y z). Tuttavia è possibile che in un reticolo M valga (a b) c = (a c) (b c) per qualche a, b, c M e tuttavia non valga (a b) c = (a c) (b c). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 17 / 57

Reticoli Reticoli completi Un reticolo si dice completo se X e X esistono per ogni sottoinsieme X questa nozione non è formalizzabile al prim ordine, dato che si quantifica su sottoinsiemi arbitrari. Poiché ogni elemento è tanto maggiorante quanto minorante di, ne segue che = e =. Quindi un reticolo completo ha massimo e minimo. Se X = {a 1,..., a n }, allora sup X = a 1... a n e inf X = a 1... a n esistono e sono ben definiti, quindi ogni reticolo finito è completo. Lemma In un reticolo le seguenti affermazioni sono equivalenti: 1 (M,, ) è un reticolo completo 2 3 X esiste, per ogni X M, X esiste, per ogni X M. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 18 / 57

Reticoli Esempi (P(X), ) è un reticolo completo, dove le operazioni sono le intersezioni e unioni generalizzate: {A i i I} = i I A i e {Ai i I} = i I A i. Una famiglia di insiemi S chiusa per intersezioni e unioni finite si dice reticolo di insiemi. Se S P(X) contiene e X ed è chiusa per unioni e intersezioni generalizzate, allora è reticolo completo. In questo caso parleremo di reticolo completo di insiemi. Se (P, ) è un ordine parziale allora (Down(P ), ) è un reticolo completo di insiemi. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 19 / 57

Reticoli Esempi Se S P(X) è una famiglia di insiemi chiusa per intersezioni e unioni finite e chiuso per unioni generalizzate, cioè tale che i I A i S per ogni famiglia {A i i I} S, oppure chiuso per intersezioni generalizzate, allora è un reticolo completo. Per esempio la famiglia degli aperti di uno spazio topologico è un reticolo completo, dove {Ui i I} = e {Ui i I} = Int( U i ). i I U i Analogamente la famiglia dei chiusi è un reticolo completo, dove {Ci i I} = e {Ui i I} = Cl( C i ). i I C i I chiusi e gli aperti sono esempi di reticoli di insiemi, reticoli completi, ma non sono reticoli completi di insiemi. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 20 / 57 i I i I

Reticoli distributivi Modularità Dati tre elementi a, b, c in un reticolo M, allora a b a e a b b b c quindi a b a (b c) per definizione di estremo inferiore; inoltre a c a e a c c b c, da cui a c a (b c). Per la definizione di estremo superiore (a b) (a c) a (b c), quindi in ogni reticolo: x, y, z ((x y) (x z) x (y z)). Per il principio di dualità, tenendo presente che la formula duale di x y, cioè di x y = x, è la formula y x, otteniamo che vale in ogni reticolo. x, y, z (x (y z) (x y) (x z)) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 21 / 57

Reticoli distributivi Modularità Definizione Un reticolo si dice: modulare se soddisfa i seguenti assiomi detti legge modulare x, y, z ((x y) (x z) = x (y (x z))) x, y, z ((x y) (x z) = x (y (x z))) distributivo se soddisfa gli enunciati x, y, z ((x y) z = (x z) (y z)) x, y, z ((x y) z = (x z) (y z)) A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 22 / 57

Reticoli distributivi Modularità Gli assiomi per i reticoli modulari o distributivi sono autoduali, quindi duale di un reticolo modulare/distributivo è ancora dello stesso tipo, e il principio di dualità si generalizza al caso dei reticoli modulari e dei reticoli distributivi in modo ovvio: se σ è un enunciato di L reticoli che vale in ogni reticolo modulare/distributivo, allora anche il suo duale σ vale in ogni reticolo modulare/distributivo. Nella pratica, la formulazione più conveniente della legge modulare è (la chiusura universale di) z x x (y z) = (x y) z. (M) Gli assiomi per i reticoli, la legge modulare, le proprietà distributive sono enunciati universali e positivi, quindi si preservano per sottostrutture e immagini omomorfe A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 23 / 57

