Studio di alcuni semplici sistemi: Lotka-Volterra, oscillatore armonico, oscillatori accoppiati, pendolo semplice, pendolo doppio.

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1 ÁÆÌÊÇ Í ÁÇÆ ÄijÁÆÌ Ê ÁÇÆ Á Ç ½ I metodi di Eulero, Eulero-Cromer, Leapfrog e Runge-Kutta. Studio di alcuni semplici sistemi: Lotka-Volterra, oscillatore armonico, oscillatori accoppiati, pendolo semplice, pendolo doppio. Grafica con Mizar (e Gnuplot). Much to learn you still have...my old padawan... This is just the beginning!, Yoda.

2 1.1 Strumenti tecnici Sistema operativo: GNU/Linux. Linguaggio di programmazione: C. Grafica: Mizar (Giorgilli, 1979), Gnuplot. Emacs (editor), Xterm (terminale), gcc (compilatore). ATTENZIONE: sconsiglio vivamente l uso di un IDE (e.g., code::blocks) per due motivi: (i) lavorando su macchine diverse potrebbe non essere disponibile ed è bene sapere come muoversi utilizzando degli strumenti standard; (ii) è bene sapere come scrivere un codice (editor), compilarlo(terminale & compilatore) ed eseguirlo (terminale). ATTENZIONE: siete liberi di utilizzare Windows, Mac, C++, Python, etc., ma i codici che vi darò saranno sempre in C e soprattutto dovrete cavarvela da soli! You must unlearn what you have learned., Yoda. Introduzione all integrazione di ODE 2

3 1.2 Introduzione all integrazione di equazioni differenziali ordinarie ẋ = f(x) ẋ = f(x,t). Problema: determinare una soluzione integrando numericamente il sistema. Strumenti: Eulero, Eulero-Cromer, Leapfrog e Runge-Kutta. Osservazione: Il sistema di equazioni differenziali è un sistema a tempo continuo, uno schema di integrazione numerico trasforma tale sistema in un sistema a tempo discreto che (auspicabilmente) ben approssima la dinamica del sistema originale! You will find only what you bring in., Yoda. Introduzione all integrazione di ODE 3

4 1.2.1 Alcuni schemi elementari di integrazione Eulero: ẋ = f(x,t), x(t 0 ) = x 0 x n+1 = x n +hf(x n,t n ), t n+1 = t n +h. Eulero-Cromer: ẋ = f(y,t), ẏ = g(x,t), x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0 x n+1 = x n +hf(y n,t n ), y n+1 = y n +hg(x n+1,t n ), t n+1 = t n +h. Leapfrog (LF2): ẍ = f(x), x n+1 = x n +τẋ n+ 1 2, ẋ n+ 3 2 = ẋ n τf(x n+1). Runge-Kutta (RK2): ẋ = f(x,t), k 1 = hf(x n,t n ), ( x n+1 = x n +hf x n + k 1 2,t n + h ) 2 t n+1 = t n +h., Introduzione all integrazione di ODE 4

5 Runge-Kutta (RK4): ẋ = f(x,t), k 1 = hf(x n,t n ), ( k 2 = hf x n + k 1 2,t n + h ) 2 ( k 3 = hf x n + k 2 2,t n + h ) 2 k 4 = hf(x n +k 3,t n +h),,, x n+1 = x n (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ). t n+1 = t n +h. Problema: Studiare la dinamica di alcuni semplici sistemi dinamici quali il sistema Lotka-Volterra, l oscillatore armonico, due oscillatori accoppiati, il pendolo semplice e il pendolo doppio. Suggerimenti: - Ove possibile, confrontare la soluzione numerica con la soluzione analitica esatta. - Determinare numericamente l ordine di accuratezza dei diversi metodi di integrazione. - Riportare in un grafico l andamento temporale della soluzione e il ritratto di fase (o una sua proiezione). - Ci sono quantità conservate? Come si comportano i diversi schemi di integrazione? Perchè? - Come si propagano piccoli errori sul dato iniziale? Si consideri per semplicità un modello 1D, un metodo è stabile se un piccolo errore sul dato iniziale non viene amplificato, ma smorzato. Che condizioni devono soddisfare f(x) e il passo di integrazione h perchè il metodo di Eulero sia stabile? An algorithm must be seen to be believed., D.E. Knuth. Introduzione all integrazione di ODE 5

