Il vortice a superficie libera in quanto instabilità

Unione Europea Università degli Studi di Salerno DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA Dottorato di Ricerca in Ingegneria Meccanica VI Ciclo N.S. (004-007) Ecole Doctoral : Dynaique des Fluides, Energétique,Procédés Spècialitè : Dynaique des fluides Il vortice a superficie libera in quanto instabilità Ing. Valerio Francesco De Felice Tutors: Ch.o Prof. Paolo Luchini Co-Tutors: Dott. Flavio Giannetti Ch.o Prof. François Charru Dott. David Fabre Coordinatore: Prof. Vincenzo Sergi

Indice Introduzione I. La genesi di vortici a superficie libera nelle centrali idroelettriche 0 II. Progetto dei condotti di drenaggio nelle centrali idroelettriche 4 III. Cause alla base della forazione dei vortici 7 III. Accuulo di vorticità 7 III.. Modello di Lundgren 30 III.. Esperiento di A.Andersen 35 III..3 Siulazione nuerica di un vortice di svuotaento Assialsietrico 39 II. Effetto della forza di Coriolis 4 II.3 Instabilità fluidodinaica 46 Capitolo : Vortice assialsietrico. Il odello ateatico del vortice 5.. Geoetria 5..Equazioni di Navier Stokes in coordinate cilindriche 54..3 Condizioni al contorno all ingresso ed in uscita 55..4 Superficie libera 55..5 Superficie libera linearizzata 60. Coportaento delle equazioni di Navier-Stokes sull asse 64.3 Risultati 68

Capitolo : Stabilità lineare del vortice assialsietrico. Equazioni linearizzate di Navier-Stokes 74.. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale 77. Singolarità delle equazioni di Navier-Stokes sull asse 79.. Modo =0 79.. Modo = 8..3 Modi > 87.3 Calcolo degli autovalori del problea linearizzato 90.3. Autovalore reale 90.3. Autovalori coplessi coniugati 9.4 Risultati 94 Capitolo 3: Vortice a struttura non assialsietrica 3. Il odello ateatico tridiensionale 00 3.. Geoetria 00 3.. Equazioni di Navier Stokes in coordinate cilindriche 0 3..3 Condizioni al contorno all ingresso ed in uscita 0 3..4 Superficie libera tridiensionale 03 3..5 Superficie libera linearizzata 07 3. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale delle equazioni di Navier-Stokes 3D 0 3.3 Coportaento delle equazioni di Navier-Stokes 3D sull asse 3.3. Modo =0 3 3.3. Modo = 7 3.3.3 Modi > 0 3.4 Risultati 3

Capitolo 4: Stabilità lineare del vortice a geoetria non assialsietrica 4. Equazioni linearizzate di Navier-Stokes 6 4. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale delle equazioni linearizzate di Navier-Stokes 8 4.3 Singolarità delle equazioni di Navier-Stokes sull asse 3 4.3. Modo =0 3 4.3. Modo = 37 3.3.3 Modi > 40 4.4 Risultati 4 Capitolo 5: Esperiento 5. Introduzione 47 5. Descrizione del set-up sperientale 48 5.3 Metodologia di isura 54 5.4 Analisi dei risultati 55 Conclusioni 65 Appendice A: Note sulla soluzione nuerica del vortice assialsietrico A. Introduzione 67 A. Discretizzazione in direzione radiale e assiale: differenze finite 67 A.. Equazione di continuità 69 A.. Equazione di quantità di odo in direzione assiale 70

A..3 Equazione di quantità di odo in direzione radiale 75 A..4 Equazione di quantità di odo in direzione tangenziale 79 A.3 Soluzione nuerica delle equazioni di Navier-Stokes 79 A.4 Local tie stepping LTS 84 Appendice B: Note sulla soluzione nuerica delle equazioni linearizzate del vortice assialsietrico B. Introduzione 87 B. Discretizzazione in direzione tangenziale: la serie di Fourier 88 B.3 Discretizzazione in direzione radiale e assiale: differenze finite 89 B.3. Discretizzazione dell equazione di continuità 89 B.3. Discretizzazione dell equazione di quantità di oto assiale 9 B.3.3 Discretizzazione dell equazione di quantità di oto radiale 93 B.3.4 Discretizzazione dell equazione di quantità di oto aziutale 95 B.4 Soluzione nuerica delle equazioni lineari 97 Appendice C: Note sulla soluzione nuerica del vortice tridiensionale C. Introduzione 99 C. Discretizzazione delle equazioni 00 C.. Discretizzazione in direzione tangenziale la serie di Fourier 00 C.. Discretizzazione in direzione radiale e assiale: differenze finite 0 C... Equazione di continuità 0

C... Equazione di quantità di odo in direzione assiale 0 C...3 Equazione di quantità di odo in direzione radiale 95 C...4 Equazione di quantità di odo in direzione tangenziale 07 C.3 Soluzione nuerica delle equazioni di Navier-Stokes 09 Bibliografia 5

Introduzione In questo lavoro si studia la genesi spontanea di vortici a superficie libera che si presenta coe un fenoeno fluidodinaico classico di cui le cause, ad oggi, non sono copletaente chiare e che costituisce un aspetto di grande interesse in innuerevoli applicazioni ingegneristiche. Il fenoeno presenta difatti olteplici risvolti in capo tecnico: la forazione di ulinelli può, infatti, coportare in talune condizioni il risucchio di aria all interno delle condotte che conducono alle turbine dei bacini idroelettrici, così coe l ingresso della stessa nei condotti di alientazione di pope e turbine idrauliche in genere, provocando vibrazioni, diinuzione di rendiento, severa usura e quindi ingenti costi di anutenzione. Di fondaentale iportanza risultano quindi i legai esistenti fra intensità, fora e profondità del vortice in relazione alla portata che perettono la progettazione adeguata di questi apparati. L analisi bibliografica degli studi condotti ostra coe il fenoeno in realtà sia stato nel corso dell ultio secolo oggetto di ricerca di fisici e ateatici che a partire dal seplice odello di Rankine hanno proposto odelli sepre più accurati senza tuttavia giungere ad una descrizione quantitativa del fenoeno soddisfacente. In particolare le cause che portano alla nascita e al successivo sviluppo dei ulinelli non sono ad oggi univocaente deterinate. Una pria ipotesi attribuisce la causa del oto di rotazione ad un accuulo di vorticità, proveniente dal flusso esterno, l ungo l asse del vortice entre altri citano erroneaente l effetto di Coriolis la causa principale della loro coparsa. In pochissii altri lavori è stato invece attribuito ad un instabiità fluidodinaica la coparsa del oto di rotazione; quest ultia teoria, frutto essenzialente di attività sperientale, è stata presentata per la pria volta dal

Introduzione 8 gruppo di ricerca del prof.kawakubo nel 978 entre solo recenteente si sono svolte, a cura di studiosi spagnoli dell università di Malaga, alcune siulazioni nueriche per stabilire se il vortice possa essere frutto di un instabilità. Lo studio delle instabilità fluidodinaiche rappresenta un capo di notevole interesse nella pratica ingegneristica e costituisce un iportante oggetto di studio da parte del gruppo di eccanica dei fluidi dell Università di Salerno. Obiettivo di questo lavoro è deterinare se la genesi di un vortice a superficie libera sia legato a fenoeni di instabilità del flusso. Analisi di stabilità sia in condizioni di assialsietria che in condizioni di ingresso più generali sono quindi condotte sul flusso in una geoetria cilindrica e l indagine è poi conclusa attraverso un esperiento condotto con il duplice obiettivo di poter osservare in un odello in scala le caratteristiche di questo tipo di flusso e poter confrontare e validare i risultati ottenuti con le siulazioni nueriche. La tesi si articola perciò in sei sezioni: - nel capitolo introduttivo si descrive in dettaglio il fenoeno dell insorgenza di vortici nelle centrali idroelettriche e si ostrano alcune tecniche couneente utilizzate nell ingegneria idraulica per prevenirne o controllarne l evoluzione. Si prendono quindi in esae attraverso un analisi bibliografica le ipotesi sulle possibili cause che portano alla forazione dei vortici. - nel prio capitolo si sviluppa un odello analitico per la descrizione, attraverso le equazioni di Navier-Stokes, di un vortice a superficie libera assialsietrico e in particolare è sviluppata in dettaglio la fase di odellazione della superficie libera e della sua linearizzazione che costituisce una coplicazione ulteriore in questa tipologia di flussi. La soluzione (i dettagli sono contenuti nella Appendice A) è ottenuta nuericaente e i risultati più significativi sono quindi riportati e discussi.

Introduzione 9 -nella seconda sezione si linearizzano le equazioni di Navier-Stokes intorno alla soluzione assialsietrica precedenteente calcolata e si conduce, sepre ricorrendo a soluzione nuerica del sistea di equazioni, un analisi di stabilità lineare del flusso base al crescere del nuero di Reynolds. - nel terzo capitolo sulla base dei risultati ottenuti dall esperiento di Kawakubo si abbandona l ipotesi di assialsietria e si passa a descrivere un flusso con condizioni d ingresso più generali. La soluzione è ottenuta per via nuerica ricorrendo ad uno schea ibrido alle differenze finite e spettrale (i dettagli sono contenuti nell Appendice C) - nella quarta sezione si analizza la stabilità lineare del flusso tridiensionale ottenuto nel capitolo terzo al fine di deterinare, al crescere del nuero di Reynolds, se il sistea lineare presenti autovalori a parte reale positiva e quindi instabilità. Nel quinto ed ultio capitolo è descritto l apparato sperientale sviluppato dal candidato presso l Istituto di eccanica dei fluidi di Tolosa (IMFT) e i risultati ottenuti dalle prove sperientali sono confrontati, per geoetrie corrispondenti, con quelli nuerici. La tesi si chiude quindi con le conclusioni in cui sono riassunti e coentati i principali risultati ottenuti nuericaente e sperientalente.

Introduzione 0 I. La genesi di vortici a superficie libera nelle centrali idroelettriche Pria di prendere in esae nello specifico le possibili cause che portano alla forazione di vortici si descriverà un caso di rilevanza pratica in cui sovente si incontrano ulinelli: le centrali idroelettriche. Fig.I. Vortice generato dall apertura delle chiuse della centrale idroelettrica di Laufenburg, Gerania. La loro insorgenza in bacini naturali od artificiali è una probleatica infatti nota da tepo nelle centrali idroelettriche(fig.i.) dove l apertura delle chiuse porta alla forazione di vortici liberi che tendono ad essere trascinati all interno del canale di drenaggio

Introduzione Fig.I. Ripresa aerea del bacino idroelettrico della Diga di Monticello (California) ; la portata assia all apertura delle chiuse è di circa 3 480 s Il fenoeno è estreaente dannoso poiché coporta una serie di effetti negativi tra cui vale la pena ricordare: risucchio di aria all interno del canale di drenaggio; diinuzione della portata d acqua diretta alla turbina; aggior trasporto di detriti in sospensione. Questi fenoeni assuono particolare iportanza nell ingegneria eccanica ed idraulica poiché l eventualità che bolle d aria e detriti giungano fino alla turbina idraulica, posta a valle del condotto di drenaggio coporta: una diinuzione del rendiento della turbina e del generatore ad essa collegato; l insorgenza di vibrazioni indesiderate anche di notevole intensità;

Introduzione un forte auento dei fenoeni di erosione delle pale legato alla presenza di bolle d aria nel fluido che possono generare effetti di cavitazione. A titolo d esepio si riporta nella pagina seguente l iagine (Fig.I.3) della palettatura di una turbina logorata dai fenoeni di cui sopra. Fig.I.3 Fenoeni di corrosione sulla palettatura di una turbina legati alla presenza d aria nel fluido Le probleatiche legate al rendiento delle turbine sono di fondaentale iportanza dati i quantitativi d energia elettrica prodotti in Italia e nel ondo dalle centrali idroelettriche; la sospensione del funzionaento legata ad interventi di anutenzione e ancor di più la riduzione del rendiento del sistea generatore-turbina si traducono in notevoli perdite econoiche. Nel 006, infatti, in Italia erano in esercizio centrali idroelettriche capaci di una potenza pari a 0.759 MW, che hanno prodotto 5.636 ilioni di kwh, pari al 9,4% della produzione totale di energia elettrica del paese. Dal seplice quadro fornito eerge l iportanza nella pratica ingegneristica di creare un accurato odello fisico-ateatico del problea al fine di coprendere eglio le caratteristiche del capo di velocità nel fluido e di ottenere una precisa correlazione fra la profondità del vortice e la sua intensità i cui risultati perettano quindi di stabilire alcuni paraetri relativi alla

Introduzione 3 geoetria della diga e al posizionaento degli organi eccanici (turbina) con lo scopo di eliinare o quantoeno liitare i fenoeni indotti dai vortici.

Introduzione 4 II. Progetto dei condotti di drenaggio nelle centrali idroelettriche Un corretto progetto dei condotti di drenaggio e più in generale della geoetria del bacino consente di liitare e al liite scongiurare la presenza di ulinelli. Si distinguono in particolare due tipologie di condotti di drenaggio: - condotti situati in prossiità del fondo del bacino - condotti situati ad altezze interedie fra il pelo libero e il fondo o in alcuni casi prossii alla superficie La seconda scelta è spesso preferita al fine di evitare l ingresso di una notevole quantità di detriti presenti sia sul fondo che in sospensione. Per condotte ad alta velocità la genesi del oto vorticoso si affianca all ulteriore problea legato al fatto che la pressione può divenire in alcune condizioni così bassa da introdurre nel condotto fenoeni di cavitazione. Questi fenoeni devono accurataente essere evitati attraverso un progetto tale da garantire che il fluido non raggiunga ai pressioni prossie a quella che induce alla cavitazione onde evitare l insorgenza di forti vibrazioni e erosione precoce degli organi sia fissi che in oto (tipicaente i rotori coe gli statori delle turbine delle delle centrali idroelettriche). Nella figura seguente è scheatizzata, a titolo d esepio, la condotta forzata della centrale idroelettrica di Hydroprado (Colubia). Fig II. Condotta di drenaggio della centrale idroelettrica di Hydroprado, Colubia

Introduzione 5 Nel caso di condotte poste a edio-alte altezze rispetto il fondo del bacino si osserva sovente la genesi di vortici a superficie libera. Le cause sono in genere dovute a: - asietria del flusso rispetto il foro d uscita (a) - gradienti della velocità a onte (b) - presenza di ostruzioni (c) le tre cause sono descritte e rappresentate da Knauss (987) nella figura seguente: Fig II. Possibili cause di forazione di vortici. La fora dei vortici dipende inoltre dalla fora e dall orientazione del condotto di drenaggio che può essere verticale, orizzontale o essere più ingenerale inclinato di una angolo copreso fra le due soluzioni precedenti. Si analizza il caso del vortice generato da un orifizio posto sul fondo del recipiente coe ostrato in fig II.3 Nell ingegneria idraulica la descrizione del flusso è in genere ottenuta attraverso il ricorso al odello olto seplificato del vortice di Rankine in cui sono presenti due distinti capi fluidi: - un nucleo, in cui è presente una distribuzione, lineare con il raggio,della coponente di velocità tangenziale (che è anche l unica presente in questo odello);

Introduzione 6 - una zona esterna in cui la velocità (sepre esclusivaente tangenziale) decresce inversaente alla distanza r dal centro del vortice. Fig II.3 scheatizzazione di un vortice a superficie libera generato da un condotto di drenaggio con asse verticale. Il liite fra queste due zone è definito da un opportuno valore r=a del raggio e in corrispondenza di questo valore, per ovvie esigenze di continuità il valore della velocità è lo stesso. Da un punto di vista analitico il odello è quindi espresso in coordinate cilindriche dalla funzione: v θ ωr per r < a = ωa per r a r (II.) Il valore del paraetro a cosi coe quello di w non sono liberi a legati alla circolazione del vortice potenziale, odello che descrive la zona esterna del capo fluido: v θ Γ ωa = = (II.) π r r La vorticità nella zona interna è costante e vale w entre è nulla nella zona esterna.

