PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 2014/ /06/2015

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1 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 0/06/0 Esercizio ( punti) Un'urna contiene due palline bianche e una pallina rossa. Estraiamo senza rimpiazzo le palline no ad ottenere una pallina bianca e denotiamo con X il numero di estrazioni eettuate. Dopodiché prendiamo X mazzi di 40 carte italiane (le quali prendono valore da a 0), ne estraiamo due a caso senza rimpiazzo e denotiamo con Y e Y i valori delle due carte ottenute rispettivamente. () Determinare la densità di X, di Y, e di Y ; () Determinare la probabilità che le due carte estratte abbiano lo stesso valore; () Stabilire se X e Y sono indipendenti; (4) Stabilire se Y, Y sono indipendenti; () La variabile X può assumere i valori e. Si ha se k = ; p X (k) = se k = ; Le variabili Y e Y possono assumere i valori da a 0 ed è evidente per la simmetria del problema che questi 0 valori debbano essere assunti con la stessa probabilità da cui sia Y che Y sono uniformi in,,..., 0}. ()Si ha, applicando la formula della probabilità totali P (Y = Y ) = 0P (Y = Y = ) = 0(P (X = )P (Y = Y = X = ) + P (X = )P (Y = Y = X = )) = 0( ) = = ()Informazioni sul valore assunto da X non alterano la probabilità che Y possa assumere un determinato valore k, cioè: P (Y = k X = ) = P (Y = k X = ) = P (Y = k) e quindi X ed Y sono indipendenti. (4) Nel punto () abbiamo calcolato P (Y = Y = ) = da cui abbiamo = P (Y =, Y = ) P (Y = )P (Y = ) = 0.00 da cui segue che Y e Y sono dipendenti Esercizio (9 punti) Sia X una variabile continua uniforme nell'intervallo [, ]. () Determinare la densità della variabile X; () Calcolare P ( X < /); () Determinare la funzione di ripartizione e la densità della variabile X. () È abbastanza intuitivo che se X assume valori in mdo uniforme in [, ] allora X assume valori in modo uniforme in [, ] da cui X U([, ]). Si può anche procedere più formalmente nel seguente

2 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 modo. Intanto è chiaro che se X assume valori in [, ] allora X assume valori in [, ] andiamo quindi a determinare la funzione di ripartizione di X: per ogni t [, ] abbiamo: F X (t) = P ( X t) = P (X t) = F X ( t) = ( t) + = t + ; possiamo a questo punto osservare che questa è la funzione di ripartizione di una variabile uniforme in [, ]. () Abbiamo P ( X < /) = P ( < X < ) = =. () Si ha chiaramente che X assume valori in [0, ]. Andiamo a determinarne la funzione di ripartizione: se 0 t abbiamo F X (t) = P ( X < t) = P ( t < X < t) = t mentre se t abbiamo da cui, nel complesso, F X (t) = P ( X < t) = P ( < X < t) = + t 0 se t 0; t F X (t) = se 0 < t ; t+ se < t ; se t > ; La densità la otteniamo per derivazione: 0 se t 0 o t > ; f X (t) = se 0 < t ; se < t. Esercizio (9 punti) Sia X una variabile aleatoria continua la cui funzione di ripartizione è 0 se t 0; t F (t) = se 0 < t ; t+ se < t ; se t > ; () Determinare la densità di X; () determinare media e varianza di X; () date 44 variabili indipendenti X,..., X 44 la cui funzione di ripartizione è F (t) determinare P (X + + X 44 > 40). () Si potrebbe anche osservare che questa funzione di ripartizione data è proprio la funzione di ripartizione di X dell'esercizio precedente. IN ogni caso la densità si ottiene per derivazione della funzione di ripartizione e quindi 0 se t 0 o t > ; f X (t) = se 0 < t ; se < t. () Utilizziamo la denizione di media: + E[X] = sf X (s)ds = 0 s ds + s ds = + 6 = 6.