Reticoli distributivi Distributività e modularità Esercizio Dimostrare che: 1 Ogni reticolo distributivo è modulare. 2 Il reticolo N 5 non è modulare, mentre il reticolo M 3 è modulare, ma non distributivo. Teorema 1 Un reticolo è modulare se e solo se non contiene un sotto-reticolo isomorfo a N 5. 2 Un reticolo è distributivo se e solo se non contiene un sotto-reticolo isomorfo a N 5 o a M 3. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 24 / 57

Reticoli distributivi Reticoli finitamente generati Definizione Il reticolo libero su n elementi Free(n) è il reticolo più generale possibile, generato da n elementi. Ogni reticolo generato da n elementi è immagine omomorfa di Free(n). Free(1) ha un solo elemento. Free(2) ha 4 elementi: x y x y dove x e y sono i generatori, x y Free(3) ha infiniti elementi. Quindi Free(n) è infinito per ogni n 3. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 25 / 57

Reticoli distributivi Reticoli modulari e distributivi liberi Definizione Il reticolo libero modulare su n elementi Free M (n) è il reticolo modulare più generale possibile, generato da n elementi. Ogni reticolo modulare generato da n elementi è immagine omomorfa di Free M (n). Analogamente si definisce Free D (n) nel caso distributivo. Free M (3) ha 28 elementi, Free M (n) ha infiniti elementi se n 4. Free D (n) è finito per tutti gli n: se D n è la taglia di Free D (n), allora D 1 = 1, D 2 = 2, D 3 = 18, D 4 = 166,..., D 8 = 56.130.437.228.687.557.907.786 56 10 21. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 26 / 57

Reticoli distributivi Free D (3) Se x, y, z sono i generatori e a = (x y) (x z) (y z) = (x y) (x z) (y z), b = (x y) (y z), c = (x y) (y z), allora x y z x y x z y z (x y) (x z) b (x z) (y z) x a y z (x y) (x z) c (x z) (y z) x y x z y z x y z A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 27 / 57

Reticoli distributivi Forma normale congiuntiva e disgiuntiva Un termine si dice congiunzione di variabili {x 1,..., x n } se è della forma x i1... x ik con {i 1,..., i k } {1,..., n}, mentre se è della forma x j1... x jh con {j 1,..., j h } {1,..., n}, si dice disgiunzione di variabili {x 1,..., x n }. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 28 / 57

Reticoli distributivi Forma normale congiuntiva e disgiuntiva Per induzione sulla complessità di t si dimostra... Lemma Per ogni termine s Term reticoli (x 1,..., x n ) esistono termini u, v Term reticoli (x 1,..., x n ) tali che u è in forma disgiuntiva, vale a dire è una disgiunzione di congiunzioni delle variabili {x 1,..., x n }, v è in forma congiuntiva, vale a dire è una congiunzione di disgiunzioni delle variabili {x 1,..., x n }, la formula s = u = v è conseguenza degli assiomi dei reticoli distributivi. Corollario Un reticolo distributivo finitamente generato è finito. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 29 / 57

Algebre di Boole Reticoli complementati Un reticolo con e è complementato se per ogni x c è un y, detto complemento di x, tale che x y = e x y =. Se per ogni x c è un unico complemento, denotato con x, diremo che il reticolo è univocamente complementato. Chiaramente in un reticolo siffatto x = x per ogni x. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 30 / 57

Algebre di Boole Reticoli complementati Lemma In un reticolo distributivo e limitato, il complemento di un elemento, se esiste è unico. Dimostrazione. Supponiamo y e z siano complementi di un x: y = y = (x z) y = (x y) (z y) = (y z) = y z, da cui y z. Scambiando y con z si ottiene z y. Quindi, dato che = e = ne segue che = e =. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 31 / 57

Algebre di Boole Algebre di Boole Definizione Sia L Boole il linguaggio che estende L reticoli mediante un simbolo di operazione unaria e che contiene due simboli di costante e. Un algebra di Boole è una struttura in questo linguaggio che soddisfa la proprietà commutativa per e per, la proprietà distributiva per e per, l esistenza del complemento x (x x = ) x (x x = ), e e tale che. x (x = x) x (x = x), A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 32 / 57