Introduzione 7 Scelti due valori per a ed w ( a =w = ) si riporta un grafico di velocità e vorticità: Fig. II.4 Grafici di velocità e vorticità per il odello di Rankine Nuerose relazioni epiriche sono state in passato introdotte per relazionare la profondità della superficie libera del vortice con l intensità della rotazione. In particolare Anwar (966) ha prosposto la seguente espressione: ax s = 0.6( v /( g)) (II.3) dove vax è la velocità assia ottenuta per r = a con il odello del vortice di Rankine. In genere nell ingegneria idraulica si conviene catalogare i vortici in questione attraverso sei gradi di intensità (forniti da Hecker,984): ) vortice a superficie libera coerente ) vortice con leggera deforazione della superficie libera 3) vortice a superficie libera in cui la depressione è tale da costituire una colonna d aria all interno del nucleo 4) vortice coe al punto 3) in cui si trasportano detriti 5) vortice coe al punto 4) in cui bolle d aria sono inoltre trasportate all interno del condotto di drenaggio

Introduzione 8 6) vortice in cui l intero nucleo d aria è trasportato all interno del condotto di drenaggio. Fig II.5 Classificazione delle diverse tipologie di vortice secondo Hecker Al fine di evitare l ingresso di aria nelle condotte e un eccessivo oto d avvitaento del vortice è di prassi coune nella fase di progetto di calcolare un adeguato livello del fluido. Nella figura Fig II.6 sono riportati tre diverse tipologie di condotte dove se con φ si indica l angolo d orientazione della conduttura sono rappresentati rispettivaente i casi per: φ = 0, φ = π e π φ =. Fig II.6 Classificazione delle diverse tipologie condotte forzate

Introduzione 9 Il livello inio al quale deve essere posizionato il condotto (si prende coe riferiento il baricentro della sezione) rispetto al pelo libero è detto liit subergence height hl ed è stato definito da Knauss(987) coe l altezza sotto la quale un vortice del tipo 5) appare. Per h h si assiste all ingresso interittente di bolle d aria e non si riscontra L un nucleo d aria all interno della condotta forzata. Knauss ha introdotto un gruppo diensionale definito coe swirl nuber : Γ C = (II.4) 3 ( gd ) / dove D è il diaetro della condotta. Qunid hl può definirsi coe un opportuna funzione del tipo: h L D = f ( φ, C) (II.5) A valle di un analisi epirica condotta per diverse tipologie di struttura si è ottentuto che la relazione fra h L e C è lineare. Introdotta una costante di proporzionalità K si può quindi scrivere: h L D Γ = K (II.6) 3 ( gd ) / dove è facile osservare coe a parità di swirl nuber l effetto strutturale sia contenuto nella sola costante K Nella figura seguente (fig II.7a,b,c) sono rappresentate le classiche strutture vorticose che si possono incontrare a seconda della tipologia di canale di drenaggio utilizzato. Coe visibile dalla figura il flusso subisce una contrazione all ingrsso nel condotto e se il pelo libero non è sufficienteente al di sopra del fondo del

Introduzione 0 bacino il nucleo d aria del vortice coporta un continuo afflusso di bolle d aria all interno delle condotte forzate. In particolare si è osservato che nel caso di vortice con condotta verticale (FigII.7.a) h critico al quale si riscontra una suzione di aria è aggiore L rispetto rispettivaente al caso di condotto ad asse orizzontale (Fig II.7.b) o verticale a con l ingresso diretto verso il basso (Fig II.7.c) a parità di intensità Γ del vortice. Fig II.7 Classificazione delle diverse tipologie di vortice

Introduzione Dai dati sperientali di Aphlett (976) e Anwar (978), Knauss ha dedotto una seplice relazione fra il raggio r = a del vortice al quale secondo il odello di Rankine si ottiene la assia velocità tangenziale e la profonità di iersione h L della condotta forzata nel bacino nel caso di condotto ad asse orizzontale: ro hl = 0.009.45 D + D / (II.7) L autore da questo risultato ha condotto esperienti analoghi nel caso delle tipologie di condotti riportati in figura e II.6.a II.6.c ottenendo per la costante C i seguenti valori: ) condotto verticale C=0 ) condotto orizzontale C=90 3)condotto verticale con ingresso la cui norale uscente orientata verso il basso C=75 Coe si osserva a parità di altre condizioni il caso ) rappresenta il più sconveniente in cui il livello del bacino, al fine di evitare l ingresso del nucleo d aria del vortice, è di circa il 40% più alto rispetto al caso 3) che risulta essere il più efficiente nel prevenire il fenoeno di risucchio. Per condotti inclinati in genere si interpolano linearente i risultati ottenuti nei tre casi descritti precedenteente. In seguito ai test condotti da Gordon (970) ed Hecker (98) sepre Knauss raccoanda che il livello inio al quale deve essere ierso il condotto è: h L D = a.5 per F 0.5 (II.8)

Introduzione h L D = 0.5 + F per F > 0.5 (II.9) dove si definisce il nuero di Froude del condotto coe: V F = (II.0) gd e la velocità edia si definisce coe rapporto fra la portata e l aera della sezione del condotto il cui diaetro è D (al liite se il condotto non è a sezione circolare si può calcolare il diaetro idraulico del condotto a sezione più generica). Nella figura seguente è riportato il caso in cui il vortice a superficie libera si fora in presenza di un condotto ad asse orizzontale e il cui nucleo viene copletaente risucchiato all interno del condotto stesso. Fig II.8 Vortice generato da un condotto orizzontale. Per il progettista di strutture che prevedono canali di drenaggio l obiettivo principale, coe descritto da Rutsschann (987) è il controllo e al liite la soppressione delle strutture vorticose agendo sulla geoetria del bacino e dei vari eleenti che copongono la diga o attraverso particolari apparati che agevolano la soppressione dei vortici (ad esepio aatraverso eccanisi che prevedono getti o suzioni in particolari zone del bacino). In particolare il flusso può essere odificato attraverso: - introduzione di eleenti solidi nella geoetria del bacino

Introduzione 3 - eleenti che dirigono convenienteente il flusso nel condotto - eliinazione di zone di ricircolo attraverso iniettori - parziale chiusura delli cancelli di chiusa. Si può inoltre agire attraverso: - l abbassaento del livello a cui è posizionata la bocca del condotto - odificando il capo di velocità con il quale il fluido si dirige verso la conduttura - paratie orizzontali collocate la disopra del condotto - riduzione della velocità con il quale il flusso si dirige al condotto attraverso apliaento della sezione del condotto. Infine sono spesso utilizzate delle etodologie per la soppressione dei vortici coe: - l introduzione nel bacino di uri verticali che ipediscano la rotazione - raddrizzatori di flusso - eleenti galleggianti e flottanti. Tutte le precedenti proposte, cosi coe gli apparati soppressori di vortici, consentono nelle centrali idroelettriche un iportante struento nella prevenzione o nel conteniento dell intensità dei ulinelli a coportando delle perturbazioni nel flusso devono essere correttaente progettati e possibilente testati su odelli in scala poiché potrebbero sortire altrienti l effetto opposto e cioè quello di aplificare l intensità del vortice. Nelle iagini seguenti sono presentate alcune soluzioni particolarente efficaci nella prevenzione dei ulinelli adottate in alcuni iportanti ipianti. Nel bacino idroelettrico di Gevenlinghausen in Gerania la presenza del vortice è scongiurata attraverso l utilizzo di boe e una trave orizzontale coe ostrato nella figura seguente entre la sezione del condotto è 4,5X,4 e la portata noinale è 3 9 / s.

Introduzione 4 Fig II.9 Schea della condotta forzata del bacino idroelettrico di Gevenlinghausen in Gerania Nel bacino idroelettrico di Mt.Elbert in USA la presenza del vortice è invece scongiurata attraverso l utilizzo di una griglia orizzontale e la soità del condotto è a 0 etri di altezza entre il diaetro è 4,75; la portata noinale è di 3 0 / s. Fig II.0 Schea della condotta forzata del bacino idroelettrico di Mt.Elbert in USA

Introduzione 5 Presso Bregartnen in Svizzera la presenza del ulinello nella centrale idroelettrica è scongiurata attraverso l utilizzo di iniettori che forzano il flusso in odo da ottenere un flusso parallelo in prossiità dell ingresso della condotta. La soità del condotto è a 5 etri di altezza entre il diaetro è 8,6; la portata noinale è di 3 00 / s. Fig II. Schea della condotta forzata del bacino idroelettrico di Bregartnen in Svizzera Infine in El Canjon (Honduras) una condotta verticale perette di iniettare fluido dalla zona stagnante vicino la paratia della diga in odo da stabilizzare il flusso nel condotto di drenaggio e ipedire la forazione di strutture vorticose. La soità del condotto verticale può traslare orizzontalente e la sua altezza può variare fra i 9 e i 45 etri entre il diaetro è di circa ; la portata noinale è di 3 780 / s.

Introduzione 6 Fig II. Schea della condotta forzata del bacino idroelettrico di El Canjon, Honduras

Introduzione 7 III. Cause della forazione dei vortici La genesi dei ulinelli rappresenta un tea ad oggi controverso non essendo stata fornita una spiegazione univoca. La quasi totalità degli studiosi è concorde nel ritenere che il oto di rotazione, classico di queste strutture, sia legato ad un accuulo lungo l asse della struttura vorticosa in forazione, in seguito a fenoeni di convezione della vorticità introdotta dai contorni del doinio e dalla superficie libera nonché dal flusso nella zona esterna, a onte del vortice. A questa pria teoria si accopagna quella che identifica invece nell effetto della Forza di Coriolis il oto di rotazione di un vortice; è infatti opinione diffusa che la rotazione e il suo verso siano legati a tale effetto. Una ipotesi alternativa e in copleta antitesi con le precedenti è stata infine analizzata da pochissii altri studiosi secondo i quali la coparsa del vortice è legata ad una instabilità del flusso che conduce alla genesi di un oto di rotazione e quindi del vortice. Nei paragrafi successivi saranno analizzate più nel dettaglio le tre ipotesi e si ostreranno breveente i risultati più significativi ai quali sono giunti ad oggi gli studiosi. III. Accuulo di vorticità La teoria storicaente più accreditata dagli studiosi attribuisce la nascita di un ulinello a seguito di un accuulo di vorticità residua accopagnata dalla coparsa del tipico oto di rotazione. Il flusso a onte del vortice si presenta infatti generalente asietrico e ciò può esser dovuto alla geoetria non regolare del recipiente (o per il caso specifico del bacino idroelettrico a causa della geoetria del fondo e delle sponde di quest ultio), alla presenza di strati liite che si sviluppano in corrispondenza dei contorni solidi e infine causa della superficie libera e delle

Introduzione 8 possibili perturbazioni alla quale puo esser soggetta (ad esepio una corrente d aria). Nella letteratura sono stati presentati in passato olti odelli del vortice libero. Fra i odelli che eritano una esplicita enzione il più antico e seplice è quello di Rankine (utilizzato spesso per la progettazione di assia nelle centrali idroelettriche coe ostrato nel paragrafo precedente) dove essenzialente il fluido è descritto da un oto potenziale (vortice potenziale) nella zona lontana dall asse entre in una zona di raggio finito a ridosso dell asse di rotazione la velocità è crescente linearente con il raggio e si considera confinata la vorticità (costante). I odelli di Oseen e Taylor sono invece delle soluzioni esatte delle equazioni di Navier-Stokes in cui, di fatto, si considera un oto puraente tangenziale; al tendere del raggio all infinito la soluzione tende a quella del vortice potenziale. Il liite di questi tre odelli è la descrizione di un fluido bidiensionale in cui è di fatto trascurato il oto in direzione radiale eassiale che invece è presente nella realtà (si provi a pensare all effetto di risucchio di un vortice del tipo di quelli di svuotaento). Nel 948 J.M.Burgers pubblicò uno studio in cui si risolvevano le equazioni di Navier-Stokes per un vortice shallow caratterizzato dall avere la diensione caratteristica radiale confrontabile con quella lungo l asse. Questo odello superava il liite di flusso bidiensionale fornendo una rappresentazione più reale del fenoeno tanto che sulla base di esso si sono sviluppate delle teorie che, sebbene con alcuni liiti, hanno oggi, coe in passato, peresso di prevedere il coportaento di alcune tipologie di vortici (si pensi ai vortici arini e atosferici). Dieci anni dopo (958) N.Rott nel suo studio On the viscous core of a line vortex pubblicava un odello sostanzialente identico valido sepre nell ipotesi di shallow whirlpool e in cui di fatto era trascurata la depressione della superficie libera. Un evoluzione di questo odello è dovuta a John Miles (998) che nel suo A note on the Burgers-Rott vortex with free surface edito dalla rivista ZAMP calcola sotto opportune seplificazioni la depressione indotta nella

Introduzione 9 superficie del vortice attraverso un espansione in serie di potenze correlandola a vari paraetri fra cui l intensità del vortice. In tutti questi odelli la rotazione è sepre iposta e in particolare la soluzione del flusso esterno è data dal vortice potenziale in cui si è fissato a priori il valore dell intensità (spesso in letteratura è indicata con il sibolo Γ ). Il problea fondaentale di questa etodologia è il ricorso, in genere,ad una serie di forulazioni approssiate (assialsietria, oto non viscoso, odello di shallow whirlpool) che portano sì alla soluzione delle equazioni di Navier-Stokes a rendono di fatto le soluzioni lontane dal rappresentare fisicaente il fenoeno. Il prio lavoro che descrive in odo esaustivo la dinanica di un vortice da svuotaento si incontra per la pria volta nel lavoro di Lundgren (986) che presenta un odello che descrive il oto di un fluido contenuto in un recipiente in oviento sul cui fondo è praticato un foro. Più di recente alcuni lavori nuerici e delle analisi sperientali condotte dal gruppo di ricerca del prof.a.andersen (Daniarca) hanno peresso di coprendere eglio alcuni aspetti dei vortici. Nel seguito si descriveranno questi tre ultii lavori citati che eritano particolare enzione per la loro buona descrizione del fenoeno.

Introduzione 30 III.. Modello di Lundgren Questo odello, introdotto da Lundgren nel 986, descrive il problea di un recipiente di raggio altezza H in cui le pareti sono in rotazione ad una Rrec assegnata velocità. Il problea presenta una circolazione iposta dalla rotazione del recipiente ed è quindi diverso dal caso approfondito in questa tesi di un vortice che si sviluppa in un bacino poiché la vorticità è legata alla presenza di strati liite che si generano sui contorni, fra l altro irregolari, del lago artificiale e dal trasporto della stessa dalla corrente a onte. Nel odello il fluido è descritto dalle equazioni di Navier-Stokes in coordinate cilindriche. Indicate con W la velocità caratteristica del fluido che scorre all interno del foro e con Ω la velocità di rotazione del recipiente nell ipotesi che il nuero di Rossby Ro = W << H Ω (III.) le velocità tangenziali nel nucleo del vortice sono elevate se confrontate con quelle radiali e ciò porta ad una seplificazione dell equazione radiale di quantità di oto : w ( ru) + = 0 z r r w u p w w w + w + = ν r + g z r ρ z r r r z v r p = ρ r v v uv ( rv) v w u ν + + = + z r r r r r z (III.) (III.3) (III.4) (III.5) in cui : _ u è la coponente radiale _ v è la coponente tangenziale

Introduzione 3 _ w è la coponente assiale Le condizioni al contorno per la superficie libera sono quindi: dh w = (III.6) dr u per z = h( r) che esprie la condizione cineatica in cui la velocità è tangente alla superficie libera in ogni punto; nella condizione dinaica si trascurano di fatto i terini viscosi considerando la pressione alla superficie costante. Per r=r è assegnata una condizione di rotazione rigida (rotazione del recipiente). Nell ipotesi che la velocità caratteristica W nella diensione assiale sia olto più piccola di quella di caduta libera fornita dall equazione di TorricelliW << gh l autore trascura i terini convettivi e viscosi nell equazione assiale di quantità di oto ottenendo la (III.) che integrata fornisce per la pressione l espressione: p + g = 0 ρ z (III.7) p( r, z) = ρ g[ h( r) z] (III.8) dove con h=h(r) si indica la superficie libera del vortice. Sostituendo l espressione ora ottenuta le equazioni di quantità di oto si riducono alle due equazioni: v r h = g r (III.9) v uv ( rv) u + = ν r r r r r (III.0)

Introduzione 3 Si osserva ora che l equazione (III.9) evidenzia coe la coponente v sia funzione della sola coordinata r; osservando quindi la (III.0) si giunge alla stessa conclusione per la coponente u. L equazione di continuità (III.7) fornisce quindi un andaento lineare per la w lungo z : w( z = h) w( z = 0) ( ru) + = 0 h r r (III.) Sfruttando la condizione al contorno cineatica (III.6) si ottiene : ( ruh) w( z = 0) = r r (III.) Se si considera la distribuzione di velocità all uscitaw nota e costante con la sezione, detto R il raggio del foro d uscita, si ottiene la portata: Q = πwr (III.3) assuendo, inoltre che la velocità assiale sia nulla per r>r si può integrare la (III.) e ottenere per il prodotto hu l espressione: Qr se r R hu π R = Q se r > R π r Il sistea si riduce alla soluzione delle due equazioni differenziali ordinarie: v r h = g r (III.4)

Introduzione 33 v v ( rv) hu + = ν h r r r r r (III.5) Introdotte le grandezze diensionali: η = r / R * ζ = z / H * v = v /( Rrec Ω) p p R * w = w / Wexit * w = Hu /( RWexit ) * = /( ρ recω) (III.6) e operati successivi passaggi sulle equazioni la soluzione nuerica ottenuta è espressa in funzione del paraetro: 4 R foro Wexit Ω K = (III.7) vgh e lungo la scala radiale si è scelta la grandezza (adiensionale) / η / N in cui, la coordinata η, definita in precedenza, è stata riscalata attraverso il paraetro: vh N = (III.8) W R exit Si riportano quindi i diagrai della circolazione e della superficie libera.

