Minimizzazione (e massimizzazione) di funzioni. Antonino Polimeno

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1 Minimizzazione (e massimizzazione) di funzioni Antonino Polimeno

2 Uno dei problemi principali della chimica la minimizzazione dell energia totale di un sistema molecolare (o supramolecolare) energy optimization geometry optimization Calcolo della configurazione di equilibrio di molecole e solidi Il problema matematica è il calcolo del minimo assoluto e/o dei minimi relativi di una funzione (energia totale) che dipende dalle coordinate nucleari (nell approssimazione BO) nel modo più efficiente possibile

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7 Search techniques Calculus-based techniques Guided random search techniques Enumerative techniques Direct methods Indirect methods Evolutionary algorithms Simulated annealing Dynamic programming Genetic algorithms

8 Metodi di ottimizzazione standard diretti Sistemi monodimensionali metodo di Brent golden section search Sistemi multidimensionali metodo di Powel (valutazione della sola funzione) gradiente coniugato quasi-newton

9 Sezione aurea- 1 a b x c Sono dati tre punti a < b < c che individuano un intervallo al cui interno è compreso un minimo, dato che f(b) < f(a), f(c) Dobbiamo scegliere un nuovo punto per restringere l intervallo in cui è compreso il minimo; se b è posto ad una frazione w di a e c e il nuovo punto x è ad una frazione z oltre b abbiamo che b a c b x b w, 1 w, z c a c a c a a b x c w 1-w Il nuovo intervallo sarà quindi lungo w+z oppure 1-w volte quello attuale. Il caso peggiore si ha per w+z=1-w z 12w Il nuovo punto è quindi il punto simmetrico a b nell intervallo originale, cioè b-a /(c-a)= x-c /(c-a), e questo implica che cada nell intervallo più lungo tra [a,b] e [b,c]; nel nostro caso quindi (vedi figura) in [b,c] z

10 Sezione aurea- 2 a b Mettendo insieme le due equazioni otteniamo: x c Ma come scegliamo z? La strategia è che la scelta ottimale, che si sta facendo nell iterazione attuale, sia stata presumibilmente fatta anche prima, scegliendo w. Quindi si ipotizza che x sia posto alla distanza frazionaria tra b e c uguale a quella di b fra a e c. z 1 w w w 3w1 0 w SEZIONE AUREA α β γ : :

11 Sezione aurea Sia [a, b] un intervallo, con f(a), f(b) già noti 2. Calcoliamo c b b a / r, d a b a / r, r 1 5 / 2 w 1 3. Se f(c) < f (d) allora c b b a / r 4. Se f(d) < f(c) allora a, f a c, f c, c, f c d, f d 5. Ripeti 2 b, f b d, f d, d, f d c, f c / d a b a r Convergenza lineare

12 Esempio % GOLDEN SECTION METHOD % % Copyright (c) 2009, Katarzyna Zarnowiec, all rights reserved % mailto: atarzyna.zarnowiec@gmail.com % figure; hold on; a=0; % start of interval b=2; % end of interval epsilon= ; % accuracy value iter= 50; % maximum number of iterations tau=double((sqrt(5)-1)/2); % golden proportion coefficient, around =0; % number of iterations while ((abs(b-a)>epsilon) && (<iter)) =+1; if(f_x1<f_x2) b=x2; x2=x1; x1=a+(1-tau)*(b-a); f_x1=f(x1); f_x2=f(x2); plot(x1,f_x1,'rx'); else a=x1; x1=x2; x2=a+tau*(b-a); x1=a+(1-tau)*(b-a); x2=a+tau*(b-a); % computing x values f_x1=f(x1); f_x2=f(x2); f_x1=f(x1); f_x2=f(x2); % computing values in x points end plot(x2,f_x2,'rx') plot(x1,f_x1,'rx') plot(x2,f_x2,'rx') % plotting x end =+1; % chooses minimum point if(f_x1<f_x2) sprintf('x_min=%f', x1) sprintf('f(x_min)=%f ', f_x1) plot(x1,f_x1,'ro') else sprintf('x_min=%f', x2) sprintf('f(x_min)=%f ', f_x2) plot(x2,f_x2,'ro') end

13 Molte dimensioni: gradiente coniugato - 1 Consideriamo una generica funzione; vogliamo individuare il punto (i punti) in cui il gradiente è nullo f ( x) funzione delle coordinate x x: ˆ f ( x) 0 Gradiente coniugato metodo iterativo usa le derivate (gradiente) relativamente semplice da implementare convergenza superlineare

14 Molte dimensioni: gradiente coniugato f( x) 0 1 f( x) f x f ( x0) xi xi xi xi x j x j c b x x A x x 2 x x 2 i i xx i, j i j xx 0 0 Un metodo poco efficiente: steepest descent min f ˆ x f x x x ˆ f x 1

15 Molte dimensioni: gradiente coniugato - 3 Gradiente coniugato: la direzioni di propagazione ad ogni ogni step cambia minimizzando la forma quadratica x x p p r b A x p r p p p r A r p A r A p 1 lunghezza del 'passo di discesa' proprio lunghezza del 'passo di discesa ' coniugato

16 x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,options) x = fminunc(problem) [x,fval] = fminunc( ) [x,fval,exitflag,output] = fminunc( ) [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc( )

17 Ottimizzazione con Matlab function [f,g] = rosenbrocwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,options) x = fminunc(problem) [x,fval] = fminunc( ) [x,fval,exitflag,output] = fminunc( ) [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc( ) options = optimoptions('fminunc','algorithm','trustregion','specifyobjectivegradient',true); x0 = [-1,2]; fun x = fminunc(fun,x0,options)