6 1.2.2 Equazioni del moto Oscillatore armonico ẍ = ω 2 x ; Oscillatori accoppiati ẍ 1 = k 1 m 1 x 1 k 2 m 1 (x 1 x 2 ) ẍ 2 = k 3 m 2 x 2 + k 2 m 2 (x 1 x 2 ) Pendolo ϑ = g l sinϑ Pendolo doppio (m 1 +m 2 )l 1 ϑ1 +m 2 l 2 cos(ϑ 1 ϑ 2 ) ϑ 2 = m 2 l 2 sin(ϑ 1 ϑ 2 ) ϑ 2 2 (m 1 +m 2 )gsinϑ 1 l 2 ϑ2 +l 1 cos(ϑ 1 ϑ 2 ) ϑ 1 = l 1 sin(ϑ 1 ϑ 2 ) ϑ 2 1 gsinϑ 2 Lotka-Volterra (α,β,γ,δ,ε > 0) ẋ = +αx βxy εx 2 ẏ = γy +δxy Do or do not. There is no try., Yoda. Introduzione all integrazione di ODE 6

7 1.2.3 La libreria grafica Mizar #include "mizar.h" inizio(0); defpag(gxmax,gymax); grarea(0.,gxmax,0.,gymax); utarea(xmin,xmax,ymin,ymax); penna(3); utmov(x,y); utpun(x,y); utseg(x,y); deftrt(modo); uttrt(x,y); utcur(&x, &y, &c); fine(); Introduzione all integrazione di ODE 7

8 1.2.4 Compilare con il Makefile e link alla libreria Mizar Makefile INCLUDE = -I ${MIZAR} MIZCOM = ${MIZAR}/libmizarcom.a ${MIZAR}/libtek.a MIZINT = ${MIZAR}/libmizarint.a ${MIZAR}/libtek.a MIZFIL = ${MIZAR}/libmizarfil.a pippo: pippo.c <TAB> gcc -Wall ${INCLUDE} -o pippo pippo.c ${MIZINT} -lm pluto: pluto.c <TAB> gcc -Wall ${INCLUDE} -o pluto pluto.c ${MIZFIL} -lm all: pippo pluto clean: <TAB> <TAB> rm -f pippo rm -f pluto Uso del Makefile username@pcname:/path$ make pluto username@pcname:/path$./pluto Introduzione all integrazione di ODE 8

9 Uso del terminale Tektronix 4014 La libreria grafica Mizar permette l uso interattivo, permettendo ad esempio di selezionare dei dati iniziali con mouse & tastiera e di visualizzare dei grafici in tempo reale. L interprete interattivo sfutta il terminale Tektronix 4014, che è possibile emulare con il terminale Xterm. Per aprire un terminale in modalità Tektronix è sufficiente digitare username@pcname:/path$ xterm -t mentre per eseguire direttamente un programma in tale terminale dobbiamo digitare username@pcname:/path$ xterm -t -e./pippo Tipicamente un programma che usa la libreria Mizargenera un file grafic.dat che può essere successivamente convertito in vari formati mediante uno dei programmi mizar<xxx> dove ad <xxx> dobbiamo sostituire una delle etichette jpg, png, pos, tek, tps. $MIZAR/mizarpng grafic.dat Alla richiesta successiva Opzione: digita FIN ed infine Y. È sicuramente utile creare un file grf.opz con le seguenti righe grafic.dat FIN Y in questo modo sarà sufficiente eseguire $MIZAR/mizarpng < grf.opz Tutta la documentazione libreria Mizar è disponibile in $MIZAR ROOT/doc/Mizar.ps. Introduzione all integrazione di ODE 9

10 Introduzione all integrazione di ODE 10