Introduzione 34 Fig.III. Superficie libera e circolazione ottenute dal odello di Lundgren

Introduzione 35 III.. Esperiento di A.Andersen Si riporta in questa sezione l esperiento condotto da A.Andersen su di un recipiente posto in rotazione e dotato di un foro sul fondo. L esperienza oltre a fornire un quadro reale di ciò che accade nel problea analizzato da Lundgren ne analizza la validità ostrando un buon accordo fra risultati sperientali e odello ateatico. Fig.III. Schea dell esperiento Si è preso un recipiente di altezza H=3c e raggio R=0c provvisto di un piccolo foro sul fondo di raggio R foro =0.c. Un circuito di alientazione ha peresso di ripescare il fluido espulso dal foro (portata F) e reintrodurlo nel recipiente così da antenere costante il livello. Andersen ha quindi fotografato (Fig.9) le superfici libere ottenute per diversi valori della velocità di rotazione del contenitore riportando nella seguente

Introduzione 36 tabella portata in uscita e profondità della superficie libera e le ha confrontate con il risultato fornito dal odello di Lundgren. Fig III.3 Nell iagine (a) la velocità è di 6 rp (b) la velocità è di rp (c) la velocità è di 8 rp Ω / π [rp] 3 F[ c s ] L[ c ] 0 3.7 0.00 0 3.67.60 3.50.39 4 3.39 3. 6 3.35 4.5 8.8 6.36 0.05 6.40 Dati dell esperiento di A.Andersen F =portata L=depressione centrale della superficie libera

Introduzione 37 Fig III.4 Soluzione delle equazioni di Lundgren ottenute con i dati dell esperiento e diversi valori della velocità di rotazione W.

Introduzione 38 Andersen confronta in particolare i risultati per Ω =. Egli osserva che il odello nuerico descrive bene la fora della superficie lontanodall asse a nell intorno di zero la differenza fra odello ed esperiento è evidente: ciò è presuibilente legato all effetto della tensione superficiale del fluido (trascurata nel odello) che gioca un ruolo iportante nella fora e nell ubicazione del punto di chiusura della superficie libera in prossiità vicino all asse di rotazione. Fig.III.5 Confronto fra la soluzione di Lundgreen (curva tratteggiata) e superficie reale per Ω=

Introduzione 39 III..3 Siulazione nuerica di un vortice di svuotaento assialsietrico Negli ultii anni con l increento delle prestazioni dei calcolatori è stato possibile affrontare problei nuerici di coplessità crescente. E orai diffusa l analisi nuerica di flussi con doini geoetricaente coplessi, flussi turbolenti, fluidi accoppiati coinvolgenti superfici libere, fluidi copriibili, ecc. Nella apia letteratura fiorita in questi anni si sono analizzati una serie di articoli (citati nella bibliografia) che sviluppano etodologie idonee al calcolo di flussi coinvolgenti superfici libere (oto di un fluido in un recipiente cilindrico rotante, caduta di una goccia in un fluido in quiete, riepiento di un recipiente,ecc.) che non trattano però esplicitaente il caso dei vortici liberi. L articolo Finite volue odelling of free surface draining vortices di F.Trivellato- E.Bertolazzi-B.Firiani (999) è l unico, di quelli consultati, che tratta esplicitaente il fenoeno della forazione di vortici in un bacino con condotto di drenaggio. In questo articolo si descrive il caso di un vortice assialsietrico con superficie libera generato dalla presenza di un canale verticale di drenaggio circolare con centro sull asse di sietria del vortice, ed è sebrato quindi particolarente indicato per il problea affrontato in questo lavoro. Una rappresentazione del doinio di calcolo è riportata qui di seguito: Fig.III.6 Doinio di calcolo

Introduzione 40 Le equazioni di Navier-Stokes scritte in coordinate cilindriche sono state risolte in un doinio rettangolare Ω = [0 : R] [0 : H ] in esae: u ( rv) + = 0 r r ( ruv) p u u u u + + + = r + t r r Re r r r x ( uv) ( rvv) p ( rv) v w v + + + = + t x r r r r Re r r r x w ( uw) ( rvw) vw ( rw) w + + + = + t r r r Re r r r x (III.9) (III.0) (III.) (III.) Con le seguenti condizioni al contorno: - condizioni di ingresso radiale per z [0 : H ] e r = R u=0 e v = w = Win - condizioni sulla superficie libera (piatta) r [0 : R] e z = 0 v w u=0 e = = 0 - condizioni di non slip sul fondo r [ R : R] e z = H u = v = w = 0 - condizioni di uscita sul fondo r [0 : R o ] e z H v w = = 0 o u U = = out - L assunzione di superficie piatta è corretta nell ipotesi in cui il nuero di Froude sia Fr <<. I risultati nuerici ottenuti sono confrontati con successo con un esperiento condotto su una geoetria identica condotto da Daggett e Keulegan dove si è scelto:

Introduzione 4 R = 0.45 H = 0.305 R o = 0.05 3 Q = 0.09 s Fig.III.7 Confronto fra la soluzione ottenuta nuericaente e i dati sperientali di Daggett e Keulegan ri spettivaente sono riportate la coponente tangenziale e radiale di velocità al variare dell altezza per valori fissati del raggio.

Introduzione 4 II. Effetto della forza di Coriolis La Forza di Coriolis è una forza inerziale (descritta da G.G.Coriolis nel835) che si presenta nelle equazioni del oto quando queste non sono derivate rispetto un riferiento inerziale. Questo è il caso, in realtà coune, che si ha quando si scrivono le equazioni riferendole ad un sistea solidale con la superficie terrestre (supposta erroneaente inerziale). In realtà il oto della terra è rotatorio e quindi le equazioni devono conteplare dei terini aggiuntivi detti forze fittizie. L effetto della rotazione terrestre è influente su larga scala e il oto delle correnti atosferiche ne è influenzato. Ciò coporta che le correnti siano forzate a girare tendenzialente in senso antiorario nell eisfero Boreale e orario in quello Australe. Nei casi di interesse pratico però, a valle di una seplice analisi di scala, si coprende coe l effetto risulti apiaente trascurabile. Un lavoro interessante che ha il erito di applicare al caso dei vortici di svuotaento l effetto di tale forza è stato condotto da dei ricercatori spagnoli dell Università di Malaga nel 006: [Saniguel-Rojas [Fernandez-Feria], R. (006). Nonlinear instabilities in a vertical pipe flow discharging fro a cylindrical container. Phys. Fluids, 8] In questo lavoro è analizzato il flusso contenuto in una geoetria a fora cilindrica le cui superfici laterali e il fondo sono contorni solidi. Il fluido entra dalla soità del doinio che ha fora appunto circolare e fuoriesce da un piccolo foro circolare posto sul fondo del recipiente il cui centro è posizionato in corrispondenza dell asse di sietria. Le condizioni al contorno sono di adesione sui contorni rigidi entre sulla soità e sul fondo del canale di drenaggio si è iposto un gradiente di pressione in odo che il flusso sia forzato ad entrare dall alto e fuoriuscire poi in basso entre le derivate in direzione assiale coponenti di velocità radiale e tangenziale sono supposte nulle. Il nuero di Reynolds è calcolato coe segue:

Introduzione 43 4Q Re q = υπδ dove: Q= portata voluetrica ν = viscosità cineatica δ = diaetro del foro d uscita del recipiente. In figura si presenta quindi il doinio di calcolo: Fig.III.8 Doinio di calcolo con R = ; =, 5; δ = / 0. Le equazioni di Navier-Stokes per fluidi incopriibili, newtoniani e scritte in coordinate cilindriche sono quindi risolte con un archino teporale; si noti la presenza del terine legato alla forza di Coriolis a secondo ebro: v = 0 v F + vv + p = v e Re Re z v t (III.3) Re U con = Ro = che rappresenta il nuero di Rossby e ez è invece il F Lf versore della direzione verticale; nel caso in esae

Introduzione 44 4Q U = ; L = δ ; f = Ω sin ϑ; πδ Ω =velocità angolare della terra ϑ = latitudine Al variare del nuero di Reynolds e di F si sono copiute diverse siulazioni e si è osservato che il flusso per valori crescenti di F una volta fissato Re presenta un instabilità aziutale con nuero d onda =3 coe ostrato nel grafico seguente: Fig.III.9 Grafico in cui in funzione del nuero di Reynolds e del paraetro F (proporzionale al nuero di Rossby) in cui è ben evidente la suddivisione fra zona stabile ed instabile. Un calcolo del nuero di Rossby pero evidenzia coe nei casi di utilità pratica (vortici in piccoli recipienti o in bacini il cui l ordine di grandezza della

Introduzione 45 lunghezza caratteristica è il etro e non il K) ci si trovi apiaente nella zona stabile. Infatti per un recipiente cilindrico con le seguenti diensioni e la seguente portata (i valori sono presi in riferiento all esperiento di Kawakubo citato nella bibiliografia e descritto nel seguito al quale anche gli studiosi spagnoli si sono riferiti per lo studio delle instabilità dei vortici) R = 30c H = 0co Q = 0 cc / s 5 f O(0 ) rad / s Q Ro = = 0 π fhr Si osserva coe Ro >> e che quindi gli effetti siano apiaente trascurabili poiché gli effetti dell accelerazione di Coriolis risultano rilevanti per Ro <. Va inoltre osservato che in ogni caso anche nella zona stabile è sepre presente un oto di rotazione netto anche nell ipotesi di condizioni di ingresso e uscita in cui non è introdotta una coponente di velocità tangenziale anche se la sua entità è del tutto trascurabile rispetto l ordine di grandezza delle coponenti radiale e assiale di velocità.ciò è dovuto al terine aggiuntivo: F e Re z v che accoppia le equazioni di quantità di oto radiale e tangenziale. Il risultato sebbene non di utilità pratica può essere reinterpretato secondo una diversa chiave di lettura, coe sarà ostrato nel paragrafo iediataente successivo.

Introduzione 46 II.3 Instabilità fluidodinaica Una ipotesi inedita è stata forulata per la pria volta nel 978 da un gruppo di ricerca giapponese attraverso un esperiento. In questo lavoro si è analizzato per diversi nueri di Reynolds il flusso all interno di un recipiente a fora di prisa con base ottagonale in cui il fluido entra da due delle otto facce laterali che sono fra loro speculari e dotate di ebrane pereabili. Al crescere della portata in uscita dal piccolo foro posto al centro del recipiente si è osservata la nascita di un oto di rotazione. Uno schea dell esperiento è quindi qui riportato: Fig.III.0 Schea dell esperiento di Kawakubo Coe visibile dalla figura l alientazione è garantita da due caere di alientazione poste all esterno dell ottagono e il cui livello è antenuto costante attraverso una popa che provvede a rinviare il fluido in uscita dal condotto di drenaggio.

Introduzione 47 La portata è regolata attraverso una valvola di interdizione posta sul fondo del recipiente (coe visibile in figura). Le isurazioni sono state ottenuta attraverso la aneoetria laser e i sensori sono stati posizionati lungo il piano individutato dalla direzione perpendicolare a quella di ingresso del fluido (è un piano di sietria per il fluido in assenza di rotazione). Al crescere della portata si è osservata la coparsa di una velocità tangenziale i cui diversi valori in funzione della portata Q appunto, sono stati riportati nel seguente grafico: Fig.III. Diagraa di stabilità: in funzione della portata si è riportato il valore della velocità tangenziale in un punto del doinio posto sul piano perpendicolare alla direzione di ingresso. Si osserva coe per Q 0 cc / s si giunga al valore di soglia (valore critico) oltre il quale la velocità tangenziale appare. La crescita in funzione del nuero di Reynolds (o in terini diensionali della portata Q) non è arbitraria e poichè si possa parlare di instabilità deve rispettare una precisa legge del tipo:

Introduzione 48 Vθ Q Q dove c Qc è il valore critico al quale appare l instabilità. Coe visibile dal grafico la tendenza è corretta e quindi si può a ragione parlare in questo caso specifico di un fenoeno di instabilità coe causa della genesi del vortice. Più di recente l equipe di ricercatori spagnoli coposta da Fernandez-Feria e E.S. Rojas ha condotto, nell ipotesi di flusso assialsietrico, alcune siulazioni su una geoetria siile a quella da loro poi utilizzata nello studio sugli effetti della forza di Coriolis descritti nel paragrafo precedente descrivendo il fluido attraverso le equazioni di Navier-Stokes scritte in coordinate cilindriche e per un flusso tridiensionale dipendente dalle variabili x, r, θ : v = 0 v F + vv + p = v e Re Re z v t (III.4) Fig.III. Doinio di calcolo con R = ; = 0, 5; δ = / 0. Le condizioni al contorno scelte sono ancora di adesione sui contorni rigidi entre sulla soità e sul fondo del canale di drenaggio si è iposto un

Introduzione 49 gradiente di pressione in odo che il flusso sia forzato ad entrare dall alto e fuoriuscire poi in basso entre le derivate in direzione assiale coponenti di velocità radiale e tangenziale sono supposte nulle. Siulazioni del flusso isntazionario descrittarching nel tepo al fine di constatare se al crescere del nuero di Reynolds apparisse un oto di rotazione legato ad un instabilità sono state condotte nel range di nueri di Reynolds copresi fra: 4 Re Q = Q [0 : 000] π vδ dover con Q si è indicata la portata voluetrica. Gli esiti dello studio non ostrano alcun tipo di instabilità nel range suddetto. Vale la pena notare coe il liite superiore dell intervallo è.5 volte superiore a quello in cui si osserva la coparsa di un oto di rotazione nell esperiento giapponese. In effetti, a ben vedere, il risultato è in accordo con il loro studio successivo in cui nell ipotesi in cui l effetto di Coriolis sia nullo (F=0) al crescere del nuero di Reynolds si è sepre in una zona di flusso stabile, coe ben visibile dal loro grafico e nel liite di F=0 non vi è alcun oto di rotazione.

Capitolo Vortice assialsietrico In questo prio capitolo è affrontato il tea della dinaica di un vortice assialsietrico a superficie libera (linearizzata). Nei paragrafi successivi saranno quindi dappria ostrati il doinio del problea in esae, la derivazione delle condizioni al contorno con particolare attenzione alle condizioni di ingresso e a In questo prio capitolo è affrontato il tea della dinaica di un vortice assialsietrico a superficie libera (linearizzata).

Vorticeassialsietrico 5. Il odello ateatico del vortice.. Geoetria La geoetria scelta per il problea, in accordo con i lavori svolti da precedenti studiosi e descritti nel capitolo introduttivo, è quella di considerare una geoetria cilindrica in ipotesi di assialsietria nel quale il fluido entra attraverso una superficie laterale pereabile fuoriuscendo quindi da un piccolo foro a sezione circolare posto sul fondo del recipiente in posizione centrale. Il flusso in ingresso è puraente radiale e costante con l altezza al fine di non introdurre alcuna rotazione netta nel flusso: r = R, x[0, H ] Il doinio del problea, quindi, in una vista laterale nel piano assiale-radiale si presenta coe nella figura qui riportata: Fig.. Vista nel piano individuato dalle direzioni assiale e radiale del doinio di calcolo

Capitolo 53 in cui R rappresenta il raggio esterno della geoetria cilindrica e con H si è indicata l altezza del recipiente; infine con R 0 si è indicato il raggio del foro e quindi del canale di drenaggio. In particolare si è scelto un rapporto: R H = entre il raggio R 0 d uscita la scelta è ricaduta su: R 0 R = 0 Una seplice rappresentazione (qui sotto riportata) è utile a chiarire eglio la geoetria e le effettive zone di ingresso del fluido: Fig.. Rappresentazione del flusso radiale in ingresso nel doinio dalla superficie laterale del cilindro. 53

Vorticeassialsietrico 54.. Equazioni di Navier Stokes in coordinate cilindriche Il odello ateatico che descrive l evoluzione del fluido è fornito dalle equazioni di Navier Stokes in stazionarie, incopriibili, per fluidi newtoniani e scritte in coordinate cilindriche, che rappresentano il sistea di coordinate che si sposa naturalente con la geoetria scelta: u ( rv) + = 0 r r ( ruv) p u u u u + + + = r + t x r r x Re r r r x ( uv) ( rvv) p ( rv) v w v + + + = + t x r r r r Re r r r x w ( uw) ( rvw) vw ( rw) w + + + = + t r r r Re r r r x (..a) (..b) (..c) (..d) vale la pena osservare coe le equazioni in esae, non lineari, non presentano la dipendenza dalla terza coponente θ. Il nuero di Reynolds è così calcolato: Q Re = π vh dove con ν si è indicata la viscosità cineatica, con Q la portata voluetrica in ingresso e con H, ancora, l altezza del recipiente. Si ricorda breveente che, con il nuero di Reynolds sopra definito, nell esperiento giapponese descritto nel prio capitolo [] si sono effettuate prove sperientali nell intervallo Re [0 :8] evidenziando già per Re = 6 la coparsa di fenoeni di instabilità fluidodinaica.