3 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 Per determinare la varianza calcoliamo prima + E[X ] = s f X (s)ds = 0 s ds + s ds = =. Ne segue V ar(x) = 6 = 6. () Utilizziamo il teorema del limite centrale per approssimare X + + X 44 con una variabile normale ζ N(44 0 6, 44 6 ) = N(, 9 ). Abbiamo quindi: 0 40 P (X + X 44 > 40) = P (ζ 0 > ) = P (ζ 0 > 0 ) = 8.4%.

4 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 4 9/06/0 Esercizio Lanciano due dadi simultaneamente e poniamo A, A, con A A i risultati dei due dadi. () Determinare P (A = A = ) e P (A =, A = ); () Determinare la densità congiunta di (A, A ); () Determinare le densità marginali di A e di A (4) Stabilire se A e A sono indipendenti; () Determinare P (A, A ). () L'evento A = A = si verica se entrambi i dadi danno come risultato per cui P (A = A = ) = 6. L'evento A = A = si verica se uno dei due dadi dà e l'altro dà per cui P (A =, A = ) = 6 = 8. () I valori che possono essere assunti dalla variabile bidimensionale (A, A ) sono tutte le coppie (i, j) con i j 6. Ragionando come nel punto () possiamo dedurre che 6 se i = j 6 p A,A (i, j) = 8 se i < j 6 () Queste si possono ottenere sommando le righe e le colonne della densità congiunta. Si ha 6 se k = 9 6 se k = 7 6 se k = p A (k) = 6 se k = 4 6 se k = 6 se k = 6 e simmetricamente p A (k) = se k = 6 se k = se k = 4 se k = se k = 6 se k = (4) A e A sono dipendenti in quanto, ad esempio, 0 = P (A =, A = ) P (A = )P (A = ) 0. () I valori possibili per (A, A ) sono (, ), (, 6), (4, ), (4, 6), (, ), (, 6), (6, 6) per cui P (A, A ) = =. Esercizio Il tempo T che uno studente di Informatica impiega a laurearsi è approssimata da una variabile aleatoria esponenziale di media 4 anni. () Determinare la probabilità che uno studente si laurei in corso (cioè in meno di anni); () Determinare la probabilità che fra tre studenti almeno uno si laurei in corso; () Determinare la probabilità che almeno 00 delle 00 matricole iscritte quest'anno si laureino in corso;

5 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 () T Exp(/4) per cui P (T ) = e 4 = 47, %. () Detti T, T, T i tempi relativi ai tre studenti e supponendo che questitempi siano in dipendenti tra loro abbiamo P (min(t, T, T ) ) = P (T >, T >, T > ) = P (T > )P (T > )P (T > ) = 0.8 = 8, %. () Consideriamo le variabili X,..., X 00 date da se lo studente i si laurea in corso X i = Abbiamo X i B(, 0, 47). La probabilità richiesta è pertanto P (X + X Abbiamo X i B(, 0, 47) e utilizzando il teorema centrale del limite abbiamo X + + X 00 N(94.4, 49.84) per cui, utilizzando anche una correzione di continuità P (X + + X 00 00) = P (ζ 0 > = P (ζ 0 > , 06 ) = P (ζ 0 > 0.6) = Φ(0.6) = 4.6% Esercizio Siano X N(, ) e Y U(4,, 6}) indipendenti. () Determinare P (X > 6, Y > ); () Determinare P (X + Y < 7 Y ); () determinare P (X + Y < 8); (4) determinare la funzione di ripartizione di X + Y (in funzione della funzione di ripartizione di una variabile normale standard); () Abbiamo P (X > 6, Y > ) = P (X > 6)P (Y > ) = P (ζ 0 > 6 )P (Y = 6) = ( Φ(0.0)) = 0.4 ) = 0.4; () Per la denizione di probabilità condizionale abbiamo P (X + Y < 7 Y ) = P (X + Y < 7 Y ) P (Y ) = ( P (ζ 0 < ) + P (ζ 0 < ) = P (Y = 4)P (X < ) + P (Y = )P (X < ) / = ( Φ(/))( Φ(/)) = ( 0.66)( 0.7) = 4.6% () e (4) Determiniamo la funzione di ripartizione F X+Y (t) := P (X + Y t). Abbiamo F X+Y (t) = P (Y = 4)P (X < t 4) + P (Y = )P (X < t ) + P (Y = 6)P (X < t 6) = ( P (ζ 0 < t 4 ) + P (ζ 0 < t ) + P (ζ 0 < t 6 ) ) = ( Φ( t 9 0 ) + Φ(t ) + Φ( t ) ). Per rispondere alla domanda () è suciente sostituire t = 8 ottenendo P (X + Y < 8) = (Φ( ) + Φ( ) + Φ( ) = ( ) = 0.4