Algebre di Boole Dualità Il duale di un termine di L Boole è il termine ottenuto scambiando con e con ; la duale di una formula ϕ è la formula ϕ ottenuta sostituendo ogni termine col suo duale. La duale dell algebra di Boole B = (B,,,,, ) è l algebra di Boole B = (B,,,, 0, 1) dove =, =, 0 = e 1 =. B B, x x, è un isomorfismo. Principio di dualità per algebre di Boole Se B un algebra di Boole e σ è un enunciato, allora B σ se e solo se B σ. In particolare: σ è conseguenza logica degli assiomi delle algebre di Boole se e solo se σ lo è. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 33 / 57

Algebre di Boole Reticoli complementati e distributivi Ogni reticolo complementato e distributivo (B, ) con almeno due elementi definisce un algebra di Boole (B,,,,, ). Proposizione Ogni algebra di Boole è un reticolo complementato e distributivo con almeno due elementi. Esercizio 1 x y = x y ; 2 (x y) = x y e (x y) = x y (Leggi di De Morgan); 3 x y y x ; 4 se x y e z w, allora x z y w e x z y w; 5 x y z x z y. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 34 / 57

Algebre di Boole Distributività Lemma Sia B un algebra di Boole e X B un insieme tale che X esiste. Allora {b x x X} esiste per ogni b B, e b X = {b x x X}. Analogamente, se X esiste, allora anche {b x x X} esiste ed è b X. Dimostrazione. b x b X per ogni x X, allora b X è un maggiorante di {b x x X}. Se c è un altro maggiorante di questo insieme, allora per ogni x X, b x c x b c e quindi X b c, da cui b X c. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 35 / 57

Distributività finita Algebre finitamente generate Se X B, l algebra generata da X è la più piccola subalgebra B di B contenente X, e X è un insieme di generatori di B. Un algebra di Boole si dice finitamente generata se ha un insieme finito di generatori. Se B ha un insieme di n generatori, allora B è finita, dato che un reticolo distributivo finitamente generato è finito. Se I è un insieme finito e gli J i sono insiemi non vuoti (i I), allora gli elementi del prodotto cartesiano i I J i si possono identificare con le funzioni f di dominio I tali che f(i) J i per ogni i I. Lemma Sia B un algebra di Boole e siano I e J i (i I) degli insiemi finiti e non vuoti. Allora, per ogni x i,j B (i I e j J i ) i I j J i x i,j = f i I J i i I x i,f(i) e i I j J i x i,j = f i I J i i I x i,f(i). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 36 / 57

Distributività finita Dimostrazione Per dualità è sufficiente dimostrare la prima delle due formule. La dimostrazione procede per induzione su I 1. Se I = 1 il risultato è banale, quindi possiamo assumere che il risultato valga per ogni insieme I di cardinalità n 1 e dimostrarlo per insiemi di cardinalità n + 1. Supponiamo I = n + 1 e chiaramente possiamo supporre che I = n + 1 = {0,..., n}. Allora: i n j J i x i,j = ( ) ( ) j J 0 x 0,j 1 i n j J i x i,j = ( ) ( j J 0 x 0,j f J 1 J n 1 i n x ) i,f(i) = ( j J 0 x 0,j ( f J 1 J n 1 i n x ) ) i,f(i) = j J 0 f J 1 J n (x 0,j ( 1 i n x ) ) i,f(i) = f i n J i i n x i,f(i). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 37 / 57

Distributività finita Algebre finitamente generate X = {x 1... x n x 1,..., x n X e n 1} X = {x 1... x n x 1,..., x n X e n 1}. Teorema Se B è un algebra di Boole e X B, l algebra generata da X è C def = ( (X {x x X} {, }) ). Dimostrazione. C è non vuoto, chiuso per, ed è contenuto nell algebra generata da X. Quindi è sufficiente dimostrare che è chiuso per complementi: un generico elemento di C è della forma i I j J i y i,j dove y i,j X {x x X} {, } e I e J i sono insiemi finiti, quindi il suo complemento è i I j J i yi,j = f i I J i i I y i,j C. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 38 / 57