Capitolo 55..3 Condizioni al contorno all ingresso ed in uscita Per definire correttaente il problea differenziale sono ora introdotte e descritte le condizioni al contorno necessarie a chiudere il problea ateatico. Le prie ad essere analizzate sono le condizioni di ingresso che, insiee a quelle da derivare per la descrizione della superficie libera, rappresentano due dei oenti più delicati nella scrittura del odello. Si è scelta una condizione di ingresso puraente radiale e costante con l altezza: u( t, x, r) = 0 t, x (..e) r= R v( t, x, r) = cos t t, x (..f) r= R w( t, x, r) = 0 t, x (..g) r = R Per quanto concerne le condizioni di uscita si è scelto di iporre due condizioni per la velocità e una per la pressione: p( t, x, r) = 0 t e r[0 : R ] (..h) v( t, x, r) x= H x x= H w( t, x, r) x x= H = 0 t e r[0 : R ] = 0 t e r[0 : R ] 0 0 0 (..i) (..j)..4 Superficie libera In questo paragrafo si affronta la odellazione ateatica di una generica superficie libera, che rappresenta l aspetto più interessante ed allo stesso tepo più coplesso della dinaica di un vortice libero al fine di derivarne una espressione in coordinate cilindriche particolarente indicata per il caso in esae. Si suppone, quindi, di avere una superficie libera scritta in fora esplicita: 55

Vorticeassialsietrico 56 z = f ( x, y, t) Fig..3 Rappresentazione di una superfice in coordinate cartesiane se si suppone inoltre che la superficie si uova con il fluido la cui velocità è v = ( x, y, z, t), ad un istante t + t si ottiene: f ( x + u t, y + v t, t + t) = f ( x, y, t) + w t ed espandendo in serie di Taylor il prio ebro e trascurando i terini successivi al prio ordine si ottiene: f f f ( x, y, t + t) + u t + u t = f ( x, y, t) + w t y Attraverso un operazione di liite per t 0 si giunge quindi a: li f ( x, y, t + t) f ( x, y, t) f f t 0 = u u + w t y e quindi alla seguente relazione che esprie la condizione cineatica sulla superficie libera: f f f + u + u w = 0 t y (..k)

Capitolo 57 Si ntroduce ora la funzione iplicita η ( x, y, z, t) = f ( x, y, t) z = 0 e si riscrive la condizione cineatica nella fora: η u η v η + + + w η = 0 t y z η + v = 0 t D η = 0 (.3.l) Dt L ultia espressione ostra coe la η sia trasportata con il fluido coe se fosse una sua proprietà. L espressione della superficie libera così ottenuta perette di valutare agevolente il versore norale alla superficie che ha direzione: η n = η dove si ricorda che in coordinate cilindriche si ottiene: η η η =,, = n, n, n r r θ T T 3 Valutato il versore è ora possibile iporre la condizione dinaica che, nell approssiazione di considerare coe secondo ezzo il vuoto, invece dell aria si esprie sepliceente attraverso la relazione vettoriale: T n = T ( η) = 0 dove T è il tensore degli sforzi espresso in coordinate cilindriche e definito, nell ipotesi di assialsietria, coe: 57

Vorticeassialsietrico 58 u u v w + r 0 0 u v v w T = ( p + ρ gx) 0 0 + µ + r r r r r 0 0 w w v r x r r r e dove si è assunto che l asse x sia diretto nello stesso verso dell accelerazione di gravità. Il tensore può essere riscritto in fora copatta coe: T = ( p + ρ gx) δ + µτ i, j i, j i, j da cui si ottengono per le coponenti dello sforzo σ = T n = 0 agente sulla superficie libera le espressioni: σ = ( p + ρ gf ) n + µτ n = 0 i i i, j j che rappresentano tre equazioni scalari che copletano la descrizione della superficie libera. Si derivano ora esplicitaente le equazioni della superficie libera in fora adiensionale nel caso di una superficie assialsietrica (non ci sono dipendenze dalla coordinata aziuthale) nel caso in cui la superficie stessa sia espressa in fora esplicita x = f ( r, t). Il versore norale si esprie coe: n = f, r T f + r (..) entre la condizione cineatica risulta:

Capitolo 59 f t f + v = u r (..n) e le tre equazioni dinaiche che espriono lo stato tensionale sulla superficie libera, nell ipotesi vuoto-fluido sono: σ x f u f u v = p + + 0 + + = Fr Re r r (..o) σ r f f f v u v = p + 0 + + = Fr r Re r r r x (..p) σ θ w f w = + = 0 r r (..q) in cui si introduce il nuero di Froude Q Fr =. 3 π R gh 59

Vorticeassialsietrico 60..5 Superficie libera linearizzata Nell ipotesi in cui la deforazione della superficie libera sia olto piccola se confrontata con la lunghezza caratteristica del problea è possibile ottenere un espressione approssiata (linearizzata nello specifico) della stessa. Q Se si ipotizza che U = << gh si ottiene infatti Fr<<; se si espande π RH la soluzione in potenze di un paraetro piccolo diverse grandezze: f = f0 + ε f +... u = u0 + ε u +... v = v0 + ε v +... w = w0 + ε w +... p = p0 + ε p +... ε = Fr si ottiene per le (..r) Se si sostituiscono le espressioni precedenti nelle equazioni generali della superficie libera e si raggruppano le grandezze in funzione delle potenze di ε e si considera, in pria approssiazione, solo l ordine zero ed uno dell espansione delle equazioni di Navier Stokes si ottiene: ordine zero 0 ε u0 ( rv0 ) + = 0 r r u0 ( u0v0r) u0 p0 u0 u 0 + + + = + r t r r Re x r r r v0 ( v0v0 r) ( u0v0 ) p0 w0 v0 ( rv0 ) + + + = + t r r r r Re r r r w0 ( rv0 w0 ) ( u0w0 ) ( v0 w0 ) w0 ( rw0 ) + + + = + t r r r Re r r r (..s)

Capitolo 6 prio ordine ε (..t) u ( rv ) + = 0 r r u ( uv0 r) ( u0v r) u0u p u u + + + + = + r t r r r r Re r r r v ( vv0 r) ( uv0 ) ( u0v ) p w w0 v ( rv ) + + + + = + t r r r r Re r r r w ( rv w0 ) ( u w0 ) ( v w0 ) ( rv0 w ) ( u0 w ) ( v0 w ) + + + + + + = t r r r r r r w ( rw ) = + Re r r r Mentre le equazioni all ordine zero conservano la edesia struttura di quelle di partenza le equazioni al prio ordine sono lineari. 0 Le equazioni per la superficie libera per i due ordini ε e ε sono invece: - condizione cineatica f f 0 0 + v0 = u0 t r ordine 0 ε f f f 0 + v + v0 = u t r r ordine ε - equazione σ x f 0 = 0 ordine ε 6

Vorticeassialsietrico 6 p ε u + f = Fr Re 0 0 0 ordine 0 ε - equazione σ r u0 v0 + = 0 r ordine 0 ε p 0 f f0 v f v0 u v + + + = 0 r Re r r r r r ordine ε - equazione σ θ w0 f0 w0 + = 0 r r f w f w r r r r w 0 + + 0 = 0 ordine ordine 0 ε ε La pria inforazione che si ottiene è che all ordine zero la superficie è piatta: 0 0 f =. Dalla condizione cineatica all ordine zero si ottiene quindi che u 0 = 0 sulla superficie libera. La condizione σ r si riduce quindi alla : v 0 = 0 così coe la σ θ : w 0 = 0 Le condizioni al contorno necessarie per risolvere il sistea di Navier Stokes all ordine zero sono quindi tre essendo nota la fora (piatta) della superficie.

Capitolo 63 u 0 = 0 (..u) v 0 = 0 (..v) w 0 = 0 (..w) La condizione σ x perette di calcolare la fora della superficie piatta all ordine uno esplicitaente: f = p 0 Re u 0 (..z) 63

Vorticeassialsietrico 64. Coportaento delle equazioni di Navier-Stokes sull asse In questa sezione si analizzerà il coportaento delle equazioni di Navier- Stokes scritte in coordinate cilindriche in prossiità dell asse di sietria: queste equazioni, infatti, se scritte in un riferiento polare presentano una singolarità sull asse r = 0 che non perette la scrittura qualora il doinio abbracci l asse. Costantinescu e Lele, nonché altri autori parallelaente, hanno sviluppato una tecnica che per ette di superare agevolente questo problea.i dettagli della trattazione si riandano agli articoli degli autori citati in bibliografia [3] entre ciò che si presenta ora è il risultato: n I Even( r, x, t, θ ) = r α, nr e θ = n= 0 (.a) n Iθ n Odd( r, x, t, θ ) = r β, nr e + β0, nr = n= 0 n= (..b) Queste forule attraverso un espansione in serie perettono di rappresentare l andaento delle funzioni (siano esse pari o dispari) in un qualsiasi problea differenziale in coordinate polari e che presenti la singolarità in questione. Nello specifico, per le equazioni di Navier-Stokes, questi sviluppi perettono di descrivere in prossiità dell asse (e sull asse in particolare ) le variabili u,v,w,p attraverso delle potenze di "r"; in particolare le copoenti di velocità v e w sono dispari (Odd) entre la coponente di velocità u e la pressione sono pari (Even). + n I u( r, x, t, θ ) = r α, nr e θ = n= 0 (..c) n Iθ n v( r, x, t, θ ) = r β, nr e + β0, nr = n= 0 n= (..d)

Capitolo 65 n Iθ n w( r, x, t, θ ) = r γ, nr e + γ 0, nr = n= 0 n= (..e) + n I p( r, x, t, θ ) = r δ, nr e θ = n= 0 (..f) Queste espressioni sostituite nelle equazioni di quantità di oto e di continuità perettono di scrivere tali equazioni anche nel punto di singolarità chiudendo di fatto il sistea e perettendone il calcolo. E da notare inoltre che qualora la eventuale dipendenza da teta(ciò avverrà nei capitoli seguenti) sia trattata attraverso la serie di Fourier questa forulazione risulta olto cooda in quanto copaiono già esplicitaente cobinazioni lineari di esponenziali iaginari del tipo " e Iθ ". Nel caso assialsietrico le espressioni delle variabili in prossiità dell asse sono le seguenti: (,,, ) = n u r x t θ α 0, nr α 0,0 + α 0,r +... (..g) n= 0 3 (,,, ) = n v r x t θ β 0, nr β 0,0r + β 0,r +... (..h) n= 3 (,,, ) = n w r x t θ γ 0, nr γ 0,0r + γ 0,r +... (..i) n= (,,, ) = n p r x t θ δ 0, nr δ 0,0 + δ 0,r +... (..l) n= 0 Se si sostituiscono le espressioni ora ottenute, che sono troncate al secondo ordine ( O ( r ) ) rispettivaente nelle equazioni di continuità e di quantità di oto si ottiene: 65

Vorticeassialsietrico 66 - equazione di continuità: u α 0,0 α 0,r = + rv = β + r r 0,0 β 0, r e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: α 0,0 + β 0, 0 = 0 (..) - per l equazione di quantità di oto assiale si ha: u t = α t 0,0 α 0,r + t +... uu = α 0,0 α 0,0 α 0,0α 0,r + α 0,α + 0, r 4 +... rvu r r = β α + 4β α r + 4β + 6β 4 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0,0 0, 0, + α r α r... p = δ 0,0 δ 0,r + +... Re u = x Re α x 0,0 α 0,r + x +...

Capitolo 67 u 4α = 0, r Re r r r Re e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: α t 0,0 α + 0,0 + β 0,0 α 0,0 δ + 0,0 = Re 4α 0, α + x 0,0 (..n) - per l equazione di quantità di oto radiale infine si ha: v t β = t 0,0 r β 0,r + t 3 +... terini convettivi: uv rvv r r r w = α 3 5 0,0β 0,0r + α 0,0β 0,r + α 0,β 0,0r + α 0,β 0,r + 3 5 = 3β 0,0β 0,0r + 0β 0,0β 0,r + 7β 0,β 0,r +... = γ 0,0 γ 0,0... terini lineari: v β 0,0 β 0,0r = + Re Re x x 3 67

Vorticeassialsietrico 68 ( rv) 8 Re = r r r Re ( β0, ) trascurando le potenze di r superiori alla pria e dividendo per r si ottiene: β 0,0 β0,0 + α0,0 β0,0 + 3( β0,0 ) + δ 0, γ 0,0 = 8β0, + t Re x (..p) I valori dei coefficienti α, β, γ δ sono calcolati in odo che il, n, n, n,, n polinoio passi per i punti in cui i valori di velocità e pressione sono discretizzati..3 Risultati In questo paragrafo si riportano i risultati ottenuti per il caso in cui Re=30 ostrando dappria le linee di corrente nel piano r-x ottenute e quindi una appa croatica delle coponenti di velocità. Si riporta in oltre la fora della superficie libera linearizzata. Il calcolo è stato condotto utilizzando una griglia cartesiana non unifore utilizzando 00 punti nella direzione radiale e 70 in quella assiale. Fig.. Linee di corrente nel piano x-r

Capitolo 69 Fig..3 Capo di velocità assiale U Fig..4 Capo di velocità assiale U (particolare) 69

Vorticeassialsietrico 70 Fig..5 Capo di velocità assiale V Fig..6 Capo di velocità assiale V (particolare)

Capitolo 7 Fig..7 Superficie libera linearizzata 7

Capitolo Stabilità lineare del vortice assialsietrico In questo capitolo si vogliono approfondire le proprietà di stabilità lineare del flusso assialsietrico analizzato nella sezione precedente al fine di osservare se il flusso sia instabile al crescere di Re. Si derivano quindi le equazioni linearizzate di Navier-Stokes decoponendole in serie di Fourier per il trattaento della dipendenza aziutale (etodo dei odi ortonorali) al fine di analizzare i singoli odi della perturbazione indipendenteente e di cercare eventualente un odo instabile. Una volta decoposto spetralentente in teta il set di equazioni si discretezza il generico odo con una etodologia siile a quella adottata nel capitolo precedente al fine di effettuare una siulazione teporale e poter calcolare autovalori ed autovettori del sistea.