6 /07/0 Esercizio ( punti) Lanciamo dadi, uno per volta e poniamo X i il risultato del lancio i, per i =,, e Y = X, Y = X se X X 0 altrimenti Y = Poniamo inne X = X + X + X e Y = Y + Y + Y. () Determinare la densità di X, X, X, Y, Y e Y ; () Determinare la densità congiunta di (Y, Y ); () Determinare la media di X e la media di Y ; (4) Stabilire se Y e Y sono indipendenti; Soluzione. X se X X e X X () Le X i sono variabili uniformi in,,, 4,, 6} e anche Y. Vediamo Y : 6 P (Y = 0) = P (X = X = i) = 6 e, per k =,,, 4,, 6 P (Y = k) = P (X k, X = k) = 6 6 = 6 per cui la densitá di Y é: 6 se k = 0 p Y (k) = 6 se k =,,, 4,, 6 0 altrimenti Vediamo Y. Per k =,,, 4,, 6 P (Y = k) = P (X k, X = k, X = k) = = 6 e per dierenza P (Y = 0) = 6 6 = 6 = 6 () Per h =,,, 4,, 6 e k = 0,,,, 4,, 6 ma k h si ha P (Y = h, Y = k) = 6. () E[X] = E[X ] + E[X ] + E[X ] = 7 = = 0,. Si ha inoltre E[Y ] = 7, 6 E[Y ] = k = ( ) 6 6 = =, 9 e e quindi E[Y ] = k= k= i= 6 k = ( ) 6 6 = 7 =, 4 7 E[Y ] = E[Y ] + E[Y ] + E[Y ] =, +, 9 +, 4 = 8, 84 (4) Y e Y sono dipendenti perché ad esempio, P (Y =, Y = ) = 0 P (Y = )P (Y = 0).

7 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 7 Esercizio (9 punti) Siano X ed Y due variabili indipendenti, X di Poisson di media, e Y uniforme in 4, }. () determinare P (X > ); () determinare P (X > 4 X < 7); () determinare P (X < Y ) (a) Soluzione. P (X > ) = P (X ) = e ( 0 0! +! +! +! + 4 (b) P (X > 4 X < 7) = (c) P (4 < X < 7) P (X < 7) = e (! + 6 6! ) 4! +! e ( 0 0! +! +! +! + 4 4! +! + 6 6! ) = ) = e = 0, 8; = 687 = 0, P (X < Y ) = P (X < 4) + P (Y =, X = 4) = e ( 0 0! +! +! +! ) + 4 e = e = 0, 4! 48 Esercizio (9 punti) Siano X,... X 0 variabili aleatorie indipendenti la cui funzione di ripartizione é 0 se t < F (t) = 4 ( t + t + ) se < t < altrimenti () Determinare la densità di X ; () determinare media e varianza di X ; () determinare P (X + + X 0 > 0). Soluzione. (a) La densitá la otteniamo per derivazione della funzione di ripartizione e quindi 0 se t < o t > f(t) = ( t + ) t [, ] (b) Si ha E[X ] = t ( t + ) dt = t dt =, dove, per semplicare i calcoli ho sfruttato che t é una funzione dispari e t é pari. Similmente possiamo calcolare DI conseguenza E[X ] = t ( t + ) dt = t dt =. Var(X ) = E[X ] E[X ] = 9 = 9. (c) Per il teorema limite centrale abbiamo X + + X 0 N( 0, 00 9 ) e quindi P (X + + X 0 > 0) = P (ζ 0 > ) = P (ζ 0 > ) = 0