Morfismi e prodotti Morfismi e prodotti Corollario Sia A un algebra di Boole, B A e x A \ B. La sub-algebra di A generata da B {x} è {(b 1 x) (b 2 x ) b 1, b 2 B}. Un omomorfismo di algebre di Boole è una mappa tra algebre di Boole che è un morfismo di L Boole -strutture. Per quanto detto è sufficiente che preservi,, e ; equivalentemente, per le leggi di De Morgan è sufficiente che preservi e o che preservi e. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 39 / 57

Morfismi e prodotti Morfismi e prodotti Gli assiomi delle algebre di Boole sono enunciati universali, quindi ogni L Boole -sottostruttura C di un algebra di Boole B è a sua volta un algebra di Boole e diremo che C è una sub-algebra di B. L algebra minimale è l unica algebra di Boole (a meno di isomorfismo) con esattamente due elementi e, ed è (isomorfa ad) una sub-algebra di ogni algebra di Boole. Gli assiomi delle algebre di Boole sono formule positive eccetto. Quindi se f : B C è un morfismo suriettivo di L Boole -strutture e se B è un algebra di Boole e C C, allora anche C è un algebra di Boole. Gli assiomi delle algebre di Boole eccetto sono equazioni. Quindi il prodotto di algebre di Boole è ancora un algebra di Boole. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 40 / 57

Algebre libere Algebre libere Sia t un termine di L Boole nelle variabili x 1,..., x n : rimpiazzando le occorrenze di e con x 1 x 1 e x 1 x 1 rispettivamente, e applicando ripetutamente le leggi di De Morgan, è possibile trasformare t in un termine t nelle medesime variabili x 1,..., x n in cui il simbolo di complementazione compaia solo applicato alle variabili: t = s[x 1 /y 1,..., x n/y n ] dove s Term reticoli (x 1,..., x n, y 1,..., y n ). s è equivalente tanto ad un termine in forma disgiuntiva u quanto ad un termine in forma congiuntiva v. Possiamo supporre che in ciascuna disgiunzione di u non compaia mai una variabile e il suo complemento e un discorso analogo vale per v. Abbiamo quindi dimostrato il seguente... A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 41 / 57

Algebre libere Forma normale congiuntiva e disgiuntiva Lemma Per ogni termine t Term Boole (x 1,..., x n ) allora esistono termini u, v Term reticoli (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) tali che, posto u def = u[x 1 /y 1,..., x n/y n ] Term Boole (x 1,..., x n ), v def = v[x 1 /y 1,..., x n/y n ] Term Boole (x 1,..., x n ) si ha u è in forma disgiuntiva, vale a dire è una disgiunzione di congiunzioni di {x 1,..., x n, x 1,..., x n} in cui in nessuna congiunzione compaiono tanto x i quanto x i, (1 i n), v è in forma congiuntiva, vale a dire è una congiunzione di disgiunzioni delle variabili {x 1,..., x n, x 1,..., x n} in cui in nessuna disgiunzione compaiono tanto x i quanto x i, (1 i n), la formula t = u = v è conseguenza degli assiomi delle algebre di Boole. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 42 / 57

Anelli Booleani Anelli Booleani La somma in un algebra di Boole è l operazione binaria + definita da x + y def = (x y ) (y x ). Osserviamo che l operazione di somma è commutativa e che se f : B C è un omomorfismo di algebre di Boole, allora f(x + y) = f(x) + f(y). 1 x = y x + y = ; 2 x + y = (x y) (x y) ; 3 (x + y) = (x y) (x y ); 4 x y = x + y = x y; 5 x y = (x + y) + (x y); 6 x + (y + z) = (x + y) + z; 7 x (y + z) = (x y) + (x z). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 43 / 57