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 74. Equazioni linearizzate di Navier-Stokes In questo paragrafo si derivano le equazioni linearizzate di Navier-Stokes in coordinate cilindriche. L analisi, coe già descritto nei paragrafi precedenti, è olto iportante poiché nella coune pratica ingegneristica una soluzione instabile di un problea fluidodinaica non riveste interesse: nella realtà subentrano difatti sepre piccole perturbazioni non conteplate nella soluzione ateatica e se il sistea è instabile queste perturbazioni portano il sistea ad uno stato finale sensibilente differente da quello calcolato rendendo quindi inutili i risultati ottenuti. Viceversa un flusso stabile è in grado di sorzare le perturbazioni e la soluzione calcolata ateaticaente rappresenterà un buon odello del fenoeno fisico. La linearizzazione delle equazioni coplete di Navier-Stokes è ottenuta decoponendo la soluzione in un flusso stazionario, detto flusso base ed indicato con il pedice b ed una parte instazionaria ( δ v e δ p ) v v δ v = b + b p = p + δ p e sostituendo le espressioni ora introdotte nelle equazioni (..a), (..b), (..c), (..d) si ottiene: u ( rv) w + + = 0 r r r θ u u ( ruv) ( uw) p u u u + + + + = r + + t r r r θ Re r r r x r θ v ( uv) ( rvv) ( vw) w p + + + + = t r r r θ r r ( rv) v v w = + + Re r r r x r θ r θ

Capitolo 75 w ( uw) ( rvw) ( ww) vw p + + + + + = t r r r θ r r θ ( rw) w w v = + + + Re r r r x r θ r θ dopo alcuni passaggi si ottengono le seguenti espressioni: u ( rv) w ub ( rvb ) wb + + + + + = 0 r r r ϑ r r r ϑ δ u ub ( δ uδ u) ( ubδ u) ( ubub ) ( rubvb ) + + + + + + t t r r ( rubδ v) ( rδ uvb ) ( rδ uδ v) ( ub wb ) + + + + + r r r r r r r θ ( ubδ w) ( δ uwb ) ( δ uδ w) δ p pb + + + + = r θ r θ r θ δ u δ u δ u ub u b = r + + + r + Re r r r r θ Re r r r v vb ( ubvb ) ( ubδ v) ( δ uvb ) ( δ uδ v) ( rvb vb ) ( rvb v) ( rδ vδ v) + + + + + + + + + t t r r r r r r ( δ vwb ) ( vbδ w) ( δ vδ w) p pb + + + + + = r θ r θ r θ r r ( rδ v) δ v δ v δ w ( rvb ) v b + + + Re r r r r θ r θ + Re r r r wb δ w ( ub wb ) ( ubδ w) ( δ uwb ) ( δ uδ w) vb wb vbδ w δ vwb δ vδ w + + + + + + + + + + t t r r r r ( rvbwb ) ( rvbδ w) ( rδvwb ) ( rδ vδ w) δ p ( rwb ) w b + + + + + = + + r r r r r r r r r θ Re r r r x ( rδ w) δ w δ w δ v ( rδ w) δ w δ w δ v + + + + + + + + Re r r r Re r r r r θ r θ r θ r θ

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 76 in cui se si trascurano gli infinitesii di ordine superiore (prodotti quadratici delle perturbazioni del tipo δ uδv e siili,che se infinitesii possono essere trascurati) e sottraendo il flusso edio alle equazioni si ottiene, ricordando che nel flusso base calcolato w = 0 su tutto il doinio: b δ u ( rδ v) δ w + + = 0 r r r ϑ (..a) δ u ( ubδ u) ( rubδ v) ( rδ uvb ) ( ubδ w) δ p + + + + + = t r r r r r θ δ u δ u δ u = r + + Re r r r r θ (..b) δ v ( ubδ v) ( δ uvb ) ( rvbδ v) ( vbδ w) δ p + + + + + = t r r r θ r ( rδ v) δ v δ v δ w = + + Re r r r r θ r θ (..c) δ w ( ubδ w) ( rvbδ w) δ p vb wδ + + + + = t r r r θ r (..d) rw δ w δ w δ v = + + + Re r r r r θ r θ. Le equazioni ora scritte sono lineari (a differenza di quelle coplete di partenza) e sono corredate da condizioni al contorno oogenee qui riassunte: - sui contorni solidi : δ u = δv = δw = 0 per r = R ed x [0, 0.5] (..e) - sulla superficie libera: δ w δ v = = δ u = 0 (..f) - nel foro d uscita: δ w δ v = = δ p = 0 (..g)

Capitolo 77.. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale Le equazioni linearizzate derivate nel paragrafo precedente a differenza del flusso base presentano la dipendenza dalla terza coordinata teta; tuttavia coe è facile osservare non copaiono prodotti di terini dipendenti da teta (gli unici sarebbero i terini quadratici della perturbazione qui trascurati nell ipotesi di poter considerare piccole le perturbazioni e linearizzate il problea). Si puo operare quindi secondo una etodologia che và sotto il noe di odi ortonorali in cui la dipendenza dalla coordinata aziutale è affrontata attraverso la serie di Fourier: = (..h) + I f ( x, r, θ, t) F ( x, r, t) e θ = essendo il problea in coordinate polari periodico con periodo π in direzione θ. Questa decoposizione spettrale perette di scrivere infiniti (ognuno per quanti sono i terini della serie di Fourier) sistei sistei lineari disaccoppiati in cui di volta in volta è risolta una coponente aziutale della perturbazione: F ( x, r, t ). Le coponenti di perturbazione risultano quindi espriibili nella fora: δ δ δ δ = + I u( x, r, θ, t) U ( x, r, t) e θ = = + I v( x, r, θ, t) V ( x, r, t) e θ = = + I w( x, r, θ, t) W ( x, r, t) e θ = = + I p( x, r, θ, t) P ( x, r, t) e θ = e sostituendo le espressioni all interno delle equazioni linearizzate si giunge a una forulazione che perette di espriere il sistea di partenza coe:

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 78 = U ( rv ) IW e Iθ + + = 0 r r r U ubu ruvb rubv I ubw P Iθ + + + + + e = t r r r r r M = M M U U U Iθ = r + e Re = M r r r x r = I V ubv vbu rvvb rubv vbw P Iϑ + + + + + + e = t r r r r r r ( rv ) V V W = + = Re r r r x r r Iϑ I e = W ubw rvbw I vbw I P Iϑ + + + + e = t r r r r ( rw ) W W V = + + Re = r r r x r r Iϑ I e Iθ Coe è facile osservare gli esponenziali e possono essere elisi e le equazioni risolte per ogni. Questo risultato è olto iportante poiché ostra coe ogni coponente aziutale della perturbazione non influenzi le altre (odi ortonorali) e le equazioni risultanti sono olto più agevoli da risolvere nuericaente rappresentando una serie di problei bidiensionali non più nelle variabili di partenza a nei coefficienti della serie. Questo approccio è reso possibile unicaente dal fatto che il flusso base non dipenda da una delle coordinate x, r, θ (qui in particolare quella aziutale).

Capitolo 79. Singolarità delle equazioni di Navier-Stokes sull asse In questa sezione si analizzerà il coportaento delle equazioni di Navier- Stokes linearizzate in prossiità dell asse di sietria: queste equazioni, infatti, se scritte in un riferiento polare presentano, coe nel caso del flusso base analizzato precedenteente, una singolarità sull asse r = 0 che non perette la scrittura qualora il doinio abbracci l asse. Si osserverà coe le espressioni delle equazioni sull asse risultano più coplesse per i odi =0 e = entre per i odi successivi si puo paraetrizzare in funzione di l andaento delle equazioni sull asse... Modo =0 Le equazioni sull asse nel caso di =0 sono ottenute ripercorrendo esattaente la stessa procedura utilizzata nel flusso base nel paragrafo.4; si introducono quindi sia per la perturbazione che per il flusso base le espressioni delle variabili: b n ub ( r, x, t) = α, nr n= 0 b n vb ( r, x, t) = β 0, nr n= b n wb ( r, x, t) γ 0, nr = n= b n pb ( r, x, t) = δ, nr n= 0 (..a) 0 n U ( r, x, t) = α, nr n= 0 0 n V ( r, x, t) = β0, nr n= (..b) 0 n W ( r, x, t) γ 0, nr = n= 0 n P ( r, x, t) = δ, nr n= 0

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 80 Se si sostituiscono le espressioni ora ottenute, troncate al secondo ordine ( O ( r ) ) rispettivaente nelle equazioni di continuità e di quantità di oto particolarizzate per = 0 : 0 U 0 ( rv ) + = 0 r r (..c) 0 0 0 0 0 0 0 U ubu ru vb rubv P U U + + + + = r + t r r r r Re r r r x (..d) 0 0 0 0 0 0 V ubv vbu rv vb P ( rv ) V + + + + = + t r r r Re r r r x (..e) si ottiene: - equazione di continuità: 0 U α0,0 α0,r = + +... rδv r r 0 = β + β r +... 0,0 0, e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: α 0,0 + β = 0 0,0 (..f) - per l equazione di quantità di oto assiale si ha: 0 U α0,0 α0,r = + +... t t t

Capitolo 8 0 b b b b 4 b α 0,0α0,0 α 0,0α0,r α0,0α 0,r α0, α0,r u U = + + + +... 0 rv u b r r b b 4 0,0 0,0 0,0 0,r b 0, 0,0r b 0, 0,r = β α + 4β α + 4β α + 6 β α +... rv U b r r 0 b b 4 0,0 0,0 0,0 0,r b 0, 0,0r b 0, 0,r = β α + 4β α + 4β α + 6 β α +... 0 P δ0,0 δ0,r = + +... 0 U α0,0 α0,r = + +... Re Re x x x U r Re r r r 0 4α = Re 0, e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: b 0,0 0,0 0,0 b b 0,0 β 0,0α0,0 β0,0α 0,0 α α α δ + + + + = t α 0,0 = 4α 0, + Re x (..g) - per l equazione di quantità di oto radiale infine si ha: 0 V β0,0r β0,r = + +... t t t 3

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 8 - terini convettivi (linearizzati) : v U b 0 b 3 5 0,0 0,0r b 0,0 0,r b 0, 0,0r b 0, 0, r... = α β + α β + α β + α β + u V b 0 b 3 5 0,0 0,0r b 0,0 0,r b 0, 0,0r b 0, 0, r... = α β + α β + α β + α β + 0 b b 3 b 5 ( β 0,0β0,0r β 0,0β0,r β 0,β 0,r ) rvbv = 3 + 0 + 7 +... r r terini viscosi: 0 3 V β0,0 β0,0r = + Re Re x x x 0 ( rv ) = 8 Re r r r Re ( β0, ) trascurando le potenze di r superiori alla pria e dividendo per r si ottiene: β 0,0 β b b b 0,0 + α 0,0β0,0 + α0,0 β 0,0 + 6 ( β 0,0 β0,0 ) + δ 0, = 8β0, + t Re x (..h) Anche in questo caso i valori dei coefficienti, n, β, n, γ, n, δ, n α sono calcolati in odo che il polinoio passi per i punti in cui i valori di velocità e pressione sono discretizzate (non riportati per brevità)... Modo = Si analizza ora il caso in qui le equazioni della perturbazione sono particolarizzate e risolte per il odo aziutale = ; le equazioni assuono la fora:

Capitolo 83 U ( rv ) I W + + = 0 r r r (..i) U ubu ru vb rubv IubW P + + + + + t r r r r r U U U = r + Re r r r x r (..l) V ubv vbu rv vb rubv IvbW P + + + + + + = t r r r r r r ( rv ) V V W = + I Re r r r x r r (..) W ubw rvbw IvbW IP + + + + = t r r r r ( rw ) W W V = + + I Re r r r x r r (..n) I coefficienti della serie di Fourier per le espressioni approssiate della velocità e della pressione nell intorno dell asse, = siilente a quanto ottenuto per il caso assialsietrico, hanno la fora:

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 84 = n 3 U ( r, x, t) = r α, nr = α,0 r + α, r +... n= 0 = n V ( r, x, t) = β, nr = β,0 + β, r +... n= 0 = n W ( r, x, t) = γ, nr = γ,0 + γ, r +... n= 0 = n 3 P ( r, x, t) = r δ, nr = δ,0 r + δ, r +... n= 0 (..o) Si osserva coe il coefficiente di Fourier per la velocità assiale = presenti derivata nulla sull asse, così coe la coponente tangenziale entre per le altre due coponenti (coefficiente della velocità assiale e della pressione) i polinoi forniscano un valore identicaente nullo sull asse. Sostituendo le espressioni nell equazione di continuità si ottiene: U ( rα,0 + α, r ) = +... 3 3 3,0,,0, ( rv ) ( rα + α r ) ( β r + β r ) = + +... r r r r I( γ,0 + γ, r ) I W = +... r r e quindi: 3,0,,0,,0, ( rα + α r ) ( β + 3 β r ) I( γ + γ r ) + + = 0 r r

Capitolo 85 ( α,0 ) ( α 4, ) β,0 + Iγ,0 + r 3β, + r Iγ, + r + r = 0 per r 0 le potenze possono essere trascurate ottenendo: β + γ = (..p),0 I,0 0 Per l equazione di quantità di oto radiale, l espressione fissato il nuero d onda è: V ubv vbu rv vb rubv IvbW P + + + + + + = t r r r r r r ( rv ) V V W = + I Re r r r x r r Si operano anche in questo caso le approssiazioni della soluzione attraverso i polinoi ottenendo peri diversi terini dell equazione: - derivata teporale V t β,0 = +... t terini viscosi ( rv ) V V W + Re I = r r r x r r β, β,0 β,0 Iγ,0 = 3β, + r + + Re r r equazione di continuità

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 86 ( rv) v v w β,0 + + = 3β, + Re r r r Re x r θ r θ - gradiente radiale di pressione: p = δ r,0 terini convettivi: ubv b = ( 0,0,0 )... x x α β + b ( ) vbu = x x β α + α + 0,0r,0 r, r... rv v b b 4 β,0 β 0,0 +... r r I( vbw ) b = I β 0,0γ,0 +... r L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 assue infine l espressione: β,0 b b b + ( α 0,0β,0 ) + 4β,0 β 0,0 I β 0,0γ,0 + δ,0 = t β,0 = 3β, + Re (..q) Le due equazioni scritte ora sono le uniche due necessarie sull asse poiché la coponente assiale di velocità e la pressione sono nulle sull asse in accordo con le (.) e (.).

Capitolo 87 Le equazioni derivate perettono, una volta che si sono ricavati i valori dei coefficienti dei polinoi, di chiudere il problea e di calcolare il valore della velocità tangenziale e radiale sull asse per il odo uno...3 Modi > Per i odi successivi a quelli con nueri d onda zero ed uno l approssiazione sull asse risulta essere olto più agevole: difatti le espressioni polinoiali in questo caso restituiscono valori nulli per tutti i coefficienti delle coponenti sia di velocità che di pressione. Si conserva però la sola equazione di bilancio radiale necessaria poiché su una griglia staggered la coponente di velocità radiale è sfalsata di ezzo passo rispetto l asse e quindi il suo valore non è nullo a va calcolato. Le variabili siilente alla procedura usata precedenteente si particolarizzano coe segue: U ( r, x, t) = α,0r +... V ( r, x, t) = β,0r +... W ( r, x, t) = γ,0r +... P ( r, x, t) = δ,0r +... (..r) Preliinarente si ottiene un espressione anche per l equazione di continuità, necessaria per poter operare alcune seplificazioni nell equazione di bilancio radiale. Sostituendo i polinoi nell equazione si ottiene quindi: α r + r β + I r β = 0 r r α + β + I β = 0

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 88 e infine,trascurando le potenze d ordine superiore: β + I γ = 0 (..s) Per un generico odo l equazione linearizzata di bilancio radiale è invece la seguente: I V ubv vbu rvvb rubv vbw P + + + + + + = t r r r r r r ( rv ) V V W = + Re r r r x r r I (..t) Si operano anche in questo caso le approssiazioni della soluzione attraverso i polinoi ottenendo peri diversi terini dell equazione: - derivata teporale V t,0 r β = +... t terini viscosi ( ),0 r rv V V W β + I Re r r r Re x r r - gradiente radiale di pressione: P r = δ, 0 r

Capitolo 89 terini convettivi: b b 0,0,0 r x x α β u V = ( ) +... b ( r ) vbu = x x β α + 0,0,0 r... rv vb b ( + ) β,0β 0,0r +... r r I( vbw ) b = I β 0,0γ,0 r +... r L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 assue infine l espressione: β,0 b b b + ( α 0,0 β,0 ) + ( + ) β,0β 0,0 I β 0,0 γ,0 + δ,0 = t β,0 = Re (..u)

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 90.3 Calcolo degli autovalori e degli autovettori del problea linearizzato La soluzione nel tepo delle equazioni introdotte nei precedenti paragrafi perette di valutare gli autovalori e gli autovettori del sistea e stabilire quindi se il sistea presenti instabilità. Una volta discretizzato il sistea si può così scrivere: dz dt = Az con z = ( u, v, w) (.3.a) dove A rappresenta la atrice R del problea differenziale discretizzato (operatore in cui son contenuti sia terini viscosi che convettivi). Il calcolo dell intero spettro degli autovalori risulta olto oneroso e al liite proibitivo per questa tipologia di problea a causa delle elevate diensioni di A. Poiché si è i pria approssiazione interessati all autovalore ( o alla coppia coplessa coniugata) eno stabile del sistea, che è quello che porta eventualente all instabilità del sistea si può ricorrere a etodi di proiezione in spazi ono o bidiensionali per la ricerca rispettivaente del singolo o della coppia di autovalori..3. Autovalore reale Quando l autovalore è reale si ricorre di fatto al classico etodo delle potenze (power ethod). Esso sostanzialente si basa sull osservazione che dopo un nuero sufficiente di iterazioni l unico autovettore osservabile è quello associato all autovalore eno sorzato entre tutti gli altri sono decaduti più rapidaente. Ovviaente qualora l autovalore fosse a parte reale aggiore di zero crescerebbe più veloceente di tutti gli altri e il etodo sarebbe counque valido. Discretizzata la derivata teporale si ottiene:

Capitolo 9 z n+ z t n = Az n = ~ λ z n (.3.b) e proiettando con un generico vettore p della diensione di z si ottiene dopo un certo nuero di iterazioni che dipende dalla coposizione dell intero spettro della atrice A si ottiene esplicitaente l autovalore cercato: z p n+ z t n ~ = ~ n+ n z z p t p z n λ p z λ = (.3.c) n noralizzato il vettore z questo rappresenterà esattaente l autovettore associato a λ ~..3. Autovalori coplessi coniugati Nell ipotesi invece in cui gli autovalori eno stabili del sistea siano una coppia coplessa coniugata il etodo delle potenze cosi descritto fallisce e vi è bisogno di proiettare la soluzione in uno sottospazio bidiensionale attraverso non più uno bensi due vettori di proiezione. Quindi il sistea si puo scrivere cosi : n n n z = z + taz n = Bz (.3.d) con B = I + ta e nel caso in cui siano due gli autovalori eno sorzati del sistea il vettore z è cobinazione lineare di entrabi gli autovettori associati alla coppia coplessa coniugata di autovalori. Se quindi si considera che z n = λ + λ (.3.e) n n v v

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 9 e siilente v v z n n n + + + + = λ λ (.3.f) dove,v v sono i due autovettori associati ai due autovalori si puo proiettare con due vettori di proiezione, p p ottenendo dopo alcuni passaggi la seguente espressione in fora atriciale = + + + + n n n n n n n n z p z p z p z p v p v p v p v p λ λ λ λ (.3.g) un espressione analoga si può scrivere prendendo la coppia di equazioni v v z n n n λ + λ =, v v z n n n + = λ λ (.3.h) = n n n n n n n n z p z p z p z p v p v p v p v p λ λ λ λ (.3.i) riscrivendo: = + + 0 0 n n n n n n n n n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ (.3.l) Si ha: = + + n n n n n n n n n z p z p z p z p v p v p v p v p 0 0 λ λ λ λ λ λ (.3.) Cobinando le due equazioni atriciali (.3.i) e (.3.l) pria scritte si ottiene:

Capitolo 93 n n n n+ n λ 0 = n n n+ n 0 λ p v p v p v p v p z p z p z p z p v p v p v p v (.3.n) p z p z p z p z n n n n M p z p z + p z p z = p z n p z n p z n+ p z n (.3.o) con M n pv pv λ 0 pv pv = pv pv 0 λ p v pv (.3.p) Se si calcolano ora gli autovalori della atrice n+ n n n pz pz p z pz M = n+ n n n (.3.q) pz pz pz pz si ottengono di fatto λ e λ. I due autovalori ora ottenuti devono pero essere corretti poiché rappresentano gli autovalori della atrice B e non di quella A di partenza; i due autovalori sono quindi: q λ = t λ = t e q (.3.r) gli autovettori v e v invece sono i edesii per le due atrici e si n n n ottengono sepliceente dalla espressione z = λ v + λv una volta noti gli autovalori scrivendo la stessa al passo n e al passo n+ e risolvendo il sistea nei due vettori incogniti v e v.