8 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 8 /09/0 Esercizio. Cinque carte numerate da a vengono lanciate in aria. Se una carta atterra coperta dà come risultato 0 altrimenti dà come risultato il valore della carta stessa. Siano X,..., X i risultati delle carte scritti in ordine non decrescente e X = X + + X. () Determinare la densità di X ; () Determinare la densità congiunta di (X, X ); () Stabilire se X e X sono indipendenti; (4) Determinare il valore atteso E[X]; () Determinare P (X = ). () X rappresenta il valore più basso ottenuto che può essere 0 o. L'unico modo di ottenere è che tutte le carte atterrino scoperte per cui X B(, /). () La variabili bidimensionale (X, X ) può assumere i seguenti valori (0, 0), (0, ), (0, ), (0, ), (0, 4), (0, ), (, ). Esaminiamoli uno alla volta (0, 0) si ottiene solo se tutte le carte atterrano coperte; (0, ) si ottiene solo se tutte le carte atterrano coperte tranne la carta con l'; (0, ) si ottiene se il è scoperto, il, il 4 e il coperti mentre l' può essere coperto o scoperto ( possibilità); (0, ): scoperto, 4 e coperti, e liberi (4 possibilità); (0, 4): 4 scoperto, coperto,, e liberi (8 possibilità); (0, ): scoperto e,,,4 non tutti scoperti ( possibilità); (, ) tutte scoperte. Riassumendo abbiamo se (i, j) = (0, 0), (0, ), (, ) se (i, j) = (0, ) 4 p X,X (i, j) = se (i, j) = (0, ) 8 se (i, j) = (0, 4) se (i, j) = (0, ) () X e X sono dipendenti in quanto ad esempio = P (X =, X = ) P (X = )P (X = ) = (4) Poniamo Y i = risultato dato dalla carta con il numero i. Si ha quindi Y i U(0, i}) e quindi E[Y i ] = i. Siccome X = Y + + Y abbiamo anche E[X] = E[Y ] + + E[Y ] = 7.. () L'evento X = accade se le carte scoperte sono e, oppure 4 e, oppure il solo. Abbiamo quindi P (X = ) =. Esercizio. Una variabile aleatoria continua X ha come funzione di ripartizione F X (t) = t t+ se t > 0 () Determinare P (X >, X < ); () Determinare P (X > X < ); () Determinare la funzione di ripartizione della variabile Y = log X;.

9 PROVE D'ESAME DI CCP, A.A. 04/0 9 () Si ha P (X >, X < ) = F X () F X () = = 6 ; () Per denizione di probabilità condizionale abbiamo () Si ha P (X > X < ) = P (X >, X < ) P (X < ) = /6 / = 4. F Y (t) = P (Y t) = P (log X < t) = P (X < e t ) = F X (e t ) = et e t + per ogni t R. Esercizio. Un bambino di 6 mesi mangia tutti i giorni una pappa di 00 grammi. In una settimana ha registrato i seguenti tempi (espressi in minuti) per consumare il suo pasto:,0,4,,0,0,4. () Determinare le velocità (espressa in grammi al minuto) registrate dal bambino nel consumare il suo pasto; () Determinare la velocità media complessiva nei sette giorni; () Supponendo che impieghi mediamente 0 minuti con scarto quadratico medio di minuti per consumare il suo pasto, determinare la probabilità che in 0 giorni impieghi più di 0 minuti complessiavamente per consumare i suoi pasti. () Le 7 velocità si ottengono facilmente dividendo la quantità di pappa per il tempo impiegato. Si ottengono i 7 valori: 40,0,0, 6.7, 0, 0, 0; ()La velocità media non si ottiene facendo la media aritmetica delle velocità, ma facendone la media armonica o, equivalentemente e più semplicemente dividendo la quantità totale di pappa per il tempo totale impiegato. Si ottiene = 400, gr/min. 6 () La variabile T = tempo impiegato in 0 giorni è approssimabile da una variabile normale T N(0 0, 0 9) = N(00, 70) per cui 0 00 P (T > 0) = P (ζ 0 > ) = P (ζ 0 > 0 ) = Φ(0.6) = 7%