Anelli Booleani Anelli Booleani Ad ogni algebra di Boole possiamo associare un anello commutativo unitario, (B,,,,, ) (B, +,, 0, 1) ponendo x + y come sopra, 0 =, 1 = e x y def = x y. Questo è un esempio di anello Booleano cioè un anello unitario in cui vale x(x 2 = x). Ogni anello Booleano è commutativo ed è l anello costruito a partire da una qualche algebra di Boole; ogni omomorfismo f : B C di algebre di Boole è un omomorfismo di anelli con unità. Il nucleo di un morfismo di algebre di Boole f : B C è ker(f) def = {b B f(b) = C }. Quindi f è iniettivo se e solo se il suo nucleo è { B }. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 44 / 57

Anelli Booleani Ideali Definizione Un ideale di un algebra di Boole B è un sottoinsieme non vuoto I tale che se x, y I allora x y I e se x I e y x allora y I. I è proprio se I B. Esercizio Dimostrare che I è un ideale nel senso della Definizione qui sopra se e solo se è un ideale nel senso degli anelli. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 45 / 57

Anelli Booleani Ideali e quozienti Se R è un anello commutativo unitario e I un suo ideale proprio possiamo costruire il quoziente R/I che sarà ancora un anello commutativo unitario; inoltre se R è Booleano che anche il quoziente è un anello Booleano, dato che x(x 2 = x) è una formula positiva. Un ideale proprio I si dice primo se x y I x I y I, o equivalentemente se R/I è un dominio di integrità; massimale se non esiste alcun ideale proprio che contiene I, o equivalentemente se R/I è un campo; quindi un ideale massimale è primo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 46 / 57

Anelli Booleani Ideali e quozienti Proposizione Sia (B,,,,, ) un algebra di Boole e I un ideale proprio. 1 Sia I la relazione d equivalenza su B data da x I y x + y I. L insieme quoziente che si denota usualmente con B/I è un algebra di Boole ponendo 0 = [ ] 1 = [ ] [x] [y] = [x y] [x] [y] = [x y] [x] = [x ]. L ordinamento su B/I è dato da [x] [y] y x I. 2 I è primo se e solo se I è massimale se e solo se x(x / I x I). A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 47 / 57

Anelli Booleani Atomi Un ideale I di un algebra di Boole B è principale se è della forma x = {y B y x} per qualche x B; l elemento x si dice generatore di I e diremo che I è generato da x. Un atomo di un algebra di Boole B è un elemento minimale di B \ { } cioè un a B \ { } per cui non esistono < b < a. At(B) è l insieme degli atomi di B. Un algebra si dice atomica se per ogni b B \ { } c è un atomo a b. P(X) è un algebra atomica e gli atomi sono i singoletti. Una sua subalgebra è una famiglia S P(X) contenente e X e chiusa per unioni, intersezioni e complementi. Ogni algebra di Boole finita è atomica. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 48 / 57

Anelli Booleani Atomi Proposizione Se a B, le seguenti condizioni sono equivalenti: 1 a è un atomo; 2 a e per ogni b, c B, a b c se e solo se a b oppure a c; 3 per ogni b B, a b oppure a b, ma non entrambi; 4 l ideale generato da a è primo. [a è un atomo] [a e b, c(a b c (a b oppure a c))] Se a b oppure a c allora, chiaramente, a b c. Viceversa, se a b e a c, allora a b e a c. Poiché a è un atomo, a b = a e a c = a, cioè a b e a c, da cui a b c = (b c). Se a b c allora a (b c) (b c) = : una contraddizione. Quindi a b c. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 49 / 57

Anelli Booleani Atomi [a e b, c(a b c (a b oppure a c))] [ b(a b aut a b )] Fissato b B, si ha che a = b b e quindi a b oppure a b. Tuttavia, non è possibile che a b e a b valgano entrambe poiché ciò implicherebbe a = b b. [ b(a b aut a b )] [a è un atomo] Osserviamo che 3 implica banalmente che a. Se esistesse < b < a, allora a b implica che a b, da cui = a b = a b = b, contraddizione. [a e b, c(a b c (a b oppure a c))] [ a è primo] segue dal principio di dualità. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 50 / 57