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 94.4 Risultati Le equazioni introdotte nei capitoli precedenti sono state risolte nuericaente (coe riportato in dettaglio nell Appendice B) e si sono riportati i risultati ottenuti per i prii cinque odi aziutali nell intervallo Re [0 : 30]. I odi sono risultati essere stabili e in alcuni casi l autovalore eno stabile è risultato essere reale (odi aziutali e 3) entre in altri facente parte di una coppia di coplessi coniugati (odi aziutali,4,5) coe è facile osservare in Fig.. Inoltre si osserva coe al crescere del nuero d onda a parità del nuero di Reynolds il valore assoluto dell autovalore (o della sua parte reale nel caso di autovalori coplesso) risulti crescente a parte il caso del odo = (che resta counque stabile). La tendenza ottenuta porta a concludere che al crescere del nuero d onda si incontrino odi sepre più stabili.l intervallo Re [0 : 30] è stato scelto in odo che il valore assio fosse pari a circa il doppio di quello per cui negli esperienti condotti in [] e [] si presentava un instabilità fluidodinaica.si sono quindi riportati i grafici del odulo delle autofunzioni ottenuti per i diversi nueri d onda analizzati e per Re = 30 0-5 7 9 3 5 7 9 - -3 parte reale autovalore -4-5 -6-7 -8-9 -0 Nuero di Reynolds = = =3 =4 =5

Capitolo 95 Fig. Autovalori eno stabili per diversi odi aziutali Fig. Modulo nel piano x-r dell autofunzione ottenuta per = Fig.3 Modulo nel piano x-r dell autofunzione ottenuta per =

Stabilità lineare del vortice assialsietrico 96 Fig.3 Modulo nel piano x-r dell autofunzione ottenuta per =3 Fig.4 Modulo nel piano x-r dell autofunzione ottenuta per =4

Capitolo 97 Fig.5 Modulo nel piano x-r dell autofunzione ottenuta per =5

Capitolo 3 Vortice a struttura non assialsietrica Nei capitoli precedenti si è analizzata la stabilità lineare del vortice nel caso in cui il flusso presenti sietria assiale non evidenziando, di fatto, l insorgenza di instabilità; questo risultato, confrontato con quello sperientale [], porta a ipotizzare che il oto di rotazione possa anifestarsi a causa di instabilità nel flusso legata a condizioni di ingresso di fora più generale. Nello specifico in [] e nell esperiento che sarà descritto nel capitolo 5 il fluido entra attraverso due aperture laterali di un recipiente di fora cilindrica, dotato di un foro d uscita sul fondo e in cui il fluido ha una superficie libera, tali da non introdurre rotazione nel flusso. In questo capitolo si introdurrà il odello tridiensionale per descrivere l evoluzione in accordo con questa nuova configurazione entre nel capitolo successivo si stabilirà, attraverso un analisi di stabilità lineare, se al crescere del nuero di Reynolds si abbia la genesi di una rotazione netta nel flusso in esae a seguito di un instabilità fluidodinaica.

Vortice a struttura non assialsietrica 00 3. Il odello ateatico tridiensionale 3.. Geoetria La geoetria scelta per il problea, è ancora una volta quella di un doinio cilindrico in cui il fluido entra attraverso due superfici pereabili laterali fuoriuscendo da un piccolo foro a sezione circolare posto sul fondo del recipiente in posizione centrale. Il flusso in ingresso è costante con l altezza a variabile lungo la direzione aziutale (coe sarà descritto eglio in seguito) a la sua distribuzione sarà tale da non introdurre alcuna rotazione netta nel flusso. Il doinio del problea è di seguito rappresentato: Fig.3. Doinio coputazionale in cui R rappresenta il raggio esterno della geoetria cilindrica e con H si è indicata l altezza del recipiente; infine con R 0 si è indicato il raggio del foro e quindi del canale di drenaggio. In particolare si è scelto un rapporto: R H = entre per il raggio R 0 d uscita la scelta è ricaduta siilente al caso assialsietrico su: R 0 R = 0

Capitolo3 0 Una seplice rappresentazione (qui sotto riportata) è utile a chiarire eglio la geoetria e le effettive zone di ingresso del fluido: Fig.3. Rappresentazione del flusso radiale in ingresso nel doinio dalla superficie laterale del cilindro. 3.. Equazioni di Navier Stokes in coordinate cilindriche Il odello ateatico che descrive l evoluzione del fluido è fornito dalle equazioni di Navier Stokes in stazionarie, incopriibili, per fluidi newtoniani e scritte in coordinate cilindriche nella loro fora copleta: u ( rv) w + + = 0 r r r θ (3..a) u u ( ruv) ( uw) p u u u + + + + = r + + t r r r θ Re r r r x r θ (3..b) v ( uv) ( rvv) ( vw) w p + + + + = t r r r θ r r ( rv) v v w + + Re r r r x r θ r θ (3..c)

Vortice a struttura non assialsietrica 0 w ( uw) ( rvw) ( ww) vw p + + + + + = t r r r θ r r θ ( rw) w w v + + + Re r r r x r θ r θ (3..d) Il nuero di Reynolds è calcolato così coe nel caso del flusso assialsietrico: Q Re = (3..e) π vh dove con ν si è indicata la viscosità cineatica, con Q la portata voluetrica in ingresso e con H, ancora, l altezza del recipiente. 3..3 Condizioni al contorno all ingresso ed in uscita Le condizioni di ingresso attraverso la superficie laterale sono scelte al fine di avere un flusso variabile lungo la direzione circonferenziale a tali da antenere due piani di sietria lungo le direzioni radiale e assiale u( t, x, r) = 0 t, x, ϑ (3..f) r= R v( t, x, r) = γ ( θ ) t, x, θ (3..g) r= R w( t, x, r) = 0 t, x, θ (3..h) r= R La funzione γ ( θ ) è ottenuta dalla sovrapposizione di funzioni aroniche al fine di riprodurre il più fedelente possibile le condizioni di ingresso che si hanno nell esperiento.

Capitolo3 03 Fig 3.3 Andaento della funzione γ ( θ ) Per quanto concerne le condizioni di uscita si è scelto di iporre due condizioni per la velocità e una per la pressione: p ( t, x, r ) = 0 t, θ e r [0 : R ] (3..i) x= H 0 v( t, x, r) x= H = 0 t, θ e r[0 : R ] 0 (3..l) w( t, x, r) x= H = 0 t, θ e r[0 : R ] 0 (3..) 3..4 Superficie libera tridiensionale In questo paragrafo si approfondisce la odellazione ateatica di una superficie libera estendendo i risultati ottenuti in..4 (paragrafo al quale si

Vortice a struttura non assialsietrica 04 rianda per approfondienti) al caso in cui si abbia una dipendenza della superficie da tutte e tre le coordinate spaziali. Indicata con η la superficie libera nella sua fora iplicita e con f invece nella sua fora esplicita (si ricorda che η( t, x, r, θ ) = x f ( t, r, θ ) = 0 ) Dη la condizione cineatica = 0 è ora: dt f f f + v + w = u t r r θ (3..n) Per l applicazione delle condizioni dinaiche norale alla superficie: occorre valutare il versore η n = η dove si ricorda che in coordinate cilindriche si ottiene: η, η, η = r r θ e quindi: T n = f f,, r r θ f f + + r r θ T (3..o) Valutato il versore è ora possibile iporre la condizione dinaica che, sepre nell approssiazione di considerare coe secondo ezzo il vuoto è: T n = T ( η) = 0 dove T è il tensore degli sforzi nella sua fora più generale, espresso in coordinate cilindriche:

Capitolo3 05 u u v w u + + r r θ 0 0 u v v v w T = ( p + ρ gx) 0 0 + µ + + r r r r θ r r 0 0 w u v w w v + + r x r θ r θ r r + r θ r e dove si è assunto sepre che l asse x sia diretto nella direzione dell accelerazione di gravità. Il tensore può essere riscritto in fora copatta coe: T = ( p + ρ gx) δ + µτ i, j i, j i, j da cui si ottengono per le coponenti dello sforzo σ = T n = 0 agente sulla superficie libera le espressioni: σ = ( p + ρ gf ) n + µτ n = 0 i i i, j j che rappresentano tre equazioni scalari che copletano la descrizione della superficie libera. Quindi le tre equazioni dinaiche che espriono lo stato tensionale sulla superficie libera, nell ipotesi vuoto-fluido sono: σ x f u f u v f w u = p + + 0 + + + + = Fr Re r r r θ r θ (3..p) f f σ r = p + + Fr r f v u v f v w + r 0 Re + + + = r r r x r θ r θ r r (3..q) σ θ w u f w v f w v = + + r + + + = 0 r θ r r r r θ r θ r θ r (3..r)

Vortice a struttura non assialsietrica 06 in cui il nuero di Froude è così calcolato: Q Fr =. 3 π R gh 3..5 Superficie libera linearizzata Nell ipotesi in cui la deforazione della superficie libera sia olto piccola se confrontata con la lunghezza caratteristica del problea è possibile ottenere un espressione approssiata (linearizzata nello specifico) agevolente anche per il caso tridiensionale. Q Se si ipotizza che U = << gh si ottiene infatti Fr<<; se si espande π RH la soluzione in potenze di un paraetro piccolo diverse grandezze: ε = Fr si ottiene per le f = f0 + ε f +... u = u0 + εu +... v = v0 + εv +... w = w0 + ε w +... p = p0 + ε p +... Se si sostituiscono le espressioni precedenti nelle equazioni generali della superficie libera e si raggruppano le grandezze in funzione delle potenze di ε e si considera, in pria approssiazione, solo l ordine zero ed uno dell espansione delle equazioni di Navier Stokes si ottiene:

Capitolo3 07 ordine (3..s) zero 0 ε u0 ( rv0 ) w0 + + = 0 r r r θ u0 u0 ( ru0v0 ) ( u0w0 ) p0 + + + + = t r r r θ u0 u0 u 0 r + + Re r r r x r θ v0 ( u0v0 ) ( rv0v0 ) ( v0 w0 ) w0 p0 + + + + = t r r r θ r r ( rv0 ) v0 v0 w 0 + + Re r r r x r θ r θ w0 ( u0w0 ) ( rv0w0 ) ( w0 w0 ) v0 w0 p0 + + + + + = t x r r r θ r r θ ( rw0 ) w0 w0 v 0 + + + Re r r r x r θ r θ prio ordine ε (3..t)

Vortice a struttura non assialsietrica 08 u ( rv ) w + + = 0 r r r θ u u0u ( ru0v ) ( u0w ) ( ru0v ) ( u0w ) p 0 + + + + + + = t r r r θ r r r θ u u u = r + + Re r r r x r θ v0 ( uv0 ) ( u0v ) ( rvv0 ) ( rv0v ) ( v w0 ) ( v0w ) w0 w p + + + + + + + = t r r r r r θ r θ r r ( rv ) v v w = + + Re r r r x r θ r θ w ( u w0 ) ( u0w ) ( rv w0 ) ( rv0 w ) ( w0 w ) v w0 v0 w p + + + + + + + + = t r r r r r θ r r r θ ( rw ) w w v = + + + Re r r r x r θ r θ Mentre le equazioni all ordine zero conservano la edesia struttura di quelle di partenza le equazioni al prio ordine sono lineari. 0 Le equazioni per la superficie libera per i due ordini ε e ε sono invece: - condizione cineatica f f f 0 0 0 + v0 + w0 = u0 t r r θ ordine 0 ε f f f f f 0 0 + v + v0 + w + w0 = u t r r r θ r θ ordine ε - equazione σ x f 0 = 0 ordine ε p ε u + f = Fr Re 0 0 0 ordine 0 ε

Capitolo3 09 - equazione σ r u0 v0 + = 0 r ordine 0 ε p 0 f f0 v f v0 u v + + + + r Re r r r r r f v0 w0 f0 v w + + r + + r = 0 Re r θ r θ r r r θ r θ r r ordine ε - equazione σ θ w0 f0 w0 + = 0 r r ordine 0 ε w u f0 w v f0 w v + + r + + + + r θ r r r r θ r θ r θ r f w0 v0 f w0 v0 + r + + + = 0 r r r r θ r θ r θ r ordine ε La pria inforazione che si ottiene è che all ordine zero la superficie è ancora una volta piatta: f 0 = 0. Dalla condizione cineatica all ordine zero si ottiene quindi che u 0 = 0 sulla superficie libera. La condizione σ r si riduce quindi alla : v 0 = 0 così coe la σ θ :

Vortice a struttura non assialsietrica 0 w 0 = 0 Le condizioni al contorno necessarie per risolvere il sistea di Navier Stokes all ordine zero sono quindi tre essendo nota la fora (piatta) della superficie. u 0 = 0 (3..u) v 0 = 0 (3..v) w 0 = 0 (3..w) La condizione σ x perette di calcolare la fora della superficie piatta all ordine uno esplicitaente: f = p 0 Re u 0 (3..z) Il problea linearizzato la cui soluzione sarà affrontata nel seguito risulterà quindi coposto dalle equazioni di bilancio (3..s) corredate dalle condizioni al contorno sulla superficie libera (3..u) (3..v),(3..w). 3. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale delle equazioni di Navier-Stokes 3D In problei in coordinate cilindriche la decoposizione spettrale nella direzione aziutale si presenta coe una scelta quasi naturale. Si ricorda breveente che per funzioni periodiche e a quadrato integrabile è sepre possibile scrivere la seguente forulazione: = (3..a) + I f ( x, r, θ, t) F ( x, r, t) e θ = che se applicata alle equazioni di bilancio pria introdotte conduce,dopo alcuni passaggi al seguente sistea equivalente:

Capitolo3 + Iθ Iθ Iθ U e ( rv ) e IW e + + = 0 (3..b) r r r = t + + + Iθ k k U e + U U e = = k = Iθ + + + + k k Iθ k k Iθ + r V U e + + I W U e + r r r = k = = k = + Iθ + P e = = r U e U e U e Re r r r x r + + + Iθ Iθ Iθ + = = = (3..c) t + + + Iθ k k Iθ V e + U V e + = = k= + + + + k k Iθ k k r V V e + I W V e r r r = k= = k= + + + k k Iθ Iθ I W W e + P e = r r = k = = + + Iθ Iθ rv e V e r r r + = x = = + Re + + Iθ I + V e W e Re r = r = Iθ Iθ (3..d)

Vortice a struttura non assialsietrica t + + + Iθ k k Iθ W e + U W e + = = k= + + + + k k Iθ k k Iθ r V W e + I W W e + r r r = k= = k = + + k k Iθ I P + V W e + = r r = k = + + Iθ Iθ rw e W e r r r + = x = = + Re + + Iθ I + V e + V e Re r = r = Iθ (3..e) In cui le equazioni hanno coe variabili non più i capi di velocità e pressione a i coefficienti della serie di Fourier in cui questi capi sono stati decoposti. Si noti coe i terini convettivi non lineari accoppiano di fatto tutti i odi di Fourier; è sepre possibile pero decoporre il sistea di partenza in sistei in cui le variabili sono i singoli odi di Fourier: U ( rv ) IW + + = 0 r r r (3..f) + + k k k k U + U U + r V U + t x r r + k = I k k P + U W + = (3..h) r k = U U U r Re r r r x r k= +

Capitolo3 3 (3..i) + + k k k k V + U V + r V V + t x r r k = + + k = I k k k k P + W V W W + = r r r k = k = ( rv ) V V W = + Re r r r x r r I + + k k k k W + U W + r V W + t x r r k= + + k= I k k k k I P W W V W r + r + r = (3..l) k= k = ( rw ) W W V = + + Re r r r x r r I e questa risulterà una forulazione adatta alla successiva discretizzazione ibrida alle differenze finite e spettrale (descritta nell Appendice C) e soluzione delle equazioni per via nuerica. 3.3 Coportaento delle equazioni di Navier-Stokes 3D sull asse Le equazioni introdotte in 3. presentano nel sistea di coordinate in cui sono derivate (riferiento cilindrico) una singolarità per r = 0 così coe già osservato nel paragrafo.3 per le equazioni di Navier-Stokes nel liite di assialssietria. Riandando al paragrafo.3 per approfondienti in erito al coportaento delle variabili,siano esse pari o dispari, in prossiità dell asse di sietria si applicano qui direttaente i risultati estendendoli al caso tridiensionale più generale. Le equazioni sull asse saranno quindi qui derivate per i odi aziutali corrispondenti ai nueri d onda = 0,, poiché per lo sviluppo è il edesio e può essere paraetrizzato in.

Vortice a struttura non assialsietrica 4 Si ricorda che per le equazioni di Navier-Stokes, questi sviluppi perettono di descrivere in prossiità dell asse (e sull asse in particolare ) le variabili u,v,w,p attraverso delle potenze di "r"; in particolare le copoenti di velocità v e w sono dispari (Odd) entre la coponente di velocità u e la pressione sono pari (Even). + n I u( r, x, t, θ ) = r α, nr e θ = n= 0 (3.3.a) n Iθ n v( r, x, t, θ ) = r β, nr e + β0, nr = n= 0 n= (3.3.b) n Iθ n w( r, x, t, θ ) = r γ, nr e + γ 0, nr = n= 0 n= (3.3.c) + n I p( r, x, t, θ ) = r δ, nr e θ = n= 0 (3.3.d) Queste espressioni sostituite nelle equazioni di quantità di oto e di continuità derivate nella sezione 3.3 perettono di scrivere tali equazioni anche nel punto di singolarità chiudendo di fatto il sistea e perettendone il calcolo. 3.3. Modo =0 Le equazioni sull asse nel caso di = 0 sono ottenute ripercorrendo esattaente la stessa procedura utilizzata nel flusso base nel paragrafo.4. Esse sono nel caso tridiensionale: 0 U 0 ( rv ) + = 0 r r (3.3.e)

Capitolo3 5 (3.3.f) 0 + + 0 k k k k P U + U U + r V U + = t x r r Re k = 0 0 U U r + r r r x k = 0 + + k k k k V + U V + r V V + t x r r k= k = + 0 0 0 k k P ( rv ) V W W + = + r Re k = r r r r x (3.3.g) 0 + + k k k k W + U W + r V W + t x r r k= k = + 0 0 k k ( rw ) W + V W = + r Re k= r r r x (3.3.h) Bisogna osservare pero che i terini convettivi sono del tipo: + k = U k W k dove si osserva coe vi sia una soatoria sull indice k ; effettuando questi prodotti si trascureranno quelli che presentano potenze di r positive ( sono terini che tendono a zero olto rapidaente per r 0 e possono essere trascurati). Operando le sostituzioni e trascurando direttaente gli infinitesii di ordine superiore si ottiene: - equazione di continuità:

Vortice a struttura non assialsietrica 6 0 U rv r r α0,0 = + O( r )... 0 = β + O( r )... 0,0 e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: α 0,0 + β 0, 0 = 0 (3.3.i) - per l equazione di quantità di oto assiale si ha: U t 0 α0,0 = + O( r )... t 0,0 + k α k U U = + O( r ) k = + r r k = k k ru V = α β + α β + α β + O( r )... 0,0 0,0,0,0,0,0 0 P δ0,0 = + O( r )... 0 U α 0,0 = + O( r )... Re Re x x U r Re r r r 0 4α = Re 0,

Capitolo3 7 e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: 0,0 0,0 0,0 α 0,0β0,0 α,0 β,0 α,0 β,0 α α δ + + + + + = t α 0,0 = 4α 0, + Re x (3.3.l) - per l equazione di quantità di oto radiale infine si ha: 0 V t β0,0r = + O( r )... t - terini convettivi : + k k U V = α0,0β0,0r + α,0 β,0 r + α,0 β,0 r + O( r )... k = + β,0 β k k,0 V V = 3β0,0β0,0r + + O( r )... r r r k = + γ,0γ k k,0 W W = γ 0,0γ 0,0r + O( r )... r r k = dove si può diostrare, ricordando che β, + I γ, = 0 per > 0, β,0 β,0 γ,0γ,0 che + = 0 non incorrendo,quindi, in singolarità. r r terini viscosi: o o 0 3 V β0,0 β0,0r = + Re Re x x x

Vortice a struttura non assialsietrica 8 0 ( rv ) = 8 Re r r r Re ( β0, ) trascurando le potenze di r superiori alla pria e dividendo per r si ottiene: β 0,0 β0,0 + α0,0β0,0 + α,0 β,0 + α,0 β,0 + 3( β0,0β0,0 ) δ 0,0 = 8β0, + t Re x (3.3.) Anche in questo caso i valori dei coefficienti, n, β, n, γ, n, δ, n α sono calcolati in odo che il polinoio passi per i punti in cui i valori di velocità e pressione sono discretizzate (non riportati per brevità). Vale la pena osservare che nel processo di discretizzazione nell ipotesi di collocare nel nodo della greglia la velocità tangenziale essa risulti esattaente zero sull asse in accordo con la espansione in potenze di r e quindi non è necessario scrivere l equazione di quantità di oto tangenziale sull asse. 3.3. Modo = Si analizza ora il caso in qui le equazioni della perturbazione sono particolarizzate e risolte per il odo aziutale = ; le equazioni si ottengono sostituendo sepliceente al generico nuero d onda il valore. Osservando le espansioni polinoiali si osserva subito coe la coponente U sia nulla sull asse, così coe la pressione. Resta da stabilire quindi il coportaento di V, W in prossiità dell asse di sietria e per stabilire ciò sono sufficienti due equazioni e in particolar odo l equazione di continuità e di bilancio di quantità di oto radiale. Dall equazione di continuità U ( rv ) IW + + = 0 r r r (3.3.n) infatti si ottinene subito infatti:

Capitolo3 9 3,0,,0,,0, ( rα + α r ) ( β + 3 β r ) I( γ + γ r ) + + = 0 r r ( α,0 ) ( α 4, ) β,0 + I γ,0 + r 3β, + r I γ, + r + r = 0 e per r 0 le potenze di r rpossono essere trascurate ottenendo: β + γ = (3.3.o),0 I,0 0 che di fatto lega univocaente le due grandezze errori dell ordine di O( r ). L equazione di bilancio radiale: V, W in esae a eno di + + + k k k k I k k V + U V + r V V + W V + t x r r r k = k= k = + = + r r r r r x r r + k k P ( rv ) V V W W W I Re k = (3.3.p) può così essere approssiata nei suoi diversi terini: - derivata teporale V t β = t,0 -terini viscosi ( rv ) V V W + Re I = r r r x r r

Vortice a struttura non assialsietrica 0 β, β,0 β,0 Iγ,0 = 3β, + r + + Re r r equazione di continuità ( rv) v v w β,0 + + = 3β, + Re r r r Re x r θ r θ - gradiente radiale di pressione: p = δ r,0 - terini convettivi: + k k U V = (,0 0,0r 0,0,0 r...) 0 x x α β + α β + k = + rv r r k = k V k = 4 β β +...,0 0,0 I r + k = k k V W = I β γ + I β γ +... 0,0,0,0 0,0 + k k W W = Iγ 0,0γ,0 +... r k = L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 assue infine l espressione: β,0 β,0 + 3β,0 β0,0 γ 0,0γ,0 + δ,0 = 3β, + t Re (3.3.r)

Capitolo3 Le due equazioni scritte ora sono le uniche due necessarie sull asse poiché la coponente assiale di velocità e la pressione sono,coe si ricorda, nulle sull asse. Le equazioni derivate perettono, una volta che si sono ricavati i valori dei coefficienti dei polinoi, di chiudere il problea e di calcolare il valore della velocità tangenziale e radiale sull asse per il odo uno. 3.3.3 Modi > Per i odi successivi a quelli con nueri d onda zero ed uno l approssiazione sull asse risulta essere olto più agevole: difatti le espressioni polinoiali in questo caso restituiscono valori nulli per tutti i coefficienti delle coponenti sia di velocità che di pressione. Si conserva però che la sola equazione di bilancio radiale ènecessaria poiché su una griglia staggered coe sarà applicata nel nostro caso (vedere Appendice C) la coponente di velocità radiale è sfalsata di ezzo passo di discretizzazione rispetto l asse e quindi il suo valore non è nullo a va calcolato. Preliinarente si ottiene un espressione anche per l equazione di continuità, necessaria per poter operare alcune seplificazioni nell equazione di bilancio radiale.sostituendo i polinoi nell equazione si ottiene quindi: α r + r β + I r β = 0 r r α + β + I β = 0 e infine,trascurando le potenze d ordine superiore si ottiene ancora la relazione: β + I γ = 0 (3.3.s)

Vortice a struttura non assialsietrica Per un generico odo l equazione di bilancio radiale è invece la seguente: + + k k k k V + U V + r V V + t x r r k = + + k = I k k k k P + W V W W + = r r r (3.3.t) k = k = ( rv ) V V W = + Re r r r x r r I L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 e ricordando la relazione fra i β,0 e γ,0 fornita dall equazione di continuità per 0 assue infine l espressione: β,0 t + + + ( α k,0 β,0 ) + ( + ) β,0β0,0 + I β0,0 γ,0 + = k= + I β γ γ γ + δ = Re β,0,0 0,0,0 0,0,0 (3.3.u)

Capitolo3 3 3.4 Risultati In questo paragrafo si riportano i risultati ottenuti per il caso in cui Re=6 ostrando dappria una vista tridiensionale delle linee di corrente,poi le linee di corrente nel piano r-x ottenute per passare infine ad una visualizzazione circonferenziale dall alto per x = 0 (superficie libera). Il calcolo è stato condotto secondo le odalità descritte nell appendice a questo capitolo (Appendice C) utilizzando una griglia cartesiana non unifore ed utilizzando 00 punti nella direzione radiale, 70 in quella assiale e 6 odi aziutali. La Fig3.6 in particolare offre una visione copleta del flusso 3D ostrando un insiee di linee di corrente che in accordo con la distribuzione di velocità assegnata sul contorno laterale introducono una deforazione nel flusso chiaraente visibile. La Fig.3.5 ostra invece un insiee di linee di corrente originate alla stessa altezza x = 0 ed è qui evidente la presenza dei due piani di sietria che il flusso in esae conserva. Il fluido entra in accordo con la distrbuzione radiale di velocità di Fig3.3 e risulta assio per π/ e 3/π. La fig.3.4 riporta invece le linee di corrente in uno dei piani di sietria (in particolare quello con ingresso radiale assio. x r Fig.3.4.Linee di corrente nel piano r [ 0, R], x [0, H ] and θ = π /, θ = 3π /

Vortice a struttura non assialsietrica 4 Fig.3.5 Top view of strealines at x=0 in the polar for Re=6. r θ plane Fig 3.6 Vista assonoetrica delle linee di corrente per Re=6 [ 0, / ], r [0, R], x [0, H ] θ π

Capitolo 4 Stabilità lineare del vortice a geoetria non assialsietrica In questo capitolo si vogliono approfondire le proprietà di stabilità lineare del vortice a geoetria non assialsietrica descritto nel terzo capitolo al fine di coprendere se la nuova configurazione coporti,al crescere del nuero di Reynolds, l insorgenza dell instabilità e la genesi,quindi, del oto di rotazione evidenziato nelle prove sperientali. Il prio passo consiste nel derivare le equazioni linearizzate di Navier-Stokes al fine di studiare la risposta del sistea alle piccole perturbazioni. Le equazioni sono quindi decoposte spettralente nella direzione tangenziale ripercorrendo esattaente lo sviluppo copiuto sulle equazioni del flusso base nel capitolo terzo; la dipendenza del capo di oto del flusso base dalla variabile θ non consente di disaccoppiare in questo caso i odi di Fourier coe avveniva nello studio della stabilità lineare di un flusso assialsietrico (capitolo ) il che non coporta la possibilità d utilizzo della tecnica dei odi ortonorali e dell evidente vantaggio che ne deriva all atto della soluzione (si intende con dipendenza da tutte e tre le coordinate spaziali, θ nello specifico e non solo da r ed x) non perette pero di ricorrere alla tecnica dei odi ortonorali descritta nel capitolo con i facilente intuibili guadagni in tepo di calcolo. La decoposizione attraverso la serie di Fourier peretterà quindi in questo caso unicaente di rendere più efficiente la soluzione nuerica del sistea

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 6 anche se si è riusciti attraverso la decoposizione spettrale ad evidenziare un iportante proprietà di sietria del sistea (descritta in calce all appendice D) i odi aziutali con nuero d onda pari sono disaccoppiati da quelli dispari. Ciò perette inoltre di velocizzare la soluzione del sistea linearizzato studiando separataente la risposta alle piccole perturbazioni dei odi pari e dei dispari. 4. Equazioni linearizzate di Navier-Stokes In questo paragrafo si derivano le equazioni linearizzate di Navier-Stokes in coordinate cilindriche. La linearizzazione delle equazioni coplete di Navier-Stokes è ottenuta decoponendo la soluzione in un flusso stazionario, detto flusso base ed indicato con il pedice b ed una parte instazionaria ( δ v e δ p ) : v v δ v = b + b p = p + δ p (4..a) e sostituendo le espressioni ora introdotte nelle equazioni (3..a), (3..b),(3..c), (3..d) ottenute nel capitolo precedente si ottiene: u ( rv) w ub ( rvb ) wb + + + + + = 0 r r r ϑ r r r ϑ (4..b) δ u ub ( δ uδ u) ( ubδ u) ( ubub ) + + + + + t t ( rubδv) ( rδuvb ) ( rδ uδ v) ( rubvb ) + + + + + r r r r r r r r ( ubδ w) ( δ uwb ) ( δ uδ w) ( ub wb ) δ p pb + + + + + = r θ r θ r θ r θ δ u δ u δ u ub ub u b = r + + + r + + Re r r r r θ Re r r r r θ (4..b)

Capitolo 4 7 v vb ( ubvb ) ( ubδ v) ( δ uvb ) ( δ uδ v) + + + + + + t t ( rvbvb ) ( rvb v) ( rδ vδ v) ( δ vwb ) ( vbδ w) ( δ vδ w) + + + + + + r r r r r r r θ r θ r θ ( δ wwb ) ( δ wδ w) ( wb ) p pb + + + + = r r r r r ( rδ v) δ v δ v δ w + + + Re r r r x r θ r θ ( rvb ) vb δ vb δ w b + + + Re r r r r θ r θ (4..c) wb δ w ( ub wb ) ( ubδ w) ( δ uwb ) ( δ uδ w) + + + + + + t t vbwb vbδ w δvwb δ vδ w ( rvbwb ) ( rvbδw) ( rδvwb ) ( rδvδw) + + + + + + + + r r r r r r r r r r r r ( wb wb ) ( wbδ w) ( δ wwb ) ( δ wδ w) δ p pb + + + + + + = r θ r θ r θ r θ r θ r θ ( rwb ) wb wb v b + + + + Re r r r x r θ r θ ( rδ w) δ w δ w δ v + + + + Re r r r r θ r θ (4..d) in cui se si trascurano gli infinitesii di ordine superiore (prodotti quadratici delle perturbazioni del tipo δ uδv e siili,che se infinitesii possono essere trascurati) e si sottrae il flusso edio alle equazioni si ottiene il sistea lineare: u ( rv) w + + = 0 r r r ϑ (4..e) u ( ubu) ( rubv) ( ruvb ) ( ub w) ( uwb ) p + + + + + + = t r r r r r θ r θ u u u = r + + Re r r r r θ (4..f)