Anelli Booleani Teorema di Stone per algebre complete Teorema 1 Per ogni algebra di Boole B tale che At(B), la funzione f : B P(At(B)), f(b) = {a At(B) a b} è un omomorfismo. 2 B è atomica se e solo se f è iniettivo. 3 Se B è completa, o anche solo: se X esiste per ogni X At(B), allora f è suriettivo. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 51 / 57

Anelli Booleani Teorema di Stone per algebre complete Dimostrazione. 1 Sia a At(B). Allora a b c se e solo se a b e a c e per la Proposizione 3, a b c se e solo se a b oppure a c. Quindi f(b c) = f(b) f(c) e f(b c) = f(b) f(c), cioè f è un omomorfismo. 2 È immediato verificare che B è atomica se e solo se ker(f) = { }. 3 Se X At(B), sia b = X. Allora X f(b). Vogliamo dimostrare che X = f(b): se per assurdo esistesse a f(b) \ X, allora, trattandosi di atomi, x X (a x = ), quindi contraddizione. a = a b = a X = {a x x X} =, A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 52 / 57

Anelli Booleani Teorema di Stone per algebre complete Corollario Ogni algebra di Boole atomica è isomorfa ad una sub-algebra di P(I), per qualche insieme I. Ogni algebra di Boole atomica e completa (o anche solo: tale che X esiste per ogni X At(B)) è isomorfa a P(I), per qualche insieme I. La somma, in P(X), come anello Booleano, è la differenza simmetrica Y + Z = Y Z. Un ideale di una subalgebra S P(X) è una famiglia I S chiusa per unioni finite e per sottoinsiemi. L ideale generato da un A S è {B S B A}. Non tutti gli ideali di P(X) sono principali per esempio è un ideale non principale di P(N). Fin = {A N A è finito} A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 53 / 57

Anelli Booleani Algebra quoziente Se I è un ideale di una subalgebra S P(X) l ordinamento dell algebra quoziente S/I è dato da [Y ] [Z] Z \ Y I. L algebra quoziente P(N)/ Fin è priva di atomi: infatti se A è infinito (cioè [A] 0 = Fin) allora A può essere scritto come unione di due insiemi B e C infiniti e disgiunti, A = B C e B C =, quindi 0 < [B] < [A]. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 54 / 57

Anelli Booleani Aperti regolari U aperto di uno spazio topologico X è regolare se r(u) def = Int(Cl(U)) = U. Esercizio Se U è aperto e A, B sono sottoinsiemi arbitrari di X, spazio topologico: 1 U r(u); 2 A B r(a) r(b); 3 r(r(a)) = r(a); 4 r(u) è il più piccolo aperto regolare contenente U; 5 Int(X \ U) è regolare. RO(X) = {U X U è regolare}. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 55 / 57

Anelli Booleani Aperti regolari Se U, V RO(X), allora r(u V ) r(u) = U e r(u V ) r(v ) = V, da cui r(u V ) U V. Quindi RO(X) è chiuso per intersezioni. Se U è aperto e Y arbitrario, allora U Cl(Y ) Cl(U Y ), quindi, tenendo presente che l interno di un intersezione è l intersezione degli interni, U Int(Cl(Y )) = Int(U) Int(Cl(Y )) = Int(U Cl(Y )) Int(Cl(U Y )). In particolare, se V è aperto U r(v ) r(u V ). Ponendo U V = U V, U V = r(u V ) e U = Int(X \ U) si ha che RO(X) è un algebra di Boole. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 56 / 57

Anelli Booleani Aperti regolari Verifichiamo, per esempio, la proprietà distributiva. Siano U, V, W RO(X): U (V W ) = U r(v W ) r(u (V W )) = r((u V ) (U W )) = (U V ) (U W ). Se A è una famiglia di aperti regolari, A = r( A); quindi RO(X) è un algebra completa. CLOP(X) è una sub-algebra di RO(X) e di P(X), ma, in generale, RO(X) non è una sub-algebra di P(X), dato che l operazione di può non coincidere con l unione. A. Andretta (Torino) Istituzioni di Logica Matematica AA 2013 2014 57 / 57