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 8 v ( ubv) ( uvb ) ( rvbv) ( vb w) ( vwb ) p + + + + + + = t r r r θ r θ r v v v v w = r + + Re r r r r r θ r θ (4..h) w ( ub w) ( rvb w) ( uwb ) ( rvwb ) p vb w vw + + + + + + + b = t r r r r r θ r r (4..i) w w w w v = r + + + Re r r r r r θ r θ. La chiusura del problea differenziale è ottenuta indicando condizioni al contorno oogenee: - sui contorni solidi : δ u = δ v = δ w = 0 per r = R ed x [0, 0.5] (4..l) - sulla superficie libera: δ w δ v = = δ u = 0 (4..) - nel foro d uscita: δ w δ v = = δ p = 0 (4..n) 4. Decoposizione spettrale in direzione circonferenziale delle equazioni linearizzate di Navier-Stokes Le equazioni linearizzate derivate nel paragrafo precedente siilente al flusso base calcolato nel terzo capitolo presentano una dipendenza aziutale che suggerisce una rappresentazione spettrale in questa direzione. Così coe per il flusso base questa rappresentazione risulta efficiente ed è spesso utilizzata in letteratura per affrontare la discretizzazione e la successiva soluzione nuerica del sistea. Ancora una volta le coponenti di perturbazione (così coe si è operato per il flusso base nel capitolo 3) risultano quindi espriibili nella fora:

Capitolo 4 9 + Iθ + = b = b δ u( x, r, θ, t) = U ( x, r, t) e u ( x, r, θ, t) = U ( x, r, t) e + Iθ + = b = b δ v( x, r, θ, t) = V ( x, r, t) e v ( x, r, θ, t) = U ( x, r, t) e + Iθ + = b = b δ w( x, r, θ, t) = W ( x, r, t) e w ( x, r, θ, t) = U ( x, r, t) e + Iθ + = b = b δ p( x, r, θ, t ) = P ( x, r, t ) e p ( x, r, θ, t ) = U ( x, r, t ) e Iθ Iθ Iθ Iθ (4..a) e sostituendo le espressioni all interno delle equazioni linearizzate si giunge a una forulazione che perette di espriere il sistea di partenza attraverso la forulazione equivalente: t + + + Iθ k k b = = k= + + + + k k Iθ k k b b = k = r r = k= + + + + k k Iθ k k b I b = k = r = k= + r Iθ U e + U U e + Iθ + r V U e + r V U e + r r Iθ + U U e + W U e + + + + k k I W U Iθ Iθ b e + P e = = k = = = r U e + U e U e Re r r r x r + + + Iθ Iθ Iθ = = = (4..b)

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 30 t + + + Iθ k k b = = k = + + + + k k Iθ k k b b = k= r r = k= + + + + k k Iθ k k I b I b = k = r = k= Iθ + W V e + W V e + r r Iθ V e + U V e + Iθ + V U e + r V V e + + + + k k I I Wb W θ θ e + P e = r = k = = + + Iθ Iθ = ( r V e ) + V e + Re r r r = x = + V e W e Re + + Iθ I Iθ r = r = (4..c) t r + + + Iθ k k b = = k= Iθ W e + U W e + + + + + k k Iθ k k b b = k= r r = k = + W U e + r V W e + + + + k k Iθ k k b I b = k = r = k = Iθ Iθ + r W V e + W W e + r r + + + + k k I W W Iθ k k Iθ b e + V b W e + r = k= = k = + + + k k Iθ Iθ W b V e P e = k = r = + + = r + + Iθ Iθ = ( r W e ) + W e + Re r r r = x = + + Iθ I + W e + V e Re r = r = Iθ (4..d) Coe è facile osservare gli esponenziali equazioni riscritte per ogni : Iθ e possono essere elisi e le

Capitolo 4 3 U ( rv ) IW + + = 0 r r r (4..e) k k k k k k U b U r V b U I Wb U U k k k + + + + t r r r k k k k k k U U b r V U b I W U b k k k P + + + + = r r r U U U = r + Re r r r x r (4..f) k k k k k k U b V U V b r V b V V k k k + + + t r r k k k k k k r V V b I Wb V I W V b k k k + + + r r r r k k W W b k P + = r r ( rv ) V V W = + I Re r r r x r r (4..h) k k k k k k U b W r Vb W I W b W W k k k + + + t r r r k k k k k k Vb W U W b r V W b k k k + + + + r r r k k k k I W W b V W b k k I P + + + = r r r ( rw ) W W V + + I Re r r r x r r (4..i)

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 3 dove k ] : + [ In questo caso però a differenza della stabilità lineare del problea assialsietrico i odi restano tutti accoppiati a causa della non linearità dei terini convettivi e alla dipendenza del flusso base dalla variabile θ. 4.3 Singolarità delle equazioni di Navier-Stokes sull asse In questa sezione si analizzerà il coportaento delle equazioni di Navier- Stokes linearizzate in prossiità dell asse di sietria: queste equazioni, infatti, se scritte in un riferiento polare presentano, coe nel caso del flusso base analizzato precedenteente, una singolarità sull asse r = 0 che non perette la scrittura qualora il doinio abbracci l asse. Si osserverà coe le espressioni delle equazioni sull asse risultano più coplesse per i odi =0 e = entre per i odi successivi si puo paraetrizzare in funzione di l andaento delle equazioni sull asse. 4.3. Modo =0 Le equazioni sull asse nel caso di =0 sono ottenute ripercorrendo esattaente la stessa procedura utilizzata nel flusso base nel paragrafo 3.4; si introducono quindi sia per la perturbazione che per il flusso base le espressioni delle variabili: b n ub ( r, x, t) = α, nr n= 0 b n vb ( r, x, t) = β 0, nr n= (4.3.a) b n wb ( r, x, t) = γ 0, nr n= b n pb ( r, x, t) = δ, nr n= 0 n δ u( r, x, t) = α, nr n= 0 n δ v( r, x, t) = β0, nr n= (4.3.b) n δ w( r, x, t) = γ 0, nr n= n δ p( r, x, t) = δ, nr n= 0

Capitolo 4 33 e applicando le approssiazioni ora introdotte alle equazioni: 0 U 0 ( rv ) + = 0 r r (4.3.c) 0 + + U k k k k + U b U + r Vb U + t x r r k= k = + 0 0 0 k k P U U r V U b + = r + r r Re k= r r r x (4.3.d) 0 + + k k k k Ub V U Vb k= k = V + + + t + + k k k k P + r Vb V W b W + = r r r r (4.3.e) k = ( rv ) V + Re 0 0 r r r x k = 0 0 + + + k k k k k k Ub W U Wb r Vb W k= k = k = W + + + + t r r + + + k k k k k k r V W b Vb W V W b r r + r + r = (4.3.f) k= k= k = ( rw ) W = + Re 0 0 r r r x Bisogna osservare pero che i terini convettivi sono del tipo: + k = U k b W k dove si osserva anche in questo caso una soatoria sull indice k ; effettuando questi prodotti si trascureranno siilente a quanto operato

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 34 precedenteente quelli che presentano potenze di r positive ( sono terini che tendono a zero olto rapidaente per r 0 e possono essere trascurati). Operando le sostituzioni e trascurando direttaente gli infinitesii di ordine superiore si ottiene: - equazione di continuità: 0 U α0,0 = + O( r )... 0 ( rv ) = β0,0 + O( r )... r r e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: α 0,0 + β 0, 0 = 0 (4.3.g) - per l equazione di quantità di oto assiale si ha: U t 0 α0,0 = + O( r )... t b ( α0,0α 0,0 ) + k k Ub U = s + O( r ) k = + r r k= k k b b b b α 0,0β0,0 α,0 β,0 α,0 β,0 ru V = + + + O( r )... + r r 0 P k= k k b b b b α0,0β 0,0 α,0 β,0 α,0 β,0 ru V = + + + O( r )... δ0,0 = + O( r )...

Capitolo 4 35 0 U α 0,0 = + O( r )... Re Re x x U r Re r r r 0 4α = Re 0, e trascurando per r 0 le potenze di r si ottiene l equazione: 0,0 0,0 0,0 α 0,0β0,0 α,0 β,0 α,0 β,0 α α δ + + + + + = t α 0,0 = 4α 0, + Re x (4..3.h) - per l equazione di quantità di oto radiale infine si ha: 0 V t β0,0r = + O( r )... t - terini convettivi : + k k b b b Ub V = α 0,0β0,0r + α,0 β,0 r + α,0 β,0 r + O( r )... k = + k k b b b U Vb = α0,0β 0,0r + α,0 β,0 r + α,0 β,0 r + O( r )... k = b,0 β,0 + β k k b Vb V = 6β 0,0β0,0r + 4 + O( r )... r r r k =

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 36 b,0γ,0 + γ k k b Wb W = γ 0,0γ 0,0r 4 + O( r )... r r k = dove si può diostrare, ricordando che β, o + I γ, o = 0 per > 0, che b b,0,0,0,0 β β γ γ = 0 non incorrendo,quindi, in singolarità. r r terini viscosi: 0 3 V β0,0 β0,0r = + Re Re x x x 0 ( rv ) = 8 Re r r r Re ( β0, ) trascurando le potenze di r superiori alla pria e dividendo per r si ottiene: β0,0 b b b b b + α 0,0β0,0 + α,0 β,0 + α,0 β,0 + α0,0β 0,0 + α,0 β,0 + t b b b β 0,0 + α,0 β,0 + 6 ( β0,0β 0,0 ) γ 0,0γ 0,0 δ 0,0 = 8β0, + Re x (4..3.i) Anche in questo caso i valori dei coefficienti, n, β, n, γ, n, δ, n α sono calcolati in odo che il polinoio passi per i punti in cui i valori di velocità e pressione sono discretizzate (non riportati per brevità). Vale la pena osservare che nel processo di discretizzazione nell ipotesi di collocare nel nodo della greglia la velocità tangenziale essa risulti esattaente zero sull asse in accordo con la espansione in potenze di r e quindi non è necessario scrivere l equazione di quantità di oto tangenziale sull asse.

Capitolo 4 37 4.3. Modo = Si analizza ora il caso in qui le equazioni della perturbazione sono particolarizzate e risolte per il odo aziutale = ; le equazioni si ottengono sostituendo sepliceente al generico nuero d onda il valore.osservando le espansioni polinoiali si osserva subito coe la coponente U sia nulla sull asse, così coe la pressione. Resta da stabilire quindi il coportaento di V, W in prossiità dell asse di sietria e per stabilire ciò sono sufficienti due equazioni e in particolar odo l equazione di continuità e di bilancio di quantità di oto radiale. Dall equazione di continuità U ( rv ) IW + + = 0 r r r (4..3.l) infatti si ottinene subito infatti: 3,0,,0,,0, ( rα + α r ) ( β + 3 β r ) I( γ + γ r ) + + = 0 r r ( α,0 ) ( α 4, ) β,0 + I γ,0 + r 3β, + r I γ, + r + r = 0 e per r 0 le potenze di r possono essere trascurate ottenendo: β,0 Iγ,0 0 + = (4.3.) che di fatto lega univocaente le due grandezze errori dell ordine di O( r ). V, W in esae a eno di

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 38 L equazione di bilancio radiale: + + + k k k k k k Ub V U Vb r Vb V k = k= k = V + + + t r r + + + k k I k k I k k r V Vb Wb V W Vb k= k = k= + + + + r r r r + k k P W b W + = r r k = ( rv ) V V + Re r r r x r I W r (4..3.n) può così essere approssiata nei suoi diversi terini: - derivata teporale V t β = t,0 -terini viscosi ( rv ) V V W + Re I = r r r x r r β, β,0 β,0 Iγ,0 = 3β, + r + + Re r r equazione di continuità ( rv) v v w β,0 + + = 3β, + Re r r r Re x r θ r θ - gradiente radiale di pressione:

Capitolo 4 39 p = δ r,0 - terini convettivi: + k = (,0 0,0 0,0,0...) k k b b Ub V = r x x α β + α β + + k = (,0 0,0 0,0,0...) k k b b U Vb = r x x α β + α β + + k k b b rv V = 4β,0 β0,0 + 4 β,0 β 0,0... r r k = I r I r + k = + k= k k b b b β 0,0γ,0 β,0γ 0,0 V W = I + I +... k k b b b β0,0γ,0 β,0 γ 0,0 V W = I + I +... + k k b b Wb W = Iγ 0,0γ,0 Iγ 0,0γ,0 +... r k = L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 assue infine l espressione: β,0 t ( r ) b b b b b + α,0 β0,0 + α,0 β 0,0 + 4β,0 β0,0 + 4β,0 β 0,0 I β 0,0γ,0 + b b b b b,0 0,0 0,0,0,0 0,0 0,0,0 0,0,0,0 + I β γ + I β γ + I β γ Iγ γ Iγ γ + δ = = 3β + Re β,0, (4..3.o) Le due equazioni scritte ora sono le uniche due necessarie sull asse poiché la coponente assiale di velocità e la pressione sono,coe si ricorda, nulle sull asse.

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 40 Le equazioni derivate perettono, una volta che si sono ricavati i valori dei coefficienti dei polinoi, di chiudere il problea e di calcolare il valore della velocità tangenziale e radiale sull asse per il odo uno. 3.3.3 Modi > Per i odi successivi a quelli con nueri d onda zero ed uno l approssiazione sull asse risulta essere olto più agevole: difatti le espressioni polinoiali in questo caso restituiscono valori nulli per tutti i coefficienti delle coponenti sia di velocità che di pressione. Si conserva però che la sola equazione di bilancio radiale ènecessaria poiché su una griglia staggered coe sarà applicata nel nostro caso (vedere Appendice C) la coponente di velocità radiale è sfalsata di ezzo passo di discretizzazione rispetto l asse e quindi il suo valore non è nullo a va calcolato. Preliinarente si ottiene un espressione anche per l equazione di continuità, necessaria per poter operare alcune seplificazioni nell equazione di bilancio radiale.sostituendo i polinoi nell equazione si ottiene quindi: α r + r β + I r β = 0 r r α + β + I β = 0 e infine,trascurando le potenze d ordine superiore si ottiene ancora la relazione: β + I γ = 0 (4..3.p) Per un generico odo l equazione di bilancio radiale è invece la seguente:

Capitolo 4 4 + + + V k k k k k k + U b V + U V b + r Vb V + t x x r r k = k = k= + + + I k k I k k k k P + W V b + W b V W b W + = r r r r (4..3.q) k = k = k = ( rv ) V V W = + Re r r r x r r I L equazione trascurando ancora una volta le potenze di r per r 0 e ricordando la relazione fra i β,0 e γ,0 fornita dall equazione di continuità per 0 assue infine l espressione: β + ( ) + ( ) + + + + +,0 b b α k,0 β,0 α k,0 β,0 t x = k= x = k= b b b b,0 0,0,0 0,0 0,0,0 0,0,0 ( + ) β β + ( + ) β β + I β γ + I β γ + γ γ γ γ + δ = Re β b b,0,0 0,0,0 0,0,0 (4..3.r)

Stabilità del vortice a geoetria non assialsietrica 4 4.4 Risultati Le equazioni introdotte nei capitoli precedenti sono state risolte nuericaente (con procedura analoga a quella seguita per la soluzione del flusso base descritta in appendice C) nell intervallo Re [0 : 8]. La Fig.4. ostra la variazione dell autovalore eno stabile: nel caso descritto in questo lavoro si è osservato infatti coe esso sia un nuero reale e, coe puo essere facilente osservato λ è una funzione crescente del nuero di Reynolds per bassi valori di Re il flusso base è stabile entre per valori superiori a Re c 6.5 l autovalore è positivo e il sistea quindi è instabile. Quindi Re c rappresenta il valore di Reynolds al quale si presenta la pria biforcazione. Questo risultato evidenzia eloquenteente coe nell ipotesi di considerare un flusso con ingresso non assialsietrico si incontri una instabilità e in particolare il tipo di instabilità introdotta è tale da introdurre una rotazione netta nel flusso in esae,rotazione che di fatto rappresenta la genesi del vortice che si era ricercata nei capitoli e per il caso assialsietrico e che è evidenziata dai lavori sperientali sia giapponese [] che da quello descritto nel capitolo 5 di questo lavoro. Fig4. Andaento dell autovalore eno stabile al crescere di Reynolds nell intervallo Re [9, 8]

Capitolo 4 43 Si è riportato nei due grafici seguenti (rispettivaente vista frontale e assonoetrica) il odulo dell autofunzione correlata all autovalore eno stabile; osservando la scala croatica si evidenzia coe il odo possegga un assio (rosso) in prossiità del foro d uscita. Fig4. Modulo dell autofunzione per Re 6 :vista frontale Fig4.3 Modulo dell autofunzione per Re 6 :vista assonoetrica